Simulace.info - User contributions [en]

Optimalizace skladových zásob inkoustů

2021-06-10T21:18:13Z

Klei00: /* Popis modelu */

'''Název:''' Optimalizace skladových zásob inkoustů 
'''Autor:''' Bc. Iveta Kleníková, [[User:Klei00|Klei00]] ([[User talk:Klei00|talk]]) 
'''Nástroj:''' Microsoft Excel 365 
'''Metoda:''' Monte Carlo 

=Definice problému=
[[File:cmyk_ink.jpg|thumb|300px|right||Ilustrační obrázek inkoustových lahví CMYK<ref name="shutterestock">Cigdem. Inkjet printer refillable ink CMYK bottles [3D ilustrace]. Dostupné z: https://www.shutterstock.com/cs/image-illustration/inkjet-printer-refillable-ink-cmyk-bottles-1561397773</ref>]]
Společnost B je českým dodavatelem UV inkoustů a dalšího spotřebního materiálu do velkoformátových tiskáren. Tyto produkty firma každý měsíc naskladňuje, aby dokázala rychle reagovat na poptávku zákazníků, a ti nemuseli čekat, než zboží dorazí ze zahraničí, kde se vyrábí. Každý měsíc je tedy třeba kontrolovat stav skladových zásob inkoustů a v případě nízkého stavu inkousty ze zahraničí objednat. Systém skladového hospodářtsví umožňuje ke každému produktu nastavit spodní a horní limit zásob. V případě, že je na začátku měsíce stav nižší než spodní limit, objedná se právě tolik kusů daného produktu, aby se dosáhlo horního limitu. 

Inkousty se prodávají v jednolitrových lahvích ve čtyřech barvách (CMYK). Každý inkoust má z výroby roční expiraci. Ovšem na sklad se inkousty dostávají ve valné většině případů už pár měsíců staré. Ideální je prodat inkoust maximálně 6 měsíců starý, jelikož starší inkousty už zákazníci nechtějí kupovat z důvodu, že by je nestihli do data expirace vypotřebovat. Inkousty staré 7 měsíců se ještě dají prodat, ovšem pouze s určitou slevou. Starší inkousty se již neprodají a je potřeba je za určitý poplatek ekologicky zlikvidovat. Inkousty se ze skladu prodávají metodou FIFO (časovou jednotkou je měsíc). 

Cílem simulace je nalézt optimální limity skladových zásob tak, aby firma zbytečně nenaskladňovala velké množství inkoustů, které se nakonec neprodají a budou muset být zlikvidovány. Zároveň je vhodné, aby poptávka byla ideálně plně uspokojena. Jako podklad simulace budou použita reálná interní data o prodejích, nákupních cenách a expiracích naskladněných inkoustů dané společnosti. 

=Metoda=
Jelikož cílem této simulace je provést kalkulaci skladových limitů na základě pravděpodobné poptávky po inkoustech (dle historických dat), je zde použita metoda Monte Carlo. Tato metoda je vhodná pro výpočet nejvíce pravděpodobných náhodných hodnot dané veličiny za pomocí generování velkého počtu pseudonáhodných čísel. Metoda je prováděna v nástroji Microsoft Excel 365.

=Popis modelu=
Tento model představuje skladové hospodářství UV inkoustů společnosti B, která je českým dodavatelem spotřebního materiálu pro signmaking. Model řeší pouze čtyři produkty, kterými jsou základní barvy UV inkoustů CMYK (Cyan, Magenta, Yellow a Black).

Na začátku každého měsíce se kontroluje, zda aktuální stav zásob daného inkoustu neklesl pod spodní limit. Pokud ano, objedná se právě tolik balení inkoustů (po 10 ks), aby zásoby dosáhly horního limitu. Za jednu objednávku jedné barvy inkoustů se platí jednorázová doprava ve výši 1.500 Kč. Zboží obvykle dorazí do třech týdnů od jeho objednání, proto se v tomto modelu pro zjednodušení počítá s dostupností objednaných inkoustů až v následujícím měsíci. V době naskladnění inkoustů bývá jejich stáří 2-3 měsíce, přičemž inkousty staré do 6 měsíců včetně lze ještě prodat za jejich plnou prodejní cenu. Inkousty staré 7 měsíců lze prodat pouze se slevou 15 %, jelikož tyto inkousty už zákazníci většinou nestíhají do konce jejich expirace celé spotřebovat. Starší inkousty už nejsou prodejné (z již zmíněného důvodu blížící se expirace a rizika oddělení pigmentu od tekutiny) a je třeba je ekologicky zlikvidovat za poplatek 9,20 Kč za litr. Inkousty jsou ze skladu prodávány metodou FIFO (časovou jednotkou je měsíc). Dále jsou v modelu započítány měsíční fixní náklady ve výši 40.000 Kč (mzda skladníka, nájem prostor, energie), které jsou rovnoměrně rozděleny mezi jednotlivé inkousty (každé barvě inkoustu tedy náleží fixní náklady ve výši 10.000 Kč).

Výstupem modelu jsou spodní a horní limity jednotlivých inkoustů, které jsou kalkulovány na základě zadaných vstupních parametrů a určených pravidel modelu.


==Vstupní parametry==
Model řeší následující čtyři UV inkousty, u kterých jsou dané nákupní a prodejní ceny (dle interních dat společnosti):
{| class="wikitable"
!Kód inkoustu
!Objem
!Barva
!Nákupní cena
!Prodejní cena
|-
|SUV-10CY
|1 litr
|Cyan
|756,50 Kč
|1644,00 Kč
|-
|SUV-10MG
|1 litr
|Magenta
|756,00 Kč
|1619,00 Kč
|-
|SUV-10YE
|1 litr
|Yellow
|756,50 Kč
|1614,00 Kč
|-
|SUV-10BK
|1 litr
|Black
|754,50 Kč
|1659,00 Kč
|}

Ná základě interních dat o prodejích těchto inkoustů v minulých 5 letech bylo určeno pravděpodobnostní rozdělení poptávky po inkoustech v jednotlivých měsících. Poptávky mají normální rozdělení a následující střední hodnoty a směrodatné odchylky:
{| class="wikitable"
!rowspan="2"|Měsíc
!colspan="2"|SUV-10CY
!colspan="2"|SUV-10MG
!colspan="2"|SUV-10YE
!colspan="2"|SUV-10BK
|-
!Průměr
!Sm.odchylka
!Průměr
!Sm.odchylka
!Průměr
!Sm.odchylka
!Průměr
!Sm.odchylka
|-
|1
|13,6
|7,6
|27,6
|11,2
|27,4
|12,3
|17,8
|9,2
|-
|2
|12,6
|0,8
|30,2
|4,1
|32,8
|5,2
|15,6
|3,1
|-
|3
|18,6
|7,9
|39,2
|14,4
|33,4
|14,2
|21,4
|9,1
|-
|4
|16,0
|9,5
|34,8
|18,1
|37,0
|17,5
|17,4
|10,1
|-
|5
|16,4
|1,6
|32,6
|5,6
|36,8
|9,7
|16,8
|6,2
|-
|6
|13,0
|4,9
|29,8
|9,1
|28,2
|8,6
|18,0
|6,7
|-
|7
|18,6
|4,5
|29,2
|5,2
|30,4
|2,4
|22,8
|4,6
|-
|8
|21,6
|2,7
|37,6
|6,2
|42,4
|4,8
|25,8
|2,1
|-
|9
|18,2
|5,9
|32,8
|12,2
|33,6
|15,7
|19,8
|9,6
|-
|10
|21,2
|6,0
|35,6
|4,5
|39,2
|6,9
|22,0
|6,2
|-
|11
|15,0
|3,9
|34,2
|5,6
|40,4
|11,7
|19,2
|5,0
|-
|12
|15,2
|2,8
|33,2
|16,0
|28,4
|6,5
|18,2
|5,1
|}
Ostatními vstupními variabilními parametry modelu jsou:

{| class="wikitable"
!Parametr
!Hodnota
|-
|Fixní měsíční náklady
|40.000 Kč
|-
|Cena za likvidaci
|9,20 Kč/litr
|-
|Ks v balení
|10
|-
|Cena za dopravu
|1.500 Kč
|-
|Sleva
|15 %
|}

Co se expirace (stáří v době naskladnění) jednotlivých inkoustů týká, jedná se o Poissonovo rozdělení se střední hodnotou 2,49 měsíce (nejčastěji se příjímá na sklad inkoust 2 či 3 měsíce starý). Rozdělení pro jednotlivé barvy inkoustů znázorňuje graf níže.

Vzhledem k tomu, že Microsoft Excel neposkytuje žádnou inverzní funkci pro Poissonovo rozdělení, jsou náhodná stáří inkoustů generována pomocí tabulky vytvořené na základě interních dat o expiracích inkoustů. Tato tabulka obsahuje kumulativní pravděpodobnosti stáří jednotlivých inkoustů. Místo neexistující funkce POISSON.INV() je zde tedy použita funkce POZVYHLEDAT(NÁHČÍSLO();sloupec tabulky dané barvy;1)+1. Jednička je na konci přičtena z důvodu, že je potřeba převést index řádku (který funkce POZVYHLEDAT() vrací) na stáří inkoustu, které začíná na 2 měsících (tj. první řádek tabulky představuje pravděpodobnost stáří 2 měsíce, druhý řádek stáří 3 měsíce atd.).
<div style="max-width: 860px">
[[File:cmyk_expirace.png|thumb|500px|left||Graf hustoty pravděpodobnosti stáří inkoustů v době naskladnění]]
[[File:poisson_inv.png|thumb|300px|right||Kumulativní pravděpodobnost stáří inkoustů]]
</div>
 



==Výstupy modelu==
Výstupy tohoto modelu jsou spodní a horní limity jednotlivých barev inkoustů. Na základě průměrné měsíční poptávky po inkoustech jsou zvoleny následující rozsahy spodních a horních limitů, které budou testovány:
{| class="wikitable"
!Kód inkoustu
!Průměrná měsíční poptávka
!Rozsah spodního limitu
!Rozsah horního limitu
|-
|SUV-10CY
|16,7 ks
|10 - 60 ks
|60 - 110 ks
|-
|SUV-10MG
|33,1 ks
|60 - 110 ks
|120 - 170 ks
|-
|SUV-10YE
|34,2 ks
|60 - 110 ks
|120 - 170 ks
|-
|SUV-10BK
|19,6 ks
|10 - 60 ks
|60 - 110 ks
|}

U spodního i horního limitu je vždy testováno 6 hodnot (s krokem 10), z čehož vyplývá, že u každé barvy inkoustu je dohromady testováno 36 kombinací spodního a horního limitu.

=Výsledky=
Vzhledem k tomu, že poptávky po jednotlivých barvách inkoustu jsou na sobě nezávislé, a tedy i limity se určují u každé barvy zvlášť, byla provedena simulace každé barvy odděleně. Všechny čtyři simulace simulují skladové hospodářství a s tím související příjmy a výdaje v následujících třech letech (2022-2024). Každá simulace zahrnovala 10.000 iterací, aby výsledek byl co nejpřesnější. Jako veličina určující optimální nastavení dané kombinace spodního a horního limitu (testované kombinace limitů jsou uvedené v kapitole [[#vystupy_modelu|Výstupy modelu]]) byl zvolen kumulativní čistý zisk za celé simulované období.

Na základě zprůměrování dílčích výsledků jednotlivých iterací byly vytvořeny tabulky nejpravděpodobnějších zisků za 3 roky pro dané kombinace limitů (viz níže). Nejvyšší zisky jsou znázorněny zeleně, nejnižší červeně.

[[File:limity_cy.png|500px|thumb|right||Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Cyan]]
===Limity inkoustu Cyan===
Bylo zjištěno, že pro inkoust barvy Cyan je nejoptimálnější spodní limit 40 ks a horní limit 70 ks. Při těchto limitech by čistý zisk za 3 roky dosahoval s 90% pravděpodobností 92.207,6 Kč až 207.144,2 Kč. Průměrný čistý zisk za 3 roky by byl 154.189,2 Kč.
 

[[File:limity_mg.png|500px|thumb|right||Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Magenta]]
===Limity inkoustu Magenta===
Co se inkoustu barvy Magenta týká, bylo zjištěno, že nejoptimálnější spodní limit je 80 ks a nejoptimálnější horní limit 160 ks. Při těchto limitech by čistý zisk za 3 roky dosahoval s 90% pravděpodobností 561.106,3 Kč až 787.074,4 Kč. Průměrný čistý zisk za 3 roky by byl 680.111,1 Kč.
 

[[File:limity_ye.png|500px|thumb|right||Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Yellow]]
===Limity inkoustu Yellow===
U inkoustu barvy Yellow bylo zjištěno, že nejoptimálnější spodní limit je 80 ks a nejoptimálnější horní limit 140 ks. Při těchto limitech by čistý zisk za 3 roky dosahoval s 90% pravděpodobností 584.201,8 Kč až 784.254,9 Kč. Průměrný čistý zisk za 3 roky by byl 689.745,2 Kč.
 

[[File:limity_bk.png|500px|thumb|right||Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Black]]
===Limity inkoustu Black===
Posledním simulovaným inkoustem byl inkoust barvy Black. U tohoto inkoustu bylo zjištěno, že nejoptimálnější spodní limit je 40 ks a nejoptimálnější horní limit 80 ks. Při těchto limitech by čistý zisk za 3 roky dosahoval s 90% pravděpodobností 177.647,2 Kč až 319.692 Kč. Průměrný čistý zisk za 3 roky by byl 255.024,2 Kč.
 

==Zhodnocení==
Jak lze vidět, optimální limity u inkoustů barev Magenta a Yellow jsou přibližně dvojnásobné v porovnání s optimálními limity u inkoustů barev Cyan a Black. Je to způsobeno tím, že poptávka po inkoustech barev Magenta a Yellow je téměř dvojnásobná (jak lze vidět v tabulce prodejů v kapitole [[#vstupni_par|Vstupní parametry]]). Při tisku barevných motivů se totiž nejvíce barev spektra míchá právě z těchto dvou základních barev, a tak zákazníkům nejčastěji dochází.

Také si lze všimnout, že optimální spodní limity vychází přibližně 2,5 krát vyšší než je průměrná měsíční poptávka. Tím vzniká snaha zabránit situaci, kdy by na skladě bylo méně zásob, než na dva měsíce dopředu. Mít zásoby pouze na měsíc dopředu je velmi málo, jelikož poptávka může mít výkyvy a snadno by se tak mohlo stát, že by měsíční zásoby ve výši průměrné měsíční poptávky neuspokojily měsíční poptávku. Naopak vyšší spodní limity by způsobily to, že by se zboží nakupovalo v moment, kdy je na skladě ještě dostatek zásob. Naskladněným inkoustům by tak zbytečně ubíhala lhůta trvanlivosti, inkousty by se nestíhaly prodat a zbytečně by se likvidovaly.

Co se horních limitů týká, tak ty představují téměř pětinásobek průměrné měsíční poptávky. Tím je docíleno toho, že se zásoby doplní přesně do takové výše, aby při průměrné měsíční poptávce a průměrném stáří naskladněných inkoustů ve výši 2 měsíců bylo zboží prodáno během oněch 5 měsíců, kdy se ještě inkousty dají prodat za plnou prodejní cenu. Vyšší horní limity by mohly způsobit to, že by se takové množství inkoustů nestihlo prodat a muselo by být zlikvidováno. Nižší horní limity by naopak mohly způsobit příliš časté objednávání zboží a častější placení vysoké ceny za dopravu zboží ze zahraničí.

=Závěr=
Cílem simulace bylo nalézt optimální limity skladových zásob tak, aby firma zbytečně nenaskladňovala velké množství inkoustů, které se nakonec neprodají, a aby byla zároveň uspokojena poptávka. Cíl se podařilo naplnit - byly zjištěny optimální limity všech čtyř barev inkoustů a pravděpodobný zisk při nastavení těchto limitů.

V porovnání s aktuálně nastavenými limity skladových zásob společnosti B jsou zjištěné optimální limity mírně vyšší. Navíc také firma nerozlišuje jednotlivé barvy inkoustů a má nastavené všechny limity stejné, a to 30 ks (spodní limit) a 90 ks (horní limit). Při nastavení těchto hodnot do vytvořeného modelu vychází, že v současnosti má firma v průměru o 10 % (Cyan, Black), resp. o 30 % (Magenta, Yellow) nižší zisky, než by mohla mít při nastavení optimálních limitů zjištěných na základě této simulace. Tento pokles zisku je způsoben tím, že firma občas nemá dostatek inkoustů na skladě, aby dokázala plně uspokojit měsíční poptávku. Přichází tak zbytečně o prodeje.

Kvůli určitému zjednodušení modelu jsou procenta snížení zisků trochu zkreslená (minimálně oněch 30 % určitě). Ve skutečnosti objednané inkousty přijdou na firmu do 2-3 týdnů, ne až za celý měsíc. To zajišťuje dřívější dostupnost inkoustů, a tudíž i lepší uspokojení poptávky. Za těchto okolností mohou být limity nižší, jelikož se na inkousty nečeká tak dlouho. Nicméně i tak firmě doporučuji navýšit spodní a horní limity minimálně u barev Magenta a Yellow, které mají vyšší poptávku, a mělo by se jich na skladu držet větší množství.

=Kód=
Zdrojové soubory simulace:
* [[Media:sim_ink.xlsx|sim_ink.xlsx]] (hlavní simulace)
* [[Media:sim_ink_output.xlsx|sim_ink_output.xlsx]] (výstupní vygenerované hodnoty)

=Reference=
<references/>

Optimalizace skladových zásob inkoustů

2021-06-10T21:15:05Z

Klei00: /* Definice problému */

'''Název:''' Optimalizace skladových zásob inkoustů 
'''Autor:''' Bc. Iveta Kleníková, [[User:Klei00|Klei00]] ([[User talk:Klei00|talk]]) 
'''Nástroj:''' Microsoft Excel 365 
'''Metoda:''' Monte Carlo 

=Definice problému=
[[File:cmyk_ink.jpg|thumb|300px|right||Ilustrační obrázek inkoustových lahví CMYK<ref name="shutterestock">Cigdem. Inkjet printer refillable ink CMYK bottles [3D ilustrace]. Dostupné z: https://www.shutterstock.com/cs/image-illustration/inkjet-printer-refillable-ink-cmyk-bottles-1561397773</ref>]]
Společnost B je českým dodavatelem UV inkoustů a dalšího spotřebního materiálu do velkoformátových tiskáren. Tyto produkty firma každý měsíc naskladňuje, aby dokázala rychle reagovat na poptávku zákazníků, a ti nemuseli čekat, než zboží dorazí ze zahraničí, kde se vyrábí. Každý měsíc je tedy třeba kontrolovat stav skladových zásob inkoustů a v případě nízkého stavu inkousty ze zahraničí objednat. Systém skladového hospodářtsví umožňuje ke každému produktu nastavit spodní a horní limit zásob. V případě, že je na začátku měsíce stav nižší než spodní limit, objedná se právě tolik kusů daného produktu, aby se dosáhlo horního limitu. 

Inkousty se prodávají v jednolitrových lahvích ve čtyřech barvách (CMYK). Každý inkoust má z výroby roční expiraci. Ovšem na sklad se inkousty dostávají ve valné většině případů už pár měsíců staré. Ideální je prodat inkoust maximálně 6 měsíců starý, jelikož starší inkousty už zákazníci nechtějí kupovat z důvodu, že by je nestihli do data expirace vypotřebovat. Inkousty staré 7 měsíců se ještě dají prodat, ovšem pouze s určitou slevou. Starší inkousty se již neprodají a je potřeba je za určitý poplatek ekologicky zlikvidovat. Inkousty se ze skladu prodávají metodou FIFO (časovou jednotkou je měsíc). 

Cílem simulace je nalézt optimální limity skladových zásob tak, aby firma zbytečně nenaskladňovala velké množství inkoustů, které se nakonec neprodají a budou muset být zlikvidovány. Zároveň je vhodné, aby poptávka byla ideálně plně uspokojena. Jako podklad simulace budou použita reálná interní data o prodejích, nákupních cenách a expiracích naskladněných inkoustů dané společnosti. 

=Metoda=
Jelikož cílem této simulace je provést kalkulaci skladových limitů na základě pravděpodobné poptávky po inkoustech (dle historických dat), je zde použita metoda Monte Carlo. Tato metoda je vhodná pro výpočet nejvíce pravděpodobných náhodných hodnot dané veličiny za pomocí generování velkého počtu pseudonáhodných čísel. Metoda je prováděna v nástroji Microsoft Excel 365.

=Popis modelu=
Tento model představuje skladové hospodářství UV inkoustů společnosti B, která je českým dodavatelem spotřebního materiálu pro signmaking. Model řeší pouze čtyři produkty, kterými jsou základní barvy UV inkoustů CMYK (Cyan, Magenta, Yellow a Black).

Na začátku každého měsíce se kontroluje, zda aktuální stav zásob daného inkoustu neklesl pod spodní limit. Pokud ano, objedná se právě tolik balení inkoustů (po 10 ks), aby zásoby dosáhly horního limitu. Za jednu objednávku jedné barvy inkoustů se platí jednorázová doprava ve výši 1.500 Kč. Zboží obvykle dorazí do třech týdnů od jeho objednání, proto se v tomto modelu pro zjednodušení počítá s dostupností objednaných inkoustů až v následujícím měsíci. V době naskladnění inkoustů bývá jejich stáří 2-3 měsíce, přičemž inkousty staré do 6 měsíců včetně lze ještě prodat za jejich plnou prodejní cenu. Inkousty staré 7 měsíců lze prodat pouze se slevou 15 %, jelikož tyto inkousty už zákazníci většinou nestíhají do konce jejich expirace celé spotřebovat. Starší inkousty už nejsou prodejné (z již zmíněného důvodu blížící se expirace a rizika jejich sražení) a je třeba je ekologicky zlikvidovat za poplatek 9,20 Kč za litr. Inkousty jsou ze skladu prodávány metodou FIFO (časovou jednotkou je měsíc). Dále jsou v modelu započítány měsíční fixní náklady ve výši 40.000 Kč (mzda skladníka, nájem prostor, energie), které jsou rovnoměrně rozděleny mezi jednotlivé inkousty (každé barvě inkoustu tedy náleží fixní náklady ve výši 10.000 Kč).

Výstupem modelu jsou spodní a horní limity jednotlivých inkoustů, které jsou kalkulovány na základě zadaných vstupních parametrů a určených pravidel modelu.


==Vstupní parametry==
Model řeší následující čtyři UV inkousty, u kterých jsou dané nákupní a prodejní ceny (dle interních dat společnosti):
{| class="wikitable"
!Kód inkoustu
!Objem
!Barva
!Nákupní cena
!Prodejní cena
|-
|SUV-10CY
|1 litr
|Cyan
|756,50 Kč
|1644,00 Kč
|-
|SUV-10MG
|1 litr
|Magenta
|756,00 Kč
|1619,00 Kč
|-
|SUV-10YE
|1 litr
|Yellow
|756,50 Kč
|1614,00 Kč
|-
|SUV-10BK
|1 litr
|Black
|754,50 Kč
|1659,00 Kč
|}

Ná základě interních dat o prodejích těchto inkoustů v minulých 5 letech bylo určeno pravděpodobnostní rozdělení poptávky po inkoustech v jednotlivých měsících. Poptávky mají normální rozdělení a následující střední hodnoty a směrodatné odchylky:
{| class="wikitable"
!rowspan="2"|Měsíc
!colspan="2"|SUV-10CY
!colspan="2"|SUV-10MG
!colspan="2"|SUV-10YE
!colspan="2"|SUV-10BK
|-
!Průměr
!Sm.odchylka
!Průměr
!Sm.odchylka
!Průměr
!Sm.odchylka
!Průměr
!Sm.odchylka
|-
|1
|13,6
|7,6
|27,6
|11,2
|27,4
|12,3
|17,8
|9,2
|-
|2
|12,6
|0,8
|30,2
|4,1
|32,8
|5,2
|15,6
|3,1
|-
|3
|18,6
|7,9
|39,2
|14,4
|33,4
|14,2
|21,4
|9,1
|-
|4
|16,0
|9,5
|34,8
|18,1
|37,0
|17,5
|17,4
|10,1
|-
|5
|16,4
|1,6
|32,6
|5,6
|36,8
|9,7
|16,8
|6,2
|-
|6
|13,0
|4,9
|29,8
|9,1
|28,2
|8,6
|18,0
|6,7
|-
|7
|18,6
|4,5
|29,2
|5,2
|30,4
|2,4
|22,8
|4,6
|-
|8
|21,6
|2,7
|37,6
|6,2
|42,4
|4,8
|25,8
|2,1
|-
|9
|18,2
|5,9
|32,8
|12,2
|33,6
|15,7
|19,8
|9,6
|-
|10
|21,2
|6,0
|35,6
|4,5
|39,2
|6,9
|22,0
|6,2
|-
|11
|15,0
|3,9
|34,2
|5,6
|40,4
|11,7
|19,2
|5,0
|-
|12
|15,2
|2,8
|33,2
|16,0
|28,4
|6,5
|18,2
|5,1
|}
Ostatními vstupními variabilními parametry modelu jsou:

{| class="wikitable"
!Parametr
!Hodnota
|-
|Fixní měsíční náklady
|40.000 Kč
|-
|Cena za likvidaci
|9,20 Kč/litr
|-
|Ks v balení
|10
|-
|Cena za dopravu
|1.500 Kč
|-
|Sleva
|15 %
|}

Co se expirace (stáří v době naskladnění) jednotlivých inkoustů týká, jedná se o Poissonovo rozdělení se střední hodnotou 2,49 měsíce (nejčastěji se příjímá na sklad inkoust 2 či 3 měsíce starý). Rozdělení pro jednotlivé barvy inkoustů znázorňuje graf níže.

Vzhledem k tomu, že Microsoft Excel neposkytuje žádnou inverzní funkci pro Poissonovo rozdělení, jsou náhodná stáří inkoustů generována pomocí tabulky vytvořené na základě interních dat o expiracích inkoustů. Tato tabulka obsahuje kumulativní pravděpodobnosti stáří jednotlivých inkoustů. Místo neexistující funkce POISSON.INV() je tedy zde použita funkce POZVYHLEDAT(NÁHČÍSLO();sloupec tabulky dané barvy;1)+1. Jednička je na konci přičtena z důvodu, že je potřeba převést index řádku (který funkce POZVYHLEDAT() vrací) na stáří inkoustu, které začíná na 2 měsících (tj. první řádek tabulky představuje pravděpodobnost stáří 2 měsíce, druhý řádek stáří 3 měsíce atd.).
<div style="max-width: 860px">
[[File:cmyk_expirace.png|thumb|500px|left||Graf hustoty pravděpodobnosti stáří inkoustů v době naskladnění]]
[[File:poisson_inv.png|thumb|300px|right||Kumulativní pravděpodobnost stáří inkoustů]]
</div>
 



==Výstupy modelu==
Výstupy tohoto modelu jsou spodní a horní limity jednotlivých barev inkoustů. Na základě průměrné měsíční poptávky po inkoustech jsou zvoleny následující rozsahy spodních a horních limitů, které budou testovány:
{| class="wikitable"
!Kód inkoustu
!Průměrná měsíční poptávka
!Rozsah spodního limitu
!Rozsah horního limitu
|-
|SUV-10CY
|16,7 ks
|10 - 60 ks
|60 - 110 ks
|-
|SUV-10MG
|33,1 ks
|60 - 110 ks
|120 - 170 ks
|-
|SUV-10YE
|34,2 ks
|60 - 110 ks
|120 - 170 ks
|-
|SUV-10BK
|19,6 ks
|10 - 60 ks
|60 - 110 ks
|}

U spodního i horního limitu je vždy testováno 6 hodnot (s krokem 10), z čehož vyplývá, že u každé barvy inkoustu je dohromady testováno 36 kombinací spodního a horního limitu.

=Výsledky=
Vzhledem k tomu, že poptávky po jednotlivých barvách inkoustu jsou na sobě nezávislé, a tedy i limity se určují u každé barvy zvlášť, byla provedena simulace každé barvy odděleně. Všechny čtyři simulace simulují skladové hospodářství a s tím související příjmy a výdaje v následujících třech letech (2022-2024). Každá simulace zahrnovala 10.000 iterací, aby výsledek byl co nejpřesnější. Jako veličina určující optimální nastavení dané kombinace spodního a horního limitu (testované kombinace limitů jsou uvedené v kapitole [[#vystupy_modelu|Výstupy modelu]]) byl zvolen kumulativní čistý zisk za celé simulované období.

Na základě zprůměrování dílčích výsledků jednotlivých iterací byly vytvořeny tabulky nejpravděpodobnějších zisků za 3 roky pro dané kombinace limitů (viz níže). Nejvyšší zisky jsou znázorněny zeleně, nejnižší červeně.

[[File:limity_cy.png|500px|thumb|right||Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Cyan]]
===Limity inkoustu Cyan===
Bylo zjištěno, že pro inkoust barvy Cyan je nejoptimálnější spodní limit 40 ks a horní limit 70 ks. Při těchto limitech by čistý zisk za 3 roky dosahoval s 90% pravděpodobností 92.207,6 Kč až 207.144,2 Kč. Průměrný čistý zisk za 3 roky by byl 154.189,2 Kč.
 

[[File:limity_mg.png|500px|thumb|right||Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Magenta]]
===Limity inkoustu Magenta===
Co se inkoustu barvy Magenta týká, bylo zjištěno, že nejoptimálnější spodní limit je 80 ks a nejoptimálnější horní limit 160 ks. Při těchto limitech by čistý zisk za 3 roky dosahoval s 90% pravděpodobností 561.106,3 Kč až 787.074,4 Kč. Průměrný čistý zisk za 3 roky by byl 680.111,1 Kč.
 

[[File:limity_ye.png|500px|thumb|right||Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Yellow]]
===Limity inkoustu Yellow===
U inkoustu barvy Yellow bylo zjištěno, že nejoptimálnější spodní limit je 80 ks a nejoptimálnější horní limit 140 ks. Při těchto limitech by čistý zisk za 3 roky dosahoval s 90% pravděpodobností 584.201,8 Kč až 784.254,9 Kč. Průměrný čistý zisk za 3 roky by byl 689.745,2 Kč.
 

[[File:limity_bk.png|500px|thumb|right||Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Black]]
===Limity inkoustu Black===
Posledním simulovaným inkoustem byl inkoust barvy Black. U tohoto inkoustu bylo zjištěno, že nejoptimálnější spodní limit je 40 ks a nejoptimálnější horní limit 80 ks. Při těchto limitech by čistý zisk za 3 roky dosahoval s 90% pravděpodobností 177.647,2 Kč až 319.692 Kč. Průměrný čistý zisk za 3 roky by byl 255.024,2 Kč.
 

==Zhodnocení==
Jak lze vidět, optimální limity u inkoustů barev Magenta a Yellow jsou přibližně dvojnásobné v porovnání s optimálními limity u inkoustů barev Cyan a Black. Je to způsobeno tím, že poptávka po inkoustech barev Magenta a Yellow je téměř dvojnásobná (jak lze vidět v tabulce prodejů v kapitole [[#vstupni_par|Vstupní parametry]]). Při tisku barevných motivů se totiž nejvíce barev spektra míchá právě z těchto dvou základních barev, a tak zákazníkům nejčastěji dochází.

Také si lze všimnout, že optimální spodní limity vychází přibližně 2,5 krát vyšší než je průměrná měsíční poptávka. Tím vzniká snaha zabránit situaci, kdy by na skladě bylo méně zásob, než na dva měsíce dopředu. Mít zásoby pouze na měsíc dopředu je velmi málo, jelikož poptávka může mít výkyvy a snadno by se tak mohlo stát, že by měsíční zásoby ve výši průměrné měsíční poptávky neuspokojily měsíční poptávku. Naopak vyšší spodní limity by způsobily to, že by se zboží nakupovalo v moment, kdy je na skladě ještě dostatek zásob. Naskladněným inkoustům by tak zbytečně ubíhala lhůta trvanlivosti, inkousty by se nestíhaly prodat a zbytečně by se likvidovaly.

Co se horních limitů týká, tak ty představují téměř pětinásobek průměrné měsíční poptávky. Tím je docíleno toho, že se zásoby doplní přesně do takové výše, aby při průměrné měsíční poptávce a průměrném stáří naskladněných inkoustů ve výši 2 měsíců bylo zboží prodáno během oněch 5 měsíců, kdy se ještě inkousty dají prodat za plnou prodejní cenu. Vyšší horní limity by mohly způsobit to, že by se takové množství inkoustů nestihlo prodat a muselo by být zlikvidováno. Nižší horní limity by naopak mohly způsobit příliš časté objednávání zboží a častější placení vysoké ceny za dopravu zboží ze zahraničí.

