Pravděpodobnostní rozdělení

From Simulace.info
Revision as of 23:05, 12 June 2016 by Sidonia (talk | contribs) (1) Geometrické rozdělení)
(diff) ← Older revision | Latest revision (diff) | Newer revision → (diff)
Jump to: navigation, search

Během kurzu Simulace systémů se s pojmem pravděpodobnostní rozdělení budeme setkávat po celý semestr. Proto není na škodu se o něm něco málo dozvědět, případně si toto téma jen trochu oživit. Doposud jsme se s pravděpodobnostním rozdělením mohli setkat minimálně v kurzu statistiky. Tento text se snaží vyložit pravděpodobnostní rozdělení spíše z pohledu simulací, říci, k čemu to vlastně je, kdy se které rozdělení hodí, jak vygenerovat hodnoty z pravděpodobnostního rozdělení a v neposlední řadě, jak určit typ rozdělení na základě historických dat. Dle Hindlse a kol. (2006) je rozdělení náhodné veličiny pravidlo, jež každé hodnotě (nebo množině hodnot z každého intervalu) přiřazuje pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude této hodnoty (nebo hodnoty z určitého intervalu) [1].

Lehký úvod

Podnikové činnosti a procesy bývají málokdy deterministické. Zahrnují různé prvky variability, nejčastěji jde o dobu trvání různých procesů a činností. Například proces obsluhy zákazníka u pokladny v supermarketu může trvat jednou 5 minut, podruhé 8, někdy 25 atd. Nákupy jsou totiž rozdílně velké, pokladní různě zkušení a mnoho dalších faktorů ovlivňujících dobu trvání obsluhy. Výrobní proces určitého výrobku může jednou trvat 3 dny, jindy týden, protože jsme například závislí na různých dodávkách materiálu atp. [2]. Jinými slovy jsou podnikové i jiné procesy ovlivňovány náhodnými jevy. K tomu, abychom mohli popsat náhodné jevy, potřebujeme znát příslušná pravděpodobnostní rozdělení. Pomocí náhodných čísel pak můžeme získat potřebné hodnoty z těchto rozdělení, která nejlépe vystihují dané jevy.

Podnikových procesů je třeba počítat. Proč si ukážeme v jednoduchém příkladě procesu očkování pacientů. Představme si malou soukromou ordinaci, kde pracují lékaři, kteří myslí i na méně šťastné, nemajetné obyvatele města. Každý měsíc jeden den v týdnu po konci pracovní směny nabízejí očkování proti klíšťové encefalitidě zdarma lidem bez domova a dětem z méně majetných rodin. Každý měsíc přijde v průměru během této hodiny 10 pacientů. Očkování standardně trvá asi 4 minuty a je k němu zapotřebí jeden lékař. Kdybychom vycházeli jen z těchto údajů, pak můžeme učinit následující závěry (Tabulka 1):

Tabulka 1
Potřebná kapacita 10 pacientů * 4 minut = 40 minut
Očekávané využití lékařů 40 minut / 60 minut = 66,7 %

Z toho by lékaři mohli usoudit, že jim kapacity stačí a není potřeba nic měnit. Do hodiny bude po všem a všichni budou spokojení. Nicméně musíme vzít v úvahu, že pacienti nepřicházejí kontinuálně. Časové intervaly mezi jejich příchody můžeme popsat pomocí exponenciálního rozdělení s hodnotou parametru . Také doba očkování je různá. 4 minuty jsou optimistickým oddhadem, kdy nenastanou žádné komplikace. Ale některé pacienty, zejména děti, je třeba nejprve uklidnit, poté může očkování trvat i 10 minut. Pro popis této situace vybereme rovnoměrné rozdělení z intervalu 4 až 10. V následující tabulce si můžeme prohlédnout výsledky z jednoho simulačního běhu, který na rozdíl od předchozího modelu bere v potaz vznik front (Tabulka 2).

