Simulace.info - User contributions [en]

Nash equilibrium/cs

2012-06-20T21:43:16Z

Xbarr10: /* Příklad 3: Smíšené strategie */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží nebo v nejlepším případě zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>Dlouhý, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má (právě jedno) rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>Nash, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2: Hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3: Smíšené strategie ==
{| class="wikitable" align=right width="225"
! scope="col" width="50px" | Nashova rovnováha ve smíšených strategiích a skutečné hry
|-
| [[File:goalkeeper.jpg|240 px|fotbalový brankář]]
|-
| Přestože se smíšené řešení může zdát jako teoretický, prakticky nevyužitelný koncept (proč hrát strategie s nižším očekávaným užitkem), je možné jej jednoduše aplikovat i na reálné hry, potažmo reálný svět.

M. Dlouhý<ref name=dlouhy/> uvádí jako příklad použití smíšené strategie jednoduchou hru Kámen, nůžky, papír. Lze spočítat, že rovnovážná strategie je pro každého hráče (kámen, nůžky, papír) = (0.33,0.33,0.33), neboli střídat se stejnou pravděpodobností všechny možnosti. Odchýlení od této strategie (zejména v opakované hře) umožňuje protihráči přizpůsobit se (tedy například reagovat na časté používání kamenu častějším používáním papíru).

Neobvyklé spojení teorie her s analýzou reálných dat nabízí paper (Chiappori et al., 2002)<ref>Chiappori, P. A.; Levitt, S. and Groseclose, T.: ''Testing mixed-strategy equilibria when players are heterogeneous: The case of penalty kicks in soccer'' In: The American Economic Review Vol. 92, No. 4 (Sep., 2002), pp. 1138-1151, dostupné z http://pricetheory.uchicago.edu/levitt/Papers/ChiapporiGrosecloseLevitt2002.pdf</ref> o fotbalových penaltách jakožto koordinačné-antikoordinační hře. Vychází z premisy, že útočník - pravák je při pokutovém kopu schopen lépe vystřelit do levé strany branky (má vyšší užitek, jelikož přesná, tvrdá rána má vyšší pravděpodobnost úspěchu). Kdyby ale střílel pouze do levé části brány, brankář by na střely byl připraven. Proto musí strany střídat (smíšená strategie). Pro brankáře platí podobné rozhodování.
|}

Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -4
| -2
| 3
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, …). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy (například v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010: [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx|(řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]]) dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

=Otázky a příklady k procvičení=
# Zajišťuje Nashova rovnováha automaticky pareto-optimální řešení?
# Kolik nashových rovnovážných řešení může existovat v maticové hře?   a. žádné   b. 0 - počet prvků   c. pouze 1   d. 1 - počet prvků
#Najděte Nashovo rovnovážné řešení v [[#Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií|prvním příkladu]] (Vězňovo dilema) bez vyškrtávání dominovaných sloupců - pomocí sedlových bodů (tip: Je použita jiná notace než v druhém příkladu, je proto nutné hledat maxima ve sloupcích i řádcích, ale vždy ve výplatní funkci správného hráče)
#Ukažte, že při uvažování dominovaného řádku se řešení [[#Příklad 3: Smíšené strategie|třetího příkladu]] nezmění.
#Najděte Nashova rovnovážná řešení pro následující hry:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| -3
| 8
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 3
| 10
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| 4
| -7
|}

{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 8
| 0
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 99
| 0
| -99
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| 1
| -8
| 16
|}

{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 1
| 4
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 0
| -3
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| 1
| 9
| 1
|}

{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| -2
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 4
| -2
| -3
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -1
| 3
| 8
|}
<ol start="6">
<li>Sestavte výplatní matici pro hru Kámen, nůžky, papír [[#Příklad 3: Smíšené strategie|(diskutováno v infoboxu)]] a nalezněte Nashovo rovnovážné řešení hry.</li>
</ol>

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

Nash equilibrium/cs

2012-06-20T21:03:41Z

Xbarr10: /* Příklad 3: Smíšené strategie */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží nebo v nejlepším případě zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>Dlouhý, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má (právě jedno) rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>Nash, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2: Hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3: Smíšené strategie ==
{| class="wikitable" align=right width="225"
! scope="col" width="50px" | Nashova rovnováha ve smíšených strategiích a skutečné hry
|-
| [[File:goalkeeper.jpg|240 px|fotbalový brankář]]
|-
| Přestože se smíšené řešení může zdát jako teoretický, prakticky nevyužitelný koncept (proč hrát strategie s nižším očekávaným užitkem), je možné jej jednoduše aplikovat i na reálné hry, potažmo reálný svět.

M. Dlouhý<ref name=dlouhy/> uvádí jako příklad použití smíšené strategie jednoduchou hru Kámen, nůžky, papír. Lze spočítat, že rovnovážná strategie je pro každého hráče (kámen, nůžky, papír) = (0.33,0.33,0.33), neboli střídat se stejnou pravděpodobností všechny možnosti. Odchýlení od této strategie (zejména v opakované hře) umožňuje protihráči přizpůsobit se (tedy například reagovat na časté používání kamenu častějším používáním papíru).

Neobvyklé spojení teorie her s analýzou reálných dat nabízí paper (Chiappori et al., 2002)<ref>Chiappori, P. A.; Levitt, S. and Groseclose, T.: ''Testing mixed-strategy equilibria when players are heterogeneous: The case of penalty kicks in soccer'' In: The American Economic Review Vol. 92, No. 4 (Sep., 2002), pp. 1138-1151, dostupné z http://pricetheory.uchicago.edu/levitt/Papers/ChiapporiGrosecloseLevitt2002.pdf</ref> o fotbalových penaltách jakožto koordinačné-antikoordinační hře. Vychází z premisy, že útočník - pravák je při pokutovém kopu schopen lépe vystřelit do levé strany branky (má vyšší užitek, jelikož přesná, tvrdá rána má vyšší pravděpodobnost úspěchu). Kdyby ale střílel pouze do levé části brány, brankář by na střely byl připraven. Proto musí strany střídat (smíšená strategie). Pro brankáře platí podobné rozhodování.
|}

Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -4
| -2
| 3
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, …). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

=Otázky a příklady k procvičení=
# Zajišťuje Nashova rovnováha automaticky pareto-optimální řešení?
# Kolik nashových rovnovážných řešení může existovat v maticové hře?   a. žádné   b. 0 - počet prvků   c. pouze 1   d. 1 - počet prvků
#Najděte Nashovo rovnovážné řešení v [[#Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií|prvním příkladu]] (Vězňovo dilema) bez vyškrtávání dominovaných sloupců - pomocí sedlových bodů (tip: Je použita jiná notace než v druhém příkladu, je proto nutné hledat maxima ve sloupcích i řádcích, ale vždy ve výplatní funkci správného hráče)
#Ukažte, že při uvažování dominovaného řádku se řešení [[#Příklad 3: Smíšené strategie|třetího příkladu]] nezmění.
#Najděte Nashova rovnovážná řešení pro následující hry:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| -3
| 8
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 3
| 10
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| 4
| -7
|}

{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 8
| 0
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 99
| 0
| -99
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| 1
| -8
| 16
|}

{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 1
| 4
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 0
| -3
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| 1
| 9
| 1
|}

{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| -2
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 4
| -2
| -3
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -1
| 3
| 8
|}
<ol start="6">
<li>Sestavte výplatní matici pro hru Kámen, nůžky, papír [[#Příklad 3: Smíšené strategie|(diskutováno v infoboxu)]] a nalezněte Nashovo rovnovážné řešení hry.</li>
</ol>

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

Nash equilibrium/cs

2012-06-20T20:48:35Z

Xbarr10: /* Definice */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží nebo v nejlepším případě zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>Dlouhý, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má (právě jedno) rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>Nash, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2: Hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3: Smíšené strategie ==
{| class="wikitable" align=right width="225"
! scope="col" width="50px" | Nashova rovnováha ve smíšených strategiích a skutečné hry
|-
| [[File:goalkeeper.jpg|240 px|fotbalový brankář]]
|-
| Přestože se smíšené řešení může zdát jako teoretický, prakticky nevyužitelný koncept (proč hrát strategie s nižším očekávaným užitkem), je možné jej jednoduše aplikovat i na reálné hry, potažmo reálný svět.

M. Dlouhý<ref name=dlouhy/> uvádí jako příklad použití smíšené strategie jednoduchou hru Kámen, nůžky, papír. Lze spočítat, že rovnovážná strategie je pro každého hráče (kámen, nůžky, papír) = (0.33,0.33,0.33), neboli střídat se stejnou pravděpodobností všechny možnosti. Odchýlení od této strategie (zejména v opakované hře) umožňuje protihráči přizpůsobit se (tedy například reagovat na časté používání kamenu častějším používáním papíru).