=Závěr=
Cílem simulace bylo nalézt optimální limity skladových zásob tak, aby firma zbytečně nenaskladňovala velké množství inkoustů, které se nakonec neprodají, a aby byla zároveň uspokojena poptávka. Cíl se podařilo naplnit - byly zjištěny optimální limity všech čtyř barev inkoustů a pravděpodobný zisk při nastavení těchto limitů.

V porovnání s aktuálně nastavenými limity skladových zásob společnosti B jsou zjištěné optimální limity mírně vyšší. Navíc také firma nerozlišuje jednotlivé barvy inkoustů a má nastavené všechny limity stejné, a to 30 ks (spodní limit) a 90 ks (horní limit). Při nastavení těchto hodnot do vytvořeného modelu vychází, že v současnosti má firma v průměru o 10 % (Cyan, Black), resp. o 30 % (Magenta, Yellow) nižší zisky, než by mohla mít při nastavení optimálních limitů zjištěných na základě této simulace. Tento pokles zisku je způsoben tím, že firma občas nemá dostatek inkoustů na skladě, aby dokázala plně uspokojit měsíční poptávku. Přichází tak zbytečně o prodeje.

Kvůli určitému zjednodušení modelu jsou procenta snížení zisků trochu zkreslená (minimálně oněch 30 % určitě). Ve skutečnosti objednané inkousty přijdou na firmu do 2-3 týdnů, ne až za celý měsíc. To zajišťuje dřívější dostupnost inkoustů, a tudíž i lepší uspokojení poptávky. Za těchto okolností mohou být limity nižší, jelikož se na inkousty nečeká tak dlouho. Nicméně i tak firmě doporučuji navýšit spodní a horní limity minimálně u barev Magenta a Yellow, které mají vyšší poptávku, a mělo by se jich na skladu držet větší množství.

=Kód=
Zdrojové soubory simulace:
* [[Media:sim_ink.xlsx|sim_ink.xlsx]] (hlavní simulace)
* [[Media:sim_ink_output.xlsx|sim_ink_output.xlsx]] (výstupní vygenerované hodnoty)

=Reference=
<references/>

User:Klei00

2021-06-09T13:35:36Z

Klei00:

Seznam prací uživatele Klei00:
* [[Exponential distribution/cs|Exponenciální rozdělení]] (Učební text)
* [[Optimalizace skladových zásob inkoustů]] (Simulace)

User:Klei00

2021-06-09T13:35:12Z

Klei00:

Seznam prací uživatele Klei00:
* [[Exponential distribution/cs|Exponenciální rozdělení]] - Učební text
* [[Optimalizace skladových zásob inkoustů]] - Simulace

User:Klei00

2021-06-09T13:32:51Z

Klei00: Created page with "Seznam prací uživatele Klei00: * Exponenciální rozdělení * Optimalizace skladových zásob inkoustů"

Seznam prací uživatele Klei00:
* [[Exponential distribution/cs|Exponenciální rozdělení]]
* [[Optimalizace skladových zásob inkoustů]]

Optimalizace skladových zásob inkoustů

2021-06-09T12:46:05Z

Klei00: /* Kód */

'''Název:''' Optimalizace skladových zásob inkoustů 
'''Autor:''' Bc. Iveta Kleníková, [[User:Klei00|Klei00]] ([[User talk:Klei00|talk]]) 
'''Nástroj:''' Microsoft Excel 365 
'''Metoda:''' Monte Carlo 

=Definice problému=
[[File:cmyk_ink.jpg|thumb|300px|right||Ilustrační obrázek inkoustových lahví CMYK<ref name="shutterestock">Cigdem. Inkjet printer refillable ink CMYK bottles [3D ilustrace]. Dostupné z: https://www.shutterstock.com/cs/image-illustration/inkjet-printer-refillable-ink-cmyk-bottles-1561397773</ref>]]
Společnost B je českým dodavatelem ekosolventních inkoustů a dalšího spotřebního materiálu do velkoformátových tiskáren. Tyto produkty firma každý měsíc naskladňuje, aby dokázala rychle reagovat na poptávku zákazníků, a ti nemuseli čekat, než zboží dorazí ze zahraničí, kde se vyrábí. Každý měsíc je tedy třeba kontrolovat stav skladových zásob inkoustů a v případě nízkého stavu inkousty ze zahraničí objednat. Systém skladového hospodářtsví umožňuje ke každému produktu nastavit spodní a horní limit zásob. V případě, že je na začátku měsíce stav nižší než spodní limit, objedná se právě tolik kusů daného produktu, aby se dosáhlo horního limitu. 

Inkousty se prodávají v jednolitrových lahvích ve čtyřech barvách (CMYK). Každý inkoust má z výroby roční expiraci. Ovšem na sklad se inkousty dostávají ve valné většině případů už pár měsíců staré. Ideální je prodat inkoust maximálně 6 měsíců starý, jelikož starší inkousty už zákazníci nechtějí kupovat z důvodu, že by je nestihli do data expirace vypotřebovat. Inkousty staré 7 měsíců se ještě dají prodat, ovšem pouze s určitou slevou. Starší inkousty se již neprodají a je potřeba je za určitý poplatek ekologicky zlikvidovat. Inkousty se ze skladu prodávají metodou FIFO (časovou jednotkou je měsíc). 

Cílem simulace je nalézt optimální limity skladových zásob tak, aby firma zbytečně nenaskladňovala velké množství inkoustů, které se nakonec neprodají a budou muset být zlikvidovány. Zároveň je vhodné, aby poptávka byla ideálně plně uspokojena. Jako podklad simulace budou použita reálná interní data o prodejích, nákupních cenách a expiracích naskladněných inkoustů dané společnosti. 

=Metoda=
Jelikož cílem této simulace je provést kalkulaci skladových limitů na základě pravděpodobné poptávky po inkoustech (dle historických dat), je zde použita metoda Monte Carlo. Tato metoda je vhodná pro výpočet nejvíce pravděpodobných náhodných hodnot dané veličiny za pomocí generování velkého počtu pseudonáhodných čísel. Metoda je prováděna v nástroji Microsoft Excel 365.

=Popis modelu=
Tento model představuje skladové hospodářství UV inkoustů společnosti B, která je českým dodavatelem spotřebního materiálu pro signmaking. Model řeší pouze čtyři produkty, kterými jsou základní barvy UV inkoustů CMYK (Cyan, Magenta, Yellow a Black).

Na začátku každého měsíce se kontroluje, zda aktuální stav zásob daného inkoustu neklesl pod spodní limit. Pokud ano, objedná se právě tolik balení inkoustů (po 10 ks), aby zásoby dosáhly horního limitu. Za jednu objednávku jedné barvy inkoustů se platí jednorázová doprava ve výši 1.500 Kč. Zboží obvykle dorazí do třech týdnů od jeho objednání, proto se v tomto modelu pro zjednodušení počítá s dostupností objednaných inkoustů až v následujícím měsíci. V době naskladnění inkoustů bývá jejich stáří 2-3 měsíce, přičemž inkousty staré do 6 měsíců včetně lze ještě prodat za jejich plnou prodejní cenu. Inkousty staré 7 měsíců lze prodat pouze se slevou 15 %, jelikož tyto inkousty už zákazníci většinou nestíhají do konce jejich expirace celé spotřebovat. Starší inkousty už nejsou prodejné (z již zmíněného důvodu blížící se expirace a rizika jejich sražení) a je třeba je ekologicky zlikvidovat za poplatek 9,20 Kč za litr. Inkousty jsou ze skladu prodávány metodou FIFO (časovou jednotkou je měsíc). Dále jsou v modelu započítány měsíční fixní náklady ve výši 40.000 Kč (mzda skladníka, nájem prostor, energie), které jsou rovnoměrně rozděleny mezi jednotlivé inkousty (každé barvě inkoustu tedy náleží fixní náklady ve výši 10.000 Kč).

Výstupem modelu jsou spodní a horní limity jednotlivých inkoustů, které jsou kalkulovány na základě zadaných vstupních parametrů a určených pravidel modelu.


==Vstupní parametry==
Model řeší následující čtyři UV inkousty, u kterých jsou dané nákupní a prodejní ceny (dle interních dat společnosti):
{| class="wikitable"
!Kód inkoustu
!Objem
!Barva
!Nákupní cena
!Prodejní cena
|-
|SUV-10CY
|1 litr
|Cyan
|756,50 Kč
|1644,00 Kč
|-
|SUV-10MG
|1 litr
|Magenta
|756,00 Kč
|1619,00 Kč
|-
|SUV-10YE
|1 litr
|Yellow
|756,50 Kč
|1614,00 Kč
|-
|SUV-10BK
|1 litr
|Black
|754,50 Kč
|1659,00 Kč
|}

Ná základě interních dat o prodejích těchto inkoustů v minulých 5 letech bylo určeno pravděpodobnostní rozdělení poptávky po inkoustech v jednotlivých měsících. Poptávky mají normální rozdělení a následující střední hodnoty a směrodatné odchylky:
{| class="wikitable"
!rowspan="2"|Měsíc
!colspan="2"|SUV-10CY
!colspan="2"|SUV-10MG
!colspan="2"|SUV-10YE
!colspan="2"|SUV-10BK
|-
!Průměr
!Sm.odchylka
!Průměr
!Sm.odchylka
!Průměr
!Sm.odchylka
!Průměr
!Sm.odchylka
|-
|1
|13,6
|7,6
|27,6
|11,2
|27,4
|12,3
|17,8
|9,2
|-
|2
|12,6
|0,8
|30,2
|4,1
|32,8
|5,2
|15,6
|3,1
|-
|3
|18,6
|7,9
|39,2
|14,4
|33,4
|14,2
|21,4
|9,1
|-
|4
|16,0
|9,5
|34,8
|18,1
|37,0
|17,5
|17,4
|10,1
|-
|5
|16,4
|1,6
|32,6
|5,6
|36,8
|9,7
|16,8
|6,2
|-
|6
|13,0
|4,9
|29,8
|9,1
|28,2
|8,6
|18,0
|6,7
|-
|7
|18,6
|4,5
|29,2
|5,2
|30,4
|2,4
|22,8
|4,6
|-
|8
|21,6
|2,7
|37,6
|6,2
|42,4
|4,8
|25,8
|2,1
|-
|9
|18,2
|5,9
|32,8
|12,2
|33,6
|15,7
|19,8
|9,6
|-
|10
|21,2
|6,0
|35,6
|4,5
|39,2
|6,9
|22,0
|6,2
|-
|11
|15,0
|3,9
|34,2
|5,6
|40,4
|11,7
|19,2
|5,0
|-
|12
|15,2
|2,8
|33,2
|16,0
|28,4
|6,5
|18,2
|5,1
|}
Ostatními vstupními variabilními parametry modelu jsou:

{| class="wikitable"
!Parametr
!Hodnota
|-
|Fixní měsíční náklady
|40.000 Kč
|-
|Cena za likvidaci
|9,20 Kč/litr
|-
|Ks v balení
|10
|-
|Cena za dopravu
|1.500 Kč
|-
|Sleva
|15 %
|}

Co se expirace (stáří v době naskladnění) jednotlivých inkoustů týká, jedná se o Poissonovo rozdělení se střední hodnotou 2,49 měsíce (nejčastěji se příjímá na sklad inkoust 2 či 3 měsíce starý). Rozdělení pro jednotlivé barvy inkoustů znázorňuje graf níže.

Vzhledem k tomu, že Microsoft Excel neposkytuje žádnou inverzní funkci pro Poissonovo rozdělení, jsou náhodná stáří inkoustů generována pomocí tabulky vytvořené na základě interních dat o expiracích inkoustů. Tato tabulka obsahuje kumulativní pravděpodobnosti stáří jednotlivých inkoustů. Místo neexistující funkce POISSON.INV() je tedy zde použita funkce POZVYHLEDAT(NÁHČÍSLO();sloupec tabulky dané barvy;1)+1. Jednička je na konci přičtena z důvodu, že je potřeba převést index řádku (který funkce POZVYHLEDAT() vrací) na stáří inkoustu, které začíná na 2 měsících (tj. první řádek tabulky představuje pravděpodobnost stáří 2 měsíce, druhý řádek stáří 3 měsíce atd.).
<div style="max-width: 860px">
[[File:cmyk_expirace.png|thumb|500px|left||Graf hustoty pravděpodobnosti stáří inkoustů v době naskladnění]]
[[File:poisson_inv.png|thumb|300px|right||Kumulativní pravděpodobnost stáří inkoustů]]
</div>
 



==Výstupy modelu==
Výstupy tohoto modelu jsou spodní a horní limity jednotlivých barev inkoustů. Na základě průměrné měsíční poptávky po inkoustech jsou zvoleny následující rozsahy spodních a horních limitů, které budou testovány:
{| class="wikitable"
!Kód inkoustu
!Průměrná měsíční poptávka
!Rozsah spodního limitu
!Rozsah horního limitu
|-
|SUV-10CY
|16,7 ks
|10 - 60 ks
|60 - 110 ks
|-
|SUV-10MG
|33,1 ks
|60 - 110 ks
|120 - 170 ks
|-
|SUV-10YE
|34,2 ks
|60 - 110 ks
|120 - 170 ks
|-
|SUV-10BK
|19,6 ks
|10 - 60 ks
|60 - 110 ks
|}

U spodního i horního limitu je vždy testováno 6 hodnot (s krokem 10), z čehož vyplývá, že u každé barvy inkoustu je dohromady testováno 36 kombinací spodního a horního limitu.

=Výsledky=
Vzhledem k tomu, že poptávky po jednotlivých barvách inkoustu jsou na sobě nezávislé, a tedy i limity se určují u každé barvy zvlášť, byla provedena simulace každé barvy odděleně. Všechny čtyři simulace simulují skladové hospodářství a s tím související příjmy a výdaje v následujících třech letech (2022-2024). Každá simulace zahrnovala 10.000 iterací, aby výsledek byl co nejpřesnější. Jako veličina určující optimální nastavení dané kombinace spodního a horního limitu (testované kombinace limitů jsou uvedené v kapitole [[#vystupy_modelu|Výstupy modelu]]) byl zvolen kumulativní čistý zisk za celé simulované období.

Na základě zprůměrování dílčích výsledků jednotlivých iterací byly vytvořeny tabulky nejpravděpodobnějších zisků za 3 roky pro dané kombinace limitů (viz níže). Nejvyšší zisky jsou znázorněny zeleně, nejnižší červeně.

[[File:limity_cy.png|500px|thumb|right||Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Cyan]]
===Limity inkoustu Cyan===
Bylo zjištěno, že pro inkoust barvy Cyan je nejoptimálnější spodní limit 40 ks a horní limit 70 ks. Při těchto limitech by čistý zisk za 3 roky dosahoval s 90% pravděpodobností 92.207,6 Kč až 207.144,2 Kč. Průměrný čistý zisk za 3 roky by byl 154.189,2 Kč.
 

[[File:limity_mg.png|500px|thumb|right||Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Magenta]]
===Limity inkoustu Magenta===
Co se inkoustu barvy Magenta týká, bylo zjištěno, že nejoptimálnější spodní limit je 80 ks a nejoptimálnější horní limit 160 ks. Při těchto limitech by čistý zisk za 3 roky dosahoval s 90% pravděpodobností 561.106,3 Kč až 787.074,4 Kč. Průměrný čistý zisk za 3 roky by byl 680.111,1 Kč.
 

[[File:limity_ye.png|500px|thumb|right||Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Yellow]]
===Limity inkoustu Yellow===
U inkoustu barvy Yellow bylo zjištěno, že nejoptimálnější spodní limit je 80 ks a nejoptimálnější horní limit 140 ks. Při těchto limitech by čistý zisk za 3 roky dosahoval s 90% pravděpodobností 584.201,8 Kč až 784.254,9 Kč. Průměrný čistý zisk za 3 roky by byl 689.745,2 Kč.
 

[[File:limity_bk.png|500px|thumb|right||Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Black]]
===Limity inkoustu Black===
Posledním simulovaným inkoustem byl inkoust barvy Black. U tohoto inkoustu bylo zjištěno, že nejoptimálnější spodní limit je 40 ks a nejoptimálnější horní limit 80 ks. Při těchto limitech by čistý zisk za 3 roky dosahoval s 90% pravděpodobností 177.647,2 Kč až 319.692 Kč. Průměrný čistý zisk za 3 roky by byl 255.024,2 Kč.
 

==Zhodnocení==
Jak lze vidět, optimální limity u inkoustů barev Magenta a Yellow jsou přibližně dvojnásobné v porovnání s optimálními limity u inkoustů barev Cyan a Black. Je to způsobeno tím, že poptávka po inkoustech barev Magenta a Yellow je téměř dvojnásobná (jak lze vidět v tabulce prodejů v kapitole [[#vstupni_par|Vstupní parametry]]). Při tisku barevných motivů se totiž nejvíce barev spektra míchá právě z těchto dvou základních barev, a tak zákazníkům nejčastěji dochází.

Také si lze všimnout, že optimální spodní limity vychází přibližně 2,5 krát vyšší než je průměrná měsíční poptávka. Tím vzniká snaha zabránit situaci, kdy by na skladě bylo méně zásob, než na dva měsíce dopředu. Mít zásoby pouze na měsíc dopředu je velmi málo, jelikož poptávka může mít výkyvy a snadno by se tak mohlo stát, že by měsíční zásoby ve výši průměrné měsíční poptávky neuspokojily měsíční poptávku. Naopak vyšší spodní limity by způsobily to, že by se zboží nakupovalo v moment, kdy je na skladě ještě dostatek zásob. Naskladněným inkoustům by tak zbytečně ubíhala lhůta trvanlivosti, inkousty by se nestíhaly prodat a zbytečně by se likvidovaly.

Co se horních limitů týká, tak ty představují téměř pětinásobek průměrné měsíční poptávky. Tím je docíleno toho, že se zásoby doplní přesně do takové výše, aby při průměrné měsíční poptávce a průměrném stáří naskladněných inkoustů ve výši 2 měsíců bylo zboží prodáno během oněch 5 měsíců, kdy se ještě inkousty dají prodat za plnou prodejní cenu. Vyšší horní limity by mohly způsobit to, že by se takové množství inkoustů nestihlo prodat a muselo by být zlikvidováno. Nižší horní limity by naopak mohly způsobit příliš časté objednávání zboží a častější placení vysoké ceny za dopravu zboží ze zahraničí.

=Závěr=
Cílem simulace bylo nalézt optimální limity skladových zásob tak, aby firma zbytečně nenaskladňovala velké množství inkoustů, které se nakonec neprodají, a aby byla zároveň uspokojena poptávka. Cíl se podařilo naplnit - byly zjištěny optimální limity všech čtyř barev inkoustů a pravděpodobný zisk při nastavení těchto limitů.

V porovnání s aktuálně nastavenými limity skladových zásob společnosti B jsou zjištěné optimální limity mírně vyšší. Navíc také firma nerozlišuje jednotlivé barvy inkoustů a má nastavené všechny limity stejné, a to 30 ks (spodní limit) a 90 ks (horní limit). Při nastavení těchto hodnot do vytvořeného modelu vychází, že v současnosti má firma v průměru o 10 % (Cyan, Black), resp. o 30 % (Magenta, Yellow) nižší zisky, než by mohla mít při nastavení optimálních limitů zjištěných na základě této simulace. Tento pokles zisku je způsoben tím, že firma občas nemá dostatek inkoustů na skladě, aby dokázala plně uspokojit měsíční poptávku. Přichází tak zbytečně o prodeje.

Kvůli určitému zjednodušení modelu jsou procenta snížení zisků trochu zkreslená (minimálně oněch 30 % určitě). Ve skutečnosti objednané inkousty přijdou na firmu do 2-3 týdnů, ne až za celý měsíc. To zajišťuje dřívější dostupnost inkoustů, a tudíž i lepší uspokojení poptávky. Za těchto okolností mohou být limity nižší, jelikož se na inkousty nečeká tak dlouho. Nicméně i tak firmě doporučuji navýšit spodní a horní limity minimálně u barev Magenta a Yellow, které mají vyšší poptávku, a mělo by se jich na skladu držet větší množství.

=Kód=
Zdrojové soubory simulace:
* [[Media:sim_ink.xlsx|sim_ink.xlsx]] (hlavní simulace)
* [[Media:sim_ink_output.xlsx|sim_ink_output.xlsx]] (výstupní vygenerované hodnoty)

=Reference=
<references/>

File:Sim ink output.xlsx

2021-06-09T12:43:32Z

Klei00:

File:Sim ink.xlsx

2021-06-09T12:42:44Z

Klei00:

Optimalizace skladových zásob inkoustů

2021-06-09T12:29:04Z

Klei00: /* Závěr */

'''Název:''' Optimalizace skladových zásob inkoustů 
'''Autor:''' Bc. Iveta Kleníková, [[User:Klei00|Klei00]] ([[User talk:Klei00|talk]]) 
'''Nástroj:''' Microsoft Excel 365 
'''Metoda:''' Monte Carlo 

=Definice problému=
[[File:cmyk_ink.jpg|thumb|300px|right||Ilustrační obrázek inkoustových lahví CMYK<ref name="shutterestock">Cigdem. Inkjet printer refillable ink CMYK bottles [3D ilustrace]. Dostupné z: https://www.shutterstock.com/cs/image-illustration/inkjet-printer-refillable-ink-cmyk-bottles-1561397773</ref>]]
Společnost B je českým dodavatelem ekosolventních inkoustů a dalšího spotřebního materiálu do velkoformátových tiskáren. Tyto produkty firma každý měsíc naskladňuje, aby dokázala rychle reagovat na poptávku zákazníků, a ti nemuseli čekat, než zboží dorazí ze zahraničí, kde se vyrábí. Každý měsíc je tedy třeba kontrolovat stav skladových zásob inkoustů a v případě nízkého stavu inkousty ze zahraničí objednat. Systém skladového hospodářtsví umožňuje ke každému produktu nastavit spodní a horní limit zásob. V případě, že je na začátku měsíce stav nižší než spodní limit, objedná se právě tolik kusů daného produktu, aby se dosáhlo horního limitu. 

Inkousty se prodávají v jednolitrových lahvích ve čtyřech barvách (CMYK). Každý inkoust má z výroby roční expiraci. Ovšem na sklad se inkousty dostávají ve valné většině případů už pár měsíců staré. Ideální je prodat inkoust maximálně 6 měsíců starý, jelikož starší inkousty už zákazníci nechtějí kupovat z důvodu, že by je nestihli do data expirace vypotřebovat. Inkousty staré 7 měsíců se ještě dají prodat, ovšem pouze s určitou slevou. Starší inkousty se již neprodají a je potřeba je za určitý poplatek ekologicky zlikvidovat. Inkousty se ze skladu prodávají metodou FIFO (časovou jednotkou je měsíc). 

Cílem simulace je nalézt optimální limity skladových zásob tak, aby firma zbytečně nenaskladňovala velké množství inkoustů, které se nakonec neprodají a budou muset být zlikvidovány. Zároveň je vhodné, aby poptávka byla ideálně plně uspokojena. Jako podklad simulace budou použita reálná interní data o prodejích, nákupních cenách a expiracích naskladněných inkoustů dané společnosti. 

=Metoda=
Jelikož cílem této simulace je provést kalkulaci skladových limitů na základě pravděpodobné poptávky po inkoustech (dle historických dat), je zde použita metoda Monte Carlo. Tato metoda je vhodná pro výpočet nejvíce pravděpodobných náhodných hodnot dané veličiny za pomocí generování velkého počtu pseudonáhodných čísel. Metoda je prováděna v nástroji Microsoft Excel 365.

=Popis modelu=
Tento model představuje skladové hospodářství UV inkoustů společnosti B, která je českým dodavatelem spotřebního materiálu pro signmaking. Model řeší pouze čtyři produkty, kterými jsou základní barvy UV inkoustů CMYK (Cyan, Magenta, Yellow a Black).

Na začátku každého měsíce se kontroluje, zda aktuální stav zásob daného inkoustu neklesl pod spodní limit. Pokud ano, objedná se právě tolik balení inkoustů (po 10 ks), aby zásoby dosáhly horního limitu. Za jednu objednávku jedné barvy inkoustů se platí jednorázová doprava ve výši 1.500 Kč. Zboží obvykle dorazí do třech týdnů od jeho objednání, proto se v tomto modelu pro zjednodušení počítá s dostupností objednaných inkoustů až v následujícím měsíci. V době naskladnění inkoustů bývá jejich stáří 2-3 měsíce, přičemž inkousty staré do 6 měsíců včetně lze ještě prodat za jejich plnou prodejní cenu. Inkousty staré 7 měsíců lze prodat pouze se slevou 15 %, jelikož tyto inkousty už zákazníci většinou nestíhají do konce jejich expirace celé spotřebovat. Starší inkousty už nejsou prodejné (z již zmíněného důvodu blížící se expirace a rizika jejich sražení) a je třeba je ekologicky zlikvidovat za poplatek 9,20 Kč za litr. Inkousty jsou ze skladu prodávány metodou FIFO (časovou jednotkou je měsíc). Dále jsou v modelu započítány měsíční fixní náklady ve výši 40.000 Kč (mzda skladníka, nájem prostor, energie), které jsou rovnoměrně rozděleny mezi jednotlivé inkousty (každé barvě inkoustu tedy náleží fixní náklady ve výši 10.000 Kč).

Výstupem modelu jsou spodní a horní limity jednotlivých inkoustů, které jsou kalkulovány na základě zadaných vstupních parametrů a určených pravidel modelu.


==Vstupní parametry==
Model řeší následující čtyři UV inkousty, u kterých jsou dané nákupní a prodejní ceny (dle interních dat společnosti):
{| class="wikitable"
!Kód inkoustu
!Objem
!Barva
!Nákupní cena
!Prodejní cena
|-
|SUV-10CY
|1 litr
|Cyan
|756,50 Kč
|1644,00 Kč
|-
|SUV-10MG
|1 litr
|Magenta
|756,00 Kč
|1619,00 Kč
|-
|SUV-10YE
|1 litr
|Yellow
|756,50 Kč
|1614,00 Kč
|-
|SUV-10BK
|1 litr
|Black
|754,50 Kč
|1659,00 Kč
|}

Ná základě interních dat o prodejích těchto inkoustů v minulých 5 letech bylo určeno pravděpodobnostní rozdělení poptávky po inkoustech v jednotlivých měsících. Poptávky mají normální rozdělení a následující střední hodnoty a směrodatné odchylky:
{| class="wikitable"
!rowspan="2"|Měsíc
!colspan="2"|SUV-10CY
!colspan="2"|SUV-10MG
!colspan="2"|SUV-10YE
!colspan="2"|SUV-10BK
|-
!Průměr
!Sm.odchylka
!Průměr
!Sm.odchylka
!Průměr
!Sm.odchylka
!Průměr
!Sm.odchylka
|-
|1
|13,6
|7,6
|27,6
|11,2
|27,4
|12,3
|17,8
|9,2
|-
|2
|12,6
|0,8
|30,2
|4,1
|32,8
|5,2
|15,6
|3,1
|-
|3
|18,6
|7,9
|39,2
|14,4
|33,4
|14,2
|21,4
|9,1
|-
|4
|16,0
|9,5
|34,8
|18,1
|37,0
|17,5
|17,4
|10,1
|-
|5
|16,4
|1,6
|32,6
|5,6
|36,8
|9,7
|16,8
|6,2
|-
|6
|13,0
|4,9
|29,8
|9,1
|28,2
|8,6
|18,0
|6,7
|-
|7
|18,6
|4,5
|29,2
|5,2
|30,4
|2,4
|22,8
|4,6
|-
|8
|21,6
|2,7
|37,6
|6,2
|42,4
|4,8
|25,8
|2,1
|-
|9
|18,2
|5,9
|32,8
|12,2
|33,6
|15,7
|19,8
|9,6
|-
|10
|21,2
|6,0
|35,6
|4,5
|39,2
|6,9
|22,0
|6,2
|-
|11
|15,0
|3,9
|34,2
|5,6
|40,4
|11,7
|19,2
|5,0
|-
|12
|15,2
|2,8
|33,2
|16,0
|28,4
|6,5
|18,2
|5,1
|}
Ostatními vstupními variabilními parametry modelu jsou:

{| class="wikitable"
!Parametr
!Hodnota
|-
|Fixní měsíční náklady
|40.000 Kč
|-
|Cena za likvidaci
|9,20 Kč/litr
|-
|Ks v balení
|10
|-
|Cena za dopravu
|1.500 Kč
|-
|Sleva
|15 %
|}

Co se expirace (stáří v době naskladnění) jednotlivých inkoustů týká, jedná se o Poissonovo rozdělení se střední hodnotou 2,49 měsíce (nejčastěji se příjímá na sklad inkoust 2 či 3 měsíce starý). Rozdělení pro jednotlivé barvy inkoustů znázorňuje graf níže.

Vzhledem k tomu, že Microsoft Excel neposkytuje žádnou inverzní funkci pro Poissonovo rozdělení, jsou náhodná stáří inkoustů generována pomocí tabulky vytvořené na základě interních dat o expiracích inkoustů. Tato tabulka obsahuje kumulativní pravděpodobnosti stáří jednotlivých inkoustů. Místo neexistující funkce POISSON.INV() je tedy zde použita funkce POZVYHLEDAT(NÁHČÍSLO();sloupec tabulky dané barvy;1)+1. Jednička je na konci přičtena z důvodu, že je potřeba převést index řádku (který funkce POZVYHLEDAT() vrací) na stáří inkoustu, které začíná na 2 měsících (tj. první řádek tabulky představuje pravděpodobnost stáří 2 měsíce, druhý řádek stáří 3 měsíce atd.).
<div style="max-width: 860px">
[[File:cmyk_expirace.png|thumb|500px|left||Graf hustoty pravděpodobnosti stáří inkoustů v době naskladnění]]
[[File:poisson_inv.png|thumb|300px|right||Kumulativní pravděpodobnost stáří inkoustů]]
</div>
 



==Výstupy modelu==
Výstupy tohoto modelu jsou spodní a horní limity jednotlivých barev inkoustů. Na základě průměrné měsíční poptávky po inkoustech jsou zvoleny následující rozsahy spodních a horních limitů, které budou testovány:
{| class="wikitable"
!Kód inkoustu
!Průměrná měsíční poptávka
!Rozsah spodního limitu
!Rozsah horního limitu
|-
|SUV-10CY
|16,7 ks
|10 - 60 ks
|60 - 110 ks
|-
|SUV-10MG
|33,1 ks
|60 - 110 ks
|120 - 170 ks
|-
|SUV-10YE
|34,2 ks
|60 - 110 ks
|120 - 170 ks
|-
|SUV-10BK
|19,6 ks
|10 - 60 ks
|60 - 110 ks
|}

U spodního i horního limitu je vždy testováno 6 hodnot (s krokem 10), z čehož vyplývá, že u každé barvy inkoustu je dohromady testováno 36 kombinací spodního a horního limitu.

=Výsledky=
Vzhledem k tomu, že poptávky po jednotlivých barvách inkoustu jsou na sobě nezávislé, a tedy i limity se určují u každé barvy zvlášť, byla provedena simulace každé barvy odděleně. Všechny čtyři simulace simulují skladové hospodářství a s tím související příjmy a výdaje v následujících třech letech (2022-2024). Každá simulace zahrnovala 10.000 iterací, aby výsledek byl co nejpřesnější. Jako veličina určující optimální nastavení dané kombinace spodního a horního limitu (testované kombinace limitů jsou uvedené v kapitole [[#vystupy_modelu|Výstupy modelu]]) byl zvolen kumulativní čistý zisk za celé simulované období.

Na základě zprůměrování dílčích výsledků jednotlivých iterací byly vytvořeny tabulky nejpravděpodobnějších zisků za 3 roky pro dané kombinace limitů (viz níže). Nejvyšší zisky jsou znázorněny zeleně, nejnižší červeně.

[[File:limity_cy.png|500px|thumb|right||Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Cyan]]
===Limity inkoustu Cyan===
Bylo zjištěno, že pro inkoust barvy Cyan je nejoptimálnější spodní limit 40 ks a horní limit 70 ks. Při těchto limitech by čistý zisk za 3 roky dosahoval s 90% pravděpodobností 92.207,6 Kč až 207.144,2 Kč. Průměrný čistý zisk za 3 roky by byl 154.189,2 Kč.
 

[[File:limity_mg.png|500px|thumb|right||Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Magenta]]
===Limity inkoustu Magenta===
Co se inkoustu barvy Magenta týká, bylo zjištěno, že nejoptimálnější spodní limit je 80 ks a nejoptimálnější horní limit 160 ks. Při těchto limitech by čistý zisk za 3 roky dosahoval s 90% pravděpodobností 561.106,3 Kč až 787.074,4 Kč. Průměrný čistý zisk za 3 roky by byl 680.111,1 Kč.
 

