The Battle of Sexes/cs

Pod pojmem Bitva pohlaví se v teorii her označuje typ konfliktu dvou hráčů, kde existuje více dvojic rovnovážných strategií a žádná není dominující. Jedná se o druh jednorázové hry s nenulovým součtem.

Definice
Bitva pohlaví se také označuje pojmem manželský spor. V anglické literatuře se používá označení Battle of the Sexes, případně Bach or Stravinsky (zkratka BoS pro oba anglické pojmy).

Manželé se rozhodují, jak stráví večer. Mohou buď sledovat fotbal, nebo jít na nákupy. Nejraději by strávili večer ve společnosti toho druhého, pokud se rozhodnou každý jinak, budou rozladěni z faktu, že nejsou spolu a neužijí si večer ani jeden – jejich užitek bude nulový. Pokud se rozhodnou pro stejnou činnost, budou mít oba kladný užitek – manžel samozřejmě o něco větší, budou-li sledovat fotbal a manželka naopak v případě nákupů. Předpokládá se, že se rozhodují samostatně, bez znalosti volby toho druhého, jedná se tedy o druh nekooperativní hry. Příklad výplatní matice je v tabulce 1. Bitva pohlaví je hra s nenulovým součtem. Znamená to, že existují výsledky s celkovým čistým užitkem větším než nula. Jsou to zřejmě situace, kdy se oba z manželů rozhodnou pro stejný program, tj. situace (fotbal, fotbal) a (nákupy, nákupy). Opakem je hra s nulovým součtem, kde kladný užitek jednoho z hráčů je vždy vyvážen stejně velkým záporným užitkem hráčů ostatních.

Místo fotbalu a nákupů se často používají jiné interpretace. Bitva pohlavní byla poprvé představena v 50. letech, kde byl na výběr zápas boxu nebo balet. Dále můžeme nalézt možnosti sport vs. kultura, gambling vs. opera a podobně. V případě Bach or Stravinsky se odprošťujeme od aktivit typických pro mužské a ženské role, zde si hráči vybírají mezi koncertem Bacha a Stravinského.

Nashova rovnováha v čisté strategii
Podívejme se znovu na výplatní matici (tabulka 1). V případě čisté strategie má bitva pohlaví dvě Nashovy rovnováhy. Hledání rovnováhy je zde jednoduché a probíhá následovně:

Manžel se rozhoduje, jak se zachovat v závislosti na volbě manželky. Pokud manželka volí nákupy, je pro něj výhodnější zvolit také nákupy (užitek 0 x užitek 1). Pokud naopak manželka volí fotbal, manžel zvolí také fotbal (užitek 0 x užitek 2).

Chování manželky je pak zrcadlově zcela shodné. Zvolí-li manžel fotbal, manželka jde také sledovat fotbal (užitek 0 x užitek 1). V případě volby nákupů ze strany manžela je pro ni lepší jít na nákup (užitek 0 x užitek 2).

Nashovy rovnováhy pro čistou strategii jsou znázorněné v tabulce 2. Jedná se o případy, kdy jdou buď oba manželé na nákupy, nebo oba sledují fotbal. Nikdo si v těchto případech nemůže polepšit změnou své preference. Obě rovnováhy jsou pareto-efektivní, nikdo z manželů si nemůže polepšit bez toho, aby si zároveň ten druhý pohoršil. Jelikož tedy máme v čisté strategii dvě rovnováhy a žádná není dominující (dominující strategie je taková, která vždy přinese hráči větší zisk, bez ohledu na volbu protihráče) – hráči v podstatě nevědí, jak se v této situaci rozhodnout. Řešením je podívat se na smíšenou strategii.

Nashova rovnováha ve smíšené strategii
U smíšené strategie, na rozdíl od čisté, je každé možnosti hráče přiřazena pravděpodobnost, se kterou ji hraje. Součet pravděpodobností u všech možností každého hráče se rovná jedné. Aby se jednalo o Nashovu rovnováhu ve smíšené strategii, očekávaný užitek hráčů u jejich možností se musí rovnat.

Označíme si:

p - pravděpodobnost, že manžel volí fotbal

(1-p) - pravděpodobnost, že manžel volí nákupy

q - pravděpodobnost, že manželka volí fotbal

(1-q) - pravděpodobnost, že manželka volí nákupy

Umanžel(f) – očekávaný užitek manžela, pokud volí fotbal

Umanžel(n) – očekávaný užitek manžela, pokud volí nákupy

Umanželka(f) – očekávaný užitek manželky, pokud volí fotbal

Umanželka(n) – očekávaný užitek manželky, pokud volí nákupy

Očekávaný užitek každé strategie (fotbal/nákupy) získáme tak, že vynásobíme hodnoty z výplatní matice (tabulka 1) dohromady s pravděpodobností, že protihráč zahraje tuto možnost. Např. očekávaný užitek manžela, pokud si zvolí fotbal, je:

2 (jeho užitek z fotbalu, pokud s ním jde manželka) krát q (manželka zvolila fotbal) plus 0 (jeho užitek z fotbalu, pokud manželka nezvolila fotbal) krát (1-q) (manželka nezvolila fotbal)

Obdobně získáme všechny další užitky. Očekáváné užitky u každého z hráčů dáme do rovnosti a vypočítáme pravděpodobnosti každé strategie. Výpočet zde:

Umanžel(f) = Umanžel(n)

q (2) + (1-q) (0) = q (0) + (1-q) (1)

2q = 1 - q

q = 1/3

Umanželka(f) = Umanželka(n)

p (1) + (1-p) (0) = p (0) + (1-p) (2)

p = 2 - 2p

p = 2/3

Dostáváme tedy výsledek, že muž volí fotbal s pravděpodobností 2/3 a nákupy s pravděpodobností 1/3. Manželka naopak volí fotbal s pravděpodobností 1/3 a nákupy 2/3. Tuto Nashovu rovnováhu ve smíšené strategii zapisujeme jako ((2/3; 1/3), (1/3; 2/3)) a můžeme ji zakreslit pomocí tzv. reakční funkce do grafu (viz obrázek 1). Naše nalezená rovnováha v tomto grafu představuje průsečík křivek v bodě (2/3; 1/3). Další průsečíky, body (0; 0) a (1; 1) jsou Nashovy rovnováhy pro čistou strategii.



U smíšené strategie můžeme také vypočítat celkový očekávaný užitek každého hráče. Neprve zjistíme, s jakou pravděpodobností nastanou jednotlivé situace hry. K tomu je zapotřebí znát pravděpodobnosti, že hráči zahrají svoje možnosti; ty už máme vypočtené jako p a q. Pravděpodobnost situací získáme vynásobením dílčích pravděpodobností obou hráčů. Např. situace (fotbal, fotbal) nastane s pravděpodobností: 2/3 (manžel volí fotbal) krát 1/3 (manželka volí fotbal) = 2/9. Ostatní dopočítané pravděpodobnosti jsou v tabulce 3. Celkový užitek každého hráče se získá jako vynásobení jednotlivých pravděpodobností a jeho původním užitkem z dané situace z tabulky 1. Dostáváme tak:

Umanžel = 2/9 (2) + 4/9 (0) + 1/9 (0) + 2/9 (1)

Umanžel = 6/9 = 2/3

Umanželka = 2/9 (1) + 4/9 (0) + 1/9 (0) + 2/9 (2)

Umanželka = 6/9 = 2/3

Získali jsme při smíšené strategii užitek manžela i manželky roven 2/3. Je to hodně, nebo málo? Na to je těžké odpovědět. Při porovnání s původní tabulkou se to na první pohled zdá jako málo. V čisté strategii měli hráči zisk 2, pokud se sešli na jejich oblíbené aktivitě, nebo 1, pokud se sešli, i když to nebyla jejich preferovaná zábava. Problém je ten, že bitva pohlaví neposkytuje díky své definici žádný návod, jak by se hráči měli rozhodnout. Smíšená strategie nám tedy poskytuje „alespoň něco“, o co se můžeme opřít.

Můžeme náš výsledek porovnat se situací, kdy se hráči rozhodují zcela náhodně (Maňas, 1991). Takže manžel i manželka si hodí mincí a podle toho jdou buď na nákupy, nebo na fotbal. Pravděpodobnost zahrání každé volby je tedy 50%: p = q = 1/2. Pravděpodobnost všech situací je v tabulce 4. Stejně jako v předchozím případě dopočítáme celkový očekávaný užitek obou hráčů:

Umanžel = 1/4 (2) + 1/4 (0) + 1/4 (0) + 1/4 (1)

Umanžel = 3/4

Umanželka = 1/4 (1) + 1/4 (0) + 1/4 (0) + 1/4 (2)

Umanželka = 3/4

Je pozoruhodné, že očekávaný užitek je v náhodném výběru o něco větší, než při rovnovážné smíšené strategii.

Varianty hry
Zajímavé je také se zamyslet, jak by se hra vyvíjela v případě malých úprav. A některé z těchto úprav se také považují za varianty bitvy pohlaví.

Pokud se hráči mohou domlouvat, určitě se jim povede dospět k řešení lepšímu, než když se budou rozhodovat sami (anebo v případě smíšené strategie). Takhle jistě tento manželský spor funguje v realitě. Pokud je dnes důležitý fotbalový zápas, je jisté, že manželé budou doma a večer přísluší fotbalu. Pokud je pátek večer a manželka nutně potřebuje nové šaty na víkendovou party, vyráží se na nákupy. Jeden z hráčů tak sice bude mít menší užitek, než kdyby se konal jeho oblíbený plán, přesto na tom však bude lépe, než užitek nulový při nekoordinaci a žádné domluvě.