Neobvyklé spojení teorie her s analýzou reálných dat nabízí paper (Chiappori et al., 2002)<ref>Chiappori, P. A.; Levitt, S. and Groseclose, T.: ''Testing mixed-strategy equilibria when players are heterogeneous: The case of penalty kicks in soccer'' In: The American Economic Review Vol. 92, No. 4 (Sep., 2002), pp. 1138-1151, dostupné z http://pricetheory.uchicago.edu/levitt/Papers/ChiapporiGrosecloseLevitt2002.pdf</ref> o fotbalových penaltách jakožto koordinačné-antikoordinační hře. Vychází z premisy, že útočník - pravák je při pokutovém kopu schopen lépe vystřelit do levé strany branky (má vyšší užitek, jelikož přesná, tvrdá rána má vyšší pravděpodobnost úspěchu). Kdyby ale střílel pouze do levé části brány, brankář by na střely byl připraven. Proto musí strany střídat (smíšená strategie). Pro brankáře platí podobné rozhodování.
|}

Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -4
| -2
| 3
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

=Otázky a příklady k procvičení=
# Zajišťuje Nashova rovnováha automaticky pareto-optimální řešení?
# Kolik nashových rovnovážných řešení může existovat v maticové hře?   a. žádné   b. 0 - počet prvků   c. pouze 1   d. 1 - počet prvků
#Najděte Nashovo rovnovážné řešení v [[#Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií|prvním příkladu]] (Vězňovo dilema) bez vyškrtávání dominovaných sloupců - pomocí sedlových bodů (tip: Je použita jiná notace než v druhém příkladu, je proto nutné hledat maxima ve sloupcích i řádcích, ale vždy ve výplatní funkci správného hráče)
#Ukažte, že při uvažování dominovaného řádku se řešení [[#Příklad 3: Smíšené strategie|třetího příkladu]] nezmění.
#Najděte Nashova rovnovážná řešení pro následující hry:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| -3
| 8
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 3
| 10
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| 4
| -7
|}

{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 8
| 0
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 99
| 0
| -99
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| 1
| -8
| 16
|}

{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 1
| 4
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 0
| -3
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| 1
| 9
| 1
|}

{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| -2
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 4
| -2
| -3
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -1
| 3
| 8
|}
<ol start="6">
<li>Sestavte výplatní matici pro hru Kámen, nůžky, papír [[#Příklad 3: Smíšené strategie|(diskutováno v infoboxu)]] a nalezněte Nashovo rovnovážné řešení hry.</li>
</ol>

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

Course materials/cs

2012-06-20T20:46:04Z

Xbarr10: /* Doporučená literatura */

{{DISPLAYTITLE:Učební texty}}

Jak psát učební texty s největší nadějí na úspěch si lze přečíst v článku [[How to write a term paper/cs|Jak psát učební texty]]. '''POZOR!''' Přesvědčte se, že opravdu máte úlohu zadánu jako učební text a nikoliv heslo do Wikipedie. Wikičlánek se odevzdává vždy, výhradně a pouze přímo do Wikipedie!

==Učební texty online==
*[[Monte Carlo method/cs|Metoda Monte Carlo]]
**[[Pseudorandom number generators/cs|Generátory pseudonáhodných čísel]]
**[[Variance reduction/cs|Redukce rozptylu]]
*[[Discrete event simulation/cs|Diskrétní simulace]]
**[[Quality management/cs|Řízení kvality]]
*[[Game theory/cs|Teorie her]]
**[[Nash equilibrium/cs|Nashova rovnováha]]
**[[One-shot games/cs|Jednorázové hry]]
***[[Normal form/cs|Normální forma]]
***[[Prisoner's dilemma/cs|Vézňovo dilema]]
***[[The Chicken Game/cs|Hra kuře]]
**[[Repeated games/cs|Opakované hry]]
**[[Multistage Games/cs|Vícekolové hry]]
***[[Extensive form/cs|Rozšířená forma]]
**[[Multiplayer games/cs|Hry více hráčů]]
***[[Auctions/cs|Aukce]]
*[[Multi-agent systems/cs|Multiagentní systémy]]
**[[Agents/cs|Agenti]]
**[[Agent environments/cs|Agentní prostředí]]

==Povinná literatura==
* Šalamon, T. (2011). [http://www.designofagentbasedmodels.info ''Design of Agent-Based Models : Developing Computer Simulations for a Better Understanding of Social Processes'']. Řepín, Czech Republic: Bruckner Publishing

==Doporučená literatura==
* Dlouhý, M. Fábry, J. Kuncová, M. (2003). ''Simulace pro ekonomy''. Praha, Czech Republic: Oeconomica
* Colman, A. M. (1982). ''Game theory and experimental games : the study of strategic interaction''. Oxford, UK: Pergamon
* Sterman, J. (2000). ''Business dynamics : systems thinking and modeling for a complex world''. Boston, Ma.: Irwin/McGraw-Hill
* Mildeová, S. Vojtko, V. (2003). ''Systémová dynamika''. Praha, Czech Republic: Oeconomica
* Wooldridge, M. J. (2002). ''An introduction to multiagent systems''. Chichester, UK: John Wiley & Sons
* Polak, B. (2007) ''Game Theory'' In: Yale University: Open Yale Courses, [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/]

Course materials/cs

2012-06-20T20:45:45Z

Xbarr10: /* Doporučená literatura */

{{DISPLAYTITLE:Učební texty}}

Jak psát učební texty s největší nadějí na úspěch si lze přečíst v článku [[How to write a term paper/cs|Jak psát učební texty]]. '''POZOR!''' Přesvědčte se, že opravdu máte úlohu zadánu jako učební text a nikoliv heslo do Wikipedie. Wikičlánek se odevzdává vždy, výhradně a pouze přímo do Wikipedie!

==Učební texty online==
*[[Monte Carlo method/cs|Metoda Monte Carlo]]
**[[Pseudorandom number generators/cs|Generátory pseudonáhodných čísel]]
**[[Variance reduction/cs|Redukce rozptylu]]
*[[Discrete event simulation/cs|Diskrétní simulace]]
**[[Quality management/cs|Řízení kvality]]
*[[Game theory/cs|Teorie her]]
**[[Nash equilibrium/cs|Nashova rovnováha]]
**[[One-shot games/cs|Jednorázové hry]]
***[[Normal form/cs|Normální forma]]
***[[Prisoner's dilemma/cs|Vézňovo dilema]]
***[[The Chicken Game/cs|Hra kuře]]
**[[Repeated games/cs|Opakované hry]]
**[[Multistage Games/cs|Vícekolové hry]]
***[[Extensive form/cs|Rozšířená forma]]
**[[Multiplayer games/cs|Hry více hráčů]]
***[[Auctions/cs|Aukce]]
*[[Multi-agent systems/cs|Multiagentní systémy]]
**[[Agents/cs|Agenti]]
**[[Agent environments/cs|Agentní prostředí]]

==Povinná literatura==
* Šalamon, T. (2011). [http://www.designofagentbasedmodels.info ''Design of Agent-Based Models : Developing Computer Simulations for a Better Understanding of Social Processes'']. Řepín, Czech Republic: Bruckner Publishing

==Doporučená literatura==
* Dlouhý, M. Fábry, J. Kuncová, M. (2003). ''Simulace pro ekonomy''. Praha, Czech Republic: Oeconomica
* Colman, A. M. (1982). ''Game theory and experimental games : the study of strategic interaction''. Oxford, UK: Pergamon
* Sterman, J. (2000). ''Business dynamics : systems thinking and modeling for a complex world''. Boston, Ma.: Irwin/McGraw-Hill
* Mildeová, S. Vojtko, V. (2003). ''Systémová dynamika''. Praha, Czech Republic: Oeconomica
* Wooldridge, M. J. (2002). ''An introduction to multiagent systems''. Chichester, UK: John Wiley & Sons
* Polak, Ben (2007) ''Game Theory'' In: Yale University: Open Yale Courses, [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/]

Nash equilibrium/cs

2012-06-20T20:42:48Z

Xbarr10: /* Příklad 3: Smíšené strategie */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží nebo v nejlepším případě zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>DLOUHÝ, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má (právě jedno) rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2: Hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3: Smíšené strategie ==
{| class="wikitable" align=right width="225"
! scope="col" width="50px" | Nashova rovnováha ve smíšených strategiích a skutečné hry
|-
| [[File:goalkeeper.jpg|240 px|fotbalový brankář]]
|-
| Přestože se smíšené řešení může zdát jako teoretický, prakticky nevyužitelný koncept (proč hrát strategie s nižším očekávaným užitkem), je možné jej jednoduše aplikovat i na reálné hry, potažmo reálný svět.

M. Dlouhý<ref name=dlouhy/> uvádí jako příklad použití smíšené strategie jednoduchou hru Kámen, nůžky, papír. Lze spočítat, že rovnovážná strategie je pro každého hráče (kámen, nůžky, papír) = (0.33,0.33,0.33), neboli střídat se stejnou pravděpodobností všechny možnosti. Odchýlení od této strategie (zejména v opakované hře) umožňuje protihráči přizpůsobit se (tedy například reagovat na časté používání kamenu častějším používáním papíru).