[[File:limity_ye.png|500px|thumb|right||Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Yellow]]
===Limity inkoustu Yellow===
U inkoustu barvy Yellow bylo zjištěno, že nejoptimálnější spodní limit je 80 ks a nejoptimálnější horní limit 140 ks. Při těchto limitech by čistý zisk za 3 roky dosahoval s 90% pravděpodobností 584.201,8 Kč až 784.254,9 Kč. Průměrný čistý zisk za 3 roky by byl 689.745,2 Kč.
 

[[File:limity_bk.png|500px|thumb|right||Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Black]]
===Limity inkoustu Black===
Posledním simulovaným inkoustem byl inkoust barvy Black. U tohoto inkoustu bylo zjištěno, že nejoptimálnější spodní limit je 40 ks a nejoptimálnější horní limit 80 ks. Při těchto limitech by čistý zisk za 3 roky dosahoval s 90% pravděpodobností 177.647,2 Kč až 319.692 Kč. Průměrný čistý zisk za 3 roky by byl 255.024,2 Kč.
 

==Zhodnocení==
Jak lze vidět, optimální limity u inkoustů barev Magenta a Yellow jsou přibližně dvojnásobné v porovnání s optimálními limity u inkoustů barev Cyan a Black. Je to způsobeno tím, že poptávka po inkoustech barev Magenta a Yellow je téměř dvojnásobná (jak lze vidět v tabulce prodejů v kapitole [[#vstupni_par|Vstupní parametry]]). Při tisku barevných motivů se totiž nejvíce barev spektra míchá právě z těchto dvou základních barev, a tak zákazníkům nejčastěji dochází.

Také si lze všimnout, že optimální spodní limity vychází přibližně 2,5 krát vyšší než je průměrná měsíční poptávka. Tím vzniká snaha zabránit situaci, kdy by na skladě bylo méně zásob, než na dva měsíce dopředu. Mít zásoby pouze na měsíc dopředu je velmi málo, jelikož poptávka může mít výkyvy a snadno by se tak mohlo stát, že by měsíční zásoby ve výši průměrné měsíční poptávky neuspokojily měsíční poptávku. Naopak vyšší spodní limity by způsobily to, že by se zboží nakupovalo v moment, kdy je na skladě ještě dostatek zásob. Naskladněným inkoustům by tak zbytečně ubíhala lhůta trvanlivosti, inkousty by se nestíhaly prodat a zbytečně by se likvidovaly.

Co se horních limitů týká, tak ty představují téměř pětinásobek průměrné měsíční poptávky. Tím je docíleno toho, že se zásoby doplní přesně do takové výše, aby při průměrné měsíční poptávce a průměrném stáří naskladněných inkoustů ve výši 2 měsíců bylo zboží prodáno během oněch 5 měsíců, kdy se ještě inkousty dají prodat za plnou prodejní cenu. Vyšší horní limity by mohly způsobit to, že by se takové množství inkoustů nestihlo prodat a muselo by být zlikvidováno. Nižší horní limity by naopak mohly způsobit příliš časté objednávání zboží a častější placení vysoké ceny za dopravu zboží ze zahraničí.

=Závěr=
Cílem simulace bylo nalézt optimální limity skladových zásob tak, aby firma zbytečně nenaskladňovala velké množství inkoustů, které se nakonec neprodají, a aby byla zároveň uspokojena poptávka. Cíl se podařilo naplnit - byly zjištěny optimální limity všech čtyř barev inkoustů a pravděpodobný zisk při nastavení těchto limitů.

V porovnání s aktuálně nastavenými limity skladových zásob společnosti B jsou zjištěné optimální limity mírně vyšší. Navíc také firma nerozlišuje jednotlivé barvy inkoustů a má nastavené všechny limity stejné, a to 30 ks (spodní limit) a 90 ks (horní limit). Při nastavení těchto hodnot do vytvořeného modelu vychází, že v současnosti má firma v průměru o 10 % (Cyan, Black), resp. o 30 % (Magenta, Yellow) nižší zisky, než by mohla mít při nastavení optimálních limitů zjištěných na základě této simulace. Tento pokles zisku je způsoben tím, že firma občas nemá dostatek inkoustů na skladě, aby dokázala plně uspokojit měsíční poptávku. Přichází tak zbytečně o prodeje.

Kvůli určitému zjednodušení modelu jsou procenta snížení zisků trochu zkreslená (minimálně oněch 30 % určitě). Ve skutečnosti objednané inkousty přijdou na firmu do 2-3 týdnů, ne až za celý měsíc. To zajišťuje dřívější dostupnost inkoustů, a tudíž i lepší uspokojení poptávky. Za těchto okolností mohou být limity nižší, jelikož se na inkousty nečeká tak dlouho. Nicméně i tak firmě doporučuji navýšit spodní a horní limity minimálně u barev Magenta a Yellow, které mají vyšší poptávku, a mělo by se jich na skladu držet větší množství.

=Kód=
Zdrojové soubory simulace:
* [[File:sim_ink.xlsx||sim_ink.xlsx]] (hlavní simulace)
* [[File:sim_ink_output.xlsx||sim_ink_output.xlsx]] (výstupní vygenerované hodnoty)

=Reference=
<references/>

Optimalizace skladových zásob inkoustů

2021-06-09T10:28:28Z

Klei00: /* Vstupní parametry */

'''Název:''' Optimalizace skladových zásob inkoustů 
'''Autor:''' Bc. Iveta Kleníková, [[User:Klei00|Klei00]] ([[User talk:Klei00|talk]]) 
'''Nástroj:''' Microsoft Excel 365 
'''Metoda:''' Monte Carlo 

=Definice problému=
[[File:cmyk_ink.jpg|thumb|300px|right||Ilustrační obrázek inkoustových lahví CMYK<ref name="shutterestock">Cigdem. Inkjet printer refillable ink CMYK bottles [3D ilustrace]. Dostupné z: https://www.shutterstock.com/cs/image-illustration/inkjet-printer-refillable-ink-cmyk-bottles-1561397773</ref>]]
Společnost B je českým dodavatelem ekosolventních inkoustů a dalšího spotřebního materiálu do velkoformátových tiskáren. Tyto produkty firma každý měsíc naskladňuje, aby dokázala rychle reagovat na poptávku zákazníků, a ti nemuseli čekat, než zboží dorazí ze zahraničí, kde se vyrábí. Každý měsíc je tedy třeba kontrolovat stav skladových zásob inkoustů a v případě nízkého stavu inkousty ze zahraničí objednat. Systém skladového hospodářtsví umožňuje ke každému produktu nastavit spodní a horní limit zásob. V případě, že je na začátku měsíce stav nižší než spodní limit, objedná se právě tolik kusů daného produktu, aby se dosáhlo horního limitu. 

Inkousty se prodávají v jednolitrových lahvích ve čtyřech barvách (CMYK). Každý inkoust má z výroby roční expiraci. Ovšem na sklad se inkousty dostávají ve valné většině případů už pár měsíců staré. Ideální je prodat inkoust maximálně 6 měsíců starý, jelikož starší inkousty už zákazníci nechtějí kupovat z důvodu, že by je nestihli do data expirace vypotřebovat. Inkousty staré 7 měsíců se ještě dají prodat, ovšem pouze s určitou slevou. Starší inkousty se již neprodají a je potřeba je za určitý poplatek ekologicky zlikvidovat. Inkousty se ze skladu prodávají metodou FIFO (časovou jednotkou je měsíc). 

Cílem simulace je nalézt optimální limity skladových zásob tak, aby firma zbytečně nenaskladňovala velké množství inkoustů, které se nakonec neprodají a budou muset být zlikvidovány. Zároveň je vhodné, aby poptávka byla ideálně plně uspokojena. Jako podklad simulace budou použita reálná interní data o prodejích, nákupních cenách a expiracích naskladněných inkoustů dané společnosti. 

=Metoda=
Jelikož cílem této simulace je provést kalkulaci skladových limitů na základě pravděpodobné poptávky po inkoustech (dle historických dat), je zde použita metoda Monte Carlo. Tato metoda je vhodná pro výpočet nejvíce pravděpodobných náhodných hodnot dané veličiny za pomocí generování velkého počtu pseudonáhodných čísel. Metoda je prováděna v nástroji Microsoft Excel 365.

=Popis modelu=
Tento model představuje skladové hospodářství UV inkoustů společnosti B, která je českým dodavatelem spotřebního materiálu pro signmaking. Model řeší pouze čtyři produkty, kterými jsou základní barvy UV inkoustů CMYK (Cyan, Magenta, Yellow a Black).

Na začátku každého měsíce se kontroluje, zda aktuální stav zásob daného inkoustu neklesl pod spodní limit. Pokud ano, objedná se právě tolik balení inkoustů (po 10 ks), aby zásoby dosáhly horního limitu. Za jednu objednávku jedné barvy inkoustů se platí jednorázová doprava ve výši 1.500 Kč. Zboží obvykle dorazí do třech týdnů od jeho objednání, proto se v tomto modelu pro zjednodušení počítá s dostupností objednaných inkoustů až v následujícím měsíci. V době naskladnění inkoustů bývá jejich stáří 2-3 měsíce, přičemž inkousty staré do 6 měsíců včetně lze ještě prodat za jejich plnou prodejní cenu. Inkousty staré 7 měsíců lze prodat pouze se slevou 15 %, jelikož tyto inkousty už zákazníci většinou nestíhají do konce jejich expirace celé spotřebovat. Starší inkousty už nejsou prodejné (z již zmíněného důvodu blížící se expirace a rizika jejich sražení) a je třeba je ekologicky zlikvidovat za poplatek 9,20 Kč za litr. Inkousty jsou ze skladu prodávány metodou FIFO (časovou jednotkou je měsíc). Dále jsou v modelu započítány měsíční fixní náklady ve výši 40.000 Kč (mzda skladníka, nájem prostor, energie), které jsou rovnoměrně rozděleny mezi jednotlivé inkousty (každé barvě inkoustu tedy náleží fixní náklady ve výši 10.000 Kč).

Výstupem modelu jsou spodní a horní limity jednotlivých inkoustů, které jsou kalkulovány na základě zadaných vstupních parametrů a určených pravidel modelu.


==Vstupní parametry==
Model řeší následující čtyři UV inkousty, u kterých jsou dané nákupní a prodejní ceny (dle interních dat společnosti):
{| class="wikitable"
!Kód inkoustu
!Objem
!Barva
!Nákupní cena
!Prodejní cena
|-
|SUV-10CY
|1 litr
|Cyan
|756,50 Kč
|1644,00 Kč
|-
|SUV-10MG
|1 litr
|Magenta
|756,00 Kč
|1619,00 Kč
|-
|SUV-10YE
|1 litr
|Yellow
|756,50 Kč
|1614,00 Kč
|-
|SUV-10BK
|1 litr
|Black
|754,50 Kč
|1659,00 Kč
|}

Ná základě interních dat o prodejích těchto inkoustů v minulých 5 letech bylo určeno pravděpodobnostní rozdělení poptávky po inkoustech v jednotlivých měsících. Poptávky mají normální rozdělení a následující střední hodnoty a směrodatné odchylky:
{| class="wikitable"
!rowspan="2"|Měsíc
!colspan="2"|SUV-10CY
!colspan="2"|SUV-10MG
!colspan="2"|SUV-10YE
!colspan="2"|SUV-10BK
|-
!Průměr
!Sm.odchylka
!Průměr
!Sm.odchylka
!Průměr
!Sm.odchylka
!Průměr
!Sm.odchylka
|-
|1
|13,6
|7,6
|27,6
|11,2
|27,4
|12,3
|17,8
|9,2
|-
|2
|12,6
|0,8
|30,2
|4,1
|32,8
|5,2
|15,6
|3,1
|-
|3
|18,6
|7,9
|39,2
|14,4
|33,4
|14,2
|21,4
|9,1
|-
|4
|16,0
|9,5
|34,8
|18,1
|37,0
|17,5
|17,4
|10,1
|-
|5
|16,4
|1,6
|32,6
|5,6
|36,8
|9,7
|16,8
|6,2
|-
|6
|13,0
|4,9
|29,8
|9,1
|28,2
|8,6
|18,0
|6,7
|-
|7
|18,6
|4,5
|29,2
|5,2
|30,4
|2,4
|22,8
|4,6
|-
|8
|21,6
|2,7
|37,6
|6,2
|42,4
|4,8
|25,8
|2,1
|-
|9
|18,2
|5,9
|32,8
|12,2
|33,6
|15,7
|19,8
|9,6
|-
|10
|21,2
|6,0
|35,6
|4,5
|39,2
|6,9
|22,0
|6,2
|-
|11
|15,0
|3,9
|34,2
|5,6
|40,4
|11,7
|19,2
|5,0
|-
|12
|15,2
|2,8
|33,2
|16,0
|28,4
|6,5
|18,2
|5,1
|}
Ostatními vstupními variabilními parametry modelu jsou:

{| class="wikitable"
!Parametr
!Hodnota
|-
|Fixní měsíční náklady
|40.000 Kč
|-
|Cena za likvidaci
|9,20 Kč/litr
|-
|Ks v balení
|10
|-
|Cena za dopravu
|1.500 Kč
|-
|Sleva
|15 %
|}

Co se expirace (stáří v době naskladnění) jednotlivých inkoustů týká, jedná se o Poissonovo rozdělení se střední hodnotou 2,49 měsíce (nejčastěji se příjímá na sklad inkoust 2 či 3 měsíce starý). Rozdělení pro jednotlivé barvy inkoustů znázorňuje graf níže.

Vzhledem k tomu, že Microsoft Excel neposkytuje žádnou inverzní funkci pro Poissonovo rozdělení, jsou náhodná stáří inkoustů generována pomocí tabulky vytvořené na základě interních dat o expiracích inkoustů. Tato tabulka obsahuje kumulativní pravděpodobnosti stáří jednotlivých inkoustů. Místo neexistující funkce POISSON.INV() je tedy zde použita funkce POZVYHLEDAT(NÁHČÍSLO();sloupec tabulky dané barvy;1)+1. Jednička je na konci přičtena z důvodu, že je potřeba převést index řádku (který funkce POZVYHLEDAT() vrací) na stáří inkoustu, které začíná na 2 měsících (tj. první řádek tabulky představuje pravděpodobnost stáří 2 měsíce, druhý řádek stáří 3 měsíce atd.).
<div style="max-width: 860px">
[[File:cmyk_expirace.png|thumb|500px|left||Graf hustoty pravděpodobnosti stáří inkoustů v době naskladnění]]
[[File:poisson_inv.png|thumb|300px|right||Kumulativní pravděpodobnost stáří inkoustů]]
</div>
 



==Výstupy modelu==
Výstupy tohoto modelu jsou spodní a horní limity jednotlivých barev inkoustů. Na základě průměrné měsíční poptávky po inkoustech jsou zvoleny následující rozsahy spodních a horních limitů, které budou testovány:
{| class="wikitable"
!Kód inkoustu
!Průměrná měsíční poptávka
!Rozsah spodního limitu
!Rozsah horního limitu
|-
|SUV-10CY
|16,7 ks
|10 - 60 ks
|60 - 110 ks
|-
|SUV-10MG
|33,1 ks
|60 - 110 ks
|120 - 170 ks
|-
|SUV-10YE
|34,2 ks
|60 - 110 ks
|120 - 170 ks
|-
|SUV-10BK
|19,6 ks
|10 - 60 ks
|60 - 110 ks
|}

U spodního i horního limitu je vždy testováno 6 hodnot (s krokem 10), z čehož vyplývá, že u každé barvy inkoustu je dohromady testováno 36 kombinací spodního a horního limitu.

=Výsledky=
Vzhledem k tomu, že poptávky po jednotlivých barvách inkoustu jsou na sobě nezávislé, a tedy i limity se určují u každé barvy zvlášť, byla provedena simulace každé barvy odděleně. Všechny čtyři simulace simulují skladové hospodářství a s tím související příjmy a výdaje v následujících třech letech (2022-2024). Každá simulace zahrnovala 10.000 iterací, aby výsledek byl co nejpřesnější. Jako veličina určující optimální nastavení dané kombinace spodního a horního limitu (testované kombinace limitů jsou uvedené v kapitole [[#vystupy_modelu|Výstupy modelu]]) byl zvolen kumulativní čistý zisk za celé simulované období.

Na základě zprůměrování dílčích výsledků jednotlivých iterací byly vytvořeny tabulky nejpravděpodobnějších zisků za 3 roky pro dané kombinace limitů (viz níže). Nejvyšší zisky jsou znázorněny zeleně, nejnižší červeně.

[[File:limity_cy.png|500px|thumb|right||Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Cyan]]
===Limity inkoustu Cyan===
Bylo zjištěno, že pro inkoust barvy Cyan je nejoptimálnější spodní limit 40 ks a horní limit 70 ks. Při těchto limitech by čistý zisk za 3 roky dosahoval s 90% pravděpodobností 92.207,6 Kč až 207.144,2 Kč. Průměrný čistý zisk za 3 roky by byl 154.189,2 Kč.
 

[[File:limity_mg.png|500px|thumb|right||Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Magenta]]
===Limity inkoustu Magenta===
Co se inkoustu barvy Magenta týká, bylo zjištěno, že nejoptimálnější spodní limit je 80 ks a nejoptimálnější horní limit 160 ks. Při těchto limitech by čistý zisk za 3 roky dosahoval s 90% pravděpodobností 561.106,3 Kč až 787.074,4 Kč. Průměrný čistý zisk za 3 roky by byl 680.111,1 Kč.
 

[[File:limity_ye.png|500px|thumb|right||Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Yellow]]
===Limity inkoustu Yellow===
U inkoustu barvy Yellow bylo zjištěno, že nejoptimálnější spodní limit je 80 ks a nejoptimálnější horní limit 140 ks. Při těchto limitech by čistý zisk za 3 roky dosahoval s 90% pravděpodobností 584.201,8 Kč až 784.254,9 Kč. Průměrný čistý zisk za 3 roky by byl 689.745,2 Kč.
 

[[File:limity_bk.png|500px|thumb|right||Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Black]]
===Limity inkoustu Black===
Posledním simulovaným inkoustem byl inkoust barvy Black. U tohoto inkoustu bylo zjištěno, že nejoptimálnější spodní limit je 40 ks a nejoptimálnější horní limit 80 ks. Při těchto limitech by čistý zisk za 3 roky dosahoval s 90% pravděpodobností 177.647,2 Kč až 319.692 Kč. Průměrný čistý zisk za 3 roky by byl 255.024,2 Kč.
 

==Zhodnocení==
Jak lze vidět, optimální limity u inkoustů barev Magenta a Yellow jsou přibližně dvojnásobné v porovnání s optimálními limity u inkoustů barev Cyan a Black. Je to způsobeno tím, že poptávka po inkoustech barev Magenta a Yellow je téměř dvojnásobná (jak lze vidět v tabulce prodejů v kapitole [[#vstupni_par|Vstupní parametry]]). Při tisku barevných motivů se totiž nejvíce barev spektra míchá právě z těchto dvou základních barev, a tak zákazníkům nejčastěji dochází.

Také si lze všimnout, že optimální spodní limity vychází přibližně 2,5 krát vyšší než je průměrná měsíční poptávka. Tím vzniká snaha zabránit situaci, kdy by na skladě bylo méně zásob, než na dva měsíce dopředu. Mít zásoby pouze na měsíc dopředu je velmi málo, jelikož poptávka může mít výkyvy a snadno by se tak mohlo stát, že by měsíční zásoby ve výši průměrné měsíční poptávky neuspokojily měsíční poptávku. Naopak vyšší spodní limity by způsobily to, že by se zboží nakupovalo v moment, kdy je na skladě ještě dostatek zásob. Naskladněným inkoustům by tak zbytečně ubíhala lhůta trvanlivosti, inkousty by se nestíhaly prodat a zbytečně by se likvidovaly.

Co se horních limitů týká, tak ty představují téměř pětinásobek průměrné měsíční poptávky. Tím je docíleno toho, že se zásoby doplní přesně do takové výše, aby při průměrné měsíční poptávce a průměrném stáří naskladněných inkoustů ve výši 2 měsíců bylo zboží prodáno během oněch 5 měsíců, kdy se ještě inkousty dají prodat za plnou prodejní cenu. Vyšší horní limity by mohly způsobit to, že by se takové množství inkoustů nestihlo prodat a muselo by být zlikvidováno. Nižší horní limity by naopak mohly způsobit příliš časté objednávání zboží a častější placení vysoké ceny za dopravu zboží ze zahraničí.

=Závěr=

=Kód=
Zdrojové soubory simulace:
* [[File:sim_ink.xlsx||sim_ink.xlsx]] (hlavní simulace)
* [[File:sim_ink_output.xlsx||sim_ink_output.xlsx]] (výstupní vygenerované hodnoty)

=Reference=
<references/>

Optimalizace skladových zásob inkoustů

2021-06-09T10:27:16Z

Klei00: /* Výsledky */

'''Název:''' Optimalizace skladových zásob inkoustů 
'''Autor:''' Bc. Iveta Kleníková, [[User:Klei00|Klei00]] ([[User talk:Klei00|talk]]) 
'''Nástroj:''' Microsoft Excel 365 
'''Metoda:''' Monte Carlo 

=Definice problému=
[[File:cmyk_ink.jpg|thumb|300px|right||Ilustrační obrázek inkoustových lahví CMYK<ref name="shutterestock">Cigdem. Inkjet printer refillable ink CMYK bottles [3D ilustrace]. Dostupné z: https://www.shutterstock.com/cs/image-illustration/inkjet-printer-refillable-ink-cmyk-bottles-1561397773</ref>]]
Společnost B je českým dodavatelem ekosolventních inkoustů a dalšího spotřebního materiálu do velkoformátových tiskáren. Tyto produkty firma každý měsíc naskladňuje, aby dokázala rychle reagovat na poptávku zákazníků, a ti nemuseli čekat, než zboží dorazí ze zahraničí, kde se vyrábí. Každý měsíc je tedy třeba kontrolovat stav skladových zásob inkoustů a v případě nízkého stavu inkousty ze zahraničí objednat. Systém skladového hospodářtsví umožňuje ke každému produktu nastavit spodní a horní limit zásob. V případě, že je na začátku měsíce stav nižší než spodní limit, objedná se právě tolik kusů daného produktu, aby se dosáhlo horního limitu. 

Inkousty se prodávají v jednolitrových lahvích ve čtyřech barvách (CMYK). Každý inkoust má z výroby roční expiraci. Ovšem na sklad se inkousty dostávají ve valné většině případů už pár měsíců staré. Ideální je prodat inkoust maximálně 6 měsíců starý, jelikož starší inkousty už zákazníci nechtějí kupovat z důvodu, že by je nestihli do data expirace vypotřebovat. Inkousty staré 7 měsíců se ještě dají prodat, ovšem pouze s určitou slevou. Starší inkousty se již neprodají a je potřeba je za určitý poplatek ekologicky zlikvidovat. Inkousty se ze skladu prodávají metodou FIFO (časovou jednotkou je měsíc). 

Cílem simulace je nalézt optimální limity skladových zásob tak, aby firma zbytečně nenaskladňovala velké množství inkoustů, které se nakonec neprodají a budou muset být zlikvidovány. Zároveň je vhodné, aby poptávka byla ideálně plně uspokojena. Jako podklad simulace budou použita reálná interní data o prodejích, nákupních cenách a expiracích naskladněných inkoustů dané společnosti. 

=Metoda=
Jelikož cílem této simulace je provést kalkulaci skladových limitů na základě pravděpodobné poptávky po inkoustech (dle historických dat), je zde použita metoda Monte Carlo. Tato metoda je vhodná pro výpočet nejvíce pravděpodobných náhodných hodnot dané veličiny za pomocí generování velkého počtu pseudonáhodných čísel. Metoda je prováděna v nástroji Microsoft Excel 365.

=Popis modelu=
Tento model představuje skladové hospodářství UV inkoustů společnosti B, která je českým dodavatelem spotřebního materiálu pro signmaking. Model řeší pouze čtyři produkty, kterými jsou základní barvy UV inkoustů CMYK (Cyan, Magenta, Yellow a Black).

Na začátku každého měsíce se kontroluje, zda aktuální stav zásob daného inkoustu neklesl pod spodní limit. Pokud ano, objedná se právě tolik balení inkoustů (po 10 ks), aby zásoby dosáhly horního limitu. Za jednu objednávku jedné barvy inkoustů se platí jednorázová doprava ve výši 1.500 Kč. Zboží obvykle dorazí do třech týdnů od jeho objednání, proto se v tomto modelu pro zjednodušení počítá s dostupností objednaných inkoustů až v následujícím měsíci. V době naskladnění inkoustů bývá jejich stáří 2-3 měsíce, přičemž inkousty staré do 6 měsíců včetně lze ještě prodat za jejich plnou prodejní cenu. Inkousty staré 7 měsíců lze prodat pouze se slevou 15 %, jelikož tyto inkousty už zákazníci většinou nestíhají do konce jejich expirace celé spotřebovat. Starší inkousty už nejsou prodejné (z již zmíněného důvodu blížící se expirace a rizika jejich sražení) a je třeba je ekologicky zlikvidovat za poplatek 9,20 Kč za litr. Inkousty jsou ze skladu prodávány metodou FIFO (časovou jednotkou je měsíc). Dále jsou v modelu započítány měsíční fixní náklady ve výši 40.000 Kč (mzda skladníka, nájem prostor, energie), které jsou rovnoměrně rozděleny mezi jednotlivé inkousty (každé barvě inkoustu tedy náleží fixní náklady ve výši 10.000 Kč).

Výstupem modelu jsou spodní a horní limity jednotlivých inkoustů, které jsou kalkulovány na základě zadaných vstupních parametrů a určených pravidel modelu.

==Vstupní parametry==
Model řeší následující čtyři UV inkousty, u kterých jsou dané nákupní a prodejní ceny (dle interních dat společnosti):
{| class="wikitable"
!Kód inkoustu
!Objem
!Barva
!Nákupní cena
!Prodejní cena
|-
|SUV-10CY
|1 litr
|Cyan
|756,50 Kč
|1644,00 Kč
|-
|SUV-10MG
|1 litr
|Magenta
|756,00 Kč
|1619,00 Kč
|-
|SUV-10YE
|1 litr
|Yellow
|756,50 Kč
|1614,00 Kč
|-
|SUV-10BK
|1 litr
|Black
|754,50 Kč
|1659,00 Kč
|}

Ná základě interních dat o prodejích těchto inkoustů v minulých 5 letech bylo určeno pravděpodobnostní rozdělení poptávky po inkoustech v jednotlivých měsících. Poptávky mají normální rozdělení a následující střední hodnoty a směrodatné odchylky:
{| class="wikitable"
!rowspan="2"|Měsíc
!colspan="2"|SUV-10CY
!colspan="2"|SUV-10MG
!colspan="2"|SUV-10YE
!colspan="2"|SUV-10BK
|-
!Průměr
!Sm.odchylka
!Průměr
!Sm.odchylka
!Průměr
!Sm.odchylka
!Průměr
!Sm.odchylka
|-
|1
|13,6
|7,6
|27,6
|11,2
|27,4
|12,3
|17,8
|9,2
|-
|2
|12,6
|0,8
|30,2
|4,1
|32,8
|5,2
|15,6
|3,1
|-
|3
|18,6
|7,9
|39,2
|14,4
|33,4
|14,2
|21,4
|9,1
|-
|4
|16,0
|9,5
|34,8
|18,1
|37,0
|17,5
|17,4
|10,1
|-
|5
|16,4
|1,6
|32,6
|5,6
|36,8
|9,7
|16,8
|6,2
|-
|6
|13,0
|4,9
|29,8
|9,1
|28,2
|8,6
|18,0
|6,7
|-
|7
|18,6
|4,5
|29,2
|5,2
|30,4
|2,4
|22,8
|4,6
|-
|8
|21,6
|2,7
|37,6
|6,2
|42,4
|4,8
|25,8
|2,1
|-
|9
|18,2
|5,9
|32,8
|12,2
|33,6
|15,7
|19,8
|9,6
|-
|10
|21,2
|6,0
|35,6
|4,5
|39,2
|6,9
|22,0
|6,2
|-
|11
|15,0
|3,9
|34,2
|5,6
|40,4
|11,7
|19,2
|5,0
|-
|12
|15,2
|2,8
|33,2
|16,0
|28,4
|6,5
|18,2
|5,1
|}
Ostatními vstupními variabilními parametry modelu jsou:

{| class="wikitable"
!Parametr
!Hodnota
|-
|Fixní měsíční náklady
|40.000 Kč
|-
|Cena za likvidaci
|9,20 Kč/litr
|-
|Ks v balení
|10
|-
|Cena za dopravu
|1.500 Kč
|-
|Sleva
|15 %
|}

Co se expirace (stáří v době naskladnění) jednotlivých inkoustů týká, jedná se o Poissonovo rozdělení se střední hodnotou 2,49 měsíce (nejčastěji se příjímá na sklad inkoust 2 či 3 měsíce starý). Rozdělení pro jednotlivé barvy inkoustů znázorňuje graf níže.

Vzhledem k tomu, že Microsoft Excel neposkytuje žádnou inverzní funkci pro Poissonovo rozdělení, jsou náhodná stáří inkoustů generována pomocí tabulky vytvořené na základě interních dat o expiracích inkoustů. Tato tabulka obsahuje kumulativní pravděpodobnosti stáří jednotlivých inkoustů. Místo neexistující funkce POISSON.INV() je tedy zde použita funkce POZVYHLEDAT(NÁHČÍSLO();sloupec tabulky dané barvy;1)+1. Jednička je na konci přičtena z důvodu, že je potřeba převést index řádku (který funkce POZVYHLEDAT() vrací) na stáří inkoustu, které začíná na 2 měsících (tj. první řádek tabulky představuje pravděpodobnost stáří 2 měsíce, druhý řádek stáří 3 měsíce atd.).
<div style="max-width: 860px">
[[File:cmyk_expirace.png|thumb|500px|left||Graf hustoty pravděpodobnosti stáří inkoustů v době naskladnění]]
[[File:poisson_inv.png|thumb|300px|right||Kumulativní pravděpodobnost stáří inkoustů]]
</div>
 


==Výstupy modelu==
Výstupy tohoto modelu jsou spodní a horní limity jednotlivých barev inkoustů. Na základě průměrné měsíční poptávky po inkoustech jsou zvoleny následující rozsahy spodních a horních limitů, které budou testovány:
{| class="wikitable"
!Kód inkoustu
!Průměrná měsíční poptávka
!Rozsah spodního limitu
!Rozsah horního limitu
|-
|SUV-10CY
|16,7 ks
|10 - 60 ks
|60 - 110 ks
|-
|SUV-10MG
|33,1 ks
|60 - 110 ks
|120 - 170 ks
|-
|SUV-10YE
|34,2 ks
|60 - 110 ks
|120 - 170 ks
|-
|SUV-10BK
|19,6 ks
|10 - 60 ks
|60 - 110 ks
|}

U spodního i horního limitu je vždy testováno 6 hodnot (s krokem 10), z čehož vyplývá, že u každé barvy inkoustu je dohromady testováno 36 kombinací spodního a horního limitu.

=Výsledky=
Vzhledem k tomu, že poptávky po jednotlivých barvách inkoustu jsou na sobě nezávislé, a tedy i limity se určují u každé barvy zvlášť, byla provedena simulace každé barvy odděleně. Všechny čtyři simulace simulují skladové hospodářství a s tím související příjmy a výdaje v následujících třech letech (2022-2024). Každá simulace zahrnovala 10.000 iterací, aby výsledek byl co nejpřesnější. Jako veličina určující optimální nastavení dané kombinace spodního a horního limitu (testované kombinace limitů jsou uvedené v kapitole [[#vystupy_modelu|Výstupy modelu]]) byl zvolen kumulativní čistý zisk za celé simulované období.

Na základě zprůměrování dílčích výsledků jednotlivých iterací byly vytvořeny tabulky nejpravděpodobnějších zisků za 3 roky pro dané kombinace limitů (viz níže). Nejvyšší zisky jsou znázorněny zeleně, nejnižší červeně.

[[File:limity_cy.png|500px|thumb|right||Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Cyan]]
===Limity inkoustu Cyan===
Bylo zjištěno, že pro inkoust barvy Cyan je nejoptimálnější spodní limit 40 ks a horní limit 70 ks. Při těchto limitech by čistý zisk za 3 roky dosahoval s 90% pravděpodobností 92.207,6 Kč až 207.144,2 Kč. Průměrný čistý zisk za 3 roky by byl 154.189,2 Kč.
 

[[File:limity_mg.png|500px|thumb|right||Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Magenta]]
===Limity inkoustu Magenta===
Co se inkoustu barvy Magenta týká, bylo zjištěno, že nejoptimálnější spodní limit je 80 ks a nejoptimálnější horní limit 160 ks. Při těchto limitech by čistý zisk za 3 roky dosahoval s 90% pravděpodobností 561.106,3 Kč až 787.074,4 Kč. Průměrný čistý zisk za 3 roky by byl 680.111,1 Kč.
 

