Extensive form/cs

Úvod
Klasická matice hry v normálním tvaru je vhodná pro grafické znázornění situací, kdy se hráči rozhodují ve stejný okamžik. V případě, kdy se hráči střídají v rozhodování, taková reprezentace již není dostačující, proto se používá tzv. rozšířená forma, která tyto situace zobrazuje pomocí rozhodovacího stromu.



Obrázek výše představuje jednoduchou "hru", kdy se žák rozhoduje, zda vypracovat či nevypracovat domácí úlohu zadanou učitelem. Očekávané zisky (vpravo v závorkách) se uvádějí vždy za posledním rozhodovacím krokem. Rozhodovací krok představuje každý uzel v grafu.

Akce vs. strategie
Akcí je právě jedno rozhodnutí. U statických her se rozhoduje zda je výhodnější provést to, či ono, což je samo o sobě výsledkem. Dynamické hry obsahují více uzlů, tedy více akcí ke kterým je nutné učinit rozhodnutí, a to ještě před zahájením samotné hry. Hovoříme tedy o strategii. Strategie je plán akcí pro veškeré situace, které mohou nastat.

Postup řešení
Nejčastěji se používá stejná metoda hledání nejlepších reakcí jako v případě statických her s tím rozdílem, že se neporovnávají akce, nýbrž strategie. Strategii lze vyjádřit zvýrazněním cesty od kořene grafu až k jednomu z jeho posledních potomků.



V předešlém případě značíme červeně vyznačenou strategii takto: ;  nebo zkráceně: ; . Tato strategie však není kompletní, ani optimální. Kompletní protože v ní nejsou zahrnuty veškeré situace, které mohou nastat, tj. pokud se žák rozhodne vypracovat úkol, učitel nebude mít pro tuto možnost stanovenou strategii a optimální protože učitel by měl větší zisk (užitek) v případě kdy by úkol nekontroloval (4 je víc než -5). Pojďme si tedy ukázat, jak postupovat správně při hledání optimálního řešení dynamických her.

Zpětná indukce
Předchozí příklad je příkladem hry s nekompletní informací, tj. v situaci, kdy se učitel rozhoduje zda úkol zkontrolovat, či nikoliv, tak nemá informaci o tom, zda žák úkol vypracoval nebo ne. K tomuto typu příkladů se ještě vrátíme, ale pro začátek si vysvětlíme metodu zpětné indukce na příkladu tzv. Escalation game.

Dva státy se dostanou do sporu o území. Jeden ze států může buď pohrozit válkou nebo přenechat území druhému státu. Druhý stát se může nechat hrozbou zastrašit a území se vzdát nebo odporovat (také pohrozit válkou). První se může vzdát a nebo skutečně vyhlásit válku. Graficky lze hru znázornit takto:



[[File:Extensive3.png|250px|thumb|right| Ukázka pěti podher v rozhodovacím stromu

Zdroj: Extensive form]] Postupujeme od posledního rozhodovacího uzlu směrem ke kořenu stromu (odtud termín zpětná indukce), přičemž můžeme daný rozhodovací uzel považovat za samostatnou "podhru" nezávislou na zbytku stromu a řešit ji stejně jako statickou hru.



Stát 2 se může v posledním kroku (podhře) rozhodnout pro válku nebo mír, za cenu toho, že bude vypadat jako zbabělec a navíc přijde o území bez snahy ho získat. Očekávaný zisk -1 je vyšší než -2, proto se stát 2 rozhodne pro válku. Nyní můžeme postoupit v rozhodovacím stromu o úroveň výše a opět řešit "podhru" jako statickou.



Stát 1 je na řadě a má možnost odporovat nebo ustoupit, když bude odporovat, tak již ví, že stát 2 mu vyhlásí válku a zisk obou států bude -1. Pokud Stát 1 ustoupí, jeho zisk bude -2, protože přijde o území bez snahy ho získat a bude vypadat jako zbabělec. Stát 1 tedy zvolí odpor.



Stejně postupujeme v posledním kroce: 0 je víc než -1, proto Stát 1 raději ustoupí. Sice přijde o území, ale alespoň ušetří životy lidí, kteří by zemřeli v jinak nevyhnutelné válce.

Výsledek značíme jako strategii ve všech možných situacích: ; 



Hry s (ne)kompletními informacemi
Vraťme se k příkladu uvedenému na začátku tohoto textu. Žák má možnost domácí úkol (ne)vypracovat a učitel (ne)zkontrolovat. Po tahu žáka učitel neví v jaké části stromu se nachází, jeho znalost předchozích akcí je nekompletní. Přerušovaná čára značí jeden informační set, tj. jeden rozhodovací uzel. Ať už se hráč nachází v jedné či druhé části, jeho rozhodnutí bude vždy stejné, protože neví v které části se právě nachází.