Neobvyklé spojení teorie her s analýzou reálných dat nabízí paper (Chiappori et al., 2002)<ref>Chiappori, P. A.; Levitt, S. and Groseclose, T.: ''Testing mixed-strategy equilibria when players are heterogeneous: The case of penalty kicks in soccer'' In: The American Economic Review Vol. 92, No. 4 (Sep., 2002), pp. 1138-1151, dostupné z http://pricetheory.uchicago.edu/levitt/Papers/ChiapporiGrosecloseLevitt2002.pdf</ref> o fotbalových penaltách jakožto koordinačné-antikoordinační hře. Vychází z premisy, že útočník - pravák je při pokutovém kopu schopen lépe vystřelit do levé strany branky (má vyšší užitek, jelikož přesná, tvrdá rána má vyšší pravděpodobnost úspěchu). Kdyby ale střílel pouze do levé části brány, brankář by na střely byl připraven. Proto musí strany střídat (smíšená strategie). Pro brankáře platí podobné rozhodování.
|}

Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -4
| -2
| 3
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

=Otázky a příklady k procvičení=
# Zajišťuje Nashova rovnováha automaticky pareto-optimální řešení?
# Kolik nashových rovnovážných řešení může existovat v maticové hře?   a. žádné   b. 0 - počet prvků   c. pouze 1   d. 1 - počet prvků
#Najděte Nashovo rovnovážné řešení v [[#Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií|prvním příkladu]] (Vězňovo dilema) bez vyškrtávání dominovaných sloupců - pomocí sedlových bodů (tip: Je použita jiná notace než v druhém příkladu, je proto nutné hledat maxima ve sloupcích i řádcích, ale vždy ve výplatní funkci správného hráče)
#Ukažte, že při uvažování dominovaného řádku se řešení [[#Příklad 3: Smíšené strategie|třetího příkladu]] nezmění.
#Najděte Nashova rovnovážná řešení pro následující hry:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| -3
| 8
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 3
| 10
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| 4
| -7
|}

{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 8
| 0
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 99
| 0
| -99
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| 1
| -8
| 16
|}

{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 1
| 4
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 0
| -3
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| 1
| 9
| 1
|}

{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| -2
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 4
| -2
| -3
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -1
| 3
| 8
|}
<ol start="6">
<li>Sestavte výplatní matici pro hru Kámen, nůžky, papír [[#Příklad 3: Smíšené strategie|(diskutováno v infoboxu)]] a nalezněte Nashovo rovnovážné řešení hry.</li>
</ol>

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

Nash equilibrium/cs

2012-06-20T20:41:53Z

Xbarr10: /* Vlastnosti Nashovy rovnováhy */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží nebo v nejlepším případě zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>DLOUHÝ, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má (právě jedno) rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2: Hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3: Smíšené strategie ==
{| class="wikitable" align=right width="225"
! scope="col" width="50px" | Nashova rovnováha ve smíšených strategiích a skutečné hry
|-
| [[File:goalkeeper.jpg|240 px|fotbalový brankář]]
|-
| Přestože se smíšené řešení může zdát jako teoretický, nevyužitelný koncept (proč hrát strategie s nižším očekávaným užitkem), je možné jej jednoduše aplikovat i na reálné hry, potažmo reálný svět.

M. Dlouhý<ref name=dlouhy/> uvádí jako příklad použití smíšené strategie jednoduchou hru Kámen, nůžky, papír. Lze spočítat, že rovnovážná strategie je pro každého hráče (kámen, nůžky, papír) = (0.33,0.33,0.33), neboli střídat se stejnou pravděpodobností všechny možnosti. Odchýlení od této strategie (zejména v opakované hře) umožňuje protihráči přizpůsobit se (tedy například reagovat na časté používání kamenu častějším používáním papíru).

Neobvyklé spojení teorie her s analýzou reálných dat nabízí paper (Chiappori et al., 2002)<ref>Chiappori, P. A.; Levitt, S. and Groseclose, T.: ''Testing mixed-strategy equilibria when players are heterogeneous: The case of penalty kicks in soccer'' In: The American Economic Review Vol. 92, No. 4 (Sep., 2002), pp. 1138-1151, dostupné z http://pricetheory.uchicago.edu/levitt/Papers/ChiapporiGrosecloseLevitt2002.pdf</ref> o fotbalových penaltách jakožto koordinačné-antikoordinační hře. Vychází z premisy, že útočník - pravák je při pokutovém kopu schopen lépe vystřelit do levé strany branky (má vyšší užitek, jelikož přesná, tvrdá rána má vyšší pravděpodobnost úspěchu). Kdyby ale střílel pouze do levé části brány, brankář by na střely byl připraven. Proto musí strany střídat (smíšená strategie). Pro brankáře platí podobné rozhodování.
|}

Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -4
| -2
| 3
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

=Otázky a příklady k procvičení=
# Zajišťuje Nashova rovnováha automaticky pareto-optimální řešení?
# Kolik nashových rovnovážných řešení může existovat v maticové hře?   a. žádné   b. 0 - počet prvků   c. pouze 1   d. 1 - počet prvků
#Najděte Nashovo rovnovážné řešení v [[#Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií|prvním příkladu]] (Vězňovo dilema) bez vyškrtávání dominovaných sloupců - pomocí sedlových bodů (tip: Je použita jiná notace než v druhém příkladu, je proto nutné hledat maxima ve sloupcích i řádcích, ale vždy ve výplatní funkci správného hráče)
#Ukažte, že při uvažování dominovaného řádku se řešení [[#Příklad 3: Smíšené strategie|třetího příkladu]] nezmění.
#Najděte Nashova rovnovážná řešení pro následující hry:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| -3
| 8
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 3
| 10
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| 4
| -7
|}

{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 8
| 0
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 99
| 0
| -99
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| 1
| -8
| 16
|}

{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 1
| 4
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 0
| -3
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| 1
| 9
| 1
|}

{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| -2
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 4
| -2
| -3
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -1
| 3
| 8
|}
<ol start="6">
<li>Sestavte výplatní matici pro hru Kámen, nůžky, papír [[#Příklad 3: Smíšené strategie|(diskutováno v infoboxu)]] a nalezněte Nashovo rovnovážné řešení hry.</li>
</ol>

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

Nash equilibrium/cs

2012-06-20T20:41:15Z

Xbarr10: /* Definice */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží nebo v nejlepším případě zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>DLOUHÝ, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2: Hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3: Smíšené strategie ==
{| class="wikitable" align=right width="225"
! scope="col" width="50px" | Nashova rovnováha ve smíšených strategiích a skutečné hry
|-
| [[File:goalkeeper.jpg|240 px|fotbalový brankář]]
|-
| Přestože se smíšené řešení může zdát jako teoretický, nevyužitelný koncept (proč hrát strategie s nižším očekávaným užitkem), je možné jej jednoduše aplikovat i na reálné hry, potažmo reálný svět.

M. Dlouhý<ref name=dlouhy/> uvádí jako příklad použití smíšené strategie jednoduchou hru Kámen, nůžky, papír. Lze spočítat, že rovnovážná strategie je pro každého hráče (kámen, nůžky, papír) = (0.33,0.33,0.33), neboli střídat se stejnou pravděpodobností všechny možnosti. Odchýlení od této strategie (zejména v opakované hře) umožňuje protihráči přizpůsobit se (tedy například reagovat na časté používání kamenu častějším používáním papíru).

Neobvyklé spojení teorie her s analýzou reálných dat nabízí paper (Chiappori et al., 2002)<ref>Chiappori, P. A.; Levitt, S. and Groseclose, T.: ''Testing mixed-strategy equilibria when players are heterogeneous: The case of penalty kicks in soccer'' In: The American Economic Review Vol. 92, No. 4 (Sep., 2002), pp. 1138-1151, dostupné z http://pricetheory.uchicago.edu/levitt/Papers/ChiapporiGrosecloseLevitt2002.pdf</ref> o fotbalových penaltách jakožto koordinačné-antikoordinační hře. Vychází z premisy, že útočník - pravák je při pokutovém kopu schopen lépe vystřelit do levé strany branky (má vyšší užitek, jelikož přesná, tvrdá rána má vyšší pravděpodobnost úspěchu). Kdyby ale střílel pouze do levé části brány, brankář by na střely byl připraven. Proto musí strany střídat (smíšená strategie). Pro brankáře platí podobné rozhodování.
|}

Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -4
| -2
| 3
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

=Otázky a příklady k procvičení=
# Zajišťuje Nashova rovnováha automaticky pareto-optimální řešení?
# Kolik nashových rovnovážných řešení může existovat v maticové hře?   a. žádné   b. 0 - počet prvků   c. pouze 1   d. 1 - počet prvků
#Najděte Nashovo rovnovážné řešení v [[#Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií|prvním příkladu]] (Vězňovo dilema) bez vyškrtávání dominovaných sloupců - pomocí sedlových bodů (tip: Je použita jiná notace než v druhém příkladu, je proto nutné hledat maxima ve sloupcích i řádcích, ale vždy ve výplatní funkci správného hráče)
#Ukažte, že při uvažování dominovaného řádku se řešení [[#Příklad 3: Smíšené strategie|třetího příkladu]] nezmění.
#Najděte Nashova rovnovážná řešení pro následující hry:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| -3
| 8
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 3
| 10
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| 4
| -7
|}

{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 8
| 0
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 99
| 0
| -99
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| 1
| -8
| 16
|}

{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 1
| 4
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 0
| -3
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| 1
| 9
| 1
|}

{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| -2
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 4
| -2
| -3
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -1
| 3
| 8
|}
<ol start="6">
<li>Sestavte výplatní matici pro hru Kámen, nůžky, papír [[#Příklad 3: Smíšené strategie|(diskutováno v infoboxu)]] a nalezněte Nashovo rovnovážné řešení hry.</li>
</ol>

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

Nash equilibrium/cs

2012-06-20T02:07:10Z

Xbarr10: /* Otázky a příklady k procvičení */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží, nebo zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>DLOUHÝ, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2: Hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3: Smíšené strategie ==
{| class="wikitable" align=right width="225"
! scope="col" width="50px" | Nashova rovnováha ve smíšených strategiích a skutečné hry
|-
| [[File:goalkeeper.jpg|240 px|fotbalový brankář]]
|-
| Přestože se smíšené řešení může zdát jako teoretický, nevyužitelný koncept (proč hrát strategie s nižším očekávaným užitkem), je možné jej jednoduše aplikovat i na reálné hry, potažmo reálný svět.