[[File:limity_ye.png|500px|thumb|right||Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Yellow]]
===Limity inkoustu Yellow===
U inkoustu barvy Yellow bylo zjištěno, že nejoptimálnější spodní limit je 80 ks a nejoptimálnější horní limit 140 ks. Při těchto limitech by čistý zisk za 3 roky dosahoval s 90% pravděpodobností 584.201,8 Kč až 784.254,9 Kč. Průměrný čistý zisk za 3 roky by byl 689.745,2 Kč.
 

[[File:limity_bk.png|500px|thumb|right||Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Black]]
===Limity inkoustu Black===
Posledním simulovaným inkoustem byl inkoust barvy Black. U tohoto inkoustu bylo zjištěno, že nejoptimálnější spodní limit je 40 ks a nejoptimálnější horní limit 80 ks. Při těchto limitech by čistý zisk za 3 roky dosahoval s 90% pravděpodobností 177.647,2 Kč až 319.692 Kč. Průměrný čistý zisk za 3 roky by byl 255.024,2 Kč.
 

==Zhodnocení==
Jak lze vidět, optimální limity u inkoustů barev Magenta a Yellow jsou přibližně dvojnásobné v porovnání s optimálními limity u inkoustů barev Cyan a Black. Je to způsobeno tím, že poptávka po inkoustech barev Magenta a Yellow je téměř dvojnásobná (jak lze vidět v tabulce prodejů v kapitole [[#vstupni_par|Vstupní parametry]]). Při tisku barevných motivů se totiž nejvíce barev spektra míchá právě z těchto dvou základních barev, a tak zákazníkům nejčastěji dochází.

Také si lze všimnout, že optimální spodní limity vychází přibližně 2,5 krát vyšší než je průměrná měsíční poptávka. Tím vzniká snaha zabránit situaci, kdy by na skladě bylo méně zásob, než na dva měsíce dopředu. Mít zásoby pouze na měsíc dopředu je velmi málo, jelikož poptávka může mít výkyvy a snadno by se tak mohlo stát, že by měsíční zásoby ve výši průměrné měsíční poptávky neuspokojily měsíční poptávku. Naopak vyšší spodní limity by způsobily to, že by se zboží nakupovalo v moment, kdy je na skladě ještě dostatek zásob. Naskladněným inkoustům by tak zbytečně ubíhala lhůta trvanlivosti, inkousty by se nestíhaly prodat a zbytečně by se likvidovaly.

Co se horních limitů týká, tak ty představují téměř pětinásobek průměrné měsíční poptávky. Tím je docíleno toho, že se zásoby doplní přesně do takové výše, aby při průměrné měsíční poptávce a průměrném stáří naskladněných inkoustů ve výši 2 měsíců bylo zboží prodáno během oněch 5 měsíců, kdy se ještě inkousty dají prodat za plnou prodejní cenu. Vyšší horní limity by mohly způsobit to, že by se takové množství inkoustů nestihlo prodat a muselo by být zlikvidováno. Nižší horní limity by naopak mohly způsobit příliš časté objednávání zboží a častější placení vysoké ceny za dopravu zboží ze zahraničí.

=Závěr=

=Kód=
Zdrojové soubory simulace:
* [[File:sim_ink.xlsx||sim_ink.xlsx]] (hlavní simulace)
* [[File:sim_ink_output.xlsx||sim_ink_output.xlsx]] (výstupní vygenerované hodnoty)

=Reference=
<references/>

File:Limity ye.png

2021-06-09T07:01:50Z

Klei00: Klei00 načetl novou verzi File:Limity ye.png

== Summary ==
Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Yellow

File:Limity bk.png

2021-06-09T06:57:08Z

Klei00: Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Black

== Summary ==
Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Black

File:Limity ye.png

2021-06-09T06:56:42Z

Klei00: Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Yellow

== Summary ==
Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Yellow

File:Limity mg.png

2021-06-09T06:56:21Z

Klei00: Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Magenta

== Summary ==
Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Magenta

File:Limity cy.png

2021-06-09T06:55:02Z

Klei00: Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Cyan

== Summary ==
Zisk při daných kombinacích limitů inkoustu Cyan

Optimalizace skladových zásob inkoustů

2021-06-09T06:35:40Z

Klei00: /* Výsledky */

Optimalizace skladových zásob inkoustů

2021-06-09T06:35:11Z

Klei00:

Optimalizace skladových zásob inkoustů

2021-06-09T06:11:01Z

Klei00: /* Vstupní parametry */

Optimalizace skladových zásob inkoustů

2021-06-09T06:08:56Z

Klei00: /* Popis modelu */

Optimalizace skladových zásob inkoustů

2021-06-08T17:22:52Z

Klei00: /* Výstupy modelu */

Optimalizace skladových zásob inkoustů

2021-06-08T17:21:55Z

Klei00: /* Popis modelu */

Optimalizace skladových zásob inkoustů

2021-06-08T17:20:11Z

Klei00: /* Vstupní parametry */

File:Poisson inv.png

2021-06-08T16:33:04Z

Klei00: Kumulativní pravděpodobnost stáří inkoustů

== Summary ==
Kumulativní pravděpodobnost stáří inkoustů

Optimalizace skladových zásob inkoustů

2021-06-08T16:06:51Z

Klei00: /* Výstupy modelu */

Optimalizace skladových zásob inkoustů

2021-06-08T10:43:11Z

Klei00: /* Model */

File:Cmyk expirace.png

2021-06-08T08:42:34Z

Klei00: Graf hustoty pravděpodobnosti stáří inkoustů v době naskladnění

== Summary ==
Graf hustoty pravděpodobnosti stáří inkoustů v době naskladnění

Optimalizace skladových zásob inkoustů

2021-06-04T16:27:28Z

Klei00:

Optimalizace skladových zásob inkoustů

2021-06-04T16:25:22Z

Klei00: Přidání ilustračního obrázku inkoustů

File:Cmyk ink.jpg

2021-06-04T16:18:19Z

Klei00: Klei00 načetl novou verzi File:Cmyk ink.jpg

== Summary ==
Ilustrační obrázek inkoustů CMYK

File:Cmyk ink.jpg

2021-06-04T16:14:11Z

Klei00: Ilustrační obrázek inkoustů CMYK

== Summary ==
Ilustrační obrázek inkoustů CMYK

Optimalizace skladových zásob inkoustů

2021-06-04T15:56:22Z

Klei00: Přidání popisu metody

'''Název:''' Optimalizace skladových zásob inkoustů 
'''Autor:''' Bc. Iveta Kleníková, [[User:Klei00|Klei00]] ([[User talk:Klei00|talk]]) 
'''Nástroj:''' Microsoft Excel 365 
'''Metoda:''' Monte Carlo 

=Definice problému=
Společnost B je českým dodavatelem ekosolventních inkoustů a dalšího spotřebního materiálu do velkoformátových tiskáren. Tyto produkty firma každý měsíc naskladňuje, aby dokázala rychle reagovat na poptávku zákazníků, a ti nemuseli čekat, než zboží dorazí ze zahraničí, kde se vyrábí. Každý měsíc je tedy třeba kontrolovat stav skladových zásob inkoustů a v případě nízkého stavu inkousty ze zahraničí objednat. Systém skladového hospodářtsví umožňuje ke každému produktu nastavit spodní a horní limit zásob. V případě, že je na začátku měsíce stav nižší než spodní limit, objedná se právě tolik kusů daného produktu, aby se dosáhlo horního limitu. 

Inkousty se prodávají v jednolitrových lahvích ve čtyřech barvách (CMYK). Každý inkoust má z výroby roční expiraci. Ovšem na sklad se inkousty dostávají ve valné většině případů už pár měsíců staré. Ideální je prodat inkoust maximálně 6 měsíců starý, jelikož starší inkousty už zákazníci nechtějí kupovat z důvodu, že by je nestihli do data expirace vypotřebovat. Inkousty staré 7 měsíců se ještě dají prodat, ovšem pouze s určitou slevou. Starší inkousty se již neprodají a je potřeba je za určitý poplatek ekologicky zlikvidovat. Inkousty se ze skladu prodávají metodou FIFO (časovou jednotkou je měsíc). 

Cílem simulace je nalézt optimální limity skladových zásob tak, aby firma zbytečně nenaskladňovala velké množství inkoustů, které se nakonec neprodají a budou muset být zlikvidovány. Zároveň je vhodné, aby poptávka byla ideálně plně uspokojena. Jako podklad simulace budou použita reálná interní data o prodejích, nákupních cenách a expiracích naskladněných inkoustů dané společnosti. 

=Metoda=
Jelikož cílem této simulace je provést kalkulaci skladových limitů na základě pravděpodobné poptávky po inkoustech (dle historických dat), je zde použita metoda Monte Carlo. Tato metoda je vhodná pro výpočet nejvíce pravděpodobných náhodných hodnot dané veličiny za pomocí generování velkého počtu pseudonáhodných čísel. Metoda je prováděna v nástroji Microsoft Excel 365.

=Model=

=Výsledky=

=Závěr=

=Kód=

Optimalizace skladových zásob inkoustů

2021-06-04T15:21:41Z

Klei00: Přidání definice problému

'''Název:''' Optimalizace skladových zásob inkoustů 
'''Autor:''' Bc. Iveta Kleníková, [[User:Klei00|Klei00]] ([[User talk:Klei00|talk]]) 
'''Nástroj:''' Microsoft Excel 365 
'''Metoda:''' Monte Carlo 

=Definice problému=
Společnost B je českým dodavatelem ekosolventních inkoustů a dalšího spotřebního materiálu do velkoformátových tiskáren. Tyto produkty firma každý měsíc naskladňuje, aby dokázala rychle reagovat na poptávku zákazníků, a ti nemuseli čekat, než zboží dorazí ze zahraničí, kde se vyrábí. Každý měsíc je tedy třeba kontrolovat stav skladových zásob inkoustů a v případě nízkého stavu inkousty ze zahraničí objednat. Systém skladového hospodářtsví umožňuje ke každému produktu nastavit spodní a horní limit zásob. V případě, že je na začátku měsíce stav nižší než spodní limit, objedná se právě tolik kusů daného produktu, aby se dosáhlo horního limitu. 

Inkousty se prodávají v jednolitrových lahvích ve čtyřech barvách (CMYK). Každý inkoust má z výroby roční expiraci. Ovšem na sklad se inkousty dostávají ve valné většině případů už pár měsíců staré. Ideální je prodat inkoust maximálně 6 měsíců starý, jelikož starší inkousty už zákazníci nechtějí kupovat z důvodu, že by je nestihli do data expirace vypotřebovat. Inkousty staré 7 měsíců se ještě dají prodat, ovšem pouze s určitou slevou. Starší inkousty se již neprodají a je potřeba je za určitý poplatek ekologicky zlikvidovat. Inkousty se ze skladu prodávají metodou FIFO (časovou jednotkou je měsíc). 

Cílem simulace je nalézt optimální limity skladových zásob tak, aby firma zbytečně nenaskladňovala velké množství inkoustů, které se nakonec neprodají a budou muset být zlikvidovány. Zároveň je vhodné, aby poptávka byla ideálně plně uspokojena. Jako podklad simulace budou použita reálná interní data o prodejích, nákupních cenách a expiracích naskladněných inkoustů dané společnosti. 

=Metoda=

=Model=

=Výsledky=

=Závěr=

=Kód=

SS 2020/2021/cs

2021-06-04T14:47:59Z

Klei00: /* Vypracovaná témata LS 2020/2021 */

{{DISPLAYTITLE:LS 2020/2021}}

Semestrální práce (simulace) z letního semestru 2020/2021. Sem přidejte odkaz na stránku s Vaší prací.
Nejprve je třeba nechat schválit [[Assignment SS 2020/2021/cs|zadání práce]].

=Vypracovaná témata LS 2020/2021=
* [http://www.simulace.info/index.php/User:Pirm01 Simulácia darcovského centra (Simprocess)] - Marko Pira
* [https://cs.wikipedia.org/wiki/Real-time_simulace Real-time simulace] (Wikipedia) - Tibor vondrášek
* [https://cs.wikipedia.org/wiki/Leteck%C3%BD_simul%C3%A1tor Letecký simulátor] (Wikipedie) - Jakub Racek
* [http://www.simulace.info/index.php/Optimalizace_skladov%C3%BDch_z%C3%A1sob_inkoust%C5%AF Optimalizace skladových zásob inkoustů] (Microsoft Excel) - Iveta Kleníková

Optimalizace skladových zásob inkoustů

2021-06-04T14:46:40Z

Klei00: Klei00 přesunul stránku Optimalizace skladových zásob inkoustů (Microsoft Excel) na Optimalizace skladových zásob inkoustů

Text

Optimalizace skladových zásob inkoustů (Microsoft Excel)

2021-06-04T14:46:40Z

Klei00: Klei00 přesunul stránku Optimalizace skladových zásob inkoustů (Microsoft Excel) na Optimalizace skladových zásob inkoustů

#REDIRECT [[Optimalizace skladových zásob inkoustů]]

SS 2020/2021/cs

2021-06-04T14:45:39Z

Klei00: /* Vypracovaná témata LS 2020/2021 */

{{DISPLAYTITLE:LS 2020/2021}}

Semestrální práce (simulace) z letního semestru 2020/2021. Sem přidejte odkaz na stránku s Vaší prací.
Nejprve je třeba nechat schválit [[Assignment SS 2020/2021/cs|zadání práce]].

=Vypracovaná témata LS 2020/2021=
* [http://www.simulace.info/index.php/User:Pirm01 Simulácia darcovského centra (Simprocess)] - Marko Pira
* [https://cs.wikipedia.org/wiki/Real-time_simulace Real-time simulace] (Wikipedia) - Tibor vondrášek
* [https://cs.wikipedia.org/wiki/Leteck%C3%BD_simul%C3%A1tor Letecký simulátor] (Wikipedie) - Jakub Racek
* [http://www.simulace.info/index.php/Optimalizace_skladov%C3%BDch_z%C3%A1sob_inkoust%C5%AF_(Microsoft_Excel) Optimalizace skladových zásob inkoustů (Microsoft Excel)] - Iveta Kleníková

Optimalizace skladových zásob inkoustů

2021-06-04T14:43:05Z

Klei00: Created page with "Text"

Text

Assignment SS 2020/2021/cs

2021-05-07T14:16:32Z

Klei00: /* Optimalizace skladových zásob inkoustů */

{{DISPLAYTITLE:Zadání LS 2020/2021}}

{{Ambox
| text = <div>
Na tuto stránku vkládejte svá zadání. Nezapomeňte se podepsat. Můžete použít <nowiki>~~~~</nowiki> (čtyři tildy) k automatickému podpisu. Používejte Ukázat náhled, abyste si prohlédli Váš výsledek před konečným odesláním.
</div>
}}

{{Ambox
| text = <div>
Prosíme, snažte se formulovat Vaše zadání pečlive. S ohledem na to, že jde o Vaši semestrální práci, očekáváme adekvátní úsilí vynaložené na zadání. Nezapomeňte, že hlavním výsledkem má být výzkumná zpráva, což znamená, že Váš simulační model musí generovat takové výsledky, které jsou konkrétní, měřitelné a ověřitelné. Pečlivě promyslete, jakým způsobem budete vyvíjet Váš model, odvoďte entity, které budete používat, nakreslete si diagram modelu, zvažte, co budete měřit. Teprve pokud máte o modelu dostatečně přesnou představu, vložte Vaše zadání. A samozřejmě, nezapomeňte si prosím přečíst [[How to deal with the simulation assignment/cs|Jak na simulace]].
</div>
}}

{{Ambox
| text = <div>
Témata na téma hazardních her, karet, vývoje cen akcií/indexů nejsou vítány.
</div>
}}

{{Ambox
| type = content
| text = <div>
Abychom se vyhnuli případnému budoucímu nedorozumnění, prosíme, ověřte si, že máte tučné '''schváleno''' někde v našem komentáři pod Vaším zadání. Pokud tam není '''schváleno''', znamená to, že Vaše zadání dosud schváleno nebylo.
</div>
}}

== Simulace přenosové soustavy ==

Simulace bude postavena na reálných datech o výrobě a spotřebě elektrické energie v ČR a na datech o přitékající elektrické energii od našich sousedních států. Jejich výroba el. energie taktéž ovlivňuje i naši přenosovou síť. Z tohoto důvodu jsou na pomyslných hranicích naší přenosové soustavy PST transformáty, kde dispečeři regulují výrobu a spotřebu elektrické energie u nás. Pokud by od sítě přiteklo moc energie, mohlo by to přetížit přenosovou soustavu a tím způsobit rozsáhlé výpadky proudu. Pokud by takový výpadek nastal (z důvodu výrazné výkonové nerovnováhy) je nutné, co nejrychleji zajistit stabilitu přenosové sítě. Cílem modelu je nasimulovat přenosovou soustavu a její možnou ochranu proti blackoutům.

'''Autor'''
Michaela Tauchmanová

'''Typ modelu'''
Systémová dynamika

'''Modelovací nástroj'''
Vensim

'''Cíl simulace'''
Cílem modelu je nasimulovat přenosovou soustavu a její možnou ochranu proti blackoutům.

'''Data'''
Data o zatížení, přítoku energie atd. (ČEPS - https://www.ceps.cz/cs/data#Load)
Spotřeba a výroba za rok včetně dat o distribučních ztrátách apod. (Český statistický úřad – Energetické bilance – https://www.czso.cz/csu/czso/ene_cr)

[[User:Taum03|Taum03]] ([[User talk:Taum03|talk]]) 20:39, 6 May 2021 (CET)

:: '''Schváleno''' [[User:Oleg.Svatos|Oleg.Svatos]] ([[User talk:Oleg.Svatos|talk]]) 13:03, 7 May 2021 (CET)

== Nalezení nejideálnějšího množství nápojových stánků a TOITOI na hudebních festivalech ==

'''Název:''' Nalezení nejideálnějšího množství TOITOI na festivalech

'''Autor:''' vana06, Aneta Váňová

'''Nástroj:''' NetLogo

'''Typ modelu:''' Multiagentní

'''Popis modelu:'''
Venkovní hudební festivaly jsou jedny z nejpopulárnějších událostí, které návštěvníci v letním období navštěvují. Organizátoři těchto organizací musí často kalkulovat kapacitu celého festivalového objektu v návaznosti na popularitu vystupujícího. V návaznosti na tuto proměnou se musí vypořádat organizátoři s množstvím stánků s nápoji, které budou mít možnost prodeje právě na daném festivalu. Množství nápojových stánků však nemůže být neomezené z důvodu redukce prostoru. Zároveň je třeba najít takové optimální místo, aby návštěvníci festivalu netrávili většinu času festivalu právě ve frontách. Na základě následné doby pití a množství pití, které návštěvníci vypijí musí organizátoři počítat i s množstvím TOITOI mobilních toalet tak, aby jejich kapacita nebyla podhodnocena a návštěvníci se neuchylovali k obcházení pravidel festivalu.
K větší reálnosti modelu též přispěje fakt, že agenti se rozhodují v průběhu procesu.

'''Grafy''' budou znázorňovat:
* Počet čekajících návštěvníků u nápojových stánků v průběhu konání festivalu
* Počet čekajících u TOITOI v průběhu konání festivalu
* Průměrná doba čekání na nápoj
* Průměrná doba čekání na TOITOI
* Počet návštěvníků, kteří z důvodu dlouhého čekání obešli pravidla festivalu a vykonali svou potřebu za TOITOI
* Počet nespokojených zákazníků (měřeno na základě doby čekání na nápoj a nutnosti vykonat potřebu mimo TOITOI)

'''Agenti:'''
* '''Muži'''
** Potřeba pití nápojů je jednou za 30 minut (na základě [https://doi.org/10.1111/j.1530-0277.1990.tb00504.x Zdroj 1]) (určeno náhodným rozdělením)
** Na WC potřebují v případě, že kapacita močového měchýře byla naplněna 300–400 ml (určeno náhodně v rámci daného rozmezí) [https://books.google.cz/books?id=GspuCwAAQBAJ&dq=tvorba+mo%C4%8Di&hl=cs&source=gbs_navlinks_s Zdroj 2]
** Pravděpodobnost, že bude postupovat podle těchto čísel je 50% (rozhodování na základě aktuálních dat v procesu)
* '''Ženy'''
** Potřeba nového pití je jednou za 45 minut (na základě [https://doi.org/10.1111/j.1530-0277.1990.tb00504.x Zdroj 1]) (určeno náhodným rozdělením)
** Na WC potřebují v případě, že kapacita močového měchýře byla naplněna 150–250 ml (určeno náhodně v rámci daného rozmezí) [https://books.google.cz/books?id=GspuCwAAQBAJ&dq=tvorba+mo%C4%8Di&hl=cs&source=gbs_navlinks_s Zdroj 2]
** Pravděpodobnost, že budou postupovat podle těchto čísel je 50% (rozhodování na základě aktuálních dat v procesu)

'''Parametry modelu:'''
* Počet návštěvníků jednotlivých pohlaví (rozděleno vždy 50:50 z celkového množství)
* Počet stánků s nápoji
* Počet TOI TOI

'''Možná rozšíření:'''
* Simulaci by bylo možné rozšířit i o stánky s občerstvením (jídlem)
* Rozšíření o vliv počasí (teploty) a s tím spojenou větší konzumaci nápojů
* Rozšíření o pauzy v programu, kde větší množství návštěvníků zvažuje zakoupení nového nápoje nebo navštívení TOITOI, i když to není potřeba

'''Cíl simulace:''' Na základě očekávané návštěvnosti bude možné predikovat takové množství nápojových stánků a TOITOI tak, aby bylo optimální, a tudíž aby nedocházelo k obcházení pravidel a aby návštěvníci byli spokojeni.

'''Poznámka:''' Pro simulaci je čerpáno z dat, která jsou k dispozici k velikosti močového měchýře a množství pití, avšak množství dat k tomuto tématu je omezenější.

[[User:Vana06|Vana06]] ([[User talk:Vana06|talk]]) 22:28, 6 May 2021 (CET)

== Simulácia darcovského centra ==

Simulácia bude zobrazovať popis procesu odberu krvnej plazmy v dárcovskom centre. Bude pozostávať z registrácie na odber, konzultácie s lekárom, čakaním na odber, odberu samotného, odpočinkom a odchodom z centra.

Darcovia sa môžu objednávať na odber v 30 minutových intervaloch, pričom simulácia bude brať v potaz „high peaks“, kedy je množstvo darcov vzhľadom na kapacitu lôžok hraničné a bude sa snažiť optimalizovať ako počet lôžok, tak i kapacitu darcov v daných „high peaks“

Simulácia by pozostávala z 3 modelov:

*1. Simulácia štandarného provozu
*2. Optimalizácia procesu za účelom lepšej efektivity času vzhľadom na darcu - v momentálnej situácií v „high peaku“ darci čakajú i desiatky minút navyše voči objednanému času
*3. Simulácia letného provozu - v lete je štandardne počet darcov voči zbytku roku menší - v rámci letného provozu by teda bolo možné vymyslieť optimálnu stratégiu či už napríklad v rámci zníženie personálov/lekárov a podobne.

'''Autor'''
Marko Pira

'''Typ modelu'''
Diskrétní simulace

'''Modelovací nástroj'''
SimProcess

'''Entity'''
Darca

'''Zdroje'''
*Lékar
*Personál
*Skrinka
*(Odberové) lôžko
*(Tuba) plazmy - v rámci simulácie zistíme, koľko tub plazmy denne centrum zvládne odobrať

'''Cíl simulace'''
Cieľom je nasimulovať štandardný stav centra a následne proces optimalizovať pomocou zdrojov. Ďalším cieľom je simulácia letného provozu centra a stratégie optimalizácie zdrojov, aby nedochádzalo k ich nevyužitiu

'''Data'''
Data budú získané od anonymizovaného dárcovského centra v Prahe

[[User:Pirm01|Pirm01]] ([[User talk:Pirm01|talk]]) 08:53, 7 May 2021 (CET)

== Simulace včelařství ==

Simulace bude znázorňovat malý včelařský podnik. V modelu se bude vyskytovat prodejní místo, včelař, včely medonosné, včelí úly a louka. Med reprodukuji včely, jejichž reprodukce je závislá na tom, jaké je aktuálně počasí a které rostliny jsou v blízkosti dostupné k opylení. Muže se také stát, ze včely onemocní nebo dojde k prudkému výkyvu počasí. Vytvořeny med zpracuje včelař, který ho následně prodává na malém prodejním místě. Může se stát, že med bude nekvalitní, či ho bude málo, což ovlivní koncové prodeje. Od včelaře med kupují zákazníci nehledě na to, jakou má aktuálně produkci - poptávka je tedy nepřetržitá. Vycházet se bude z dat diplomové práce, která simulovala procesy probíhající ve včelím úle.

'''Autor'''
Kateřina Zemánková

'''Typ modelu'''
Systémová dynamika

'''Modelovací nástroj'''
Vensim

'''Cíl simulace'''
Cílem bude dokázat, zda v průběhu času bude včelař stále prosperovat, i vzhledem k proměnlivému počasí a hrozbě včelí nemoci, a jaký je optimální počet včelích úlů pro maximalizaci zisku.

'''Data'''
Diplomová práce Modelování a simulace přírodních zdrojů - https://is.muni.cz/th/mrhe1/SDIPR.pdf
Z této práce budou využita data - velikost včelstva, produkci medu, počasí a dostupnost květin na louce. 
Faktory ovlivňující produkci medu - http://digilib.k.utb.cz/bitstream/handle/10563/24103/pol%C4%8D%C3%A1k_2013_bp.pdf?sequence=1&isAllowed=y

[[User:zemk05|zemk05]] ([[User talk:zemk05|talk]]) 10:05, 7 May 2021 (CET)

::Téma mi přijde nebezpečné - chápu odkud by se vzala data k včelám jako takovým, ale o co by se opřel ten zbytek? - pravděpodobnost nekvality medu, poptávku po medu, cena a hlavně cenotvorba medu, pravděpodobnost onemocnění včel, atd. Úplně mi to na tu systémovou dynamiku taky nesedí - tam jde hlavně o ty zpětné vazby/smyčky, tady bych to spíše viděl na nějakou kalkulaci potažmo MonteCarlo simulaci, ale tim se zase dostáváme zpátky k datům, potřebných pro určení pravděpodobnostních rozdělení... Na samotné simulaci produkce medu to taky postavit nelze, ta už je součástí referencované diplomky. Zatim mi příjde lepší zkusit něco jiného. [[User:Oleg.Svatos|Oleg.Svatos]] ([[User talk:Oleg.Svatos|talk]]) 13:52, 7 May 2021 (CET)

== Simulace migrace lidí do Evropy ==

Migrace lidí do Evropy je velmi časté téma dnešní doby. Faktory migrace mohou být ekonomické, věk, podnebí, současná situace v zemi, atd. V oblastech konfliktů, společenských (včetně politických) nebo ekonomických rozdílů migrace představují závažný socioekonomický problém. Migrace mohou být dobrovolné, za prací či za příbuznými, či nucené (jejichž příčinou je zpravidla silné zhoršení životních podmínek, válečný stav, diktatury atd.).
Migrace probíhá přes tři hlavní migrační trasy do EU - východní, centrální a západní středomořské trasy.
V sociologii je migrace spolu s porodností a úmrtností klíčovým prvkem v procesu populačního vývoje a výrazně ovlivňuje společenské a kulturní změny obyvatel na všech úrovních. S ekonomickým rozvojem se intenzita migrace dále zvyšuje.

'''Autor'''
Martina Riegerová

'''Typ modelu'''
Systémová dynamika

'''Modelovací nástroj'''
Vensim

'''Cíl simulace'''
Simulace by predikovala vnější migraci, kde by na následující období 10ti let dle daných faktorů predikovala počty nových příchozích migrantů do Evropy.

'''Data'''
Data o migracích - https://www.unhcr.org/cz/ , https://www.mvcr.cz/migrace/aktualni-zpravodajstvi.aspx , https://www.unhcr.org/environment-disasters-and-climate-change.html

[[User:Riem00|riem00]] ([[User talk:Riem00|talk]]) 10:31, 7 May 2021 (CET)

:: Tématicky by to šlo - co všechno by ta vaše simulace zahrnovala (simulovala)? - všechno to, co máte v tom úvodním odstavci? [[User:Oleg.Svatos|Oleg.Svatos]] ([[User talk:Oleg.Svatos|talk]]) 13:09, 7 May 2021 (CET)

== Simulace vytváření kytic ==

'''Autor:''' Martin Šatra (satm03)

'''Typ modelu:''' Multiagentní

'''Nástroj:''' NetLogo

'''Popis modelu:'''

Při dobývání dívčího srdce je možné využívat mnoho způsobů. Jedním z nich je zasypat svou milou květinami. Obecně pak platí, že čím více květin dívka obdrží, tím více pookřeje. Právě sběr květin a vytváření kytic z nich je hlavním námětem vytvářeného modelu.

V modelu je prostředí definováno jako louka, na které rostou květiny a vyskytují se překážky (skalky). Vybranou louku si pak vyhlídla za účelem vytváření kytic pro své milé čtveřice chlapců. Všichni vědí, že počet květin, které poberou bez toho aniž by je poničili, není nekonečný. Z tohoto důvodu si každý vybudoval své stinné stanoviště, kam si bude shromažďovat své květiny, případně již celé kytice. Skutečnost, že se jedná o uzavřenou louku s omezeným počtem květin činí z chlapců vzájemné soupeře. Každý chlapec si tedy vytvořil svojí strategii, se kterou bude při sbírání květin a vytváření kytic postupovat. (Popisy jednotlivých strategií chlapců jsou v části Agenti.)

Je také dobré podotknout to, že aby byla kytice shledána dostatečně atraktivní, měla by být složena více květin rozličných barev. Za účely tohoto modelu pak definujeme, že kytice se musí vytvořit z květin o 3 různých barvách (bílá, modrá, žlutá).

Chlapci mohou unést až 9 květin (popřípadě 3 kytice) bez toho aniž by je poničili. Proto se v případě, kdy již natrhali 9 květin, musí vrátit na své stanoviště, kde tyto květiny (popřípadě vytvořené kytice) uloží. V případě, že chlapci již nemohou plnit své strategie z důvodů vyčerpání potřebných zdrojů (květin), vrátí se každý na své stanoviště.

'''Agenti:'''
*Jára - Postupuje tak, že chce vytvořit kytice co nejdříve. Při trhání květin tedy postupuje tak, že nejprve utrhne nejbližší květinu jednoho druhu, poté nejbližší květinu druhého druhu, a nakonec nejbližší květinu třetího druhu. Když má vše potřebné (3 druhy květin), pak ihned vytvoří kytici. Poté, co má plné ruce kytic, je jde zanést na své stanoviště.
*Jiří - Má podobnou filozofii jako Jára, tedy trhat květiny po jednotlivém druhu tak, aby měl co nejdříve vše potřebné pro vytvoření nové kytice. Nechce však kytice vytvářet při sbírání, ale až po návratu na své stanoviště.
*Zdeněk - Zdeněk ví, že dokáže unést maximálně 9 květin. Vypočítal si, že z tohoto množství lze vytvořit maximálně 3 kytice. Z tohoto důvodu nejprve trhá nejbližší 3 květiny jednoho druhu, poté nejbližší 3 květiny druhého druhu a nakonec nejblíže se nacházející 3 květiny třetího druhu. Když má plné ruce, odejde na své stanoviště a vytvoří z natrhaných květin kytice.
*Vladislav - Vladislav nechce při trhání květin moc přemýšlet, a tak trhá ty nejbližší co mu přijdou pod ruku. Když má plné ruce jde na své stanoviště a vytvoří tolik kytic, co je jen možné, nevyužité květiny, z nichž již nešlo vytvořit kytice, zůstanou na jeho stanovišti a mohou být využity při další Vladislavově donášce.

'''Cíl simulace:'''
Cílem simulace je pozorovat efektivnost jednotlivých strategií chlapců a na základě nabytých poznatků rozhodnout, která strategie je za daných parametrů nejoptimálnější.

'''Parametry:'''
*Počet bílých květin
*Počet modrých květin
*Počet žlutých květin
*Počet překážek na louce
*Doba pro vytvoření kytice
*Rychlost chlapce

'''Výstupy:'''
*Graf znázorňující množství vytvořených kytic pro jednotlivé hráče v čase
*Aktuální počet kytic vytvořených každým hráčem
*Aktuální počet květin (z nichž ještě nejsou, nebo dokonce nikdy nebudou kytice) v držení každého hráče
*Průměrná doba pro vytvoření kytice za každého hráče (celkový čas od počátku simulace po konečný návrat chlapce na stanoviště ku množství chlapcem vytvořených kytic)

'''Možná rozšíření:'''
Model je dosti jednostranně zaměřený, avšak mohl by být stále více přibližován reálné situaci. Agenti, chlapci, by mohly mít další atributy jako je například výdrž. Květiny by mohly mít určenou dobu, za kterou po utržení uschnou. Do hry by mohly vstupovat také parametry počasí, které by měly vliv, jak na výdrž chlapce, tak na odolnost květiny. Na louce by se mohly objevit i jiné objekty, či dokonce na hráče číhající nebezpečí.