Tabulka 2
Pořadí pacienta Příchod pacienta Doba očkování pacienta Začátek očkování Doba čekání ve frontě Doba vyřízení celkem Konec vyřizování očkování
1 0,60 4,45 0,60 0,00 4,45 5,04
2 7,61 6,22 7,61 0,00 6,22 13,84
3 9,86 5,35 13,84 3,97 9,33 19,19
4 12,60 9,95 15,22 2,62 12,56 25,16
5 16,48 4,81 22,55 6,06 10,87 27,36
6 26,33 4,37 26,33 0,00 4,37 30,70
7 45,21 7,15 45,21 0,00 7,15 52,35
8 58,29 8,92 58,29 0,00 8,92 67,21
9 58,97 7,92 67,21 8,24 16,16 75,13
10 61,35 X X X X X
Průměr 6,57 X X 2,32 8,89 X
Součet 59,14 X X 20,89 80,03 X
Max 9,95 X X 8,24 16,16 X

Z tabulky výše můžeme vyčíst, že poslední pacient se dostavil až po konci pracovní doby a nebyl ošetřen. Kapacita lékařů je téměř plně vyčerpána a někteří lidé čekají na ošetření ve frontě. Nejdéle čekal na ošetření devátý pacient. Čekal 8,24 minut. Lékaři ukončují očkování čtvrt hodiny po konci vyhrazeného času. Místo předpokládaných 40 minut sloužili lékaři 59,14 minut. Tento problém způsobila zejména variabilita doby trvání očkování, se kterou se předtím nepočítalo. Místo předpokládaných 10 pacientů jich bylo ošetřeno jen 9.

Tento příklad je velmi jednoduchý a s realitou nemá příliš společného, nicméně snad objasňuje důvod, proč je třeba brát v potaz variabilitu podnikových procesů.

Terminologie

Základní pojmy

Než se pustíme do dalšího výkladu, je důležité oživit si některé základní pojmy ze statistiky. Jinak bychom jen těžko chápali, jak získat hodnoty z různých pravděpodobnostních rozdělení pomocí náhodných čísel. Mezi tyto důležité pojmy patří [3]:

Náhodný pokus

Pokus, který můžeme opakovat a jehož výsledek není předem známý. Jde například o hod kostkou nebo třeba tah ve sportce.

Náhodná veličina

Veličina, jejíž hodnota je určena náhodným pokusem.
Rozlišujeme dva základní druhy - diskrétní (nespojité) a spojité náhodné veličiny. Diskrétní veličiny nabývají konečně nebo spočetně nekonečně mnoha hodnot. Spojité náhodné veličiny mohou nabývat všech hodnot z nějakého konečného či nekonečného intervalu [4].

Rozdělení

Jde o pravidlo, které přiřazuje každé hodnotě či intervalu hodnot pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude právě této hodnoty nebo hodnoty z tohoto intervalu hodnot.

Distribuční funkce

Funkce náhodné veličiny, označme ji , přiřazuje každému reálnému číslu pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty menší či rovné. Pro každé reálné platí:
  • že je distribuční funkce neklesající,
  • že .

Hustota pravděpodobnosti

Funkce spojité náhodné veličiny, pro kterou platí:
  • .
A pro všechna reálná je distribuční funkce:
  • ,

Pravděpodobnostní funkce

Funkce, kterou lze popsat diskrétní náhodnou veličinu, označme ji . Pro všechna platí:
  • a
  • celkový součet je roven 1.

Střední hodnota

Je charakteristikou polohy. Označme ji .

Rozptyl

Rozptyl představuje střední hodnotu čtverců odchylek hodnot náhodné veličiny od její střední hodnoty. Označujeme ho . Pomocí rozptylu můžeme charakterizovat variabilitu hodnot náhodné veličiny.

Směrodatná odchylka

Směrodatná odchylka je odmocninou rozptylu.

Náhodná čísla a rovnoměrné rozdělení

Náhodné číslo je definováno jako nezávislá hodnota z rovnoměrného rozdělení na intervalu . Označujeme ho jako . Rovnoměrné rozdělení se používá pro generování hodnot všech ostatních rozdělení. Má tyto vlastnosti [5]:

Hustota pravděpodobnosti

pro
jinak.

Distribuční funkce

pro
pro
pro

Střední hodnota

.

Soubor náhodných čísel můžeme získat různými způsoby. Například můžeme použít tabulky náhodných čísel. Dále se dají využít mechanické generátory, jako je hrací kostka. Nejpoužívanějšími generátory jsou aritmetické, které vypočítávají příští číslo pomocí určité aritmetické operace. Jelikož jde o aritmetickou operaci, nikoliv náhodu, jsou takto získaná čísla označována za pseudonáhodná[6]. Více se o generování pseudonáhodných čísel můžete dočíst v článku Generování pseudonáhodných čísel.