Kromě domluvy můžeme ještě uvažovat hru opakovanou. V takovém případě se dá opět předpokládat jistý kompromis a variaci večerního plánu – jednou se bude sledovat fotbal, další den nákupy a takto dokola. Na rozdíl od klasických opakovaných her zde nemá ani jeden z hráčů iniciativu podvádět změnou své preference (a to ani v případě, kdy bude vědět, že se jedná o jejich poslední den ve sňatku), protože si změnou nemá jak polepšit.

Další variací je případ, kdy se jeden z hráčů rozhoduje jako první a jeho volba je známa druhému hráči (v klasické variantě se oba rozhodují ve stejný čas, bez znalosti volby druhého hráče). Uvažujme například sledování fotbalu naživo, kdy manžel předem koupí lístky na zápas. Je tedy jisté, že manžel se rozhodl pro fotbal. Manželka pak nemá jinou možnost, než jít na fotbal také, rozhoduje se mezi užitkem 1 pro fotbal a užitkem 0 pro nákupy. Hovoříme zde o výhodě prvního hráče (Rasmusen, 2001), manžel svou volbou dosáhne většího užitku.

Další reálné situace
O konflikt bitvy pohlaví se jedná vždy, když se strany rozhodují mezi dvěma volbami tak, že kooperace jim přinese větší užitek. Neznají však volbu svých protihráčů.

Uvažujme situaci dvou firem, které se snaží prosadit novou technologii/standard. Každá firma preferuje svou vlastní technologii, ale pokud budou vyrábět každá něco jiného, dojde k rozdělení spotřebitelů a situace bude horší, než když jedna z firem bude muset vyrábět produkty té druhé (představte si např. přehrávač Blu-ray disků).

Jako další příklad se dají uvést dvě politické strany, které hlasováním schvalují nový zákon. Každá strana přijde s vlastní verzí zákona, kterou by ráda prosadila. Ale obecné znění je víceméně stejné a obě politické strany na tom budou lépe, pokud schválí alespoň jednu z verzí, než v případě, kdy se nedohodnou na ničem.

Příklady
1. Rozhodněte, zda se jedná o konflikt Bitvy pohlaví: 2. Rozhodněte, zda se jedná o konflikt Bitvy pohlaví: 3. Nalezněte Nashovu rovnováhu ve smíšené strategii pro následující situaci: 4. Uvažujte následující situaci. Manžel i manželka se chovají racionálně a manželka táhne jako první. Jak se zachovají oba hráči?

Řešení:

1. Ano.

2. Ne, jedná se o koordinační hru. Koordinační hra je velice podobná bitvě pohlaví, existuje však dominující Nashova rovnováha, která je výhodnější pro obě strany. V tomto případě (Bach, Bach).

3. p = 2/3; q = 1/9; smíšená Nashova rovnováha = ((2/3; 1/3), (1/9; 8/9))

4. Manželka vidí, že se jedná o konflikt bitvy pohlaví a má výhodu prvního hráče. Bude maximalizovat svůj zisk a ví, že manžel bude muset kooperovat, jinak si jako druhý hráč vždy pohorší. Manželka tedy volí návštěvu tchyně (vybírá mezi ziskem 1 a 2). Manžel by sice mnohem raději zůstal doma, ale díky tomu, že manželka už je rozhodnutá, musí návštěvu absolvovat také (vybírá mezi ziskem 0 a 1).

Videa
Game Theory 101 MOOC (#10): Battle of the Sexes

Game Theory 101 MOOC (#11): Calculating Payoffs

Zdroje

 * MAŇAS, M. Teorie her a její aplikace. SNTL, Praha 1991. ISBN 80-03-00358-X
 * DLOUHÝ, M. a FIALA, P. Úvod do teorie her. 2. přeprac. vyd. Praha: Oeconomica, 2009. ISBN 978-80-245-1609-7
 * ROMP, G. Game Theory: Introduction and Applications. Oxford University Press, 1997. ISBN 0198775024
 * RASMUSEN, E. Games and Information: An Introduction to Game Theory. Blackwell, 2001. ISBN 0631210954
 * OSBORNE, M. J. An Introduction to Game Theory. New York: Oxford University Press, 2004. ISBN 978-0-19-512895-6
 * OSBORNE, M. J. a RUBINSTEIN, A. Course in game theory. Cambridge: MIT Press, 1994. ISBN 02-626-5040-1. Dostupné z: http://zhangjun.weebly.com/uploads/2/8/1/8/2818435/martin.pdf