Z toho plyne, že hra s nekompletní informací musí splňovat tyto podmínky:
 * Alespoň jeden z hráčů nezná celou historii hry,
 * alespoň jeden informační set není jedináček (obsahuje alespoň dva uzly grafu),
 * všechny uzly v rámci informačního setu musí vést ke stejným rozhodovacím možnostem (pokud jeden uzel vede k možnostem nahoru, dolů a druhý k nahoru a doprava, pak se jedná o dva různé informační sety).

Grafické znázornění hry s nekompletními informacemi je téměř stejné jako u hry s kompletními informacemi. Pouze se navíc přidá přerušovaná čára značící, že se jedná o jeden informační set a pravděpodobnost p a p-1, že se nacházíme v horní/dolní části stromu, tj. pravděpodobnost s kterou žák vypracoval/nevypracoval domácí úkol (viz níže).



Pro výpočet řešení / rovnováhy (používáme termín Weak perfect Bayesian equilibrium - WPBE) sečteme očekávané zisky $$OZ$$ pro případy kdy učitel zkontroluje (Z) / nezkontroluje (N) domácí úkol:

$$OZ(Z)=5p-5(p-1)$$

$$OZ(Z)=5$$

$$OZ(N)=4p+4(p-1)$$

$$OZ(N)=8p-4$$

Poněvadž pravděpodobnost $$p$$ se pohybuje v intervalu $$<0, 1>$$, pak $$OZ(N)$$ nikdy nebude větší než $$OZ(Z)$$. Pravděpodobnost zde představuje přesvědčení hráče o předchozím jednání druhého hráče. Pokud tedy hráč (učitel) věří, že žák vypracoval úkol s pravděpodobností 60%, pak dosadíme za p = 0,6. V tomto konkrétním případě neexistují žádné argumenty, které by přesvědčily učitele, že je výhodnější úkol nezkontrolovat. Protože si žák takto může odvodit, že racionální učitel bude úkol kontrolovat, je pro něj výhodné jej vypracovat. Výsledná strategie (WPBE) je ;  a $$p=1$$, $$p-1=0$$.

Tuto hru můžeme rovněž zapsat a řešit jako hru statickou, protože hráč 2 nezná krok hráče 1, jedná se o podobnou situaci jakoby se oba hráči rozhodovali současně.



Hra má celkem dvě Nashovy rovnováhy v případě řešení jako statické hry. Hra má však pouze jedno WPBE v případě řešení jako dynamické hry, protože hráčova strategie musí být konzistentní, tj. učitel se nemůže jednou rozhodnout pro kontrolu úkolu a podruhé ne. Zde je vidět, že velmi záleží na tom, zda se hráči střídají v rozhodování nebo ne.

Problémy příslibů
Problémy příslibů (Commitment problems) nastávají v hrách (situacích), kdy hráč tvrdí (slibuje), že učiní určitý krok, pokud druhý hráč zvolí určitou variantu. Tento určitý krok by byl však pro prvního hráče méně výhodný než jiný krok. Vědomě tedy slibuje, že raději obětuje část svého zisku. Teorie her vysvětluje, proč takovým slibům není pro racionálního člověka vhodné věřit.

Názorný příklad uvádí William Spaniel ve svém výukovém videu na příkladu policejní kontroly.

V hypotetickém příkladu zastaví policejní hlídka vozidlo a chce provést kontrolu vozidla pro podezření z převozu zakázaných látek. Řidič má však právo prohlídku odmítnout a vyžádat si příjezd K9-jednotky (protidrogové). Pokud prohlídku přijme, policista má pak na výběr provést rychlou prohlídku nebo důkladnou. Preference obou hráčů jsou pak následující:


 * Řidič: rychlá prohlídka > počkat na protidrogové > důkladná prohlídka
 * Policista: důkladná prohlídka > rychlá prohlídka > počkat na protidrogové

Graficky znázorníme hru následovně:



Před zahájením prohlídky řekne policista řidiči: "Pro nás oba je výhodnější rychlá prohlídka, než čekání na příjezd protidrogového". A policista má pravdu. Zisk 2 pro policistu je více než 1 v případě čekání a zisk 3 je více než 2 pro řidiče. Nicméně problém tkví v tom, že jakmile se policista dostane do bodu, kdy se může rozhodnout, už jej nezajímá alternativa čekání na protidrogové, ale rozhoduje se pouze mezi důkladnou a rychlou prohlídkou. Je patrné, že větší zisk získá v případě důkladné prohlídky a proto ji také zvolí. Řidič se nechal ošálit (neuvažoval, že policista bude jednat racionálně, byť nečestně - porušením slibu). Výsledná strategie je ; . Řidič raději zvolí variantu s nižším možným užitkem, protože nemůže vědět, zda policista svůj příslib dodrží.