Metody pro generování hodnot rozdělení náhodných veličin

Protože se o jedné z těchto metod, metodě inverzní transformace, zmiňujeme v následujícím textu mnohokrát, je zde krátce popsána.

Metoda inverzní transformace

Předpokládejme náhodnou veličinu se spojitou a rostoucí distribuční funkcí na intervalu . Tato metoda je založena na přiřazení mezi hodnotami a dané předpisem Když vygenerujeme náhodné číslo jednoznačně určíme hodnotu kde označuje inverzní funkci k distribuční funkci

Tuto metodu je možné použít i pro generování hodnot některých diskrétních rozdělení [7].

Spojitá rozdělení

Pokud má náhodná veličina absolutně spojitou distribuční funkci , pak říkáme, že má spojité rozdělení. Spojitou náhodnou veličinu s absolutně spojitou distribuční funkcí popisuje hustota pravděpodobnosti taková, že:

pro každé .

1) Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení je základem pro generování dalších náhodných veličin. Kromě toho je však toto rozdělení vhodné v simulacích pro vyjádření délky trvání určité činnosti. Parametr představuje minimální hodnotu a parametr hodnotu maximální. Pokud tedy máme odhad o minimální a maximální době trvání určité činnosti, je toto rozdělení ideální[8]. Pro výskyt hodnot z tohoto rozdělení platí stejná pravděpodobnost.

Malý příklad: Pokud přijdeme do stanice metra a nevíme, kdy odjel poslední vlak, přitom známe nejkratší (2 minuty) a nejdelší interval (10 minut) příjezdu, pak je pro nás pravděpodobnost, že vlak přijede za 2 až 10 minut úplně stejná.


Rovnoměrné rozdělení má tyto vlastnosti[9]:

Hustota pravděpodobnosti:

pro
jinak.

Distribuční funkce:

pro
pro
pro

Střední hodnota:

Rozptyl:

.


Ke generování hodnot z rovnoměrného rozdělení se používá metoda inverzní transformace podle vztahu: , kde je hodnotou rovnoměrného rozdělení .

Na obrázku níže (Obrázek 1) můžeme vidět hustotu pravděpodobnosti a distribuční funkci rovnoměrného rozdělení .

Obrázek 1 - Hustota pravděpodobnosti a distribuční funkce rovnoměrného rozdělení [10].


2) Exponenciální rozdělení

Exponenciální rozdělení se v simulacích využívá velmi často. Typicky se používá pro popis intervalů mezi po sobě následujícími příchody požadavků, pro simulaci výskytů poruch či vyjádření délky trvání činností. Má jen jeden parametr . Tento parametr se v případě modelování příchodů požadavků interpretuje jako počet příchodů za jednotku času. Hodnota vyjadřuje interval mezi po sobě následujícími příchody[11].

Malý příklad: K bankomatu přichází jeden člověk průměrně každých 6 minut.


Exponenciální rozdělení má tyto vlastnosti[11]:

Hustota pravděpodobnosti

pro
jinak.

Distribuční funkce

pro
jinak.

Střední hodnota

.

Rozptyl

.

Ke generování hodnot exponenciálního rozdělení se používá metoda inverzní transformace distribuční funkce dle vztahu: . Po úpravě této rovnice dostáváme [8]:

Za předpokladu, že je je náhodné číslo, pak je také náhodné číslo, tudíž dostáváme:

.

Na obrázku níže (Obrázek 2) vidíme hustotu pravděpodobnosti a distribuční funkci exponenciálního rozdělení.

Obrázek 2 - Hustota pravděpodobnosti a distribuční funkce exponenciálního rozdělení .

3) Normální rozdělení

Normální rozdělení s typickým tvarem zvoncovité křivky se často používá pro zachycení chyby při ekonomických pozorováních a fyzikálních měřeních. Toto rozdělení se dá využít i pro zachycení doby trvání určité činnosti, nicméně je potřeba nastavit střední hodnotu a rozptyl tak, aby se minimalizovala šance, že se vygeneruje záporná hodnota doby trvání této činnost. Ověřit si, jestli nebudou vygenerovaná čísla záporná můžeme tak, že ke střední hodnotě přičteme třikrát směrodatnou odchylku a tím získáme přibližnou dolní mez. Naopak přičtením směrodatné odchylky třikrát ke střední hodnotě získáme přibližnou horní mez.

