One-shot games/cs

= Úvod = Jednorázové hry jsou podkapitolou teorie her, která se zabývá popisem lidského rozhodování v určitých situacích. Jak název napovídá, jedná se o hru trvající pouze jedno kolo, hra není opakovatelná a aní vícekolová. Na rozdíl od výše zmíněných her jednorázové hry nepracují s informacemi o hráčích, o minulých výsledcích, nemohou plánovat strategie, předvídat tahy soupeře. Hráči volí svou strategii na základě faktu, že už další kolo hrát nebudou, nemusejí tedy brát ohledy na svou pověst a pokud mají možnost podvodu, tak podvedou, pokud tím maximalizují svůj užitek. Předpokladem teorie her je racionalita hráče.

= Terminologie =


 * jednorázová hra:je hra odehraná pouze jedenkrát, hráči si rozeberou výplatu a zkušenosti nabyté ze hry už dále nevyužijí,


 * hráč: je racionální hráč, který činí racionální rozhodnutí a maximalizuje tím svůj celkový užitek,


 * strategie: sada možností, které má hráč k dispozici během hry


 * výplata: užtek jednotlivých hráču v závislosti na zvolené strategii


 * koordinační hra:hráči se mohou na strategii domluvit

Pro jednorázové hry platí:

= Reálné aplikace =

V běžném životě se často setkáváme s teorii her. Děláme různá rozhodnutí, volíme mezi několika možnostmi - půjdeme do kina nebo zůstaneme doma, na jaký film půjdeme? Kdo začne hrát hru jako první, kdo bude mít bílé figurky na šachovnici? Můžeme se rozhodnout na základě domluvy nebo losu - hodíme si kostkou, mincí či si střihneme kámen, nůžky, papír? Při zatčení, je pro nás lepší se přiznat či důvěřovat druhému člověku? V biologie se živočichové rozhodují podobně

Hry s nulovým součten:
Hra s nulovým součtem je rovna 0, vždy je jeden výherce a minimálně jeden poražený. Zisk hráče A je inverzní k zisku hráče B, aby jeden vyhrál, musí jeden prohrát.


 * výhra=1
 * prohra=-1
 * remíza=0

Hra na kuře (Game of Chicken)
Hra na kuře je jeden z nejznámějších případů teorie her. Dva mladící proti sobě jedou v autech a mají na výběr dvě strategie (uhnout, neuhnout), pokud jeden uhne, tak prohrál a je nazván "chicken", pokud oba uhnou, prohráli oba a pokud neuhne ani jeden, sice oba vyhráli, avšak s tragickym koncem.

Tato hra se také vyskytuje v ekonomii, kde proti sobě stojí dvě velké těžěbní společnosti. Obě chtějí zdvojnásobit svůj podíl na trhu, mají opět dvě možnosti (ustoupit, neustoupit). Pokud jedna z firem ustoupí, tak prohraje a ta druhá zdvojnásobí svůj podíl na trhu, pokud ustoupí obě, nic se nestane. Pokud neustoupí ani jedna z nich, prohrají obě a dojde k velké ekologické katastrofě, která bude mít následky pro obě firmy.



V živočišné říše je tato hra známá jako hra na jestřába a holubičku. Kde se dvě zvířata rozhodují, mají-li se chovat jako jestřáb a získat všechnu potravu či jako holubička a nemít potravu žádnou. Pokud oba zvolí holubičku, o potravu se podělí rovným dílem, pokud vyberou oba jestřába, oba se o potravu podělí rovným dílem, ale při souboji se zraní.

V podkapitole jednorázové hry je tato hra na kuře podrobně popsaná.

Kámen, nůžky, papír (Rock, paper, scissors)
Kámen, nůžky, papír, též stříhání či rošambo je klasická hra pro dva a více hráčů. Pomocí rozlosování gest se vybere jeden výherce, v některých případech je potřeba kolo zopakovat (remíza, více výherců).

Pravidla:


 * Kámen tupí nůžky
 * Nůžky stříhají papír
 * Papír balí kámen

Uvažujme hru dvou hráčů, kde každý hráč má k dispozici 3 strategie (kámen, nůžky, papír).