'''Poznámka:'''
Jsem si vědom, že podobný námět s poměřováním strategií již existuje (Simulácia zberu jahôd (Netlogo) - Juraj Bačovčin), avšak myslím, že simulace popsána výše se dosti odlišuje, co se jejího vytvoření týče.

[[User:Satm03|Satm03]] ([[User talk:Satm03|talk]]) 12:09, 7 May 2021 (CET)

== Optimalizace skladových zásob inkoustů ==
'''Autor:''' Iveta Kleníková (klei00)

'''Typ modelu:''' Monte Carlo

'''Nástroj:''' Microsoft Excel

'''Popis modelu:'''
Společnost B je českým dodavatelem ekosolventních inkoustů a dalšího spotřebního materiálu do velkoformátových tiskáren. Inkousty se prodávají v jednolitrových lahvích ve čtyřech barvách (CMYK). 
Každý inkoust má z výroby roční expiraci. Ovšem na sklad se inkousty dostávají ve valné většině případů už cca 3 měsíce staré. Ideální je prodat inkoust v prvních třech měsících (tj. 4-6 měsíců staré), jelikož starší inkousty už zákazníci nechtějí kupovat z důvodu, že by je nestihli do data expirace vypotřebovat. Inkousty staré 7 měsíců se ještě dají prodat, ovšem pouze s určitou slevou. Starší inkousty se již neprodají a je potřeba je za určitý poplatek ekologicky zlikvidovat. Inkousty se prodávají metodou FIFO (časovou jednotkou je měsíc). 
Při objednávání inkoustů na sklad tu hraje roli spodní a horní limit skladových zásob. V případě snížení skladových zásob pod spodní limit dochází k objednání inkoustů až do výše horního limitu. Inkousty se objednávají vždy po celých baleních po 10 kusech.

'''Vstupní parametry:'''
* Poptávka po jednotlivých barvách inkoustu v jednotlivých měsících
* Fixní náklady (mzda skladníka, nájem skladu, energie)
* Nákupní cena jednotlivých barev inkoustu (zahrnuje i rozpočítanou dopravu)
* Prodejní cena jednotlivých barev inkoustu
* Cena za likvidaci jednoho litru inkoustu
* Stáří naskladněného inkoustu

'''Cíl simulace:'''
Cílem simulace je nalézt optimální limity skladových zásob tak, aby firma zbytečně nenaskladňovala velké množství inkoustů, které se nakonec neprodají a budou muset být zlikvidovány. Zároveň je vhodné, aby poptávka byla ideálně plně uspokojena.

'''Data:'''
Jako podklad simulace budou použita reálná interní data o prodejích, nákupních cenách a expiracích inkoustů dané společnosti.

[[User:Klei00|Klei00]] ([[User talk:Klei00|talk]]) 14:26, 7 May 2021 (CET)

:: Spíš než jako simulace to zatím vypadá jako kalkulace a rozhodně to není dynamický systém (tedy vhodné pro Vensim). Na druhou stranu, pokud máte interní data dané společnosti, ze kterých by šlo odvodit 1) měsíční poptávku po inkoustech (pravděpodobnostní rozdělení pro jednotlivé měsíce roku - určitě tam bude nějaká sezonalita a celé to zprůměrovat by nedávalo smysl), 2) průměrné stáří naskladňovaného inkoustu (pravděpodobnostní rozdělení), tak už by toto téma, tak jak je, šlo překlopit do simulace Monte Carlo a bylo by to OK. Co Vy na to? [[User:Oleg.Svatos|Oleg.Svatos]] ([[User talk:Oleg.Svatos|talk]]) 14:28, 7 May 2021 (CET)

:::: Data pro měsíční poptávku a průměrné stáří inkoustů mám k dispozici. S překlopením do simulace Monte Carlo souhlasím. [[User:Klei00|Klei00]] ([[User talk:Klei00|talk]]) 15:16, 7 May 2021 (CET)

== Energetická náročnost těžby VSEcoinu ==

S rostoucí oblibou blockchainových technologií se objevují i některá z jejich
úskalí. Zvýšená bezpečnost se neobjeví “jen tak” a je třeba ji nějakým způsobem zajistit. Jedním ze
způsobů je tzv. koncept Proof of Work, kde je bezpečnost zajištěna komputací výkonnostně
náročných operací. Tento výkon je provázen energetickou náročností a v druhé řadě tento výkon
někde chybí. V rámci této simulace bychom chtěli vytvořit síť, která by simulovala těžaře těžící
virtuální měnu VSEcoin (neparametrické hodnoty simulace budou vycházet z implementace
Bitcoinu) a umožňovala nastavení volných parametrů: cena, výše odměny za PoW, náročnost
PoW. (cena bude v této simulaci nastavitelný parametr, protože v simulaci jde o vztah energetické náročnosti na vlastnostech z ceny odvozených a nejde nám o predikci ceny v žádném ohledu),

Těžaři - agenti, rozhodující se, zda
* budou těžit (schvalovat transakce do bloků)
* budou podvádět
* Nice to Have - vstoupí do těžebního clusteru (pro zvýšení šance na odměnu, ale snížení
hodnoty odměny)
Transakce - reálné a chybné (náhodné chyby i podvody)

'''Autor'''
Petr Hoza

'''Modelovací nástroj'''
Netlogo

'''Cíl simulace'''
Cílem simulace je zjistit, jakým stylem je provázána náročnost operací (bezpečnost,
energetická náročnost), cena (výše odměny).
Primárně, zda existuje nějaké optimum nastavené odměny pro zachování dostatečné bezpečnosti za
minimální energetické ceny.

[[User:Petr Hoza|Petr Hoza]] ([[User talk:Petr Hoza|talk]]) 14:36, 7 May 2021 (CET)

Assignment SS 2020/2021/cs

2021-05-07T12:29:14Z

Klei00: /* Optimalizace skladových zásob inkoustů */

{{DISPLAYTITLE:Zadání LS 2020/2021}}

{{Ambox
| text = <div>
Na tuto stránku vkládejte svá zadání. Nezapomeňte se podepsat. Můžete použít <nowiki>~~~~</nowiki> (čtyři tildy) k automatickému podpisu. Používejte Ukázat náhled, abyste si prohlédli Váš výsledek před konečným odesláním.
</div>
}}

{{Ambox
| text = <div>
Prosíme, snažte se formulovat Vaše zadání pečlive. S ohledem na to, že jde o Vaši semestrální práci, očekáváme adekvátní úsilí vynaložené na zadání. Nezapomeňte, že hlavním výsledkem má být výzkumná zpráva, což znamená, že Váš simulační model musí generovat takové výsledky, které jsou konkrétní, měřitelné a ověřitelné. Pečlivě promyslete, jakým způsobem budete vyvíjet Váš model, odvoďte entity, které budete používat, nakreslete si diagram modelu, zvažte, co budete měřit. Teprve pokud máte o modelu dostatečně přesnou představu, vložte Vaše zadání. A samozřejmě, nezapomeňte si prosím přečíst [[How to deal with the simulation assignment/cs|Jak na simulace]].
</div>
}}

{{Ambox
| text = <div>
Témata na téma hazardních her, karet, vývoje cen akcií/indexů nejsou vítány.
</div>
}}

{{Ambox
| type = content
| text = <div>
Abychom se vyhnuli případnému budoucímu nedorozumnění, prosíme, ověřte si, že máte tučné '''schváleno''' někde v našem komentáři pod Vaším zadání. Pokud tam není '''schváleno''', znamená to, že Vaše zadání dosud schváleno nebylo.
</div>
}}

== Simulace přenosové soustavy ==

Simulace bude postavena na reálných datech o výrobě a spotřebě elektrické energie v ČR a na datech o přitékající elektrické energii od našich sousedních států. Jejich výroba el. energie taktéž ovlivňuje i naši přenosovou síť. Z tohoto důvodu jsou na pomyslných hranicích naší přenosové soustavy PST transformáty, kde dispečeři regulují výrobu a spotřebu elektrické energie u nás. Pokud by od sítě přiteklo moc energie, mohlo by to přetížit přenosovou soustavu a tím způsobit rozsáhlé výpadky proudu. Pokud by takový výpadek nastal (z důvodu výrazné výkonové nerovnováhy) je nutné, co nejrychleji zajistit stabilitu přenosové sítě. Cílem modelu je nasimulovat přenosovou soustavu a její možnou ochranu proti blackoutům.

'''Autor'''
Michaela Tauchmanová

'''Typ modelu'''
Systémová dynamika

'''Modelovací nástroj'''
Vensim

'''Cíl simulace'''
Cílem modelu je nasimulovat přenosovou soustavu a její možnou ochranu proti blackoutům.

'''Data'''
Data o zatížení, přítoku energie atd. (ČEPS - https://www.ceps.cz/cs/data#Load)
Spotřeba a výroba za rok včetně dat o distribučních ztrátách apod. (Český statistický úřad – Energetické bilance – https://www.czso.cz/csu/czso/ene_cr)

[[User:Taum03|Taum03]] ([[User talk:Taum03|talk]]) 20:39, 6 May 2021 (CET)

:: '''Schváleno''' [[User:Oleg.Svatos|Oleg.Svatos]] ([[User talk:Oleg.Svatos|talk]]) 13:03, 7 May 2021 (CET)

== Nalezení nejideálnějšího množství nápojových stánků a TOITOI na hudebních festivalech ==

'''Název:''' Nalezení nejideálnějšího množství TOITOI na festivalech

'''Autor:''' vana06, Aneta Váňová

'''Nástroj:''' NetLogo

'''Typ modelu:''' Multiagentní

'''Popis modelu:'''
Venkovní hudební festivaly jsou jedny z nejpopulárnějších událostí, které návštěvníci v letním období navštěvují. Organizátoři těchto organizací musí často kalkulovat kapacitu celého festivalového objektu v návaznosti na popularitu vystupujícího. V návaznosti na tuto proměnou se musí vypořádat organizátoři s množstvím stánků s nápoji, které budou mít možnost prodeje právě na daném festivalu. Množství nápojových stánků však nemůže být neomezené z důvodu redukce prostoru. Zároveň je třeba najít takové optimální místo, aby návštěvníci festivalu netrávili většinu času festivalu právě ve frontách. Na základě následné doby pití a množství pití, které návštěvníci vypijí musí organizátoři počítat i s množstvím TOITOI mobilních toalet tak, aby jejich kapacita nebyla podhodnocena a návštěvníci se neuchylovali k obcházení pravidel festivalu.
K větší reálnosti modelu též přispěje fakt, že agenti se rozhodují v průběhu procesu.

'''Grafy''' budou znázorňovat:
* Počet čekajících návštěvníků u nápojových stánků v průběhu konání festivalu
* Počet čekajících u TOITOI v průběhu konání festivalu
* Průměrná doba čekání na nápoj
* Průměrná doba čekání na TOITOI
* Počet návštěvníků, kteří z důvodu dlouhého čekání obešli pravidla festivalu a vykonali svou potřebu za TOITOI
* Počet nespokojených zákazníků (měřeno na základě doby čekání na nápoj a nutnosti vykonat potřebu mimo TOITOI)

'''Agenti:'''
* '''Muži'''
** Potřeba pití nápojů je jednou za 30 minut (na základě [https://doi.org/10.1111/j.1530-0277.1990.tb00504.x Zdroj 1]) (určeno náhodným rozdělením)
** Na WC potřebují v případě, že kapacita močového měchýře byla naplněna 300–400 ml (určeno náhodně v rámci daného rozmezí) [https://books.google.cz/books?id=GspuCwAAQBAJ&dq=tvorba+mo%C4%8Di&hl=cs&source=gbs_navlinks_s Zdroj 2]
** Pravděpodobnost, že bude postupovat podle těchto čísel je 50% (rozhodování na základě aktuálních dat v procesu)
* '''Ženy'''
** Potřeba nového pití je jednou za 45 minut (na základě [https://doi.org/10.1111/j.1530-0277.1990.tb00504.x Zdroj 1]) (určeno náhodným rozdělením)
** Na WC potřebují v případě, že kapacita močového měchýře byla naplněna 150–250 ml (určeno náhodně v rámci daného rozmezí) [https://books.google.cz/books?id=GspuCwAAQBAJ&dq=tvorba+mo%C4%8Di&hl=cs&source=gbs_navlinks_s Zdroj 2]
** Pravděpodobnost, že budou postupovat podle těchto čísel je 50% (rozhodování na základě aktuálních dat v procesu)

'''Parametry modelu:'''
* Počet návštěvníků jednotlivých pohlaví (rozděleno vždy 50:50 z celkového množství)
* Počet stánků s nápoji
* Počet TOI TOI

'''Možná rozšíření:'''
* Simulaci by bylo možné rozšířit i o stánky s občerstvením (jídlem)
* Rozšíření o vliv počasí (teploty) a s tím spojenou větší konzumaci nápojů
* Rozšíření o pauzy v programu, kde větší množství návštěvníků zvažuje zakoupení nového nápoje nebo navštívení TOITOI, i když to není potřeba

'''Cíl simulace:''' Na základě očekávané návštěvnosti bude možné predikovat takové množství nápojových stánků a TOITOI tak, aby bylo optimální, a tudíž aby nedocházelo k obcházení pravidel a aby návštěvníci byli spokojeni.

'''Poznámka:''' Pro simulaci je čerpáno z dat, která jsou k dispozici k velikosti močového měchýře a množství pití, avšak množství dat k tomuto tématu je omezenější.

[[User:Vana06|Vana06]] ([[User talk:Vana06|talk]]) 22:28, 6 May 2021 (CET)

== Simulácia darcovského centra ==

Simulácia bude zobrazovať popis procesu odberu krvnej plazmy v dárcovskom centre. Bude pozostávať z registrácie na odber, konzultácie s lekárom, čakaním na odber, odberu samotného, odpočinkom a odchodom z centra.

Darcovia sa môžu objednávať na odber v 30 minutových intervaloch, pričom simulácia bude brať v potaz „high peaks“, kedy je množstvo darcov vzhľadom na kapacitu lôžok hraničné a bude sa snažiť optimalizovať ako počet lôžok, tak i kapacitu darcov v daných „high peaks“

Simulácia by pozostávala z 3 modelov:

*1. Simulácia štandarného provozu
*2. Optimalizácia procesu za účelom lepšej efektivity času vzhľadom na darcu - v momentálnej situácií v „high peaku“ darci čakajú i desiatky minút navyše voči objednanému času
*3. Simulácia letného provozu - v lete je štandardne počet darcov voči zbytku roku menší - v rámci letného provozu by teda bolo možné vymyslieť optimálnu stratégiu či už napríklad v rámci zníženie personálov/lekárov a podobne.

'''Autor'''
Marko Pira

'''Typ modelu'''
Diskrétní simulace

'''Modelovací nástroj'''
SimProcess

'''Entity'''
Darca

'''Zdroje'''
*Lékar
*Personál
*Skrinka
*(Odberové) lôžko
*(Tuba) plazmy - v rámci simulácie zistíme, koľko tub plazmy denne centrum zvládne odobrať

'''Cíl simulace'''
Cieľom je nasimulovať štandardný stav centra a následne proces optimalizovať pomocou zdrojov. Ďalším cieľom je simulácia letného provozu centra a stratégie optimalizácie zdrojov, aby nedochádzalo k ich nevyužitiu

'''Data'''
Data budú získané od anonymizovaného dárcovského centra v Prahe

[[User:Pirm01|Pirm01]] ([[User talk:Pirm01|talk]]) 08:53, 7 May 2021 (CET)

== Simulace včelařství ==

Simulace bude znázorňovat malý včelařský podnik. V modelu se bude vyskytovat prodejní místo, včelař, včely medonosné, včelí úly a louka. Med reprodukuji včely, jejichž reprodukce je závislá na tom, jaké je aktuálně počasí a které rostliny jsou v blízkosti dostupné k opylení. Muže se také stát, ze včely onemocní nebo dojde k prudkému výkyvu počasí. Vytvořeny med zpracuje včelař, který ho následně prodává na malém prodejním místě. Může se stát, že med bude nekvalitní, či ho bude málo, což ovlivní koncové prodeje. Od včelaře med kupují zákazníci nehledě na to, jakou má aktuálně produkci - poptávka je tedy nepřetržitá. Vycházet se bude z dat diplomové práce, která simulovala procesy probíhající ve včelím úle.

'''Autor'''
Kateřina Zemánková

'''Typ modelu'''
Systémová dynamika

'''Modelovací nástroj'''
Vensim

'''Cíl simulace'''
Cílem bude dokázat, zda v průběhu času bude včelař stále prosperovat, i vzhledem k proměnlivému počasí a hrozbě včelí nemoci, a jaký je optimální počet včelích úlů pro maximalizaci zisku.

'''Data'''
Diplomová práce Modelování a simulace přírodních zdrojů - https://is.muni.cz/th/mrhe1/SDIPR.pdf

[[User:zemk05|zemk05]] ([[User talk:zemk05|talk]]) 10:05, 7 May 2021 (CET)

== Simulace migrace lidí do Evropy ==

Migrace lidí do Evropy je velmi časté téma dnešní doby. Faktory migrace mohou být ekonomické, věk, podnebí, současná situace v zemi, atd. V oblastech konfliktů, společenských (včetně politických) nebo ekonomických rozdílů migrace představují závažný socioekonomický problém. Migrace mohou být dobrovolné, za prací či za příbuznými, či nucené (jejichž příčinou je zpravidla silné zhoršení životních podmínek, válečný stav, diktatury atd.).
Migrace probíhá přes tři hlavní migrační trasy do EU - východní, centrální a západní středomořské trasy.
V sociologii je migrace spolu s porodností a úmrtností klíčovým prvkem v procesu populačního vývoje a výrazně ovlivňuje společenské a kulturní změny obyvatel na všech úrovních. S ekonomickým rozvojem se intenzita migrace dále zvyšuje.

'''Autor'''
Martina Riegerová

'''Typ modelu'''
Systémová dynamika

'''Modelovací nástroj'''
Vensim

'''Cíl simulace'''
Simulace by predikovala vnější migraci, kde by na následující období 10ti let dle daných faktorů predikovala počty nových příchozích migrantů do Evropy.

'''Data'''
Data o migracích - https://www.unhcr.org/cz/ , https://www.mvcr.cz/migrace/aktualni-zpravodajstvi.aspx , https://www.unhcr.org/environment-disasters-and-climate-change.html

[[User:Riem00|riem00]] ([[User talk:Riem00|talk]]) 10:31, 7 May 2021 (CET)

:: Tématicky by to šlo - co všechno by ta vaše simulace zahrnovala (simulovala)? - všechno to, co máte v tom úvodním odstavci? [[User:Oleg.Svatos|Oleg.Svatos]] ([[User talk:Oleg.Svatos|talk]]) 13:09, 7 May 2021 (CET)

== Simulace vytváření kytic ==

'''Autor:''' Martin Šatra (satm03)

'''Typ modelu:''' Multiagentní

'''Nástroj:''' NetLogo

'''Popis modelu:'''

Při dobývání dívčího srdce je možné využívat mnoho způsobů. Jedním z nich je zasypat svou milou květinami. Obecně pak platí, že čím více květin dívka obdrží, tím více pookřeje. Právě sběr květin a vytváření kytic z nich je hlavním námětem vytvářeného modelu.

V modelu je prostředí definováno jako louka, na které rostou květiny a vyskytují se překážky (skalky). Vybranou louku si pak vyhlídla za účelem vytváření kytic pro své milé čtveřice chlapců. Všichni vědí, že počet květin, které poberou bez toho aniž by je poničili, není nekonečný. Z tohoto důvodu si každý vybudoval své stinné stanoviště, kam si bude shromažďovat své květiny, případně již celé kytice. Skutečnost, že se jedná o uzavřenou louku s omezeným počtem květin činí z chlapců vzájemné soupeře. Každý chlapec si tedy vytvořil svojí strategii, se kterou bude při sbírání květin a vytváření kytic postupovat. (Popisy jednotlivých strategií chlapců jsou v části Agenti.)

Je také dobré podotknout to, že aby byla kytice shledána dostatečně atraktivní, měla by být složena více květin rozličných barev. Za účely tohoto modelu pak definujeme, že kytice se musí vytvořit z květin o 3 různých barvách (bílá, modrá, žlutá).

Chlapci mohou unést až 9 květin (popřípadě 3 kytice) bez toho aniž by je poničili. Proto se v případě, kdy již natrhali 9 květin, musí vrátit na své stanoviště, kde tyto květiny (popřípadě vytvořené kytice) uloží. V případě, že chlapci již nemohou plnit své strategie z důvodů vyčerpání potřebných zdrojů (květin), vrátí se každý na své stanoviště.

'''Agenti:'''
*Jára - Postupuje tak, že chce vytvořit kytice co nejdříve. Při trhání květin tedy postupuje tak, že nejprve utrhne nejbližší květinu jednoho druhu, poté nejbližší květinu druhého druhu, a nakonec nejbližší květinu třetího druhu. Když má vše potřebné (3 druhy květin), pak ihned vytvoří kytici. Poté, co má plné ruce kytic, je jde zanést na své stanoviště.
*Jiří - Má podobnou filozofii jako Jára, tedy trhat květiny po jednotlivém druhu tak, aby měl co nejdříve vše potřebné pro vytvoření nové kytice. Nechce však kytice vytvářet při sbírání, ale až po návratu na své stanoviště.
*Zdeněk - Zdeněk ví, že dokáže unést maximálně 9 květin. Vypočítal si, že z tohoto množství lze vytvořit maximálně 3 kytice. Z tohoto důvodu nejprve trhá nejbližší 3 květiny jednoho druhu, poté nejbližší 3 květiny druhého druhu a nakonec nejblíže se nacházející 3 květiny třetího druhu. Když má plné ruce, odejde na své stanoviště a vytvoří z natrhaných květin kytice.
*Vladislav - Vladislav nechce při trhání květin moc přemýšlet, a tak trhá ty nejbližší co mu přijdou pod ruku. Když má plné ruce jde na své stanoviště a vytvoří tolik kytic, co je jen možné, nevyužité květiny, z nichž již nešlo vytvořit kytice, zůstanou na jeho stanovišti a mohou být využity při další Vladislavově donášce.

'''Cíl simulace:'''
Cílem simulace je pozorovat efektivnost jednotlivých strategií chlapců a na základě nabytých poznatků rozhodnout, která strategie je za daných parametrů nejoptimálnější.

'''Parametry:'''
*Počet bílých květin
*Počet modrých květin
*Počet žlutých květin
*Počet překážek na louce
*Doba pro vytvoření kytice
*Rychlost chlapce

'''Výstupy:'''
*Graf znázorňující množství vytvořených kytic pro jednotlivé hráče v čase
*Aktuální počet kytic vytvořených každým hráčem
*Aktuální počet květin (z nichž ještě nejsou, nebo dokonce nikdy nebudou kytice) v držení každého hráče
*Průměrná doba pro vytvoření kytice za každého hráče (celkový čas od počátku simulace po konečný návrat chlapce na stanoviště ku množství chlapcem vytvořených kytic)

'''Možná rozšíření:'''
Model je dosti jednostranně zaměřený, avšak mohl by být stále více přibližován reálné situaci. Agenti, chlapci, by mohly mít další atributy jako je například výdrž. Květiny by mohly mít určenou dobu, za kterou po utržení uschnou. Do hry by mohly vstupovat také parametry počasí, které by měly vliv, jak na výdrž chlapce, tak na odolnost květiny. Na louce by se mohly objevit i jiné objekty, či dokonce na hráče číhající nebezpečí.

'''Poznámka:'''
Jsem si vědom, že podobný námět s poměřováním strategií již existuje (Simulácia zberu jahôd (Netlogo) - Juraj Bačovčin), avšak myslím, že simulace popsána výše se dosti odlišuje, co se jejího vytvoření týče.

[[User:Satm03|Satm03]] ([[User talk:Satm03|talk]]) 12:09, 7 May 2021 (CET)

== Optimalizace skladových zásob inkoustů ==
'''Autor:''' Iveta Kleníková (klei00)

'''Typ modelu:''' Systémová dynamika

'''Nástroj:''' VensimPLE

'''Popis modelu:'''
Společnost B je českým dodavatelem ekosolventních inkoustů a dalšího spotřebního materiálu do velkoformátových tiskáren. Inkousty se prodávají v jednolitrových lahvích ve čtyřech barvách (CMYK). 
Každý inkoust má z výroby roční expiraci. Ovšem na sklad se inkousty dostávají ve valné většině případů už cca 3 měsíce staré. Ideální je prodat inkoust v prvních třech měsících (tj. 4-6 měsíců staré), jelikož starší inkousty už zákazníci nechtějí kupovat z důvodu, že by je nestihli do data expirace vypotřebovat. Inkousty staré 7 měsíců se ještě dají prodat, ovšem pouze s určitou slevou. Starší inkousty se již neprodají a je potřeba je za určitý poplatek ekologicky zlikvidovat. Inkousty se prodávají metodou FIFO (časovou jednotkou je měsíc). 
Při objednávání inkoustů na sklad tu hraje roli spodní a horní limit skladových zásob. V případě snížení skladových zásob pod spodní limit dochází k objednání inkoustů až do výše horního limitu. Inkousty se objednávají vždy po celých baleních po 10 kusech.

'''Vstupní parametry:'''
* Poptávka po jednotlivých barvách inkoustu
* Fixní náklady (mzda skladníka, nájem skladu, energie)
* Nákupní cena jednotlivých barev inkoustu (zahrnuje i rozpočítanou dopravu)
* Prodejní cena jednotlivých barev inkoustu
* Cena za likvidaci jednoho litru inkoustu

'''Cíl simulace:'''
Cílem simulace je nalézt optimální limity skladových zásob tak, aby firma zbytečně nenaskladňovala velké množství inkoustů, které se nakonec neprodají a budou muset být zlikvidovány. Zároveň je vhodné, aby poptávka byla ideálně plně uspokojena.

'''Data:'''
Jako podklad simulace budou použita reálná interní data o prodejích a nákupních cenách inkoustů dané společnosti.

[[User:Klei00|Klei00]] ([[User talk:Klei00|talk]]) 14:26, 7 May 2021 (CET)

Assignment SS 2020/2021/cs

2021-05-07T12:26:49Z

Klei00:

{{DISPLAYTITLE:Zadání LS 2020/2021}}

{{Ambox
| text = <div>
Na tuto stránku vkládejte svá zadání. Nezapomeňte se podepsat. Můžete použít <nowiki>~~~~</nowiki> (čtyři tildy) k automatickému podpisu. Používejte Ukázat náhled, abyste si prohlédli Váš výsledek před konečným odesláním.
</div>
}}

{{Ambox
| text = <div>
Prosíme, snažte se formulovat Vaše zadání pečlive. S ohledem na to, že jde o Vaši semestrální práci, očekáváme adekvátní úsilí vynaložené na zadání. Nezapomeňte, že hlavním výsledkem má být výzkumná zpráva, což znamená, že Váš simulační model musí generovat takové výsledky, které jsou konkrétní, měřitelné a ověřitelné. Pečlivě promyslete, jakým způsobem budete vyvíjet Váš model, odvoďte entity, které budete používat, nakreslete si diagram modelu, zvažte, co budete měřit. Teprve pokud máte o modelu dostatečně přesnou představu, vložte Vaše zadání. A samozřejmě, nezapomeňte si prosím přečíst [[How to deal with the simulation assignment/cs|Jak na simulace]].
</div>
}}

{{Ambox
| text = <div>
Témata na téma hazardních her, karet, vývoje cen akcií/indexů nejsou vítány.
</div>
}}

{{Ambox
| type = content
| text = <div>
Abychom se vyhnuli případnému budoucímu nedorozumnění, prosíme, ověřte si, že máte tučné '''schváleno''' někde v našem komentáři pod Vaším zadání. Pokud tam není '''schváleno''', znamená to, že Vaše zadání dosud schváleno nebylo.
</div>
}}

== Simulace přenosové soustavy ==

Simulace bude postavena na reálných datech o výrobě a spotřebě elektrické energie v ČR a na datech o přitékající elektrické energii od našich sousedních států. Jejich výroba el. energie taktéž ovlivňuje i naši přenosovou síť. Z tohoto důvodu jsou na pomyslných hranicích naší přenosové soustavy PST transformáty, kde dispečeři regulují výrobu a spotřebu elektrické energie u nás. Pokud by od sítě přiteklo moc energie, mohlo by to přetížit přenosovou soustavu a tím způsobit rozsáhlé výpadky proudu. Pokud by takový výpadek nastal (z důvodu výrazné výkonové nerovnováhy) je nutné, co nejrychleji zajistit stabilitu přenosové sítě. Cílem modelu je nasimulovat přenosovou soustavu a její možnou ochranu proti blackoutům.

'''Autor'''
Michaela Tauchmanová

'''Typ modelu'''
Systémová dynamika

'''Modelovací nástroj'''
Vensim

'''Cíl simulace'''
Cílem modelu je nasimulovat přenosovou soustavu a její možnou ochranu proti blackoutům.

'''Data'''
Data o zatížení, přítoku energie atd. (ČEPS - https://www.ceps.cz/cs/data#Load)
Spotřeba a výroba za rok včetně dat o distribučních ztrátách apod. (Český statistický úřad – Energetické bilance – https://www.czso.cz/csu/czso/ene_cr)

[[User:Taum03|Taum03]] ([[User talk:Taum03|talk]]) 20:39, 6 May 2021 (CET)

:: '''Schváleno''' [[User:Oleg.Svatos|Oleg.Svatos]] ([[User talk:Oleg.Svatos|talk]]) 13:03, 7 May 2021 (CET)

== Nalezení nejideálnějšího množství nápojových stánků a TOITOI na hudebních festivalech ==

'''Název:''' Nalezení nejideálnějšího množství TOITOI na festivalech

'''Autor:''' vana06, Aneta Váňová

'''Nástroj:''' NetLogo

'''Typ modelu:''' Multiagentní

'''Popis modelu:'''
Venkovní hudební festivaly jsou jedny z nejpopulárnějších událostí, které návštěvníci v letním období navštěvují. Organizátoři těchto organizací musí často kalkulovat kapacitu celého festivalového objektu v návaznosti na popularitu vystupujícího. V návaznosti na tuto proměnou se musí vypořádat organizátoři s množstvím stánků s nápoji, které budou mít možnost prodeje právě na daném festivalu. Množství nápojových stánků však nemůže být neomezené z důvodu redukce prostoru. Zároveň je třeba najít takové optimální místo, aby návštěvníci festivalu netrávili většinu času festivalu právě ve frontách. Na základě následné doby pití a množství pití, které návštěvníci vypijí musí organizátoři počítat i s množstvím TOITOI mobilních toalet tak, aby jejich kapacita nebyla podhodnocena a návštěvníci se neuchylovali k obcházení pravidel festivalu.
K větší reálnosti modelu též přispěje fakt, že agenti se rozhodují v průběhu procesu.

'''Grafy''' budou znázorňovat:
* Počet čekajících návštěvníků u nápojových stánků v průběhu konání festivalu
* Počet čekajících u TOITOI v průběhu konání festivalu
* Průměrná doba čekání na nápoj
* Průměrná doba čekání na TOITOI
* Počet návštěvníků, kteří z důvodu dlouhého čekání obešli pravidla festivalu a vykonali svou potřebu za TOITOI
* Počet nespokojených zákazníků (měřeno na základě doby čekání na nápoj a nutnosti vykonat potřebu mimo TOITOI)

'''Agenti:'''
* '''Muži'''
** Potřeba pití nápojů je jednou za 30 minut (na základě [https://doi.org/10.1111/j.1530-0277.1990.tb00504.x Zdroj 1]) (určeno náhodným rozdělením)
** Na WC potřebují v případě, že kapacita močového měchýře byla naplněna 300–400 ml (určeno náhodně v rámci daného rozmezí) [https://books.google.cz/books?id=GspuCwAAQBAJ&dq=tvorba+mo%C4%8Di&hl=cs&source=gbs_navlinks_s Zdroj 2]
** Pravděpodobnost, že bude postupovat podle těchto čísel je 50% (rozhodování na základě aktuálních dat v procesu)
* '''Ženy'''
** Potřeba nového pití je jednou za 45 minut (na základě [https://doi.org/10.1111/j.1530-0277.1990.tb00504.x Zdroj 1]) (určeno náhodným rozdělením)
** Na WC potřebují v případě, že kapacita močového měchýře byla naplněna 150–250 ml (určeno náhodně v rámci daného rozmezí) [https://books.google.cz/books?id=GspuCwAAQBAJ&dq=tvorba+mo%C4%8Di&hl=cs&source=gbs_navlinks_s Zdroj 2]
** Pravděpodobnost, že budou postupovat podle těchto čísel je 50% (rozhodování na základě aktuálních dat v procesu)

'''Parametry modelu:'''
* Počet návštěvníků jednotlivých pohlaví (rozděleno vždy 50:50 z celkového množství)
* Počet stánků s nápoji
* Počet TOI TOI

'''Možná rozšíření:'''
* Simulaci by bylo možné rozšířit i o stánky s občerstvením (jídlem)
* Rozšíření o vliv počasí (teploty) a s tím spojenou větší konzumaci nápojů
* Rozšíření o pauzy v programu, kde větší množství návštěvníků zvažuje zakoupení nového nápoje nebo navštívení TOITOI, i když to není potřeba

'''Cíl simulace:''' Na základě očekávané návštěvnosti bude možné predikovat takové množství nápojových stánků a TOITOI tak, aby bylo optimální, a tudíž aby nedocházelo k obcházení pravidel a aby návštěvníci byli spokojeni.