Normální rozdělení má dva parametry, střední hodnotu a rozptyl [12].

Malý příklad: Firma vyrábějící ozubená kolečka do hodinek má určeno, že každé kolečko může mít plus mínus 0,5 milimetru, aby bylo v normě. Ostatní kolečka jsou označena jako zmetky.


Normální rozdělení má tyto vlastnosti[12]:

Hustota pravděpodobnosti

pro .

Střední hodnota

.

Rozptyl

.

Generovat hodnoty z normálního rozdělení můžeme například pomocí následujícího algoritmu vycházejícího z polární verze Box-Mullerovy transformace, která vyžaduje dvě náhodná čísla a vrací dvě hodnoty z normálního rozdělení [13]:

  1. generuj dvě hodnoty rovnoměrného rozdělení a
  2. jestliže opakuj krok 1, jinak
  3. konec, v a jsou dvě hodnoty normálního rozdělení

V MS Excel můžeme vygenerovat hodnoty z normálního rozdělení pomocí funkce NORMINV. Jako první parametr uvedeme náhodné číslo pomocí funkce NÁHČÍSLO(), druhým parametrem je střední hodnota a třetím směrodatná odchylka.

Obrázek níže (Obrázek 3) zobrazuje podobu hustoty pravděpodobnosti a distribuční funkce normálního rozdělení.

Obrázek 3 - Hustota pravděpodobnosti a distribuční funkce normálního rozdělení [10].


4) Trojúhelníkové rozdělení

Příliš náhodných veličin, které by měli trojúhelníkové rozdělení , neexistuje. V simulacích se však toto rozdělení hodí v případě, že nemáme k dispozici konkrétní údaje, ale víme, že nejčastěji náhodná veličina nabývá hodnoty , minimálně hodnoty a maximálně hodnoty .

Trojúhelníkové rozdělení má tři parametry, pro které platí: [13].

Malý příklad: Studenti v menze obědvají nejčastěji 15 minut, nejméně 10 minut a nejdéle 30 minut.


Trojúhelníkové rozdělení má tyto vlastnosti[14]:

Hustota pravděpodobnosti

pro
pro
jinak.

Distribuční funkce

pro
pro
pro
pro

Střední hodnota

.

Rozptyl

.

Hodnoty z trojúhelníkového rozdělení můžeme generovat pomocí metody inverzní transformace, kdy získáváme tento algoritmus[15]:

  1. =
  2. generuj
  3. pokud pak jinak

Obrázek níže (Obrázek 4) zobrazuje podobu hustoty pravděpodobnosti a distribuční funkce trojúhelníkového rozdělení.

Obrázek 4 - Hustota pravděpodobnosti a distribuční funkce trojúhelníkového rozdělení [16].

Další druhy spojitých rozdělení

Zde jsou uvedeny příklady některých dalších spojitých rozdělení. V budoucnu by mohla být tato rozdělení popsána detailněji v sekci výše.

  • Log-normální rozdělení
  • Normované-normální rozdělení
  • Chí-kvadrát rozdělení
  • Studentovo t-rozdělení
  • Rozdělení Fisherovo
  • Rozdělení Beta
  • Rozdělení Gamma
  • ...

Diskrétní rozdělení

Distribuční funkci nazýváme diskrétní, pokud existuje konečná nebo spočetná posloupnost nezáporných čísel {} splňujících podmínku a posloupnost bodů {} taková, pro kterou platí:

pro .

Pokud má náhodná veličina diskrétní distribuční funkci , říkáme, že má diskrétní rozdělení. Diskrétní distribuční funkce je schodovitého tvaru se skoky o velikosti v bodech [17].

1) Geometrické rozdělení

Realizujme náhodný pokus se dvěma možnými výsledky - jev příznivý a jev nepříznivý. Pravděpodobnost příznivého označíme , zároveň jde o jediný parametr geometrického rozdělení. Počet nezávislých opakování náhodného pokusu až do prvního úspěchu je náhodná veličina , která má geometrické rozdělení. Pravděpodobnost nastoupení jevu nepříznivého označíme [18][19].