Řešení:

k = kámen; p = papír; 1-k-p = nůžky

$$2k+p-1 = -k+p $$

$$ k = 1/3$$

$$1-k-2p = 2r+p-1$$

$$1-1/3-2p = 2/3+p-1 $$

$$p = 1/3$$

Výsledná rovnovážná pravděpodobnost pro každou strategii:

$$p = k = 1/3$$

. V jednorázových hrách není určena strategie, jak by se mělo hrát. Každý z hráčů má 1/3 šanci, že si ten druhý vybere strategii, která mu dopomůže k výhře. Při opakovatelné hře můžeme zjistit, jakou strategii spoluhráč nejčastěji používá a zařídit se podle ní.

V biologie je tato hra porovnána k chování tří typů ještěrek Uta stansburiana (Leguánků pestrých...):
 * ještěrky s oranžovým krkem, které jsou velice agresivní, udržují velký harém samiček (až 7) a velké teritorium (představují kámen),
 * ještěrky s modrým krkem jsou méně agresivní, mají obvykle 3 samičky a menší teritorium (představují nůžky),
 * žlutopruhované ještěrky jsou krotké, vypadají stejně jako samičky a díky tomu se mohou nenápadně vykrást do teritorií samečků a kopulovat s jejich samičkami (představují papír),

V cyklu oranžoví leguánci vítězí nad modrými, modří nad žlutými a žlutí nad oranžovými.

Hře kámen, nůžky, papír je podobná klasická hře Panna nebo Orel (Matching pennies). Hráči si zde místo tří strategií volí strategie dvě.

Hry s nenulovým součtem:
V hrách s nenulovým součtem není jeden vítěz a jeden poražený jako tomu je u her s nulovým součtem. Naopak se zde cenní spolupráce a výměna informací tam, kde je to možné.

Vězňovo dilema (Prisoner's dilemma)
Typickým příkladem her s nenulovým součtem je vězňovo dilema. Dva pachatelé jsou zatčení a uvězněni. Každý z nich je v jiné vazbě a nemohou spolu jakkoliv komunikovat (domluvit se na dalším postupu). Jelikož žalobci nemají dostatečné důkazy, navrhnout každému dohodu. Pokud se vězeň přizná a druhý zůstane mlčet, odejde vězeň bez trestu a bude potrestaný komplic. Pokud se naopak přizná komplic a vězeň bude mlčet, zavřou ho na deset let a komplic bude volný. Pokud se přiznají oba, žalobce k tomu přihlídne a trest bude pouze 3 roky pro oba. Pokud se však nepřizná ani jeden, nemá žalobce dostatek důkazů na obvinění a zavřou je pouze za jiný zločin.

Hráči zde mají na výběr dvě strategie - přiznat se/nepřiznat. Jelikož hráči mezi sebou nemohou komunikovat, tak každý z nich volí svou dominantní strategii - přiznat se. Kdyby spolu mohli komunikovat, tak by se pravděpodobně domluvili, že se nepřiznají, ale jen za jistoty, že si navzájem důvěřují.

V ekonomické praxi tomuto chování nasvědčují nezákonné kartelové dohody. Při uzavírání těchto dohod je velkým rizikem jejich porušení. Společnosti mají k dispozici opět dvě strategie(porušit, neporušit). V jednokolové hře se dá očekávat, že účastníci, aby maximalizovali svůj užitek, ze strachu dohodu poruší.

Hra vězňovo dilema je podrobně popsaná v podkategorii jednorázových her.

Lov jelena (Stag hunt)
Hra na zajíce je sociální koordinační hra, ve které se dva lovci rozhodují, jestli budou lovit jelena nebo zajíce. Zajíc je snažší kořist a mohou jej lovit každý zvlášť, naopak jelena musejí lovit společně.

Jak je možné z tabulky 5 vyčíst, existují zde 2 Nashovy rovnováhy, ta s menším užitkem, že budou lovit každý zvlášť zajíce (rizikově dominantní) a s větším, že budou kooperovat a společně uloví jelena (výnosově dominantní). Hra je podobná vězňovu dilematu, akorát zde existují dvě ryzí Nashovy rovnováhy.

Koordinační hra oligopolů
Dva výrobci se domlouvají na standardu, který budou vyrábět. Volí mezi standardem Blu-ray a HD DVD.

Z matice je patrné, že je jedno, jestli se domluví na výrobu Blu-ray či HD DVD, přinese jim to stejný užitek.

Jiná situace nastává, jakmile jsou odlišné Nashovy rovnováhy.