M. Dlouhý<ref name=dlouhy/> uvádí jako příklad použití smíšené strategie jednoduchou hru Kámen, nůžky, papír. Lze spočítat, že rovnovážná strategie je pro každého hráče (kámen, nůžky, papír) = (0.33,0.33,0.33), neboli střídat se stejnou pravděpodobností všechny možnosti. Odchýlení od této strategie (zejména v opakované hře) umožňuje protihráči přizpůsobit se (tedy například reagovat na časté používání kamenu častějším používáním papíru).

Neobvyklé spojení teorie her s analýzou reálných dat nabízí paper (Chiappori et al., 2002)<ref>Chiappori, P. A.; Levitt, S. and Groseclose, T.: ''Testing mixed-strategy equilibria when players are heterogeneous: The case of penalty kicks in soccer'' In: The American Economic Review Vol. 92, No. 4 (Sep., 2002), pp. 1138-1151, dostupné z http://pricetheory.uchicago.edu/levitt/Papers/ChiapporiGrosecloseLevitt2002.pdf</ref> o fotbalových penaltách jakožto koordinačné-antikoordinační hře. Vychází z premisy, že útočník - pravák je při pokutovém kopu schopen lépe vystřelit do levé strany branky (má vyšší užitek, jelikož přesná, tvrdá rána má vyšší pravděpodobnost úspěchu). Kdyby ale střílel pouze do levé části brány, brankář by na střely byl připraven. Proto musí strany střídat (smíšená strategie). Pro brankáře platí podobné rozhodování.
|}

Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -4
| -2
| 3
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

=Otázky a příklady k procvičení=
# Zajišťuje Nashova rovnováha automaticky pareto-optimální řešení?
# Kolik nashových rovnovážných řešení může existovat v maticové hře?   a. žádné   b. 0 - počet prvků   c. pouze 1   d. 1 - počet prvků
#Najděte Nashovo rovnovážné řešení v [[#Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií|prvním příkladu]] (Vězňovo dilema) bez vyškrtávání dominovaných sloupců - pomocí sedlových bodů (tip: Je použita jiná notace než v druhém příkladu, je proto nutné hledat maxima ve sloupcích i řádcích, ale vždy ve výplatní funkci správného hráče)
#Ukažte, že při uvažování dominovaného řádku se řešení [[#Příklad 3: Smíšené strategie|třetího příkladu]] nezmění.
#Najděte Nashova rovnovážná řešení pro následující hry:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| -3
| 8
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 3
| 10
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| 4
| -7
|}

{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 8
| 0
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 99
| 0
| -99
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| 1
| -8
| 16
|}

{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 1
| 4
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 0
| -3
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| 1
| 9
| 1
|}

{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| -2
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 4
| -2
| -3
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -1
| 3
| 8
|}
<ol start="6">
<li>Sestavte výplatní matici pro hru Kámen, nůžky, papír [[#Příklad 3: Smíšené strategie|(diskutováno v infoboxu)]] a nalezněte Nashovo rovnovážné řešení hry.</li>
</ol>

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

Nash equilibrium/cs

2012-06-20T02:06:49Z

Xbarr10: /* Otázky a příklady k procvičení */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží, nebo zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>DLOUHÝ, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2: Hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3: Smíšené strategie ==
{| class="wikitable" align=right width="225"
! scope="col" width="50px" | Nashova rovnováha ve smíšených strategiích a skutečné hry
|-
| [[File:goalkeeper.jpg|240 px|fotbalový brankář]]
|-
| Přestože se smíšené řešení může zdát jako teoretický, nevyužitelný koncept (proč hrát strategie s nižším očekávaným užitkem), je možné jej jednoduše aplikovat i na reálné hry, potažmo reálný svět.

M. Dlouhý<ref name=dlouhy/> uvádí jako příklad použití smíšené strategie jednoduchou hru Kámen, nůžky, papír. Lze spočítat, že rovnovážná strategie je pro každého hráče (kámen, nůžky, papír) = (0.33,0.33,0.33), neboli střídat se stejnou pravděpodobností všechny možnosti. Odchýlení od této strategie (zejména v opakované hře) umožňuje protihráči přizpůsobit se (tedy například reagovat na časté používání kamenu častějším používáním papíru).

Neobvyklé spojení teorie her s analýzou reálných dat nabízí paper (Chiappori et al., 2002)<ref>Chiappori, P. A.; Levitt, S. and Groseclose, T.: ''Testing mixed-strategy equilibria when players are heterogeneous: The case of penalty kicks in soccer'' In: The American Economic Review Vol. 92, No. 4 (Sep., 2002), pp. 1138-1151, dostupné z http://pricetheory.uchicago.edu/levitt/Papers/ChiapporiGrosecloseLevitt2002.pdf</ref> o fotbalových penaltách jakožto koordinačné-antikoordinační hře. Vychází z premisy, že útočník - pravák je při pokutovém kopu schopen lépe vystřelit do levé strany branky (má vyšší užitek, jelikož přesná, tvrdá rána má vyšší pravděpodobnost úspěchu). Kdyby ale střílel pouze do levé části brány, brankář by na střely byl připraven. Proto musí strany střídat (smíšená strategie). Pro brankáře platí podobné rozhodování.
|}

Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -4
| -2
| 3
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

=Otázky a příklady k procvičení=
# Zajišťuje Nashova rovnováha automaticky pareto-optimální řešení?
# Kolik nashových rovnovážných řešení může existovat v maticové hře?   a. žádné   b. 0 - počet prvků   c. pouze 1   d. 1 - počet prvků
#Najděte Nashovo rovnovážné řešení v [[#Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií|prvním příkladu]] (Vězňovo dilema) bez vyškrtávání dominovaných sloupců - pomocí sedlových bodů (tip: Je použita jiná notace než v druhém příkladu, je proto nutné hledat maxima ve sloupcích i řádcích, ale vždy ve výplatní funkci správného hráče)
#Ukažte, že při uvažování dominovaného řádku se řešení [[#Příklad 3: Smíšené strategie|třetího příkladu]] nezmění.
#Najděte Nashova rovnovážná řešení pro následující hry:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| -3
| 8
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 3
| 10
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| 4
| -7
|}

{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 8
| 0
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 99
| 0
| -99
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| 1
| -8
| 16
|}

{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 1
| 4
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 0
| -3
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| 1
| 9
| 1
|}

{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| -2
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 4
| -2
| -3
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -1
| 3
| 8
|}
<ol start="6">
<li>Sestavte výplatní matici pro hru Kámen, nůžky, papír [[#Příklad 3: Smíšené strategie|(diskutováno v infoboxu)]] a nalezněte Nashovo rovnovážné řešení hry.</li>
<li>Rotterdam</li>
<li>The Hague</li>
</ol>

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

Nash equilibrium/cs

2012-06-20T01:51:50Z

Xbarr10: /* Otázky a příklady k procvičení */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží, nebo zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>DLOUHÝ, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2: Hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3: Smíšené strategie ==
{| class="wikitable" align=right width="225"
! scope="col" width="50px" | Nashova rovnováha ve smíšených strategiích a skutečné hry
|-
| [[File:goalkeeper.jpg|240 px|fotbalový brankář]]
|-
| Přestože se smíšené řešení může zdát jako teoretický, nevyužitelný koncept (proč hrát strategie s nižším očekávaným užitkem), je možné jej jednoduše aplikovat i na reálné hry, potažmo reálný svět.

M. Dlouhý<ref name=dlouhy/> uvádí jako příklad použití smíšené strategie jednoduchou hru Kámen, nůžky, papír. Lze spočítat, že rovnovážná strategie je pro každého hráče (kámen, nůžky, papír) = (0.33,0.33,0.33), neboli střídat se stejnou pravděpodobností všechny možnosti. Odchýlení od této strategie (zejména v opakované hře) umožňuje protihráči přizpůsobit se (tedy například reagovat na časté používání kamenu častějším používáním papíru).