'''Poznámka:''' Pro simulaci je čerpáno z dat, která jsou k dispozici k velikosti močového měchýře a množství pití, avšak množství dat k tomuto tématu je omezenější.

[[User:Vana06|Vana06]] ([[User talk:Vana06|talk]]) 22:28, 6 May 2021 (CET)

== Simulácia darcovského centra ==

Simulácia bude zobrazovať popis procesu odberu krvnej plazmy v dárcovskom centre. Bude pozostávať z registrácie na odber, konzultácie s lekárom, čakaním na odber, odberu samotného, odpočinkom a odchodom z centra.

Darcovia sa môžu objednávať na odber v 30 minutových intervaloch, pričom simulácia bude brať v potaz „high peaks“, kedy je množstvo darcov vzhľadom na kapacitu lôžok hraničné a bude sa snažiť optimalizovať ako počet lôžok, tak i kapacitu darcov v daných „high peaks“

Simulácia by pozostávala z 3 modelov:

*1. Simulácia štandarného provozu
*2. Optimalizácia procesu za účelom lepšej efektivity času vzhľadom na darcu - v momentálnej situácií v „high peaku“ darci čakajú i desiatky minút navyše voči objednanému času
*3. Simulácia letného provozu - v lete je štandardne počet darcov voči zbytku roku menší - v rámci letného provozu by teda bolo možné vymyslieť optimálnu stratégiu či už napríklad v rámci zníženie personálov/lekárov a podobne.

'''Autor'''
Marko Pira

'''Typ modelu'''
Diskrétní simulace

'''Modelovací nástroj'''
SimProcess

'''Entity'''
Darca

'''Zdroje'''
*Lékar
*Personál
*Skrinka
*(Odberové) lôžko
*(Tuba) plazmy - v rámci simulácie zistíme, koľko tub plazmy denne centrum zvládne odobrať

'''Cíl simulace'''
Cieľom je nasimulovať štandardný stav centra a následne proces optimalizovať pomocou zdrojov. Ďalším cieľom je simulácia letného provozu centra a stratégie optimalizácie zdrojov, aby nedochádzalo k ich nevyužitiu

'''Data'''
Data budú získané od anonymizovaného dárcovského centra v Prahe

[[User:Pirm01|Pirm01]] ([[User talk:Pirm01|talk]]) 08:53, 7 May 2021 (CET)

== Simulace včelařství ==

Simulace bude znázorňovat malý včelařský podnik. V modelu se bude vyskytovat prodejní místo, včelař, včely medonosné, včelí úly a louka. Med reprodukuji včely, jejichž reprodukce je závislá na tom, jaké je aktuálně počasí a které rostliny jsou v blízkosti dostupné k opylení. Muže se také stát, ze včely onemocní nebo dojde k prudkému výkyvu počasí. Vytvořeny med zpracuje včelař, který ho následně prodává na malém prodejním místě. Může se stát, že med bude nekvalitní, či ho bude málo, což ovlivní koncové prodeje. Od včelaře med kupují zákazníci nehledě na to, jakou má aktuálně produkci - poptávka je tedy nepřetržitá. Vycházet se bude z dat diplomové práce, která simulovala procesy probíhající ve včelím úle.

'''Autor'''
Kateřina Zemánková

'''Typ modelu'''
Systémová dynamika

'''Modelovací nástroj'''
Vensim

'''Cíl simulace'''
Cílem bude dokázat, zda v průběhu času bude včelař stále prosperovat, i vzhledem k proměnlivému počasí a hrozbě včelí nemoci, a jaký je optimální počet včelích úlů pro maximalizaci zisku.

'''Data'''
Diplomová práce Modelování a simulace přírodních zdrojů - https://is.muni.cz/th/mrhe1/SDIPR.pdf

[[User:zemk05|zemk05]] ([[User talk:zemk05|talk]]) 10:05, 7 May 2021 (CET)

== Simulace migrace lidí do Evropy ==

Migrace lidí do Evropy je velmi časté téma dnešní doby. Faktory migrace mohou být ekonomické, věk, podnebí, současná situace v zemi, atd. V oblastech konfliktů, společenských (včetně politických) nebo ekonomických rozdílů migrace představují závažný socioekonomický problém. Migrace mohou být dobrovolné, za prací či za příbuznými, či nucené (jejichž příčinou je zpravidla silné zhoršení životních podmínek, válečný stav, diktatury atd.).
Migrace probíhá přes tři hlavní migrační trasy do EU - východní, centrální a západní středomořské trasy.
V sociologii je migrace spolu s porodností a úmrtností klíčovým prvkem v procesu populačního vývoje a výrazně ovlivňuje společenské a kulturní změny obyvatel na všech úrovních. S ekonomickým rozvojem se intenzita migrace dále zvyšuje.

'''Autor'''
Martina Riegerová

'''Typ modelu'''
Systémová dynamika

'''Modelovací nástroj'''
Vensim

'''Cíl simulace'''
Simulace by predikovala vnější migraci, kde by na následující období 10ti let dle daných faktorů predikovala počty nových příchozích migrantů do Evropy.

'''Data'''
Data o migracích - https://www.unhcr.org/cz/ , https://www.mvcr.cz/migrace/aktualni-zpravodajstvi.aspx , https://www.unhcr.org/environment-disasters-and-climate-change.html

[[User:Riem00|riem00]] ([[User talk:Riem00|talk]]) 10:31, 7 May 2021 (CET)

:: Tématicky by to šlo - co všechno by ta vaše simulace zahrnovala (simulovala)? - všechno to, co máte v tom úvodním odstavci? [[User:Oleg.Svatos|Oleg.Svatos]] ([[User talk:Oleg.Svatos|talk]]) 13:09, 7 May 2021 (CET)

== Simulace vytváření kytic ==

'''Autor:''' Martin Šatra (satm03)

'''Typ modelu:''' Multiagentní

'''Nástroj:''' NetLogo

'''Popis modelu:'''

Při dobývání dívčího srdce je možné využívat mnoho způsobů. Jedním z nich je zasypat svou milou květinami. Obecně pak platí, že čím více květin dívka obdrží, tím více pookřeje. Právě sběr květin a vytváření kytic z nich je hlavním námětem vytvářeného modelu.

V modelu je prostředí definováno jako louka, na které rostou květiny a vyskytují se překážky (skalky). Vybranou louku si pak vyhlídla za účelem vytváření kytic pro své milé čtveřice chlapců. Všichni vědí, že počet květin, které poberou bez toho aniž by je poničili, není nekonečný. Z tohoto důvodu si každý vybudoval své stinné stanoviště, kam si bude shromažďovat své květiny, případně již celé kytice. Skutečnost, že se jedná o uzavřenou louku s omezeným počtem květin činí z chlapců vzájemné soupeře. Každý chlapec si tedy vytvořil svojí strategii, se kterou bude při sbírání květin a vytváření kytic postupovat. (Popisy jednotlivých strategií chlapců jsou v části Agenti.)

Je také dobré podotknout to, že aby byla kytice shledána dostatečně atraktivní, měla by být složena více květin rozličných barev. Za účely tohoto modelu pak definujeme, že kytice se musí vytvořit z květin o 3 různých barvách (bílá, modrá, žlutá).

Chlapci mohou unést až 9 květin (popřípadě 3 kytice) bez toho aniž by je poničili. Proto se v případě, kdy již natrhali 9 květin, musí vrátit na své stanoviště, kde tyto květiny (popřípadě vytvořené kytice) uloží. V případě, že chlapci již nemohou plnit své strategie z důvodů vyčerpání potřebných zdrojů (květin), vrátí se každý na své stanoviště.

'''Agenti:'''
*Jára - Postupuje tak, že chce vytvořit kytice co nejdříve. Při trhání květin tedy postupuje tak, že nejprve utrhne nejbližší květinu jednoho druhu, poté nejbližší květinu druhého druhu, a nakonec nejbližší květinu třetího druhu. Když má vše potřebné (3 druhy květin), pak ihned vytvoří kytici. Poté, co má plné ruce kytic, je jde zanést na své stanoviště.
*Jiří - Má podobnou filozofii jako Jára, tedy trhat květiny po jednotlivém druhu tak, aby měl co nejdříve vše potřebné pro vytvoření nové kytice. Nechce však kytice vytvářet při sbírání, ale až po návratu na své stanoviště.
*Zdeněk - Zdeněk ví, že dokáže unést maximálně 9 květin. Vypočítal si, že z tohoto množství lze vytvořit maximálně 3 kytice. Z tohoto důvodu nejprve trhá nejbližší 3 květiny jednoho druhu, poté nejbližší 3 květiny druhého druhu a nakonec nejblíže se nacházející 3 květiny třetího druhu. Když má plné ruce, odejde na své stanoviště a vytvoří z natrhaných květin kytice.
*Vladislav - Vladislav nechce při trhání květin moc přemýšlet, a tak trhá ty nejbližší co mu přijdou pod ruku. Když má plné ruce jde na své stanoviště a vytvoří tolik kytic, co je jen možné, nevyužité květiny, z nichž již nešlo vytvořit kytice, zůstanou na jeho stanovišti a mohou být využity při další Vladislavově donášce.

'''Cíl simulace:'''
Cílem simulace je pozorovat efektivnost jednotlivých strategií chlapců a na základě nabytých poznatků rozhodnout, která strategie je za daných parametrů nejoptimálnější.

'''Parametry:'''
*Počet bílých květin
*Počet modrých květin
*Počet žlutých květin
*Počet překážek na louce
*Doba pro vytvoření kytice
*Rychlost chlapce

'''Výstupy:'''
*Graf znázorňující množství vytvořených kytic pro jednotlivé hráče v čase
*Aktuální počet kytic vytvořených každým hráčem
*Aktuální počet květin (z nichž ještě nejsou, nebo dokonce nikdy nebudou kytice) v držení každého hráče
*Průměrná doba pro vytvoření kytice za každého hráče (celkový čas od počátku simulace po konečný návrat chlapce na stanoviště ku množství chlapcem vytvořených kytic)

'''Možná rozšíření:'''
Model je dosti jednostranně zaměřený, avšak mohl by být stále více přibližován reálné situaci. Agenti, chlapci, by mohly mít další atributy jako je například výdrž. Květiny by mohly mít určenou dobu, za kterou po utržení uschnou. Do hry by mohly vstupovat také parametry počasí, které by měly vliv, jak na výdrž chlapce, tak na odolnost květiny. Na louce by se mohly objevit i jiné objekty, či dokonce na hráče číhající nebezpečí.

'''Poznámka:'''
Jsem si vědom, že podobný námět s poměřováním strategií již existuje (Simulácia zberu jahôd (Netlogo) - Juraj Bačovčin), avšak myslím, že simulace popsána výše se dosti odlišuje, co se jejího vytvoření týče.

[[User:Satm03|Satm03]] ([[User talk:Satm03|talk]]) 12:09, 7 May 2021 (CET)

== Optimalizace skladových zásob inkoustů ==
'''Autor:''' Iveta Kleníková (klei00)

'''Typ modelu:''' Systémová dynamika

'''Nástroj:''' VensimPLE

'''Popis modelu:'''
Společnost B je českým dodavatelem ekosolventních inkoustů a dalšího spotřebního materiálu do velkoformátových tiskáren. Inkousty se prodávají v jednolitrových lahvích ve čtyřech barvách (CMYK). 
Každý inkoust má z výroby roční expiraci. Ovšem na sklad se inkousty dostávají ve valné většině případů už cca 3 měsíce staré. Ideální je prodat inkoust v prvních třech měsících (tj. 4-6 měsíců staré), jelikož starší inkousty už zákazníci nechtějí kupovat z důvodu, že by je nestihli do data expirace vypotřebovat. Inkousty staré 7 měsíců se ještě dají prodat, ovšem pouze s určitou slevou. Starší inkousty se již neprodají a je potřeba je za určitý poplatek ekologicky zlikvidovat. Inkousty se prodávají metodou FIFO (časovou jednotkou je měsíc). 
Při objednávání inkoustů na sklad tu hraje roli spodní a horní limit skladových zásob. V případě snížení skladových zásob pod spodní limit dochází k objednání inkoustů až do výše horního limitu. Inkousty se objednávají vždy po celých baleních po 10 kusech.

'''Vstupní parametry:'''
* Poptávka po jednotlivých barvách inkoustu
* Fixní náklady (mzda skladníka, nájem skladu, energie)
* Nákupní cena jednotlivých barev inkoustu (zahrnuje i rozpočítanou dopravu)
* Prodejní cena jednotlivých barev inkoustu
* Cena za likvidaci jednoho litru inkoustu

'''Cíl simulace:'''
Cílem simulace je nalézt optimální limity skladových zásob tak, aby firma zbytečně nenaskladňovala velké množství inkoustů, které se nakonec neprodají a budou muset být zlikvidovány. Zároveň je vhodné, aby poptávka byla ideálně plně uspokojena.

'''Data:'''
Jako podklad simulace budou použita reálná interní data o prodejích a nákupních cenách inkoustů dané společnosti.
[[User:Klei00|Klei00]] ([[User talk:Klei00|talk]]) 14:26, 7 May 2021 (CET)

Exponential distribution/cs

2021-04-22T21:19:09Z

Klei00: Chybějící mezera

{{DISPLAYTITLE:Exponenciální rozdělení}}
=Úvod=

Exponenciální rozdělení představuje jedno ze základních [[Probability distributions/cs|pravděpodobnostních rozdělení]]. Společně s rovnoměrným, normálním či logritmicko-normálním rozdělením spadá do spojitých rozdělení. Náhodná veličina, která má exponenciální rozdělení, představuje dobu čekání mezi dvěma jevy, které nastávají s pravděpodobností mající [[Poisson distribution/cs|Poissonovo rozdělení]] (např. doba mezi dvěma nehodami na dálnici). Dalo by se tedy říct, že exponenciální rozdělení je spojitým protějškem Poissonova rozdělení.<ref name="neubauer">NEUBAUER, Jiří, Marek SEDLAČÍK a Oldřich KŘÍŽ. Základy statistiky: Aplikace v technických a ekonomických oborech. 2. rozšířené vydání. Praha: Grada Publishing, 2016, s. 121-124. ISBN 978-80-247-5786-5</ref> 
Jako příklad souvislosti Poissonova a exponenciálního rozdělení lze uvést již zmíněné autonehody na dálnici. Poissonovo rozdělení zde popisuje počet autonehod na dané dálnici za určitý časový interval, například v průměru 2 autonehody za den. Exponenciální rozdělení pak popisuje dobu do výskytu první autonehody, nebo dobu mezi dvěma autonehodami. V tomto příkladu by to bylo v průměru 1/2 dne (střední hodnota těchto dvou rozdělení je vzájemně převrácenou hodnotou).

=Terminologie=
==Definice==
[[File:hustota.gif|thumb|400px|right||Obr. 1: Funkce hustoty pravděpodobnosti exponenciálního rozdělení<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref>]]
[[File:disfce.gif|thumb|400px|right||Obr. 2: Distribuční funkce exponenciálního rozdělení<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref>]]
Spojitá náhodná veličina X má exponenciální rozdělení <math>Exp(\lambda)</math>, právě tehdy, když má funkce hustoty pravděpodobnosti tvar:<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref> 
<math>f(x)=\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math> 
Distribuční funkce je potom popsaná rovnicemi:<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref> 
<math>F(x)=\begin{cases}
1-e^{-\lambda x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math> 

==Vlastnosti==
Jednoparametrové exponenciální rozdělení se značí jako <math>X \sim Exp( \lambda )</math>, kde parametr <math>\lambda</math> představuje střední hodnotu počtu jevů, které nastanou v daný časový interval. Jelikož počet jevů je vždy kladné číslo, tak pro parametr platí <math>\lambda>0</math>. Střední hodnota exponenciálního rozdělení se pak počítá jako <math>EX={1 \over \lambda}</math> a rozptyl exponenciálního rozdělení se počítá jako <math>varX={1 \over \lambda^2}</math>.<ref name="kulich">KULICH, Michal. Přehled pravděpodobnostních rozdělení. Praha: Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova, 2009 [online]. [cit. 2021-04-21]. Dostupné z: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~pesta/NSTP097/rozdeleni.pdf</ref>
{| class="wikitable"
|+Vlastnosti exponenciálního rozdělení<ref name="kulich">KULICH, Michal. Přehled pravděpodobnostních rozdělení. Praha: Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova, 2009 [online]. [cit. 2021-04-21]. Dostupné z: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~pesta/NSTP097/rozdeleni.pdf</ref>
|-
|Značení
|<math>X \sim Exp( \lambda )</math>
|-
|Parametry
|<math>\lambda>0</math>
|-
|Nosič
|<math>X \in (0,\infty)</math>
|-
|Hustota pravděpodobnosti
|<math>f(x)=\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math>
|-
|Distribuční funkce
|<math>F(x)=\begin{cases}
1-e^{-\lambda x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math>
|-
|Střední hodnota
|<math>EX={1 \over \lambda}</math>
|-
|Rozptyl
|<math>varX={1 \over \lambda^2}</math>
|}

=Reálné aplikace=
Jak již bylo zmíněno, exponenciální rozdělení popisuje dobu čekání na určitý jev, či dobu mezi dvěma jevy, jejichž výskyt je dán [[Poisson distribution/cs|Poissonovým rozdělením]]. Obě tato rozdělení hrají důležitou roli například v teorii spolehlivosti či v teorii hromadné obsluhy.

==Teorie spolehlivosti==
Teorie spolehlivosti zahrnuje problematiku související s konstrukcí výrobků, s použitými materiály a s diagnostikou údržby a soustředí se na odhady a optimalizaci bezporuchového provozu výrobků. Spolehlivost výrobku lze popsat jako jeho vlastnost splňovat určitou funkci po danou dobu a za daných podmínek.<ref name="bris">BRIS, Radim. Základy teorie spolehlivosti. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007 [online]. [cit. 2021-04-21]. Dostupné z: https://homel.vsb.cz/~bri10/Teaching/Statistika%20II/skriptum/4_Teorie_spolehlivosti.PDF</ref> 
Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika zde mají hlavní roli v určování odhadů a stanovování prognóz ohledně bezporuchovosti či životnosti výrobků.<ref name="bris">BRIS, Radim. Základy teorie spolehlivosti. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007 [online]. [cit. 2021-04-21]. Dostupné z: https://homel.vsb.cz/~bri10/Teaching/Statistika%20II/skriptum/4_Teorie_spolehlivosti.PDF</ref> Pravděpodobnost poruch se v životě výrobku popisuje právě pomocí exponenciálního rozdělení. Porucha výrobku často nastává v libovolném čase, což znamená, že proměnná tohoto rozdělení (v tomto případě je proměnnou čas, x=t) je nezávislá. V rámci teorie spolehlivosti se kromě distribuční funkce F(x) a hustoty pravděpodobnosti f(x) také často počítá pravděpodobnost bezporuchového provozu (někdy také nazývána jako funkce spolehlivosti), která je dána vztahem <math>R(x)=1-F(x)=e^{-\lambda x}</math>, a veličina intenzita poruch, která je dána vztahem <math>\lambda(x)=\frac{f(x)}{R(x)}=\frac{\lambda e^{-\lambda x}}{e^{-\lambda x}}=\lambda</math>.<ref name="famfulik">FAMFULÍK, Jan, Jana MÍKOVÁ a Radek KRZYŽANEK. Teorie údržby. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007. ISBN 978-80-248-1509-1</ref>

===Příklad===
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Na základě pozorování žárovek do světlometů bylo zjištěno, že za sledovaný čas se vyskytlo 80 poruch, přičemž akumulovaný pracovní čas žárovek byl <math>T_{ak}=22500 \text{ hod}</math>. Údaje z pozorování jsou zpracovány v tabulce níže. Jaká je střední doba do poruchy? Za jaký čas dosáhne pravděpodobnost poruchy 10 % (tj. jaký je 10% kvantil)?<ref name="famfulik">FAMFULÍK, Jan, Jana MÍKOVÁ a Radek KRZYŽANEK. Teorie údržby. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007. ISBN 978-80-248-1509-1</ref> 
{| class="wikitable"
|+Údaje z pozorování žárovek<ref name="famfulik">FAMFULÍK, Jan, Jana MÍKOVÁ a Radek KRZYŽANEK. Teorie údržby. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007. ISBN 978-80-248-1509-1</ref>
!Doba do poruchy (hod)
!Absolutní četnost poruch
!Akumulovaný pracovní čas <math>T_{ak}</math>
|-
|150
|31
|rowspan="7" style="text-align:center;"|22500 hod
|-
|300
|22
|-
|450
|13
|-
|600
|7
|-
|750
|4
|-
|900
|2
|-
|1050
|1
|-
|
|Celkem 80 poruch
|
|}
Řešení: Nejprve vypočítáme střední dobu do poruchy žárovek, tj. jak dlouho v průměru trvá žárovce, než se rozbije: 
<math>Ts=\frac{T_{ak}}{n}=\frac{22500}{80}=281 \text{ hod}</math> 
Nyní známe střední hodnotu rozdělení, a tudíž lze ze vztahu pro střední hodnotu rozdělení (EX) vypočítat intenzitu poruch <math>\lambda</math>, která představuje převrácenou hodnotu střední hodnoty: 
<math>EX=\frac{1}{\lambda}\Rightarrow \lambda =\frac{1}{EX}=\frac{1}{281}=0,00356 \text{ poruch za hodinu}</math> 
Pravděpodobnost poruchy pak popisuje distribuční funkce. V tomto příkladu ale známe pravděpodobnost poruchy (<math>p=0,1</math>) a hledáme čas (proměnnou x), kdy bude této pravděpodobnosti dosaženo. Je tedy třeba si nejdřív z distribuční funkce vyjádřit x: 
<math>F(x)=1-e^{-\lambda x}</math> 
<math>1-F(x)=e^{-\lambda x}</math> 
<math>\ln{(1-F(x))}=-\lambda x</math> 
<math>x=\frac{\ln{(1-F(x))}}{-\lambda}=\frac{\ln{(1-0,1)}}{-0,00356}=29,6 \cong 30 \text{ hod}</math> 
Střední doba poruchy je tedy 281 hodin a pravděpodobnosti poruchy 10 % dosáhne žárovka přibližně po 30 hodinách.
</div>

==Teorie hromadné obsluhy==
Teorie hromadné obsluhy (někdy také nazývaná [[Queueing theory/cs|teorie front]]) představuje vědní disciplínu, která se zabývá systémy hromadné obsluhy. V takovém systému dochází k obsluhování a vyřizování příchozích požadavků, které se mohou hromadit a tvořit fronty. Požadavkem může být jakákoliv jednotka, která přichází do systému za účelem obsluhy (například pacient u lékaře, auto v servisu či tisková úloha v tiskárně).<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 
K popisování systémů hromadné obsluhy se stejně jako u teorie spolehlivosti využívá matematická statistika a teorie pravděpodobnosti. Nejčastěji se zde využívá právě exponenciální a Poissonovo rozdělení.<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 
Poissonovo rozdělení zde popisuje tzv. intenzitu příchodů (<math>\lambda</math>) a intenzitu obsluhy (<math>\mu</math>). Intenzita příchodů představuje průměrný počet požadavků, které přijdou do systému hromadné obsluhy za určitou časovou jednotku (například do ordinace přichází v průměru 5 pacientů za hodinu). Intenzita obsluhy pak představuje průměrný počet obsloužených požadavků za určitou časovou jednotku (například doktor vyšetří v průměru 4 pacienty za hodinu).<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 
Exponenciální rozdělení zde pak nejčastěji popisuje tzv. příchod požadavků do systému (<math>EX=\frac{1}{\lambda}</math>) a obsluhu požadavků v systému (<math>EX=\frac{1}{\mu}</math>). Pojem příchodu požadavků do systému představuje průměrnou dobu mezi příchody dvou po sobě jdoucích požadavků (například nový pacient přijde do ordinace v průměru jednou za 12 minut). Obsluha požadavků v systému pak vyjadřuje průměrnou dobu obsluhy jednoho požadavku (například doktor vyšetří jednoho pacienta v průměru za 15 minut).<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 

===Příklad===
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
K bankomatu chodí v průměru 10 lidí za hodinu. Každý člověk stráví u bankomatu průměrně 2,5 minuty. Jaká je průměrná doba mezi příchody dvou zákazníků? Jaká je intenzita obsluhy? Jaká je pravděpodobnost, že do jedné minuty od odchodu posledního zákazníka přijde další?<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 
Řešení: Ze zadání známe intenzitu příchodů <math>\lambda=20</math> lidí za hodinu a průměrnou dobu obsluhy <math>EX=\frac{1}{\mu}=2,5 \text{ min}=0,041\bar{6}\text{ hod}</math> (nutné převést na společné časové jednotky). Z těchto hodnot lze snadno vypočítat průměrnou dobu příchodů a intenzitu obsluhy. Jedná se o převrácené hodnoty již známých hodnot. 
Průměrná doba příchodů: <math>EX=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{20}=0,05 \text{ hodiny}=3 \text{ minuty}</math> 
Intenzita obsluhy: <math>EX=\frac{1}{\mu}\Rightarrow \mu=\frac{1}{EX}=\frac{1}{0,041\bar{6}}=24 \text{ lidí za hodinu}</math> 
Nyní známe jak průměrnou dobu příchodů, tak intenzitu obsluhy. Stačí už jen vypočítat pravděpodobnost, že do 1 minuty (1/60 hodiny) od odchodu posledního zákazníka přijde další. V tomto případě nám poslouží distribuční funkce, kde proměnnou je v tomto případě čas (x=t): 
<math>F(x)=1-e^{-\lambda x}</math> 
<math>F(x)=1-e^{-20\cdot \frac{1}{60}}=0,2835</math> 
Pravděpodobnost, že do jedné minuty od odchodu posledního zákazníka přijde další, je 28,35 %.
</div>

=Funkce v Excelu=
Hodnoty hustoty pravděpodobnosti a distribuční funkce exponenciálního rozdělení lze v prostředí Excelu získat pomocí funkce EXPON.DIST(). Tato funkce má tři parametry: 
*x — hodnota proměnné, neboli hodnota náhodné veličiny, pro kterou hledáme danou pravděpodobnost výskytu
*lambda — střední hodnota četnosti výskytu, neboli převrácená hodnota průměrné doby mezi jevy
*kumulativní — nabývá hodnot 0 či 1 a určuje, zda bude pro výpočet použita funkce hustota pravděpodobnosti (0, nekumulativní funkce) nebo distribuční funkce (1, kumulativní funkce)<ref name="neubauer">NEUBAUER, Jiří, Marek SEDLAČÍK a Oldřich KŘÍŽ. Základy statistiky: Aplikace v technických a ekonomických oborech. 2. rozšířené vydání. Praha: Grada Publishing, 2016, s. 121-124. ISBN 978-80-247-5786-5</ref>

===Příklad===
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Internet ve firmě vypadne průměrně každých 10 hodin. Jaká je pravděpodobnost, že po posledním výpadku internet opět vypadne během následujících 6 hodin? 
Řešení: V zadání je důležité slovo „během“, které nám napovídá, že se ptáme na kumulativní funkci, tedy na distribuční funkci (zajímá nás pravděpodobnost, že jev nastal v intervalu od 0 do 6 hodin od posledního výpadku). Hodnota proměnné je zde oněch 6 hodin, pro které zjišťujeme danou pravděpodobnost a hodnota <math>\lambda</math> je zde převrácená hodnota průměrné doby mezi jevy, tj. <math>\lambda=\frac{1}{10}=0,1</math>. 
Do Excelu vložíme tuto funkci: 
<math>=EXPON.DIST(6;0,1;1)</math> 
Výsledkem je, že pravděpodobnost, že po posledním výpadku internet opět vypadne během následujících 6 hodin, se rovná 45,12 %.
</div>

=Příklady k procvičení=
Zde můžete najít pár příkladů na procvičení. K některým výpočtům lze použít i výše zmíněnou funkci nástroje Excel. Řešení příkladů naleznete zde: [[Media:reseni.pdf|řešení]].

==Příklad 1==
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Náhodná veličina má funkci hustoty pravděpodobnosti: 
<math>f(x)=\begin{cases}
0,1 e^{-0,1 x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math> 
Jaká je střední hodnota a rozptyl této náhodné veličiny?<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref>
</div>

==Příklad 2==
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Na trase mezi kolejemi VŠB v Ostravě-Porubě a magistrátem v centru Ostravy délky 10,5 km napočítali cestáři 86 děr v silnici. 
<ol style="list-style-type:lower-alpha">
<li>Jaká je pravděpodobnost, že narazíme na díru v silnici při ujetí úseku délky 100 m na této trase?</li>
<li>Jakou vzdálenost je třeba na této trase ujet, aby pravděpodobnost, že narazíme na díru v silnici byla 99 %?<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref></li>
</ol>
</div>

==Příklad 3==
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Žárovky mají průměrnou životnost 2000 hodin. Předpokládáme, že doba, po kterou žárovka svítí, je náhodná veličina, která má exponenciální rozdělení. 
<ol style="list-style-type:lower-alpha">
<li>Popište tuto náhodnou veličinu pomocí funkce hustoty pravděpodobnosti a distribuční funkce.</li>
<li>Jaká je pravděpodobnost, že žárovka vydrží v provozu nejvýše 1000 hodin?</li>
<li>Jaká je pravděpodobnost, že žárovka vydrží v provozu v rozmezí 1000 až 2500 hodin?<ref name="neubauer">NEUBAUER, Jiří, Marek SEDLAČÍK a Oldřich KŘÍŽ. Základy statistiky: Aplikace v technických a ekonomických oborech. 2. rozšířené vydání. Praha: Grada Publishing, 2016, s. 121-124. ISBN 978-80-247-5786-5</ref></li>
</ol>
</div>

=Reference=
<references/>

Exponential distribution/cs

2021-04-22T21:18:00Z

Klei00: Úprava příkladu

{{DISPLAYTITLE:Exponenciální rozdělení}}
=Úvod=

Exponenciální rozdělení představuje jedno ze základních [[Probability distributions/cs|pravděpodobnostních rozdělení]]. Společně s rovnoměrným, normálním či logritmicko-normálním rozdělením spadá do spojitých rozdělení. Náhodná veličina, která má exponenciální rozdělení, představuje dobu čekání mezi dvěma jevy, které nastávají s pravděpodobností mající [[Poisson distribution/cs|Poissonovo rozdělení]] (např. doba mezi dvěma nehodami na dálnici). Dalo by se tedy říct, že exponenciální rozdělení je spojitým protějškem Poissonova rozdělení.<ref name="neubauer">NEUBAUER, Jiří, Marek SEDLAČÍK a Oldřich KŘÍŽ. Základy statistiky: Aplikace v technických a ekonomických oborech. 2. rozšířené vydání. Praha: Grada Publishing, 2016, s. 121-124. ISBN 978-80-247-5786-5</ref> 
Jako příklad souvislosti Poissonova a exponenciálního rozdělení lze uvést již zmíněné autonehody na dálnici. Poissonovo rozdělení zde popisuje počet autonehod na dané dálnici za určitý časový interval, například v průměru 2 autonehody za den. Exponenciální rozdělení pak popisuje dobu do výskytu první autonehody, nebo dobu mezi dvěma autonehodami. V tomto příkladu by to bylo v průměru 1/2 dne (střední hodnota těchto dvou rozdělení je vzájemně převrácenou hodnotou).