Výrobci si vyberou tu výplatní matice, která je vyšší (přináší jim větší užitek) v našem případě budou upřednostňovat výrobu HD DVD.

Bitva pohlaví (Battle of the Sexes)
Bitva pohlaví, tež známá jako Manželská domluva/spor, Bach nebo Stravinsky (BoS) je hra pro dva hráče. Manželský pár se rozhoduje, jak stráví večer. Žena chce jít na operu a muž se chce dívat na fotbal. Nemohou se dohodnout, jelikož jsou oba v práci, ale vědí, že večer chtějí strávit společně. Manželé se tedy oba rozhodují samostatně a nedomlouvají se. Každý dostane jednu jednotku užitku za to, že večer stráví společně, případně další jednotku, když zvolí jim preferovaný program. Pokud půjde každy zvlášť, bude užitek roven nule.

Řešení:

$$s(Opera) = p;  s(Fotbal) = 1 - p$$

s=strategie

Očekávaný užitek manželky

$$U(Fotbal, s) = 0p + 1(1-p)$$

$$U(Opera, s) = 2p$$

$$0p + 1(1-p) = 2p, => p = 1/3$$

tedy:

Manželčina smíšená strategie:

$$s(Opera) = 2/3;   s(Fotbal) = 1/3$$

Manželova smíšená strategie je:

$$s(Opera) = 1/3;   s(Fotbal) = 2/3$$

V této rovnováze:

Výplata manželky 2, manžela 1

$$V=(2/3)(1/3)=2/9$$

Výplata manželky 1, manžela 2

$$V=(1/3)(2/3)=2/9$$

Výplata manželů je 0

$$V=(1/3)(1/3) + (2/3)(2/3) = 5/9$$

Očekávaný užitek každého z manželů je

$$2/3$$

Paretově efektivní rovnovážné řešení:

při společně stráveném večeru jeden z manželů dostane výplatu 1 a druhý 2.

Z tabulky jsme zjistili, že oba manželé mají opačné preference, tím vzníká více rovnovážných situacích v ryzích strategiích, avšak žádná z nich není dominující. Hráči proto nevědí, jakou ze strategií si mají vybrat. Manžel by si zvolil kopanou a manželka naopak preferuje operu, což není výhodné pro žádného. Kromě ryzí strategie se v tabulce nacházejí strategie smíšené, které také přináší rovnovážné řešení. Půjdou-li oba na operu či zůstanou doma a budou se dívat na fotbal, budou mít z toho oba užitek, avšak jeden z nich bude mít užitek o jednotku nižší. Vzníká zde problém vícenásobné Nashovy rovnováhy, který říka: "Existuje-li více rovnovážných řešení a dvě z nich jsou paretově efektivní, hráči nevědí, jaké řešení zvolit, neboť každý hráč preferuje jiné. Nashova rovnováha nám v tom to případě nedává optimální řešení."

V reálném životě však můžeme předpokládat, že se lidé dokáží na některém řešení shodnout. Například pokud je v televizi zrovna mistrovství světa ve fotbale, manželka zůstane doma a bude se na fotbal dívat společně s manželem. Pokud naopak ve městě vystupuje známá operní pěvkyně, manželský pár zajde na operní vystoupení.

Bitva pohlaví se objevuje v situacích, kdy hráči současně shodně zvolí strategii, avšak u jednoho z nich bude užitek nižší.

= Zadání příkladů = Příklad 1:

Nalezněte rovnovážnou strategii pro hru Panna nebo Orel (Matching pennies)

Příklad 2:

Na základě čeho se rozhoduje hráč jednorázových her s nulovým součtem typu Kámen, nůžky, papír či Panna nebo orel? Pokud hráči spolu zahrají více kol, liší se nějak jejich strategie?

Řešení
Příklad 1:

p=1/2

Příklad 2:

Hráč se rozhoduje na základě náhody, protože každá ze strategií (kámen, nůžky, papír) je rovna 1/3. Trvá-li hra více kol, můžeme vypozorovat u spoluhráče, že jednu ze strategií používá častěji a na základě toho si změnit pravděpodobnosti svých strategií.

= Reference =

Videa:

 * Game Theory: Game of Chicken
 * Game Theory: Rock, paper, scissors
 * Game Theory: Matching Pennies
 * Game Theory: The Prisoner's Dilemma
 * Game Theory: Stag hunt
 * Game Theory: Battle of the Sexes