Malý příklad: Chceme, aby na kostce padla šestka, geometrické rozdělení popisuje, kolikrát na kostce padne jiná hodnota, než hodíme šestku.


Geometrické rozdělení má tyto vlastnosti[19]:

Pravděpodobnostní funkce

pro

Střední hodnota

Rozptyl

Hodnoty z geometrického rozdělení můžeme generovat pomocí metody inverzní transformace podle vztahu: .

Obrázek níže (Obrázek 5) zobrazuje podobu pravděpodobnostní funkce geometrického rozdělení.

Obrázek 5 - Pravděpodobnostní funkce geometrického rozdělení pro různé hodnoty parametru [20].

2) Poissonovo rozdělení

Poissonovo rozdělení se obvykle používá pro vyjádření četností, s jakou událost nastane během určitého časového úseku [21]. Může jít o příchod zákazníků do obchodního centra, počet vadných výrobků, počet vad na jeden výrobek atp.

Poissonovo rozdělení má jediný parametr , který spojuje toto rozdělení se spojitým exponenciálním rozdělením. Jestliže parametr vyjadřuje počet příchodů do systému (intenzita příchodů), jde o Poissonovo rozdělení. Zatímco dobu po sobě následujících příchodů popisuje exponenciální rozdělení se střední hodnotou [22].

Malý příklad: Počet poruch výrobní linky za určitou časovou jednotku.


Poissonovo rozdělení má tyto vlastnosti[22]:

Pravděpodobnostní funkce:

pro
jinak.

Střední hodnota:

Rozptyl:

Hodnoty Poissonova rozdělení můžeme generovat dle následujícího algoritmu [23]:

  1. generuj náhodné číslo
  2. když pak jdi na krok 3, jinak konec, v je hodnota Poissonova rozdělení.

Obrázek níže (Obrázek 6) zobrazuje podobu pravděpodobnostní funkce Poissonova rozdělení.

Obrázek 6 - Pravděpodobnostní funkce Poissonova rozdělení pro různé hodnoty parametru [20].

3) Binomické rozdělení

Provádějme náhodný pokus, kdy sledujeme nastoupení příznivého jevu v realizacích náhodného pokusu. Náhodná veličina s binomickým rozdělením pak popisuje rozdělení počtu nastoupení jevu příznivého [24].

Malý příklad: Počet dvojek, které padnou při 20-ti hodech kostkou, má binomické rozdělení.


Binomické rozdělení má tyto vlastnosti[19]:

Pravděpodobnostní funkce:

pro
jinak,
je přirozené číslo a

Střední hodnota:

Rozptyl:

Generovat hodnoty binomického rozdělení můžeme pomocí následujícího algoritmu[25]:

  1. pro opakuj kroky 3 a 4;
  2. generuj náhodné číslo
  3. jestliže pak
  4. konec, v je hodnota binomického rozdělení.

Pokud a , pak můžeme aproximovat binomické rozdělení Poissonovým rozdělením s hodnotou

Obrázek níže (Obrázek 7) zobrazuje podobu pravděpodobnostní funkce binomického rozdělení.

Obrázek 7 - Pravděpodobnostní funkce binomického rozdělení pro různé hodnoty parametrů a [20].

Další druhy diskrétních rozdělení

Zde jsou uvedeny příklady některých dalších diskrétních rozdělení. V budoucnu by mohla být tato rozdělení popsána detailněji v sekci výše.

  • Alternativní rozdělení
  • Hypergeometrické rozdělení
  • Diskrétní rovnoměrné rozdělení
  • ...

Určení typu pravděpodobnostního rozdělení

Když už umíme vygenerovat hodnoty z jednotlivých pravděpodobnostních rozdělení, musíme také umět odpovědět na otázku, jak určit typ rozdělení. Pokud máme k dispozici reálná data, pak je vhodné použít některý ze statistických testů dobré shody, kupříkladu Kolmogorov-Smirnovův nebo chí-kvadrát test. Dobře funguje také tzv. oční test, kdy si pouhým okem prohlédneme histogramy a jiná grafické znázornění dat. Důležitá je také apriorní znalost systému, který modelujeme, abychom byli schopní zjistit, zda proces produkuje spojité či diskrétní hodnoty, zda může nabývat i záporných hodnot atd.