=Terminologie=
==Definice==
[[File:hustota.gif|thumb|400px|right||Obr. 1: Funkce hustoty pravděpodobnosti exponenciálního rozdělení<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref>]]
[[File:disfce.gif|thumb|400px|right||Obr. 2: Distribuční funkce exponenciálního rozdělení<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref>]]
Spojitá náhodná veličina X má exponenciální rozdělení <math>Exp(\lambda)</math>, právě tehdy, když má funkce hustoty pravděpodobnosti tvar:<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref> 
<math>f(x)=\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math> 
Distribuční funkce je potom popsaná rovnicemi:<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref> 
<math>F(x)=\begin{cases}
1-e^{-\lambda x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math> 

==Vlastnosti==
Jednoparametrové exponenciální rozdělení se značí jako <math>X \sim Exp( \lambda )</math>, kde parametr <math>\lambda</math> představuje střední hodnotu počtu jevů, které nastanou v daný časový interval. Jelikož počet jevů je vždy kladné číslo, tak pro parametr platí <math>\lambda>0</math>. Střední hodnota exponenciálního rozdělení se pak počítá jako <math>EX={1 \over \lambda}</math> a rozptyl exponenciálního rozdělení se počítá jako <math>varX={1 \over \lambda^2}</math>.<ref name="kulich">KULICH, Michal. Přehled pravděpodobnostních rozdělení. Praha: Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova, 2009 [online]. [cit. 2021-04-21]. Dostupné z: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~pesta/NSTP097/rozdeleni.pdf</ref>
{| class="wikitable"
|+Vlastnosti exponenciálního rozdělení<ref name="kulich">KULICH, Michal. Přehled pravděpodobnostních rozdělení. Praha: Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova, 2009 [online]. [cit. 2021-04-21]. Dostupné z: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~pesta/NSTP097/rozdeleni.pdf</ref>
|-
|Značení
|<math>X \sim Exp( \lambda )</math>
|-
|Parametry
|<math>\lambda>0</math>
|-
|Nosič
|<math>X \in (0,\infty)</math>
|-
|Hustota pravděpodobnosti
|<math>f(x)=\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math>
|-
|Distribuční funkce
|<math>F(x)=\begin{cases}
1-e^{-\lambda x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math>
|-
|Střední hodnota
|<math>EX={1 \over \lambda}</math>
|-
|Rozptyl
|<math>varX={1 \over \lambda^2}</math>
|}

=Reálné aplikace=
Jak již bylo zmíněno, exponenciální rozdělení popisuje dobu čekání na určitý jev, či dobu mezi dvěma jevy, jejichž výskyt je dán [[Poisson distribution/cs|Poissonovým rozdělením]]. Obě tato rozdělení hrají důležitou roli například v teorii spolehlivosti či v teorii hromadné obsluhy.

==Teorie spolehlivosti==
Teorie spolehlivosti zahrnuje problematiku související s konstrukcí výrobků, s použitými materiály a s diagnostikou údržby a soustředí se na odhady a optimalizaci bezporuchového provozu výrobků. Spolehlivost výrobku lze popsat jako jeho vlastnost splňovat určitou funkci po danou dobu a za daných podmínek.<ref name="bris">BRIS, Radim. Základy teorie spolehlivosti. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007 [online]. [cit. 2021-04-21]. Dostupné z: https://homel.vsb.cz/~bri10/Teaching/Statistika%20II/skriptum/4_Teorie_spolehlivosti.PDF</ref> 
Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika zde mají hlavní roli v určování odhadů a stanovování prognóz ohledně bezporuchovosti či životnosti výrobků.<ref name="bris">BRIS, Radim. Základy teorie spolehlivosti. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007 [online]. [cit. 2021-04-21]. Dostupné z: https://homel.vsb.cz/~bri10/Teaching/Statistika%20II/skriptum/4_Teorie_spolehlivosti.PDF</ref> Pravděpodobnost poruch se v životě výrobku popisuje právě pomocí exponenciálního rozdělení. Porucha výrobku často nastává v libovolném čase, což znamená, že proměnná tohoto rozdělení (v tomto případě je proměnnou čas, x=t) je nezávislá. V rámci teorie spolehlivosti se kromě distribuční funkce F(x) a hustoty pravděpodobnosti f(x) také často počítá pravděpodobnost bezporuchového provozu (někdy také nazývána jako funkce spolehlivosti), která je dána vztahem <math>R(x)=1-F(x)=e^{-\lambda x}</math>, a veličina intenzita poruch, která je dána vztahem <math>\lambda(x)=\frac{f(x)}{R(x)}=\frac{\lambda e^{-\lambda x}}{e^{-\lambda x}}=\lambda</math>.<ref name="famfulik">FAMFULÍK, Jan, Jana MÍKOVÁ a Radek KRZYŽANEK. Teorie údržby. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007. ISBN 978-80-248-1509-1</ref>

===Příklad===
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Na základě pozorování žárovek do světlometů bylo zjištěno, že za sledovaný čas se vyskytlo 80 poruch, přičemž akumulovaný pracovní čas žárovek byl <math>T_{ak}=22500 \text{ hod}</math>. Údaje z pozorování jsou zpracovány v tabulce níže. Jaká je střední doba do poruchy? Za jaký čas dosáhne pravděpodobnost poruchy 10 % (tj. jaký je 10% kvantil)?<ref name="famfulik">FAMFULÍK, Jan, Jana MÍKOVÁ a Radek KRZYŽANEK. Teorie údržby. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007. ISBN 978-80-248-1509-1</ref> 
{| class="wikitable"
|+Údaje z pozorování žárovek<ref name="famfulik">FAMFULÍK, Jan, Jana MÍKOVÁ a Radek KRZYŽANEK. Teorie údržby. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007. ISBN 978-80-248-1509-1</ref>
!Doba do poruchy (hod)
!Absolutní četnost poruch
!Akumulovaný pracovní čas <math>T_{ak}</math>
|-
|150
|31
|rowspan="7" style="text-align:center;"|22500 hod
|-
|300
|22
|-
|450
|13
|-
|600
|7
|-
|750
|4
|-
|900
|2
|-
|1050
|1
|-
|
|Celkem 80 poruch
|
|}
Řešení: Nejprve vypočítáme střední dobu do poruchy žárovek, tj. jak dlouho v průměru trvá žárovce, než se rozbije: 
<math>Ts=\frac{T_{ak}}{n}=\frac{22500}{80}=281 \text{ hod}</math> 
Nyní známe střední hodnotu rozdělení, a tudíž lze ze vztahu pro střední hodnotu rozdělení (EX) vypočítat intenzitu poruch <math>\lambda</math>, která představuje převrácenou hodnotu střední hodnoty: 
<math>EX=\frac{1}{\lambda}\Rightarrow \lambda =\frac{1}{EX}=\frac{1}{281}=0,00356 \text{ poruch za hodinu}</math> 
Pravděpodobnost poruchy pak popisuje distribuční funkce. V tomto příkladu ale známe pravděpodobnost poruchy (<math>p=0,1</math>) a hledáme čas (proměnnou x), kdy bude této pravděpodobnosti dosaženo. Je tedy třeba si nejdřív z distribuční funkce vyjádřit x: 
<math>F(x)=1-e^{-\lambda x}</math> 
<math>1-F(x)=e^{-\lambda x}</math> 
<math>\ln{(1-F(x))}=-\lambda x</math> 
<math>x=\frac{\ln{(1-F(x))}}{-\lambda}=\frac{\ln{(1-0,1)}}{-0,00356}=29,6 \cong 30 \text{ hod}</math> 
Střední doba poruchy je tedy 281 hodin a pravděpodobnosti poruchy 10 % dosáhne žárovka přibližně po 30 hodinách.
</div>

==Teorie hromadné obsluhy==
Teorie hromadné obsluhy (někdy také nazývaná [[Queueing theory/cs|teorie front]]) představuje vědní disciplínu, která se zabývá systémy hromadné obsluhy. V takovém systému dochází k obsluhování a vyřizování příchozích požadavků, které se mohou hromadit a tvořit fronty. Požadavkem může být jakákoliv jednotka, která přichází do systému za účelem obsluhy (například pacient u lékaře, auto v servisu či tisková úloha v tiskárně).<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 
K popisování systémů hromadné obsluhy se stejně jako u teorie spolehlivosti využívá matematická statistika a teorie pravděpodobnosti. Nejčastěji se zde využívá právě exponenciální a Poissonovo rozdělení.<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 
Poissonovo rozdělení zde popisuje tzv. intenzitu příchodů (<math>\lambda</math>) a intenzitu obsluhy (<math>\mu</math>). Intenzita příchodů představuje průměrný počet požadavků, které přijdou do systému hromadné obsluhy za určitou časovou jednotku (například do ordinace přichází v průměru 5 pacientů za hodinu). Intenzita obsluhy pak představuje průměrný počet obsloužených požadavků za určitou časovou jednotku (například doktor vyšetří v průměru 4 pacienty za hodinu).<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 
Exponenciální rozdělení zde pak nejčastěji popisuje tzv. příchod požadavků do systému (<math>EX=\frac{1}{\lambda}</math>) a obsluhu požadavků v systému (<math>EX=\frac{1}{\mu}</math>). Pojem příchodu požadavků do systému představuje průměrnou dobu mezi příchody dvou po sobě jdoucích požadavků (například nový pacient přijde do ordinace v průměru jednou za 12 minut). Obsluha požadavků v systému pak vyjadřuje průměrnou dobu obsluhy jednoho požadavku (například doktor vyšetří jednoho pacienta v průměru za 15 minut).<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 

===Příklad===
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
K bankomatu chodí v průměru 10 lidí za hodinu. Každý člověk stráví u bankomatu průměrně 2,5 minuty. Jaká je průměrná doba mezi příchody dvou zákazníků? Jaká je intenzita obsluhy? Jaká je pravděpodobnost, že do jedné minuty od odchodu posledního zákazníka přijde další?<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 
Řešení: Ze zadání známe intenzitu příchodů <math>\lambda=20</math> lidí za hodinu a průměrnou dobu obsluhy <math>EX=\frac{1}{\mu}=2,5 \text{ min}=0,041\bar{6}\text{ hod}</math> (nutné převést na společné časové jednotky). Z těchto hodnot lze snadno vypočítat průměrnou dobu příchodů a intenzitu obsluhy. Jedná se o převrácené hodnoty již známých hodnot. 
Průměrná doba příchodů: <math>EX=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{20}=0,05 \text{ hodiny}=3 \text{ minuty}</math> 
Intenzita obsluhy: <math>EX=\frac{1}{\mu}\Rightarrow \mu=\frac{1}{EX}=\frac{1}{0,041\bar{6}}=24 \text{ lidí za hodinu}</math> 
Nyní známe jak průměrnou dobu příchodů, tak intenzitu obsluhy. Stačí už jen vypočítat pravděpodobnost, že do 1 minuty (1/60 hodiny)od odchodu posledního zákazníka přijde další. V tomto případě nám poslouží distribuční funkce, kde proměnnou je v tomto případě čas (x=t): 
<math>F(x)=1-e^{-\lambda x}</math> 
<math>F(x)=1-e^{-20\cdot \frac{1}{60}}=0,2835</math> 
Pravděpodobnost, že do jedné minuty od odchodu posledního zákazníka přijde další, je 28,35 %.
</div>

=Funkce v Excelu=
Hodnoty hustoty pravděpodobnosti a distribuční funkce exponenciálního rozdělení lze v prostředí Excelu získat pomocí funkce EXPON.DIST(). Tato funkce má tři parametry: 
*x — hodnota proměnné, neboli hodnota náhodné veličiny, pro kterou hledáme danou pravděpodobnost výskytu
*lambda — střední hodnota četnosti výskytu, neboli převrácená hodnota průměrné doby mezi jevy
*kumulativní — nabývá hodnot 0 či 1 a určuje, zda bude pro výpočet použita funkce hustota pravděpodobnosti (0, nekumulativní funkce) nebo distribuční funkce (1, kumulativní funkce)<ref name="neubauer">NEUBAUER, Jiří, Marek SEDLAČÍK a Oldřich KŘÍŽ. Základy statistiky: Aplikace v technických a ekonomických oborech. 2. rozšířené vydání. Praha: Grada Publishing, 2016, s. 121-124. ISBN 978-80-247-5786-5</ref>

===Příklad===
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Internet ve firmě vypadne průměrně každých 10 hodin. Jaká je pravděpodobnost, že po posledním výpadku internet opět vypadne během následujících 6 hodin? 
Řešení: V zadání je důležité slovo „během“, které nám napovídá, že se ptáme na kumulativní funkci, tedy na distribuční funkci (zajímá nás pravděpodobnost, že jev nastal v intervalu od 0 do 6 hodin od posledního výpadku). Hodnota proměnné je zde oněch 6 hodin, pro které zjišťujeme danou pravděpodobnost a hodnota <math>\lambda</math> je zde převrácená hodnota průměrné doby mezi jevy, tj. <math>\lambda=\frac{1}{10}=0,1</math>. 
Do Excelu vložíme tuto funkci: 
<math>=EXPON.DIST(6;0,1;1)</math> 
Výsledkem je, že pravděpodobnost, že po posledním výpadku internet opět vypadne během následujících 6 hodin, se rovná 45,12 %.
</div>

=Příklady k procvičení=
Zde můžete najít pár příkladů na procvičení. K některým výpočtům lze použít i výše zmíněnou funkci nástroje Excel. Řešení příkladů naleznete zde: [[Media:reseni.pdf|řešení]].

==Příklad 1==
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Náhodná veličina má funkci hustoty pravděpodobnosti: 
<math>f(x)=\begin{cases}
0,1 e^{-0,1 x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math> 
Jaká je střední hodnota a rozptyl této náhodné veličiny?<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref>
</div>

==Příklad 2==
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Na trase mezi kolejemi VŠB v Ostravě-Porubě a magistrátem v centru Ostravy délky 10,5 km napočítali cestáři 86 děr v silnici. 
<ol style="list-style-type:lower-alpha">
<li>Jaká je pravděpodobnost, že narazíme na díru v silnici při ujetí úseku délky 100 m na této trase?</li>
<li>Jakou vzdálenost je třeba na této trase ujet, aby pravděpodobnost, že narazíme na díru v silnici byla 99 %?<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref></li>
</ol>
</div>

==Příklad 3==
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Žárovky mají průměrnou životnost 2000 hodin. Předpokládáme, že doba, po kterou žárovka svítí, je náhodná veličina, která má exponenciální rozdělení. 
<ol style="list-style-type:lower-alpha">
<li>Popište tuto náhodnou veličinu pomocí funkce hustoty pravděpodobnosti a distribuční funkce.</li>
<li>Jaká je pravděpodobnost, že žárovka vydrží v provozu nejvýše 1000 hodin?</li>
<li>Jaká je pravděpodobnost, že žárovka vydrží v provozu v rozmezí 1000 až 2500 hodin?<ref name="neubauer">NEUBAUER, Jiří, Marek SEDLAČÍK a Oldřich KŘÍŽ. Základy statistiky: Aplikace v technických a ekonomických oborech. 2. rozšířené vydání. Praha: Grada Publishing, 2016, s. 121-124. ISBN 978-80-247-5786-5</ref></li>
</ol>
</div>

=Reference=
<references/>

Exponential distribution/cs

2021-04-22T21:07:56Z

Klei00: Úprava definice

{{DISPLAYTITLE:Exponenciální rozdělení}}
=Úvod=

Exponenciální rozdělení představuje jedno ze základních [[Probability distributions/cs|pravděpodobnostních rozdělení]]. Společně s rovnoměrným, normálním či logritmicko-normálním rozdělením spadá do spojitých rozdělení. Náhodná veličina, která má exponenciální rozdělení, představuje dobu čekání mezi dvěma jevy, které nastávají s pravděpodobností mající [[Poisson distribution/cs|Poissonovo rozdělení]] (např. doba mezi dvěma nehodami na dálnici). Dalo by se tedy říct, že exponenciální rozdělení je spojitým protějškem Poissonova rozdělení.<ref name="neubauer">NEUBAUER, Jiří, Marek SEDLAČÍK a Oldřich KŘÍŽ. Základy statistiky: Aplikace v technických a ekonomických oborech. 2. rozšířené vydání. Praha: Grada Publishing, 2016, s. 121-124. ISBN 978-80-247-5786-5</ref> 
Jako příklad souvislosti Poissonova a exponenciálního rozdělení lze uvést již zmíněné autonehody na dálnici. Poissonovo rozdělení zde popisuje počet autonehod na dané dálnici za určitý časový interval, například v průměru 2 autonehody za den. Exponenciální rozdělení pak popisuje dobu do výskytu první autonehody, nebo dobu mezi dvěma autonehodami. V tomto příkladu by to bylo v průměru 1/2 dne (střední hodnota těchto dvou rozdělení je vzájemně převrácenou hodnotou).

=Terminologie=
==Definice==
[[File:hustota.gif|thumb|400px|right||Obr. 1: Funkce hustoty pravděpodobnosti exponenciálního rozdělení<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref>]]
[[File:disfce.gif|thumb|400px|right||Obr. 2: Distribuční funkce exponenciálního rozdělení<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref>]]
Spojitá náhodná veličina X má exponenciální rozdělení <math>Exp(\lambda)</math>, právě tehdy, když má funkce hustoty pravděpodobnosti tvar:<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref> 
<math>f(x)=\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math> 
Distribuční funkce je potom popsaná rovnicemi:<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref> 
<math>F(x)=\begin{cases}
1-e^{-\lambda x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math> 

==Vlastnosti==
Jednoparametrové exponenciální rozdělení se značí jako <math>X \sim Exp( \lambda )</math>, kde parametr <math>\lambda</math> představuje střední hodnotu počtu jevů, které nastanou v daný časový interval. Jelikož počet jevů je vždy kladné číslo, tak pro parametr platí <math>\lambda>0</math>. Střední hodnota exponenciálního rozdělení se pak počítá jako <math>EX={1 \over \lambda}</math> a rozptyl exponenciálního rozdělení se počítá jako <math>varX={1 \over \lambda^2}</math>.<ref name="kulich">KULICH, Michal. Přehled pravděpodobnostních rozdělení. Praha: Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova, 2009 [online]. [cit. 2021-04-21]. Dostupné z: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~pesta/NSTP097/rozdeleni.pdf</ref>
{| class="wikitable"
|+Vlastnosti exponenciálního rozdělení<ref name="kulich">KULICH, Michal. Přehled pravděpodobnostních rozdělení. Praha: Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova, 2009 [online]. [cit. 2021-04-21]. Dostupné z: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~pesta/NSTP097/rozdeleni.pdf</ref>
|-
|Značení
|<math>X \sim Exp( \lambda )</math>
|-
|Parametry
|<math>\lambda>0</math>
|-
|Nosič
|<math>X \in (0,\infty)</math>
|-
|Hustota pravděpodobnosti
|<math>f(x)=\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math>
|-
|Distribuční funkce
|<math>F(x)=\begin{cases}
1-e^{-\lambda x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math>
|-
|Střední hodnota
|<math>EX={1 \over \lambda}</math>
|-
|Rozptyl
|<math>varX={1 \over \lambda^2}</math>
|}

=Reálné aplikace=
Jak již bylo zmíněno, exponenciální rozdělení popisuje dobu čekání na určitý jev, či dobu mezi dvěma jevy, jejichž výskyt je dán [[Poisson distribution/cs|Poissonovým rozdělením]]. Obě tato rozdělení hrají důležitou roli například v teorii spolehlivosti či v teorii hromadné obsluhy.

==Teorie spolehlivosti==
Teorie spolehlivosti zahrnuje problematiku související s konstrukcí výrobků, s použitými materiály a s diagnostikou údržby a soustředí se na odhady a optimalizaci bezporuchového provozu výrobků. Spolehlivost výrobku lze popsat jako jeho vlastnost splňovat určitou funkci po danou dobu a za daných podmínek.<ref name="bris">BRIS, Radim. Základy teorie spolehlivosti. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007 [online]. [cit. 2021-04-21]. Dostupné z: https://homel.vsb.cz/~bri10/Teaching/Statistika%20II/skriptum/4_Teorie_spolehlivosti.PDF</ref> 
Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika zde mají hlavní roli v určování odhadů a stanovování prognóz ohledně bezporuchovosti či životnosti výrobků.<ref name="bris">BRIS, Radim. Základy teorie spolehlivosti. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007 [online]. [cit. 2021-04-21]. Dostupné z: https://homel.vsb.cz/~bri10/Teaching/Statistika%20II/skriptum/4_Teorie_spolehlivosti.PDF</ref> Pravděpodobnost poruch se v životě výrobku popisuje právě pomocí exponenciálního rozdělení. Porucha výrobku často nastává v libovolném čase, což znamená, že proměnná tohoto rozdělení (v tomto případě je proměnnou čas, x=t) je nezávislá. V rámci teorie spolehlivosti se kromě distribuční funkce F(x) a hustoty pravděpodobnosti f(x) také často počítá pravděpodobnost bezporuchového provozu (někdy také nazývána jako funkce spolehlivosti), která je dána vztahem <math>R(x)=1-F(x)=e^{-\lambda x}</math>, a veličina intenzita poruch, která je dána vztahem <math>\lambda(x)=\frac{f(x)}{R(x)}=\frac{\lambda e^{-\lambda x}}{e^{-\lambda x}}=\lambda</math>.<ref name="famfulik">FAMFULÍK, Jan, Jana MÍKOVÁ a Radek KRZYŽANEK. Teorie údržby. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007. ISBN 978-80-248-1509-1</ref>

===Příklad===
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Na základě pozorování žárovek do světlometů bylo zjištěno, že za sledovaný čas se vyskytlo 80 poruch, přičemž akumulovaný pracovní čas žárovek byl <math>T_{ak}=22500 \text{ hod}</math>. Údaje z pozorování jsou zpracovány v tabulce níže. Jaká je střední doba do poruchy? Za jaký čas dosáhne pravděpodobnost poruchy 10 % (tj. jaký je 10% kvantil)?<ref name="famfulik">FAMFULÍK, Jan, Jana MÍKOVÁ a Radek KRZYŽANEK. Teorie údržby. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007. ISBN 978-80-248-1509-1</ref> 
{| class="wikitable"
|+Údaje z pozorování žárovek<ref name="famfulik">FAMFULÍK, Jan, Jana MÍKOVÁ a Radek KRZYŽANEK. Teorie údržby. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007. ISBN 978-80-248-1509-1</ref>
!Doba do poruchy (hod)
!Absolutní četnost poruch
!Akumulovaný pracovní čas <math>T_{ak}</math>
|-
|150
|31
|rowspan="7" style="text-align:center;"|22500 hod
|-
|300
|22
|-
|450
|13
|-
|600
|7
|-
|750
|4
|-
|900
|2
|-
|1050
|1
|-
|
|Celkem 80 poruch
|
|}
Řešení: Nejprve vypočítáme střední dobu do poruchy žárovek, tj. jak dlouho v průměru trvá žárovce, než se rozbije: 
<math>Ts=\frac{T_{ak}}{n}=\frac{22500}{80}=281 \text{ hod}</math> 
Nyní známe střední hodnotu rozdělení, a tudíž lze ze vztahu pro střední hodnotu rozdělení (EX) vypočítat intenzitu poruch <math>\lambda</math>, která představuje převrácenou hodnotu střední hodnoty: 
<math>EX=\frac{1}{\lambda}\Rightarrow \lambda =\frac{1}{EX}=\frac{1}{281}=0,00356 \text{ poruch za hodinu}</math> 
Pravděpodobnost poruchy pak popisuje distribuční funkce. V tomto příkladu ale známe pravděpodobnost poruchy (<math>p=0,1</math>) a hledáme čas (proměnnou x), kdy bude této pravděpodobnosti dosaženo. Je tedy třeba si nejdřív z distribuční funkce vyjádřit x: 
<math>F(x)=1-e^{-\lambda x}</math> 
<math>1-F(x)=e^{-\lambda x}</math> 
<math>\ln{(1-F(x))}=-\lambda x</math> 
<math>x=\frac{\ln{(1-F(x))}}{-\lambda}=\frac{\ln{(1-0,1)}}{-0,00356}=29,6 \cong 30 \text{ hod}</math> 
Střední doba poruchy je tedy 281 hodin a pravděpodobnosti poruchy 10 % dosáhne žárovka přibližně po 30 hodinách.
</div>

==Teorie hromadné obsluhy==
Teorie hromadné obsluhy (někdy také nazývaná [[Queueing theory/cs|teorie front]]) představuje vědní disciplínu, která se zabývá systémy hromadné obsluhy. V takovém systému dochází k obsluhování a vyřizování příchozích požadavků, které se mohou hromadit a tvořit fronty. Požadavkem může být jakákoliv jednotka, která přichází do systému za účelem obsluhy (například pacient u lékaře, auto v servisu či tisková úloha v tiskárně).<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 
K popisování systémů hromadné obsluhy se stejně jako u teorie spolehlivosti využívá matematická statistika a teorie pravděpodobnosti. Nejčastěji se zde využívá právě exponenciální a Poissonovo rozdělení.<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 
Poissonovo rozdělení zde popisuje tzv. intenzitu příchodů (<math>\lambda</math>) a intenzitu obsluhy (<math>\mu</math>). Intenzita příchodů představuje průměrný počet požadavků, které přijdou do systému hromadné obsluhy za určitou časovou jednotku (například do ordinace přichází v průměru 5 pacientů za hodinu). Intenzita obsluhy pak představuje průměrný počet obsloužených požadavků za určitou časovou jednotku (například doktor vyšetří v průměru 4 pacienty za hodinu).<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 
Exponenciální rozdělení zde pak nejčastěji popisuje tzv. příchod požadavků do systému (<math>EX=\frac{1}{\lambda}</math>) a obsluhu požadavků v systému (<math>EX=\frac{1}{\mu}</math>). Pojem příchodu požadavků do systému představuje průměrnou dobu mezi příchody dvou po sobě jdoucích požadavků (například nový pacient přijde do ordinace v průměru jednou za 12 minut). Obsluha požadavků v systému pak vyjadřuje průměrnou dobu obsluhy jednoho požadavku (například doktor vyšetří jednoho pacienta v průměru za 15 minut).<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 

===Příklad===
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
K bankomatu chodí v průměru 10 lidí za hodinu. Každý člověk stráví u bankomatu průměrně 2,5 minuty. Jaká je průměrná doba mezi příchody dvou zákazníků? Jaká je intenzita obsluhy? Jaká je pravděpodobnost, že do jedné minuty od odchodu posledního zákazníka přijde další?<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 
Řešení: Ze zadání známe intenzitu příchodů <math>\lambda=20</math> lidí za hodinu a průměrnou dobu obsluhy <math>EX=\frac{1}{\mu}=0,041\bar{6}</math> hodiny (nutné převést na společné časové jednotky). Z těchto hodnot lze snadno vypočítat průměrnou dobu příchodů a intenzitu obsluhy. Jedná se o převrácené hodnoty již známých hodnot. 
Průměrná doba příchodů: <math>EX=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{20}=0,05 \text{ hodiny}=3 \text{ minuty}</math> 
Intenzita obsluhy: <math>EX=\frac{1}{\mu}\Rightarrow \mu=\frac{1}{EX}=\frac{1}{0,041\bar{6}}=24 \text{ lidí za hodinu}</math> 
Nyní známe jak průměrnou dobu příchodů, tak intenzitu obsluhy. Stačí už jen vypočítat pravděpodobnost, že do 1 minuty (1/60 hodiny)od odchodu posledního zákazníka přijde další. V tomto případě nám poslouží distribuční funkce, kde proměnnou je v tomto případě čas (x=t): 
<math>F(x)=1-e^{-\lambda x}</math> 
<math>F(x)=1-e^{-20\cdot \frac{1}{60}}=0,2835</math> 
Pravděpodobnost, že do jedné minuty od odchodu posledního zákazníka přijde další, je 28,35 %.
</div>

=Funkce v Excelu=
Hodnoty hustoty pravděpodobnosti a distribuční funkce exponenciálního rozdělení lze v prostředí Excelu získat pomocí funkce EXPON.DIST(). Tato funkce má tři parametry: 
*x — hodnota proměnné, neboli hodnota náhodné veličiny, pro kterou hledáme danou pravděpodobnost výskytu
*lambda — střední hodnota četnosti výskytu, neboli převrácená hodnota průměrné doby mezi jevy
*kumulativní — nabývá hodnot 0 či 1 a určuje, zda bude pro výpočet použita funkce hustota pravděpodobnosti (0, nekumulativní funkce) nebo distribuční funkce (1, kumulativní funkce)<ref name="neubauer">NEUBAUER, Jiří, Marek SEDLAČÍK a Oldřich KŘÍŽ. Základy statistiky: Aplikace v technických a ekonomických oborech. 2. rozšířené vydání. Praha: Grada Publishing, 2016, s. 121-124. ISBN 978-80-247-5786-5</ref>

===Příklad===
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Internet ve firmě vypadne průměrně každých 10 hodin. Jaká je pravděpodobnost, že po posledním výpadku internet opět vypadne během následujících 6 hodin? 
Řešení: V zadání je důležité slovo „během“, které nám napovídá, že se ptáme na kumulativní funkci, tedy na distribuční funkci (zajímá nás pravděpodobnost, že jev nastal v intervalu od 0 do 6 hodin od posledního výpadku). Hodnota proměnné je zde oněch 6 hodin, pro které zjišťujeme danou pravděpodobnost a hodnota <math>\lambda</math> je zde převrácená hodnota průměrné doby mezi jevy, tj. <math>\lambda=\frac{1}{10}=0,1</math>. 
Do Excelu vložíme tuto funkci: 
<math>=EXPON.DIST(6;0,1;1)</math> 
Výsledkem je, že pravděpodobnost, že po posledním výpadku internet opět vypadne během následujících 6 hodin, se rovná 45,12 %.
</div>

=Příklady k procvičení=
Zde můžete najít pár příkladů na procvičení. K některým výpočtům lze použít i výše zmíněnou funkci nástroje Excel. Řešení příkladů naleznete zde: [[Media:reseni.pdf|řešení]].

==Příklad 1==
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Náhodná veličina má funkci hustoty pravděpodobnosti: 
<math>f(x)=\begin{cases}
0,1 e^{-0,1 x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math> 
Jaká je střední hodnota a rozptyl této náhodné veličiny?<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref>
</div>

==Příklad 2==
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Na trase mezi kolejemi VŠB v Ostravě-Porubě a magistrátem v centru Ostravy délky 10,5 km napočítali cestáři 86 děr v silnici. 
<ol style="list-style-type:lower-alpha">
<li>Jaká je pravděpodobnost, že narazíme na díru v silnici při ujetí úseku délky 100 m na této trase?</li>
<li>Jakou vzdálenost je třeba na této trase ujet, aby pravděpodobnost, že narazíme na díru v silnici byla 99 %?<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref></li>
</ol>
</div>

==Příklad 3==
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Žárovky mají průměrnou životnost 2000 hodin. Předpokládáme, že doba, po kterou žárovka svítí, je náhodná veličina, která má exponenciální rozdělení. 
<ol style="list-style-type:lower-alpha">
<li>Popište tuto náhodnou veličinu pomocí funkce hustoty pravděpodobnosti a distribuční funkce.</li>
<li>Jaká je pravděpodobnost, že žárovka vydrží v provozu nejvýše 1000 hodin?</li>
<li>Jaká je pravděpodobnost, že žárovka vydrží v provozu v rozmezí 1000 až 2500 hodin?<ref name="neubauer">NEUBAUER, Jiří, Marek SEDLAČÍK a Oldřich KŘÍŽ. Základy statistiky: Aplikace v technických a ekonomických oborech. 2. rozšířené vydání. Praha: Grada Publishing, 2016, s. 121-124. ISBN 978-80-247-5786-5</ref></li>
</ol>
</div>

=Reference=
<references/>

Exponential distribution

2021-04-22T20:58:36Z

Klei00: Klei00 moved page Exponential distribution to Exponential distribution/cs

#REDIRECT [[Exponential distribution/cs]]

Exponential distribution/cs

2021-04-22T20:58:34Z

Klei00: Klei00 moved page Exponential distribution to Exponential distribution/cs

{{DISPLAYTITLE:Exponenciální rozdělení}}
=Úvod=

Exponenciální rozdělení představuje jedno ze základních [[Probability distributions/cs|pravděpodobnostních rozdělení]]. Společně s rovnoměrným, normálním či logritmicko-normálním rozdělením spadá do spojitých rozdělení. Náhodná veličina, která má exponenciální rozdělení, představuje dobu čekání mezi dvěma jevy, které nastávají s pravděpodobností mající [[Poisson distribution/cs|Poissonovo rozdělení]] (např. doba mezi dvěma nehodami na dálnici). Dalo by se tedy říct, že exponenciální rozdělení je spojitým protějškem Poissonova rozdělení.<ref name="neubauer">NEUBAUER, Jiří, Marek SEDLAČÍK a Oldřich KŘÍŽ. Základy statistiky: Aplikace v technických a ekonomických oborech. 2. rozšířené vydání. Praha: Grada Publishing, 2016, s. 121-124. ISBN 978-80-247-5786-5</ref> 
Jako příklad souvislosti Poissonova a exponenciálního rozdělení lze uvést již zmíněné autonehody na dálnici. Poissonovo rozdělení zde popisuje počet autonehod na dané dálnici za určitý časový interval, například v průměru 2 autonehody za den. Exponenciální rozdělení pak popisuje dobu do výskytu první autonehody, nebo dobu mezi dvěma autonehodami. V tomto příkladu by to bylo v průměru 1/2 dne (střední hodnota těchto dvou rozdělení je vzájemně převrácenou hodnotou).