Neobvyklé spojení teorie her s analýzou reálných dat nabízí paper (Chiappori et al., 2002)<ref>Chiappori, P. A.; Levitt, S. and Groseclose, T.: ''Testing mixed-strategy equilibria when players are heterogeneous: The case of penalty kicks in soccer'' In: The American Economic Review Vol. 92, No. 4 (Sep., 2002), pp. 1138-1151, dostupné z http://pricetheory.uchicago.edu/levitt/Papers/ChiapporiGrosecloseLevitt2002.pdf</ref> o fotbalových penaltách jakožto koordinačné-antikoordinační hře. Vychází z premisy, že útočník - pravák je při pokutovém kopu schopen lépe vystřelit do levé strany branky (má vyšší užitek, jelikož přesná, tvrdá rána má vyšší pravděpodobnost úspěchu). Kdyby ale střílel pouze do levé části brány, brankář by na střely byl připraven. Proto musí strany střídat (smíšená strategie). Pro brankáře platí podobné rozhodování.
|}

Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -4
| -2
| 3
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

=Otázky a příklady k procvičení=
# Zajišťuje Nashova rovnováha automaticky pareto-optimální řešení?
# Kolik nashových rovnovážných řešení může existovat v maticové hře?   a. žádné   b. 0 - počet prvků   c. pouze 1   d. 1 - počet prvků
#Najděte Nashovo rovnovážné řešení v [[#Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií|prvním příkladu]] (Vězňovo dilema) bez vyškrtávání dominovaných sloupců - pomocí sedlových bodů (tip: Je použita jiná notace než v druhém příkladu, je proto nutné hledat maxima ve sloupcích i řádcích, ale vždy ve výplatní funkci správného hráče)
#Ukažte, že při uvažování dominovaného řádku se řešení [[#Příklad 3: Smíšené strategie|třetího příkladu]] nezmění.
#Najděte Nashova rovnovážná řešení pro následující hry:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| -3
| 8
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 3
| 10
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| 4
| -7
|}

{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| -3
| 8
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 3
| 10
| 1
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| 4
| -7
|}

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

Nash equilibrium/cs

2012-06-20T01:44:37Z

Xbarr10: /* Otázky a příklady k procvičení */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží, nebo zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>DLOUHÝ, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2: Hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3: Smíšené strategie ==
{| class="wikitable" align=right width="225"
! scope="col" width="50px" | Nashova rovnováha ve smíšených strategiích a skutečné hry
|-
| [[File:goalkeeper.jpg|240 px|fotbalový brankář]]
|-
| Přestože se smíšené řešení může zdát jako teoretický, nevyužitelný koncept (proč hrát strategie s nižším očekávaným užitkem), je možné jej jednoduše aplikovat i na reálné hry, potažmo reálný svět.

M. Dlouhý<ref name=dlouhy/> uvádí jako příklad použití smíšené strategie jednoduchou hru Kámen, nůžky, papír. Lze spočítat, že rovnovážná strategie je pro každého hráče (kámen, nůžky, papír) = (0.33,0.33,0.33), neboli střídat se stejnou pravděpodobností všechny možnosti. Odchýlení od této strategie (zejména v opakované hře) umožňuje protihráči přizpůsobit se (tedy například reagovat na časté používání kamenu častějším používáním papíru).

Neobvyklé spojení teorie her s analýzou reálných dat nabízí paper (Chiappori et al., 2002)<ref>Chiappori, P. A.; Levitt, S. and Groseclose, T.: ''Testing mixed-strategy equilibria when players are heterogeneous: The case of penalty kicks in soccer'' In: The American Economic Review Vol. 92, No. 4 (Sep., 2002), pp. 1138-1151, dostupné z http://pricetheory.uchicago.edu/levitt/Papers/ChiapporiGrosecloseLevitt2002.pdf</ref> o fotbalových penaltách jakožto koordinačné-antikoordinační hře. Vychází z premisy, že útočník - pravák je při pokutovém kopu schopen lépe vystřelit do levé strany branky (má vyšší užitek, jelikož přesná, tvrdá rána má vyšší pravděpodobnost úspěchu). Kdyby ale střílel pouze do levé části brány, brankář by na střely byl připraven. Proto musí strany střídat (smíšená strategie). Pro brankáře platí podobné rozhodování.
|}

Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -4
| -2
| 3
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

=Otázky a příklady k procvičení=
# Zajišťuje Nashova rovnováha automaticky pareto-optimální řešení?
# Kolik nashových rovnovážných řešení může existovat v maticové hře?   a. žádné   b. 0 - počet prvků   c. pouze 1   d. 1 - počet prvků
#Najděte Nashovo rovnovážné řešení v [[#Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií|prvním příkladu]] (Vězňovo dilema) bez vyškrtávání dominovaných sloupců - pomocí sedlových bodů (tip: Je použita jiná notace než v druhém příkladu, je proto nutné hledat maxima ve sloupcích i řádcích, ale vždy ve výplatní funkci správného hráče)
#Ukažte, že při uvažování dominovaného řádku se řešení [[#Příklad 3: Smíšené strategie|třetího příkladu]] nezmění.
#Najděte Nashova rovnovážná řešení pro následující hry:

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

Nash equilibrium/cs

2012-06-20T01:43:53Z

Xbarr10: /* Příklad 2: hledání sedlového bodu */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží, nebo zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>DLOUHÝ, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2: Hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3: Smíšené strategie ==
{| class="wikitable" align=right width="225"
! scope="col" width="50px" | Nashova rovnováha ve smíšených strategiích a skutečné hry
|-
| [[File:goalkeeper.jpg|240 px|fotbalový brankář]]
|-
| Přestože se smíšené řešení může zdát jako teoretický, nevyužitelný koncept (proč hrát strategie s nižším očekávaným užitkem), je možné jej jednoduše aplikovat i na reálné hry, potažmo reálný svět.

M. Dlouhý<ref name=dlouhy/> uvádí jako příklad použití smíšené strategie jednoduchou hru Kámen, nůžky, papír. Lze spočítat, že rovnovážná strategie je pro každého hráče (kámen, nůžky, papír) = (0.33,0.33,0.33), neboli střídat se stejnou pravděpodobností všechny možnosti. Odchýlení od této strategie (zejména v opakované hře) umožňuje protihráči přizpůsobit se (tedy například reagovat na časté používání kamenu častějším používáním papíru).

Neobvyklé spojení teorie her s analýzou reálných dat nabízí paper (Chiappori et al., 2002)<ref>Chiappori, P. A.; Levitt, S. and Groseclose, T.: ''Testing mixed-strategy equilibria when players are heterogeneous: The case of penalty kicks in soccer'' In: The American Economic Review Vol. 92, No. 4 (Sep., 2002), pp. 1138-1151, dostupné z http://pricetheory.uchicago.edu/levitt/Papers/ChiapporiGrosecloseLevitt2002.pdf</ref> o fotbalových penaltách jakožto koordinačné-antikoordinační hře. Vychází z premisy, že útočník - pravák je při pokutovém kopu schopen lépe vystřelit do levé strany branky (má vyšší užitek, jelikož přesná, tvrdá rána má vyšší pravděpodobnost úspěchu). Kdyby ale střílel pouze do levé části brány, brankář by na střely byl připraven. Proto musí strany střídat (smíšená strategie). Pro brankáře platí podobné rozhodování.
|}

Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -4
| -2
| 3
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

=Otázky a příklady k procvičení=
# Zajišťuje Nashova rovnováha automaticky pareto-optimální řešení?
# Kolik nashových rovnovážných řešení může existovat v maticové hře?   a. žádné   b. 0 - počet prvků   c. pouze 1   d. 1 - počet prvků
#Najděte Nashovo rovnovážné řešení v [[#Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií|prvním příkladu]] (Vězňovo dilema) bez vyškrtávání dominovaných sloupců - pomocí sedlových bodů (tip: Je použita jiná notace než v druhém příkladu, je proto nutné hledat maxima ve sloupcích i řádcích, ale vždy ve výplatní funkci správného hráče)
#Ukažte, že při uvažování dominovaného řádku se řešení [[#Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií|třetího příkladu]] nezmění.
#Najděte Nashova rovnovážná řešení pro následující hry:

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

Nash equilibrium/cs

2012-06-20T01:43:24Z

Xbarr10: /* Otázky a příklady k procvičení */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží, nebo zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>DLOUHÝ, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2: hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3: Smíšené strategie ==
{| class="wikitable" align=right width="225"
! scope="col" width="50px" | Nashova rovnováha ve smíšených strategiích a skutečné hry
|-
| [[File:goalkeeper.jpg|240 px|fotbalový brankář]]
|-
| Přestože se smíšené řešení může zdát jako teoretický, nevyužitelný koncept (proč hrát strategie s nižším očekávaným užitkem), je možné jej jednoduše aplikovat i na reálné hry, potažmo reálný svět.