Pokud historická data nejsou k dispozici, je dobré najít analogický proces. Jestli není možné najít analogický proces, pak je další možností expertní odhad. Například trojúhelníkové a rovnoměrné rozdělení se pro tyto účely velmi hodí, protože se obecně považují za rozdělení s minimální informací[23].

Příklady k procvičení

Během cvičení a přednášek z předmětu Simulace systémů není třeba určovat druhy pravděpodobnostních rozdělení. V příkladech jsou tato rozdělení vždy součástí zadání. Nicméně během druhého testu v příkladu na Simprocess musí studenti vybrat vhodné rozdělení sami. Stejně tak je tomu u vytváření vlastní simulace, kterou studenti odevzdávají na konci semestru. Proto následuje krátké cvičení, na kterém si můžete vyzkoušet, zda dokážete vybrat nejvhodnější pravděpodobnostní rozdělení pro tyto procesy:

  1. Počet žen z 10-ti náhodně vybraných pracovníků reklamní agentury.
  2. Výrobce televizí zaznamenává 10 vadných kusů na 10 000 vyrobených televizí.
  3. Obchod s vybavením pro zvířátka objednává každý týden pytle s prémiovým krmením pro králíky z Anglie. Objednávka obvykle dorazí během 5 až 8 dnů.
  4. Kvocient IQ je u 90-ti % populace nižší než 130.
  5. Na poštu přichází v průměru 10 zásilek za půl hodiny.
  6. Lidé nakupují v obchodním centru v průměru nejčastěji 1 hodinu, nejdéle pak nakupují 3 hodiny a naopak nejkratší doba, kterou návštěvníci centra nakupováním stráví je 15 minut.
  7. Firma vyrábí počítačové základní desky. Mezi deskami je vadných desek. Pracovníci firmy vždy provádí náhodný výběr s vracením nezávadných výrobků zpět.

Odpovědi

  1. Binomické rozdělení
  2. Poissonovo rozdělení
  3. Rovnoměrné rozdělení
  4. Normální rozdělení
  5. Exponenciální rozdělení
  6. Trojúhelníkové rozdělení
  7. Geometrické rozdělení