=Terminologie=
==Definice==
[[File:hustota.gif|thumb|400px|right||Obr. 1: Funkce hustoty pravděpodobnosti exponenciálního rozdělení<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref>]]
[[File:disfce.gif|thumb|400px|right||Obr. 2: Distribuční funkce exponenciálního rozdělení<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref>]]
Spojitá náhodná veličina X má exponenciální rozdělení <math>E(\lambda)</math>, právě tehdy, když má funkce hustoty pravděpodobnosti tvar:<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref> 
<math>f(x)=\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math> 
Distribuční funkce je potom popsaná rovnicemi:<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref> 
<math>F(x)=\begin{cases}
1-e^{-\lambda x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math> 

==Vlastnosti==
Jednoparametrové exponenciální rozdělení se značí jako <math>X \sim Exp( \lambda )</math>, kde parametr <math>\lambda</math> představuje střední hodnotu počtu jevů, které nastanou v daný časový interval. Jelikož počet jevů je vždy kladné číslo, tak pro parametr platí <math>\lambda>0</math>. Střední hodnota exponenciálního rozdělení se pak počítá jako <math>EX={1 \over \lambda}</math> a rozptyl exponenciálního rozdělení se počítá jako <math>varX={1 \over \lambda^2}</math>.<ref name="kulich">KULICH, Michal. Přehled pravděpodobnostních rozdělení. Praha: Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova, 2009 [online]. [cit. 2021-04-21]. Dostupné z: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~pesta/NSTP097/rozdeleni.pdf</ref>
{| class="wikitable"
|+Vlastnosti exponenciálního rozdělení<ref name="kulich">KULICH, Michal. Přehled pravděpodobnostních rozdělení. Praha: Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova, 2009 [online]. [cit. 2021-04-21]. Dostupné z: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~pesta/NSTP097/rozdeleni.pdf</ref>
|-
|Značení
|<math>X \sim Exp( \lambda )</math>
|-
|Parametry
|<math>\lambda>0</math>
|-
|Nosič
|<math>X \in (0,\infty)</math>
|-
|Hustota pravděpodobnosti
|<math>f(x)=\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math>
|-
|Distribuční funkce
|<math>F(x)=\begin{cases}
1-e^{-\lambda x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math>
|-
|Střední hodnota
|<math>EX={1 \over \lambda}</math>
|-
|Rozptyl
|<math>varX={1 \over \lambda^2}</math>
|}

=Reálné aplikace=
Jak již bylo zmíněno, exponenciální rozdělení popisuje dobu čekání na určitý jev, či dobu mezi dvěma jevy, jejichž výskyt je dán [[Poisson distribution/cs|Poissonovým rozdělením]]. Obě tato rozdělení hrají důležitou roli například v teorii spolehlivosti či v teorii hromadné obsluhy.

==Teorie spolehlivosti==
Teorie spolehlivosti zahrnuje problematiku související s konstrukcí výrobků, s použitými materiály a s diagnostikou údržby a soustředí se na odhady a optimalizaci bezporuchového provozu výrobků. Spolehlivost výrobku lze popsat jako jeho vlastnost splňovat určitou funkci po danou dobu a za daných podmínek.<ref name="bris">BRIS, Radim. Základy teorie spolehlivosti. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007 [online]. [cit. 2021-04-21]. Dostupné z: https://homel.vsb.cz/~bri10/Teaching/Statistika%20II/skriptum/4_Teorie_spolehlivosti.PDF</ref> 
Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika zde mají hlavní roli v určování odhadů a stanovování prognóz ohledně bezporuchovosti či životnosti výrobků.<ref name="bris">BRIS, Radim. Základy teorie spolehlivosti. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007 [online]. [cit. 2021-04-21]. Dostupné z: https://homel.vsb.cz/~bri10/Teaching/Statistika%20II/skriptum/4_Teorie_spolehlivosti.PDF</ref> Pravděpodobnost poruch se v životě výrobku popisuje právě pomocí exponenciálního rozdělení. Porucha výrobku často nastává v libovolném čase, což znamená, že proměnná tohoto rozdělení (v tomto případě je proměnnou čas, x=t) je nezávislá. V rámci teorie spolehlivosti se kromě distribuční funkce F(x) a hustoty pravděpodobnosti f(x) také často počítá pravděpodobnost bezporuchového provozu (někdy také nazývána jako funkce spolehlivosti), která je dána vztahem <math>R(x)=1-F(x)=e^{-\lambda x}</math>, a veličina intenzita poruch, která je dána vztahem <math>\lambda(x)=\frac{f(x)}{R(x)}=\frac{\lambda e^{-\lambda x}}{e^{-\lambda x}}=\lambda</math>.<ref name="famfulik">FAMFULÍK, Jan, Jana MÍKOVÁ a Radek KRZYŽANEK. Teorie údržby. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007. ISBN 978-80-248-1509-1</ref>

===Příklad===
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Na základě pozorování žárovek do světlometů bylo zjištěno, že za sledovaný čas se vyskytlo 80 poruch, přičemž akumulovaný pracovní čas žárovek byl <math>T_{ak}=22500 \text{ hod}</math>. Údaje z pozorování jsou zpracovány v tabulce níže. Jaká je střední doba do poruchy? Za jaký čas dosáhne pravděpodobnost poruchy 10 % (tj. jaký je 10% kvantil)?<ref name="famfulik">FAMFULÍK, Jan, Jana MÍKOVÁ a Radek KRZYŽANEK. Teorie údržby. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007. ISBN 978-80-248-1509-1</ref> 
{| class="wikitable"
|+Údaje z pozorování žárovek<ref name="famfulik">FAMFULÍK, Jan, Jana MÍKOVÁ a Radek KRZYŽANEK. Teorie údržby. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007. ISBN 978-80-248-1509-1</ref>
!Doba do poruchy (hod)
!Absolutní četnost poruch
!Akumulovaný pracovní čas <math>T_{ak}</math>
|-
|150
|31
|rowspan="7" style="text-align:center;"|22500 hod
|-
|300
|22
|-
|450
|13
|-
|600
|7
|-
|750
|4
|-
|900
|2
|-
|1050
|1
|-
|
|Celkem 80 poruch
|
|}
Řešení: Nejprve vypočítáme střední dobu do poruchy žárovek, tj. jak dlouho v průměru trvá žárovce, než se rozbije: 
<math>Ts=\frac{T_{ak}}{n}=\frac{22500}{80}=281 \text{ hod}</math> 
Nyní známe střední hodnotu rozdělení, a tudíž lze ze vztahu pro střední hodnotu rozdělení (EX) vypočítat intenzitu poruch <math>\lambda</math>, která představuje převrácenou hodnotu střední hodnoty: 
<math>EX=\frac{1}{\lambda}\Rightarrow \lambda =\frac{1}{EX}=\frac{1}{281}=0,00356 \text{ poruch za hodinu}</math> 
Pravděpodobnost poruchy pak popisuje distribuční funkce. V tomto příkladu ale známe pravděpodobnost poruchy (<math>p=0,1</math>) a hledáme čas (proměnnou x), kdy bude této pravděpodobnosti dosaženo. Je tedy třeba si nejdřív z distribuční funkce vyjádřit x: 
<math>F(x)=1-e^{-\lambda x}</math> 
<math>1-F(x)=e^{-\lambda x}</math> 
<math>\ln{(1-F(x))}=-\lambda x</math> 
<math>x=\frac{\ln{(1-F(x))}}{-\lambda}=\frac{\ln{(1-0,1)}}{-0,00356}=29,6 \cong 30 \text{ hod}</math> 
Střední doba poruchy je tedy 281 hodin a pravděpodobnosti poruchy 10 % dosáhne žárovka přibližně po 30 hodinách.
</div>

==Teorie hromadné obsluhy==
Teorie hromadné obsluhy (někdy také nazývaná [[Queueing theory/cs|teorie front]]) představuje vědní disciplínu, která se zabývá systémy hromadné obsluhy. V takovém systému dochází k obsluhování a vyřizování příchozích požadavků, které se mohou hromadit a tvořit fronty. Požadavkem může být jakákoliv jednotka, která přichází do systému za účelem obsluhy (například pacient u lékaře, auto v servisu či tisková úloha v tiskárně).<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 
K popisování systémů hromadné obsluhy se stejně jako u teorie spolehlivosti využívá matematická statistika a teorie pravděpodobnosti. Nejčastěji se zde využívá právě exponenciální a Poissonovo rozdělení.<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 
Poissonovo rozdělení zde popisuje tzv. intenzitu příchodů (<math>\lambda</math>) a intenzitu obsluhy (<math>\mu</math>). Intenzita příchodů představuje průměrný počet požadavků, které přijdou do systému hromadné obsluhy za určitou časovou jednotku (například do ordinace přichází v průměru 5 pacientů za hodinu). Intenzita obsluhy pak představuje průměrný počet obsloužených požadavků za určitou časovou jednotku (například doktor vyšetří v průměru 4 pacienty za hodinu).<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 
Exponenciální rozdělení zde pak nejčastěji popisuje tzv. příchod požadavků do systému (<math>EX=\frac{1}{\lambda}</math>) a obsluhu požadavků v systému (<math>EX=\frac{1}{\mu}</math>). Pojem příchodu požadavků do systému představuje průměrnou dobu mezi příchody dvou po sobě jdoucích požadavků (například nový pacient přijde do ordinace v průměru jednou za 12 minut). Obsluha požadavků v systému pak vyjadřuje průměrnou dobu obsluhy jednoho požadavku (například doktor vyšetří jednoho pacienta v průměru za 15 minut).<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 

===Příklad===
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
K bankomatu chodí v průměru 10 lidí za hodinu. Každý člověk stráví u bankomatu průměrně 2,5 minuty. Jaká je průměrná doba mezi příchody dvou zákazníků? Jaká je intenzita obsluhy? Jaká je pravděpodobnost, že do jedné minuty od odchodu posledního zákazníka přijde další?<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 
Řešení: Ze zadání známe intenzitu příchodů <math>\lambda=20</math> lidí za hodinu a průměrnou dobu obsluhy <math>EX=\frac{1}{\mu}=0,041\bar{6}</math> hodiny (nutné převést na společné časové jednotky). Z těchto hodnot lze snadno vypočítat průměrnou dobu příchodů a intenzitu obsluhy. Jedná se o převrácené hodnoty již známých hodnot. 
Průměrná doba příchodů: <math>EX=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{20}=0,05 \text{ hodiny}=3 \text{ minuty}</math> 
Intenzita obsluhy: <math>EX=\frac{1}{\mu}\Rightarrow \mu=\frac{1}{EX}=\frac{1}{0,041\bar{6}}=24 \text{ lidí za hodinu}</math> 
Nyní známe jak průměrnou dobu příchodů, tak intenzitu obsluhy. Stačí už jen vypočítat pravděpodobnost, že do 1 minuty (1/60 hodiny)od odchodu posledního zákazníka přijde další. V tomto případě nám poslouží distribuční funkce, kde proměnnou je v tomto případě čas (x=t): 
<math>F(x)=1-e^{-\lambda x}</math> 
<math>F(x)=1-e^{-20\cdot \frac{1}{60}}=0,2835</math> 
Pravděpodobnost, že do jedné minuty od odchodu posledního zákazníka přijde další, je 28,35 %.
</div>

=Funkce v Excelu=
Hodnoty hustoty pravděpodobnosti a distribuční funkce exponenciálního rozdělení lze v prostředí Excelu získat pomocí funkce EXPON.DIST(). Tato funkce má tři parametry: 
*x — hodnota proměnné, neboli hodnota náhodné veličiny, pro kterou hledáme danou pravděpodobnost výskytu
*lambda — střední hodnota četnosti výskytu, neboli převrácená hodnota průměrné doby mezi jevy
*kumulativní — nabývá hodnot 0 či 1 a určuje, zda bude pro výpočet použita funkce hustota pravděpodobnosti (0, nekumulativní funkce) nebo distribuční funkce (1, kumulativní funkce)<ref name="neubauer">NEUBAUER, Jiří, Marek SEDLAČÍK a Oldřich KŘÍŽ. Základy statistiky: Aplikace v technických a ekonomických oborech. 2. rozšířené vydání. Praha: Grada Publishing, 2016, s. 121-124. ISBN 978-80-247-5786-5</ref>

===Příklad===
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Internet ve firmě vypadne průměrně každých 10 hodin. Jaká je pravděpodobnost, že po posledním výpadku internet opět vypadne během následujících 6 hodin? 
Řešení: V zadání je důležité slovo „během“, které nám napovídá, že se ptáme na kumulativní funkci, tedy na distribuční funkci (zajímá nás pravděpodobnost, že jev nastal v intervalu od 0 do 6 hodin od posledního výpadku). Hodnota proměnné je zde oněch 6 hodin, pro které zjišťujeme danou pravděpodobnost a hodnota <math>\lambda</math> je zde převrácená hodnota průměrné doby mezi jevy, tj. <math>\lambda=\frac{1}{10}=0,1</math>. 
Do Excelu vložíme tuto funkci: 
<math>=EXPON.DIST(6;0,1;1)</math> 
Výsledkem je, že pravděpodobnost, že po posledním výpadku internet opět vypadne během následujících 6 hodin, se rovná 45,12 %.
</div>

=Příklady k procvičení=
Zde můžete najít pár příkladů na procvičení. K některým výpočtům lze použít i výše zmíněnou funkci nástroje Excel. Řešení příkladů naleznete zde: [[Media:reseni.pdf|řešení]].

==Příklad 1==
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Náhodná veličina má funkci hustoty pravděpodobnosti: 
<math>f(x)=\begin{cases}
0,1 e^{-0,1 x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math> 
Jaká je střední hodnota a rozptyl této náhodné veličiny?<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref>
</div>

==Příklad 2==
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Na trase mezi kolejemi VŠB v Ostravě-Porubě a magistrátem v centru Ostravy délky 10,5 km napočítali cestáři 86 děr v silnici. 
<ol style="list-style-type:lower-alpha">
<li>Jaká je pravděpodobnost, že narazíme na díru v silnici při ujetí úseku délky 100 m na této trase?</li>
<li>Jakou vzdálenost je třeba na této trase ujet, aby pravděpodobnost, že narazíme na díru v silnici byla 99 %?<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref></li>
</ol>
</div>

==Příklad 3==
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Žárovky mají průměrnou životnost 2000 hodin. Předpokládáme, že doba, po kterou žárovka svítí, je náhodná veličina, která má exponenciální rozdělení. 
<ol style="list-style-type:lower-alpha">
<li>Popište tuto náhodnou veličinu pomocí funkce hustoty pravděpodobnosti a distribuční funkce.</li>
<li>Jaká je pravděpodobnost, že žárovka vydrží v provozu nejvýše 1000 hodin?</li>
<li>Jaká je pravděpodobnost, že žárovka vydrží v provozu v rozmezí 1000 až 2500 hodin?<ref name="neubauer">NEUBAUER, Jiří, Marek SEDLAČÍK a Oldřich KŘÍŽ. Základy statistiky: Aplikace v technických a ekonomických oborech. 2. rozšířené vydání. Praha: Grada Publishing, 2016, s. 121-124. ISBN 978-80-247-5786-5</ref></li>
</ol>
</div>

=Reference=
<references/>

Exponential distribution/cs

2021-04-22T20:57:29Z

Klei00: Exponenciální rozdělení - první verze

{{DISPLAYTITLE:Exponenciální rozdělení}}
=Úvod=

Exponenciální rozdělení představuje jedno ze základních [[Probability distributions/cs|pravděpodobnostních rozdělení]]. Společně s rovnoměrným, normálním či logritmicko-normálním rozdělením spadá do spojitých rozdělení. Náhodná veličina, která má exponenciální rozdělení, představuje dobu čekání mezi dvěma jevy, které nastávají s pravděpodobností mající [[Poisson distribution/cs|Poissonovo rozdělení]] (např. doba mezi dvěma nehodami na dálnici). Dalo by se tedy říct, že exponenciální rozdělení je spojitým protějškem Poissonova rozdělení.<ref name="neubauer">NEUBAUER, Jiří, Marek SEDLAČÍK a Oldřich KŘÍŽ. Základy statistiky: Aplikace v technických a ekonomických oborech. 2. rozšířené vydání. Praha: Grada Publishing, 2016, s. 121-124. ISBN 978-80-247-5786-5</ref> 
Jako příklad souvislosti Poissonova a exponenciálního rozdělení lze uvést již zmíněné autonehody na dálnici. Poissonovo rozdělení zde popisuje počet autonehod na dané dálnici za určitý časový interval, například v průměru 2 autonehody za den. Exponenciální rozdělení pak popisuje dobu do výskytu první autonehody, nebo dobu mezi dvěma autonehodami. V tomto příkladu by to bylo v průměru 1/2 dne (střední hodnota těchto dvou rozdělení je vzájemně převrácenou hodnotou).

=Terminologie=
==Definice==
[[File:hustota.gif|thumb|400px|right||Obr. 1: Funkce hustoty pravděpodobnosti exponenciálního rozdělení<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref>]]
[[File:disfce.gif|thumb|400px|right||Obr. 2: Distribuční funkce exponenciálního rozdělení<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref>]]
Spojitá náhodná veličina X má exponenciální rozdělení <math>E(\lambda)</math>, právě tehdy, když má funkce hustoty pravděpodobnosti tvar:<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref> 
<math>f(x)=\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math> 
Distribuční funkce je potom popsaná rovnicemi:<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref> 
<math>F(x)=\begin{cases}
1-e^{-\lambda x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math> 

==Vlastnosti==
Jednoparametrové exponenciální rozdělení se značí jako <math>X \sim Exp( \lambda )</math>, kde parametr <math>\lambda</math> představuje střední hodnotu počtu jevů, které nastanou v daný časový interval. Jelikož počet jevů je vždy kladné číslo, tak pro parametr platí <math>\lambda>0</math>. Střední hodnota exponenciálního rozdělení se pak počítá jako <math>EX={1 \over \lambda}</math> a rozptyl exponenciálního rozdělení se počítá jako <math>varX={1 \over \lambda^2}</math>.<ref name="kulich">KULICH, Michal. Přehled pravděpodobnostních rozdělení. Praha: Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova, 2009 [online]. [cit. 2021-04-21]. Dostupné z: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~pesta/NSTP097/rozdeleni.pdf</ref>
{| class="wikitable"
|+Vlastnosti exponenciálního rozdělení<ref name="kulich">KULICH, Michal. Přehled pravděpodobnostních rozdělení. Praha: Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova, 2009 [online]. [cit. 2021-04-21]. Dostupné z: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~pesta/NSTP097/rozdeleni.pdf</ref>
|-
|Značení
|<math>X \sim Exp( \lambda )</math>
|-
|Parametry
|<math>\lambda>0</math>
|-
|Nosič
|<math>X \in (0,\infty)</math>
|-
|Hustota pravděpodobnosti
|<math>f(x)=\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math>
|-
|Distribuční funkce
|<math>F(x)=\begin{cases}
1-e^{-\lambda x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math>
|-
|Střední hodnota
|<math>EX={1 \over \lambda}</math>
|-
|Rozptyl
|<math>varX={1 \over \lambda^2}</math>
|}

=Reálné aplikace=
Jak již bylo zmíněno, exponenciální rozdělení popisuje dobu čekání na určitý jev, či dobu mezi dvěma jevy, jejichž výskyt je dán [[Poisson distribution/cs|Poissonovým rozdělením]]. Obě tato rozdělení hrají důležitou roli například v teorii spolehlivosti či v teorii hromadné obsluhy.

==Teorie spolehlivosti==
Teorie spolehlivosti zahrnuje problematiku související s konstrukcí výrobků, s použitými materiály a s diagnostikou údržby a soustředí se na odhady a optimalizaci bezporuchového provozu výrobků. Spolehlivost výrobku lze popsat jako jeho vlastnost splňovat určitou funkci po danou dobu a za daných podmínek.<ref name="bris">BRIS, Radim. Základy teorie spolehlivosti. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007 [online]. [cit. 2021-04-21]. Dostupné z: https://homel.vsb.cz/~bri10/Teaching/Statistika%20II/skriptum/4_Teorie_spolehlivosti.PDF</ref> 
Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika zde mají hlavní roli v určování odhadů a stanovování prognóz ohledně bezporuchovosti či životnosti výrobků.<ref name="bris">BRIS, Radim. Základy teorie spolehlivosti. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007 [online]. [cit. 2021-04-21]. Dostupné z: https://homel.vsb.cz/~bri10/Teaching/Statistika%20II/skriptum/4_Teorie_spolehlivosti.PDF</ref> Pravděpodobnost poruch se v životě výrobku popisuje právě pomocí exponenciálního rozdělení. Porucha výrobku často nastává v libovolném čase, což znamená, že proměnná tohoto rozdělení (v tomto případě je proměnnou čas, x=t) je nezávislá. V rámci teorie spolehlivosti se kromě distribuční funkce F(x) a hustoty pravděpodobnosti f(x) také často počítá pravděpodobnost bezporuchového provozu (někdy také nazývána jako funkce spolehlivosti), která je dána vztahem <math>R(x)=1-F(x)=e^{-\lambda x}</math>, a veličina intenzita poruch, která je dána vztahem <math>\lambda(x)=\frac{f(x)}{R(x)}=\frac{\lambda e^{-\lambda x}}{e^{-\lambda x}}=\lambda</math>.<ref name="famfulik">FAMFULÍK, Jan, Jana MÍKOVÁ a Radek KRZYŽANEK. Teorie údržby. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007. ISBN 978-80-248-1509-1</ref>

===Příklad===
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Na základě pozorování žárovek do světlometů bylo zjištěno, že za sledovaný čas se vyskytlo 80 poruch, přičemž akumulovaný pracovní čas žárovek byl <math>T_{ak}=22500 \text{ hod}</math>. Údaje z pozorování jsou zpracovány v tabulce níže. Jaká je střední doba do poruchy? Za jaký čas dosáhne pravděpodobnost poruchy 10 % (tj. jaký je 10% kvantil)?<ref name="famfulik">FAMFULÍK, Jan, Jana MÍKOVÁ a Radek KRZYŽANEK. Teorie údržby. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007. ISBN 978-80-248-1509-1</ref> 
{| class="wikitable"
|+Údaje z pozorování žárovek<ref name="famfulik">FAMFULÍK, Jan, Jana MÍKOVÁ a Radek KRZYŽANEK. Teorie údržby. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007. ISBN 978-80-248-1509-1</ref>
!Doba do poruchy (hod)
!Absolutní četnost poruch
!Akumulovaný pracovní čas <math>T_{ak}</math>
|-
|150
|31
|rowspan="7" style="text-align:center;"|22500 hod
|-
|300
|22
|-
|450
|13
|-
|600
|7
|-
|750
|4
|-
|900
|2
|-
|1050
|1
|-
|
|Celkem 80 poruch
|
|}
Řešení: Nejprve vypočítáme střední dobu do poruchy žárovek, tj. jak dlouho v průměru trvá žárovce, než se rozbije: 
<math>Ts=\frac{T_{ak}}{n}=\frac{22500}{80}=281 \text{ hod}</math> 
Nyní známe střední hodnotu rozdělení, a tudíž lze ze vztahu pro střední hodnotu rozdělení (EX) vypočítat intenzitu poruch <math>\lambda</math>, která představuje převrácenou hodnotu střední hodnoty: 
<math>EX=\frac{1}{\lambda}\Rightarrow \lambda =\frac{1}{EX}=\frac{1}{281}=0,00356 \text{ poruch za hodinu}</math> 
Pravděpodobnost poruchy pak popisuje distribuční funkce. V tomto příkladu ale známe pravděpodobnost poruchy (<math>p=0,1</math>) a hledáme čas (proměnnou x), kdy bude této pravděpodobnosti dosaženo. Je tedy třeba si nejdřív z distribuční funkce vyjádřit x: 
<math>F(x)=1-e^{-\lambda x}</math> 
<math>1-F(x)=e^{-\lambda x}</math> 
<math>\ln{(1-F(x))}=-\lambda x</math> 
<math>x=\frac{\ln{(1-F(x))}}{-\lambda}=\frac{\ln{(1-0,1)}}{-0,00356}=29,6 \cong 30 \text{ hod}</math> 
Střední doba poruchy je tedy 281 hodin a pravděpodobnosti poruchy 10 % dosáhne žárovka přibližně po 30 hodinách.
</div>

==Teorie hromadné obsluhy==
Teorie hromadné obsluhy (někdy také nazývaná [[Queueing theory/cs|teorie front]]) představuje vědní disciplínu, která se zabývá systémy hromadné obsluhy. V takovém systému dochází k obsluhování a vyřizování příchozích požadavků, které se mohou hromadit a tvořit fronty. Požadavkem může být jakákoliv jednotka, která přichází do systému za účelem obsluhy (například pacient u lékaře, auto v servisu či tisková úloha v tiskárně).<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 
K popisování systémů hromadné obsluhy se stejně jako u teorie spolehlivosti využívá matematická statistika a teorie pravděpodobnosti. Nejčastěji se zde využívá právě exponenciální a Poissonovo rozdělení.<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 
Poissonovo rozdělení zde popisuje tzv. intenzitu příchodů (<math>\lambda</math>) a intenzitu obsluhy (<math>\mu</math>). Intenzita příchodů představuje průměrný počet požadavků, které přijdou do systému hromadné obsluhy za určitou časovou jednotku (například do ordinace přichází v průměru 5 pacientů za hodinu). Intenzita obsluhy pak představuje průměrný počet obsloužených požadavků za určitou časovou jednotku (například doktor vyšetří v průměru 4 pacienty za hodinu).<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 
Exponenciální rozdělení zde pak nejčastěji popisuje tzv. příchod požadavků do systému (<math>EX=\frac{1}{\lambda}</math>) a obsluhu požadavků v systému (<math>EX=\frac{1}{\mu}</math>). Pojem příchodu požadavků do systému představuje průměrnou dobu mezi příchody dvou po sobě jdoucích požadavků (například nový pacient přijde do ordinace v průměru jednou za 12 minut). Obsluha požadavků v systému pak vyjadřuje průměrnou dobu obsluhy jednoho požadavku (například doktor vyšetří jednoho pacienta v průměru za 15 minut).<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 

===Příklad===
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
K bankomatu chodí v průměru 10 lidí za hodinu. Každý člověk stráví u bankomatu průměrně 2,5 minuty. Jaká je průměrná doba mezi příchody dvou zákazníků? Jaká je intenzita obsluhy? Jaká je pravděpodobnost, že do jedné minuty od odchodu posledního zákazníka přijde další?<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 
Řešení: Ze zadání známe intenzitu příchodů <math>\lambda=20</math> lidí za hodinu a průměrnou dobu obsluhy <math>EX=\frac{1}{\mu}=0,041\bar{6}</math> hodiny (nutné převést na společné časové jednotky). Z těchto hodnot lze snadno vypočítat průměrnou dobu příchodů a intenzitu obsluhy. Jedná se o převrácené hodnoty již známých hodnot. 
Průměrná doba příchodů: <math>EX=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{20}=0,05 \text{ hodiny}=3 \text{ minuty}</math> 
Intenzita obsluhy: <math>EX=\frac{1}{\mu}\Rightarrow \mu=\frac{1}{EX}=\frac{1}{0,041\bar{6}}=24 \text{ lidí za hodinu}</math> 
Nyní známe jak průměrnou dobu příchodů, tak intenzitu obsluhy. Stačí už jen vypočítat pravděpodobnost, že do 1 minuty (1/60 hodiny)od odchodu posledního zákazníka přijde další. V tomto případě nám poslouží distribuční funkce, kde proměnnou je v tomto případě čas (x=t): 
<math>F(x)=1-e^{-\lambda x}</math> 
<math>F(x)=1-e^{-20\cdot \frac{1}{60}}=0,2835</math> 
Pravděpodobnost, že do jedné minuty od odchodu posledního zákazníka přijde další, je 28,35 %.
</div>

=Funkce v Excelu=
Hodnoty hustoty pravděpodobnosti a distribuční funkce exponenciálního rozdělení lze v prostředí Excelu získat pomocí funkce EXPON.DIST(). Tato funkce má tři parametry: 
*x — hodnota proměnné, neboli hodnota náhodné veličiny, pro kterou hledáme danou pravděpodobnost výskytu
*lambda — střední hodnota četnosti výskytu, neboli převrácená hodnota průměrné doby mezi jevy
*kumulativní — nabývá hodnot 0 či 1 a určuje, zda bude pro výpočet použita funkce hustota pravděpodobnosti (0, nekumulativní funkce) nebo distribuční funkce (1, kumulativní funkce)<ref name="neubauer">NEUBAUER, Jiří, Marek SEDLAČÍK a Oldřich KŘÍŽ. Základy statistiky: Aplikace v technických a ekonomických oborech. 2. rozšířené vydání. Praha: Grada Publishing, 2016, s. 121-124. ISBN 978-80-247-5786-5</ref>

===Příklad===
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Internet ve firmě vypadne průměrně každých 10 hodin. Jaká je pravděpodobnost, že po posledním výpadku internet opět vypadne během následujících 6 hodin? 
Řešení: V zadání je důležité slovo „během“, které nám napovídá, že se ptáme na kumulativní funkci, tedy na distribuční funkci (zajímá nás pravděpodobnost, že jev nastal v intervalu od 0 do 6 hodin od posledního výpadku). Hodnota proměnné je zde oněch 6 hodin, pro které zjišťujeme danou pravděpodobnost a hodnota <math>\lambda</math> je zde převrácená hodnota průměrné doby mezi jevy, tj. <math>\lambda=\frac{1}{10}=0,1</math>. 
Do Excelu vložíme tuto funkci: 
<math>=EXPON.DIST(6;0,1;1)</math> 
Výsledkem je, že pravděpodobnost, že po posledním výpadku internet opět vypadne během následujících 6 hodin, se rovná 45,12 %.
</div>

=Příklady k procvičení=
Zde můžete najít pár příkladů na procvičení. K některým výpočtům lze použít i výše zmíněnou funkci nástroje Excel. Řešení příkladů naleznete zde: [[Media:reseni.pdf|řešení]].

==Příklad 1==
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Náhodná veličina má funkci hustoty pravděpodobnosti: 
<math>f(x)=\begin{cases}
0,1 e^{-0,1 x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math> 
Jaká je střední hodnota a rozptyl této náhodné veličiny?<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref>
</div>

==Příklad 2==
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Na trase mezi kolejemi VŠB v Ostravě-Porubě a magistrátem v centru Ostravy délky 10,5 km napočítali cestáři 86 děr v silnici. 
<ol style="list-style-type:lower-alpha">
<li>Jaká je pravděpodobnost, že narazíme na díru v silnici při ujetí úseku délky 100 m na této trase?</li>
<li>Jakou vzdálenost je třeba na této trase ujet, aby pravděpodobnost, že narazíme na díru v silnici byla 99 %?<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref></li>
</ol>
</div>

==Příklad 3==
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Žárovky mají průměrnou životnost 2000 hodin. Předpokládáme, že doba, po kterou žárovka svítí, je náhodná veličina, která má exponenciální rozdělení. 
<ol style="list-style-type:lower-alpha">
<li>Popište tuto náhodnou veličinu pomocí funkce hustoty pravděpodobnosti a distribuční funkce.</li>
<li>Jaká je pravděpodobnost, že žárovka vydrží v provozu nejvýše 1000 hodin?</li>
<li>Jaká je pravděpodobnost, že žárovka vydrží v provozu v rozmezí 1000 až 2500 hodin?<ref name="neubauer">NEUBAUER, Jiří, Marek SEDLAČÍK a Oldřich KŘÍŽ. Základy statistiky: Aplikace v technických a ekonomických oborech. 2. rozšířené vydání. Praha: Grada Publishing, 2016, s. 121-124. ISBN 978-80-247-5786-5</ref></li>
</ol>
</div>

=Reference=
<references/>

File:Disfce.gif

2021-04-22T20:00:49Z

Klei00: Distribuční funkce exponenciálního rozdělení

== Summary ==
Distribuční funkce exponenciálního rozdělení

File:Hustota.gif

2021-04-22T19:57:37Z

Klei00: Funkce hustoty pravděpodobnosti exponenciálního rozdělení

== Summary ==
Funkce hustoty pravděpodobnosti exponenciálního rozdělení

File:Reseni.pdf

2021-04-22T19:54:22Z

Klei00: Řešení příkladů k učebnímu textu Exponenciální rozdělení.

== Summary ==
Řešení příkladů k učebnímu textu Exponenciální rozdělení.