M. Dlouhý<ref name=dlouhy/> uvádí jako příklad použití smíšené strategie jednoduchou hru Kámen, nůžky, papír. Lze spočítat, že rovnovážná strategie je pro každého hráče (kámen, nůžky, papír) = (0.33,0.33,0.33), neboli střídat se stejnou pravděpodobností všechny možnosti. Odchýlení od této strategie (zejména v opakované hře) umožňuje protihráči přizpůsobit se (tedy například reagovat na časté používání kamenu častějším používáním papíru).

Neobvyklé spojení teorie her s analýzou reálných dat nabízí paper (Chiappori et al., 2002)<ref>Chiappori, P. A.; Levitt, S. and Groseclose, T.: ''Testing mixed-strategy equilibria when players are heterogeneous: The case of penalty kicks in soccer'' In: The American Economic Review Vol. 92, No. 4 (Sep., 2002), pp. 1138-1151, dostupné z http://pricetheory.uchicago.edu/levitt/Papers/ChiapporiGrosecloseLevitt2002.pdf</ref> o fotbalových penaltách jakožto koordinačné-antikoordinační hře. Vychází z premisy, že útočník - pravák je při pokutovém kopu schopen lépe vystřelit do levé strany branky (má vyšší užitek, jelikož přesná, tvrdá rána má vyšší pravděpodobnost úspěchu). Kdyby ale střílel pouze do levé části brány, brankář by na střely byl připraven. Proto musí strany střídat (smíšená strategie). Pro brankáře platí podobné rozhodování.
|}

Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -4
| -2
| 3
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

=Otázky a příklady k procvičení=
# Zajišťuje Nashova rovnováha automaticky pareto-optimální řešení?
# Kolik nashových rovnovážných řešení může existovat v maticové hře?   a. žádné   b. 0 - počet prvků   c. pouze 1   d. 1 - počet prvků
#Najděte Nashovo rovnovážné řešení v [[#Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií|prvním příkladu]] (Vězňovo dilema) bez vyškrtávání dominovaných sloupců - pomocí sedlových bodů (tip: Je použita jiná notace než v druhém příkladu, je proto nutné hledat maxima ve sloupcích i řádcích, ale vždy ve výplatní funkci správného hráče)
#Ukažte, že při uvažování dominovaného řádku se řešení [[#Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií|třetího příkladu]] nezmění.
#Najděte Nashova rovnovážná řešení pro následující hry:

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

Nash equilibrium/cs

2012-06-20T01:42:42Z

Xbarr10: /* Otázky a příklady k procvičení */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží, nebo zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>DLOUHÝ, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2: hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3: Smíšené strategie ==
{| class="wikitable" align=right width="225"
! scope="col" width="50px" | Nashova rovnováha ve smíšených strategiích a skutečné hry
|-
| [[File:goalkeeper.jpg|240 px|fotbalový brankář]]
|-
| Přestože se smíšené řešení může zdát jako teoretický, nevyužitelný koncept (proč hrát strategie s nižším očekávaným užitkem), je možné jej jednoduše aplikovat i na reálné hry, potažmo reálný svět.

M. Dlouhý<ref name=dlouhy/> uvádí jako příklad použití smíšené strategie jednoduchou hru Kámen, nůžky, papír. Lze spočítat, že rovnovážná strategie je pro každého hráče (kámen, nůžky, papír) = (0.33,0.33,0.33), neboli střídat se stejnou pravděpodobností všechny možnosti. Odchýlení od této strategie (zejména v opakované hře) umožňuje protihráči přizpůsobit se (tedy například reagovat na časté používání kamenu častějším používáním papíru).

Neobvyklé spojení teorie her s analýzou reálných dat nabízí paper (Chiappori et al., 2002)<ref>Chiappori, P. A.; Levitt, S. and Groseclose, T.: ''Testing mixed-strategy equilibria when players are heterogeneous: The case of penalty kicks in soccer'' In: The American Economic Review Vol. 92, No. 4 (Sep., 2002), pp. 1138-1151, dostupné z http://pricetheory.uchicago.edu/levitt/Papers/ChiapporiGrosecloseLevitt2002.pdf</ref> o fotbalových penaltách jakožto koordinačné-antikoordinační hře. Vychází z premisy, že útočník - pravák je při pokutovém kopu schopen lépe vystřelit do levé strany branky (má vyšší užitek, jelikož přesná, tvrdá rána má vyšší pravděpodobnost úspěchu). Kdyby ale střílel pouze do levé části brány, brankář by na střely byl připraven. Proto musí strany střídat (smíšená strategie). Pro brankáře platí podobné rozhodování.
|}

Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -4
| -2
| 3
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

=Otázky a příklady k procvičení=
# Zajišťuje Nashova rovnováha automaticky pareto-optimální řešení?
# Kolik nashových rovnovážných řešení může existovat v maticové hře?   a. žádné   b. 0 - počet prvků   c. pouze 1   d. 1 - počet prvků
#Najděte Nashovo rovnovážné řešení v [[Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií|prvním příkladu]] (Vězňovo dilema) bez vyškrtávání dominovaných sloupců - pomocí sedlových bodů (tip: Je použita jiná notace než v druhém příkladu, je proto nutné hledat maxima ve sloupcích i řádcích, ale vždy ve výplatní funkci správného hráče)
#Ukažte, že při uvažování dominovaného řádku se řešení [[Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií|třetího příkladu]] nezmění.
#Najděte Nashova rovnovážná řešení pro následující hry:

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

Nash equilibrium/cs

2012-06-20T01:34:28Z

Xbarr10: /* Příklady k procvičení */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží, nebo zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>DLOUHÝ, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2: hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3: Smíšené strategie ==
{| class="wikitable" align=right width="225"
! scope="col" width="50px" | Nashova rovnováha ve smíšených strategiích a skutečné hry
|-
| [[File:goalkeeper.jpg|240 px|fotbalový brankář]]
|-
| Přestože se smíšené řešení může zdát jako teoretický, nevyužitelný koncept (proč hrát strategie s nižším očekávaným užitkem), je možné jej jednoduše aplikovat i na reálné hry, potažmo reálný svět.

M. Dlouhý<ref name=dlouhy/> uvádí jako příklad použití smíšené strategie jednoduchou hru Kámen, nůžky, papír. Lze spočítat, že rovnovážná strategie je pro každého hráče (kámen, nůžky, papír) = (0.33,0.33,0.33), neboli střídat se stejnou pravděpodobností všechny možnosti. Odchýlení od této strategie (zejména v opakované hře) umožňuje protihráči přizpůsobit se (tedy například reagovat na časté používání kamenu častějším používáním papíru).

Neobvyklé spojení teorie her s analýzou reálných dat nabízí paper (Chiappori et al., 2002)<ref>Chiappori, P. A.; Levitt, S. and Groseclose, T.: ''Testing mixed-strategy equilibria when players are heterogeneous: The case of penalty kicks in soccer'' In: The American Economic Review Vol. 92, No. 4 (Sep., 2002), pp. 1138-1151, dostupné z http://pricetheory.uchicago.edu/levitt/Papers/ChiapporiGrosecloseLevitt2002.pdf</ref> o fotbalových penaltách jakožto koordinačné-antikoordinační hře. Vychází z premisy, že útočník - pravák je při pokutovém kopu schopen lépe vystřelit do levé strany branky (má vyšší užitek, jelikož přesná, tvrdá rána má vyšší pravděpodobnost úspěchu). Kdyby ale střílel pouze do levé části brány, brankář by na střely byl připraven. Proto musí strany střídat (smíšená strategie). Pro brankáře platí podobné rozhodování.
|}

Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -4
| -2
| 3
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

=Otázky a příklady k procvičení=
# Zajišťuje Nashova rovnováha automaticky pareto-optimální řešení?
# Kolik nashových rovnovážných řešení může existovat v maticové hře?
##žádné
##0 - počet prvků
##pouze 1
##1 - počet prvků
#Najděte Nashova rovnovážná řešení pro následující hry:

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

Nash equilibrium/cs

2012-06-20T01:15:19Z

Xbarr10: /* Příklad 2, hledání sedlového bodu */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží, nebo zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>DLOUHÝ, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2: hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3: Smíšené strategie ==
{| class="wikitable" align=right width="225"
! scope="col" width="50px" | Nashova rovnováha ve smíšených strategiích a skutečné hry
|-
| [[File:goalkeeper.jpg|240 px|fotbalový brankář]]
|-
| Přestože se smíšené řešení může zdát jako teoretický, nevyužitelný koncept (proč hrát strategie s nižším očekávaným užitkem), je možné jej jednoduše aplikovat i na reálné hry, potažmo reálný svět.

M. Dlouhý<ref name=dlouhy/> uvádí jako příklad použití smíšené strategie jednoduchou hru Kámen, nůžky, papír. Lze spočítat, že rovnovážná strategie je pro každého hráče (kámen, nůžky, papír) = (0.33,0.33,0.33), neboli střídat se stejnou pravděpodobností všechny možnosti. Odchýlení od této strategie (zejména v opakované hře) umožňuje protihráči přizpůsobit se (tedy například reagovat na časté používání kamenu častějším používáním papíru).