Zdroje

  1. HINDLS, Richard, Stanislava HRONOVÁ, Jan SEGER a Jakub FISCHER. Statistika pro ekonomy. Praha: Professional Publishing, 2006. s. 63, ISBN 80-86946-16-9.
  2. DLOUHÝ, Martin, Jan FÁBRY, Martina KUNCOVÁ a Tomáš HLADÍK. Simulace podnikových procesů. Brno: Computer Press, 2007. s. 15, ISBN 978-80-251-1649-4.
  3. DLOUHÝ, Martin, Jan FÁBRY, Martina KUNCOVÁ a Tomáš HLADÍK. Simulace podnikových procesů. Brno: Computer Press, 2007. s. 23, ISBN 978-80-251-1649-4.
  4. HINDLS, Richard, Stanislava HRONOVÁ, Jan SEGER a Jakub FISCHER. Statistika pro ekonomy. Praha: Professional Publishing, 2006. s. 60, ISBN 80-86946-16-9.
  5. DLOUHÝ, Martin, Jan FÁBRY, Martina KUNCOVÁ a Tomáš HLADÍK. Simulace podnikových procesů. Brno: Computer Press, 2007. s. 17-18, ISBN 978-80-251-1649-4.
  6. DLOUHÝ, Martin, Jan FÁBRY, Martina KUNCOVÁ a Tomáš HLADÍK. Simulace podnikových procesů. Brno: Computer Press, 2007. s. 18, ISBN 978-80-251-1649-4.
  7. DLOUHÝ, Martin, Jan FÁBRY, Martina KUNCOVÁ a Tomáš HLADÍK. Simulace podnikových procesů. Brno: Computer Press, 2007. s. 23-24, ISBN 978-80-251-1649-4.
  8. 8.0 8.1 DLOUHÝ, Martin, Jan FÁBRY, Martina KUNCOVÁ a Tomáš HLADÍK. Simulace podnikových procesů. Brno: Computer Press, 2007. s. 26, ISBN 978-80-251-1649-4.
  9. DLOUHÝ, Martin, Jan FÁBRY, Martina KUNCOVÁ a Tomáš HLADÍK. Simulace podnikových procesů. Brno: Computer Press, 2007. s. 27, ISBN 978-80-251-1649-4.
  10. 10.0 10.1 Náhodné veličiny a náhodné vektory. In: Pravděpodobnost a statistika I | Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity [online]. [cit. 2016-06-12] Dostupné z:http://is.muni.cz/do/rect/el/estud/prif/ps13/prav_stat/web_1/pages/03_06-priklady-spoj-rozdel.html
  11. 11.0 11.1 DLOUHÝ, Martin, Jan FÁBRY, Martina KUNCOVÁ a Tomáš HLADÍK. Simulace podnikových procesů. Brno: Computer Press, 2007. s. 25, ISBN 978-80-251-1649-4.
  12. 12.0 12.1 DLOUHÝ, Martin, Jan FÁBRY, Martina KUNCOVÁ a Tomáš HLADÍK. Simulace podnikových procesů. Brno: Computer Press, 2007. s. 28, ISBN 978-80-251-1649-4.
  13. 13.0 13.1 DLOUHÝ, Martin, Jan FÁBRY, Martina KUNCOVÁ a Tomáš HLADÍK. Simulace podnikových procesů. Brno: Computer Press, 2007. s. 29, ISBN 978-80-251-1649-4.
  14. DLOUHÝ, Martin, Jan FÁBRY, Martina KUNCOVÁ a Tomáš HLADÍK. Simulace podnikových procesů. Brno: Computer Press, 2007. s. 29-30, ISBN 978-80-251-1649-4.
  15. DLOUHÝ, Martin, Jan FÁBRY, Martina KUNCOVÁ a Tomáš HLADÍK. Simulace podnikových procesů. Brno: Computer Press, 2007. s. 30, ISBN 978-80-251-1649-4.
  16. Triangular Distribution -- from Wolfram MathWorld. In: Wolfram MathWorld [online]. [cit. 2016-06-12]. Dostupné z: http://mathworld.wolfram.com/TriangularDistribution.html
  17. NOVOVIČOVÁ, Jana. Pravděpodobnost a matematická statistika. Praha: Vydavatelství ČVUT, 1999. s. 46, ISBN 80-01-01980-2.
  18. NOVOVIČOVÁ, Jana. Pravděpodobnost a matematická statistika. Praha: Vydavatelství ČVUT, 1999. s. 57, ISBN 80-01-01980-2.
  19. 19.0 19.1 19.2 DLOUHÝ, Martin, Jan FÁBRY, Martina KUNCOVÁ a Tomáš HLADÍK. Simulace podnikových procesů. Brno: Computer Press, 2007. s. 30-31, ISBN 978-80-251-1649-4.
  20. 20.0 20.1 20.2 VYCHODIL, Vilém. Přednáška: Pravděpodobnost a statistika: Diskrétní rozdělení [online]. [cit. 2016-06-12]. Dostupné z: http://vychodil.inf.upol.cz/kmi/pras/pr06.pdf Cite error: Invalid <ref> tag; name "PoissonovoBinomiceGeometricke" defined multiple times with different content Cite error: Invalid <ref> tag; name "PoissonovoBinomiceGeometricke" defined multiple times with different content
  21. NOVOVIČOVÁ, Jana. Pravděpodobnost a matematická statistika. Praha: Vydavatelství ČVUT, 1999. s. 58, ISBN 80-01-01980-2.
  22. 22.0 22.1 DLOUHÝ, Martin, Jan FÁBRY, Martina KUNCOVÁ a Tomáš HLADÍK. Simulace podnikových procesů. Brno: Computer Press, 2007. s. 33, ISBN 978-80-251-1649-4.
  23. 23.0 23.1 DLOUHÝ, Martin, Jan FÁBRY, Martina KUNCOVÁ a Tomáš HLADÍK. Simulace podnikových procesů. Brno: Computer Press, 2007. s. 34, ISBN 978-80-251-1649-4.
  24. NOVOVIČOVÁ, Jana. Pravděpodobnost a matematická statistika. Praha: Vydavatelství ČVUT, 1999. s. 56, ISBN 80-01-01980-2.
  25. DLOUHÝ, Martin, Jan FÁBRY, Martina KUNCOVÁ a Tomáš HLADÍK. Simulace podnikových procesů. Brno: Computer Press, 2007. s. 30-32, ISBN 978-80-251-1649-4.