Neobvyklé spojení teorie her s analýzou reálných dat nabízí paper (Chiappori et al., 2002)<ref>Chiappori, P. A.; Levitt, S. and Groseclose, T.: ''Testing mixed-strategy equilibria when players are heterogeneous: The case of penalty kicks in soccer'' In: The American Economic Review Vol. 92, No. 4 (Sep., 2002), pp. 1138-1151, dostupné z http://pricetheory.uchicago.edu/levitt/Papers/ChiapporiGrosecloseLevitt2002.pdf</ref> o fotbalových penaltách jakožto koordinačné-antikoordinační hře. Vychází z premisy, že útočník - pravák je při pokutovém kopu schopen lépe vystřelit do levé strany branky (má vyšší užitek, jelikož přesná, tvrdá rána má vyšší pravděpodobnost úspěchu). Kdyby ale střílel pouze do levé části brány, brankář by na střely byl připraven. Proto musí strany střídat (smíšená strategie). Pro brankáře platí podobné rozhodování.
|}

Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -4
| -2
| 3
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

=Příklady k procvičení=

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

Nash equilibrium/cs

2012-06-20T01:14:54Z

Xbarr10: /* Příklad 4: Vězňovo dilema */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží, nebo zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>DLOUHÝ, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2, hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3: Smíšené strategie ==
{| class="wikitable" align=right width="225"
! scope="col" width="50px" | Nashova rovnováha ve smíšených strategiích a skutečné hry
|-
| [[File:goalkeeper.jpg|240 px|fotbalový brankář]]
|-
| Přestože se smíšené řešení může zdát jako teoretický, nevyužitelný koncept (proč hrát strategie s nižším očekávaným užitkem), je možné jej jednoduše aplikovat i na reálné hry, potažmo reálný svět.

M. Dlouhý<ref name=dlouhy/> uvádí jako příklad použití smíšené strategie jednoduchou hru Kámen, nůžky, papír. Lze spočítat, že rovnovážná strategie je pro každého hráče (kámen, nůžky, papír) = (0.33,0.33,0.33), neboli střídat se stejnou pravděpodobností všechny možnosti. Odchýlení od této strategie (zejména v opakované hře) umožňuje protihráči přizpůsobit se (tedy například reagovat na časté používání kamenu častějším používáním papíru).

Neobvyklé spojení teorie her s analýzou reálných dat nabízí paper (Chiappori et al., 2002)<ref>Chiappori, P. A.; Levitt, S. and Groseclose, T.: ''Testing mixed-strategy equilibria when players are heterogeneous: The case of penalty kicks in soccer'' In: The American Economic Review Vol. 92, No. 4 (Sep., 2002), pp. 1138-1151, dostupné z http://pricetheory.uchicago.edu/levitt/Papers/ChiapporiGrosecloseLevitt2002.pdf</ref> o fotbalových penaltách jakožto koordinačné-antikoordinační hře. Vychází z premisy, že útočník - pravák je při pokutovém kopu schopen lépe vystřelit do levé strany branky (má vyšší užitek, jelikož přesná, tvrdá rána má vyšší pravděpodobnost úspěchu). Kdyby ale střílel pouze do levé části brány, brankář by na střely byl připraven. Proto musí strany střídat (smíšená strategie). Pro brankáře platí podobné rozhodování.
|}

Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -4
| -2
| 3
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

=Příklady k procvičení=

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

Nash equilibrium/cs

2012-06-20T01:03:32Z

Xbarr10: /* Definice */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží, nebo zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>DLOUHÝ, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2, hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3: Smíšené strategie ==
{| class="wikitable" align=right width="225"
! scope="col" width="50px" | Nashova rovnováha ve smíšených strategiích a skutečné hry
|-
| [[File:goalkeeper.jpg|240 px|fotbalový brankář]]
|-
| Přestože se smíšené řešení může zdát jako teoretický, nevyužitelný koncept (proč hrát strategie s nižším očekávaným užitkem), je možné jej jednoduše aplikovat i na reálné hry, potažmo reálný svět.

M. Dlouhý<ref name=dlouhy/> uvádí jako příklad použití smíšené strategie jednoduchou hru Kámen, nůžky, papír. Lze spočítat, že rovnovážná strategie je pro každého hráče (kámen, nůžky, papír) = (0.33,0.33,0.33), neboli střídat se stejnou pravděpodobností všechny možnosti. Odchýlení od této strategie (zejména v opakované hře) umožňuje protihráči přizpůsobit se (tedy například reagovat na časté používání kamenu častějším používáním papíru).

Neobvyklé spojení teorie her s analýzou reálných dat nabízí paper (Chiappori et al., 2002)<ref>Chiappori, P. A.; Levitt, S. and Groseclose, T.: ''Testing mixed-strategy equilibria when players are heterogeneous: The case of penalty kicks in soccer'' In: The American Economic Review Vol. 92, No. 4 (Sep., 2002), pp. 1138-1151, dostupné z http://pricetheory.uchicago.edu/levitt/Papers/ChiapporiGrosecloseLevitt2002.pdf</ref> o fotbalových penaltách jakožto koordinačné-antikoordinační hře. Vychází z premisy, že útočník - pravák je při pokutovém kopu schopen lépe vystřelit do levé strany branky (má vyšší užitek, jelikož přesná, tvrdá rána má vyšší pravděpodobnost úspěchu). Kdyby ale střílel pouze do levé části brány, brankář by na střely byl připraven. Proto musí strany střídat (smíšená strategie). Pro brankáře platí podobné rozhodování.
|}

Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -4
| -2
| 3
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

== Příklad 4: Vězňovo dilema ==
;Řešení

=Příklady k procvičení=

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

Nash equilibrium/cs

2012-06-20T01:02:00Z

Xbarr10: /* Příklad 3, smíšené strategie */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své optimální strategie, zatímco jeho soupeř (soupeři) ano, jeho výhra se sníží, nebo zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>DLOUHÝ, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2, hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3: Smíšené strategie ==
{| class="wikitable" align=right width="225"
! scope="col" width="50px" | Nashova rovnováha ve smíšených strategiích a skutečné hry
|-
| [[File:goalkeeper.jpg|240 px|fotbalový brankář]]
|-
| Přestože se smíšené řešení může zdát jako teoretický, nevyužitelný koncept (proč hrát strategie s nižším očekávaným užitkem), je možné jej jednoduše aplikovat i na reálné hry, potažmo reálný svět.

M. Dlouhý<ref name=dlouhy/> uvádí jako příklad použití smíšené strategie jednoduchou hru Kámen, nůžky, papír. Lze spočítat, že rovnovážná strategie je pro každého hráče (kámen, nůžky, papír) = (0.33,0.33,0.33), neboli střídat se stejnou pravděpodobností všechny možnosti. Odchýlení od této strategie (zejména v opakované hře) umožňuje protihráči přizpůsobit se (tedy například reagovat na časté používání kamenu častějším používáním papíru).

Neobvyklé spojení teorie her s analýzou reálných dat nabízí paper (Chiappori et al., 2002)<ref>Chiappori, P. A.; Levitt, S. and Groseclose, T.: ''Testing mixed-strategy equilibria when players are heterogeneous: The case of penalty kicks in soccer'' In: The American Economic Review Vol. 92, No. 4 (Sep., 2002), pp. 1138-1151, dostupné z http://pricetheory.uchicago.edu/levitt/Papers/ChiapporiGrosecloseLevitt2002.pdf</ref> o fotbalových penaltách jakožto koordinačné-antikoordinační hře. Vychází z premisy, že útočník - pravák je při pokutovém kopu schopen lépe vystřelit do levé strany branky (má vyšší užitek, jelikož přesná, tvrdá rána má vyšší pravděpodobnost úspěchu). Kdyby ale střílel pouze do levé části brány, brankář by na střely byl připraven. Proto musí strany střídat (smíšená strategie). Pro brankáře platí podobné rozhodování.
|}

Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -4
| -2
| 3
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

== Příklad 4: Vězňovo dilema ==
;Řešení

=Příklady k procvičení=

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

Nash equilibrium/cs

2012-06-20T00:49:31Z

Xbarr10: /* Příklad 3, smíšené strategie */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své optimální strategie, zatímco jeho soupeř (soupeři) ano, jeho výhra se sníží, nebo zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>DLOUHÝ, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2, hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3, smíšené strategie ==
{| class="wikitable" align=right width="225"
! scope="col" width="50px" | Nashova rovnováha ve smíšených strategiích a skutečné hry
|-
| [[File:goalkeeper.jpg|240 px|fotbalový brankář]]
|-
| Přestože se smíšené řešení může zdát jako teoretický, nevyužitelný koncept (proč hrát strategie s nižším očekávaným užitkem), je možné jej jednoduše aplikovat i na reálné hry, potažmo reálný svět.

M. Dlouhý<ref name=dlouhy/> uvádí jako příklad použití smíšené strategie jednoduchou hru Kámen, nůžky, papír. Lze spočítat, že rovnovážná strategie je pro každého hráče (kámen, nůžky, papír) = (0.33,0.33,0.33), neboli střídat se stejnou pravděpodobností všechny možnosti. Odchýlení od této strategie (zejména v opakované hře) umožňuje protihráči přizpůsobit se (tedy například reagovat na časté používání kamenu častějším používáním papíru).

Neobvyklé spojení teorie her s analýzou reálných dat nabízí paper (Chiappori et al., 2002)<ref>Chiappori, P. A.; Levitt, S. and Groseclose, T.: ''Testing mixed-strategy equilibria when players are heterogeneous: The case of penalty kicks in soccer'' In: The American Economic Review Vol. 92, No. 4 (Sep., 2002), pp. 1138-1151, dostupné z http://pricetheory.uchicago.edu/levitt/Papers/ChiapporiGrosecloseLevitt2002.pdf</ref>.
|}

Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -4
| -2
| 3
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

== Příklad 4: Vězňovo dilema ==
;Řešení

=Příklady k procvičení=

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

Nash equilibrium/cs

2012-06-20T00:44:53Z

Xbarr10: /* Další příklady */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své optimální strategie, zatímco jeho soupeř (soupeři) ano, jeho výhra se sníží, nebo zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>DLOUHÝ, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2, hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3, smíšené strategie ==
{| class="wikitable" align=right width="225"
! scope="col" width="50px" | Nashova rovnováha ve smíšených strategiích a skutečné hry
|-
| [[File:goalkeeper.jpg|240 px|fotbalový brankář]]
|-
| Přestože se smíšené řešení může zdát jako teoretický, nevyužitelný koncept (proč hrát strategie s nižším očekávaným užitkem), je možné jej jednoduše aplikovat i na reálné hry, potažmo reálný svět.

M. Dlouhý<ref name=dlouhy/> uvádí jako příklad použití smíšené strategie jednoduchou hru Kámen, nůžky, papír. Lze spočítat, že rovnovážná strategie je pro každého hráče (kámen, nůžky, papír) = (0.33,0.33,0.33), neboli střídat se stejnou pravděpodobností všechny možnosti. Odchýlení od této strategie (zejména v opakované hře) umožňuje protihráči přizpůsobit se (tedy například reagovat na časté používání kamenu častějším používáním papíru).

<ref>P. A. Chiappori, S. Levitt and T. Groseclose: ''Testing mixed-strategy equilibria when players are heterogeneous: The case of penalty kicks in soccer'' in: The American Economic Review Vol. 92, No. 4 (Sep., 2002), pp. 1138-1151, dostupné online http://pricetheory.uchicago.edu/levitt/Papers/ChiapporiGrosecloseLevitt2002.pdf</ref>
|}

Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -4
| -2
| 3
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

== Příklad 4: Vězňovo dilema ==
;Řešení

=Příklady k procvičení=

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

Nash equilibrium/cs

2012-06-20T00:39:37Z

Xbarr10: /* Příklad 3, smíšené strategie */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své optimální strategie, zatímco jeho soupeř (soupeři) ano, jeho výhra se sníží, nebo zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>DLOUHÝ, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2, hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3, smíšené strategie ==
{| class="wikitable" align=right width="225"
! scope="col" width="50px" | Nashova rovnováha ve smíšených strategiích a skutečné hry
|-
| [[File:goalkeeper.jpg|240 px|fotbalový brankář]]
|-
| Přestože se smíšené řešení může zdát jako teoretický, nevyužitelný koncept (proč hrát strategie s nižším očekávaným užitkem), je možné jej jednoduše aplikovat i na reálné hry, potažmo reálný svět.

M. Dlouhý<ref name=dlouhy/> uvádí jako příklad použití smíšené strategie jednoduchou hru Kámen, nůžky, papír. Lze spočítat, že rovnovážná strategie je pro každého hráče (kámen, nůžky, papír) = (0.33,0.33,0.33), neboli střídat se stejnou pravděpodobností všechny možnosti. Odchýlení od této strategie (zejména v opakované hře) umožňuje protihráči přizpůsobit se (tedy například reagovat na časté používání kamenu častějším používáním papíru).

<ref>P. A. Chiappori, S. Levitt and T. Groseclose: ''Testing mixed-strategy equilibria when players are heterogeneous: The case of penalty kicks in soccer'' in: The American Economic Review Vol. 92, No. 4 (Sep., 2002), pp. 1138-1151, dostupné online http://pricetheory.uchicago.edu/levitt/Papers/ChiapporiGrosecloseLevitt2002.pdf</ref>
|}

Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -4
| -2
| 3
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

== Příklad 4: Vězňovo dilema ==
;Řešení

=Další příklady=

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

Nash equilibrium/cs

2012-06-20T00:18:13Z

Xbarr10: /* Příklad 3, smíšené strategie */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své optimální strategie, zatímco jeho soupeř (soupeři) ano, jeho výhra se sníží, nebo zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>DLOUHÝ, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2, hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3, smíšené strategie ==
{| class="wikitable" align=right width="225"
! scope="col" width="50px" | Nashova rovnováha ve smíšených strategiích a skutečné hry
|-
| [[File:goalkeeper.jpg|240 px|fotbalový brankář]]
|-
| sdfdsafasd adas dsa dasdsa asda adsad asd dad asdas sadsa asdsad das sda
|}

Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -4
| -2
| 3
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

== Příklad 4: Vězňovo dilema ==
;Řešení

=Další příklady=

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

Nash equilibrium/cs

2012-06-20T00:14:22Z

Xbarr10: /* Příklad 3, smíšené strategie */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své optimální strategie, zatímco jeho soupeř (soupeři) ano, jeho výhra se sníží, nebo zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>DLOUHÝ, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2, hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3, smíšené strategie ==
{| class="wikitable" align=right width="225"
! scope="col" width="50px" | Nashova rovnováha ve smíšených strategiích a skutečné hry
|-
| [[File:goalkeeper.jpg|240 px|fotbalový brankář]]
|-
| sdfdsafasd adas dsa dasdsa asda adsad asd dad asdas sadsa asdsad das sda
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

== Příklad 4: Vězňovo dilema ==
;Řešení

=Další příklady=

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

Nash equilibrium/cs

2012-06-19T23:57:44Z

Xbarr10: /* Příklad 3, smíšené strategie */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své optimální strategie, zatímco jeho soupeř (soupeři) ano, jeho výhra se sníží, nebo zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>DLOUHÝ, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2, hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3, smíšené strategie ==
{| class="wikitable" align=right
! scope="col" style="width: 1.5em" | Nashova rovnováha ve smíšených strategiích a skutečné hry
|-
| [[File:goalkeeper.jpg|frame|center|alt=fotbalový brankář]]sdfdsafasd adas dsa dasdsa asda
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

== Příklad 4: Vězňovo dilema ==
;Řešení

=Další příklady=

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

File:Goalkeeper.jpg

2012-06-19T23:56:52Z

Xbarr10: As a work of the U.S. federal government, the image or file is in the public domain. U.S. Air Force photo by Master Sgt. Lance Cheung via http://en.wikipedia.org/wiki/File:Soccer_goalkeeper.jpg

As a work of the U.S. federal government, the image or file is in the public domain.

U.S. Air Force photo by Master Sgt. Lance Cheung

via http://en.wikipedia.org/wiki/File:Soccer_goalkeeper.jpg

Nash equilibrium/cs

2012-06-19T23:54:30Z

Xbarr10: /* Příklad 3, smíšené strategie */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své optimální strategie, zatímco jeho soupeř (soupeři) ano, jeho výhra se sníží, nebo zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>DLOUHÝ, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2, hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3, smíšené strategie ==
{| class="wikitable" align=right
! scope="col" style="width: 1.5em" | Nashova rovnováha ve smíšených strategiích a skutečné hry
|-
| [[File:goalkeeper.png|frame|center|alt=fotbalový brankář]]sdfdsafasd adas dsa dasdsa asda
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

== Příklad 4: Vězňovo dilema ==
;Řešení

=Další příklady=

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

Nash equilibrium/cs

2012-06-19T23:37:27Z

Xbarr10: /* Příklad 3, smíšené strategie */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své optimální strategie, zatímco jeho soupeř (soupeři) ano, jeho výhra se sníží, nebo zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>DLOUHÝ, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2, hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3, smíšené strategie ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -4
| -2
| 3
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče (první hráč by měl hrát v 52% případů ''a'', v 48% případů ''b''). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

== Příklad 4: Vězňovo dilema ==
;Řešení

=Další příklady=

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

Nash equilibrium/cs

2012-06-19T23:33:47Z

Xbarr10: /* Příklad 3, smíšené strategie */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své optimální strategie, zatímco jeho soupeř (soupeři) ano, jeho výhra se sníží, nebo zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>DLOUHÝ, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2, hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3, smíšené strategie ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -4
| -2
| 3
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%) pro druhého hráče. Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

== Příklad 4: Vězňovo dilema ==
;Řešení

=Další příklady=

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

File:Nash equilibrium pr3.png

2012-06-19T23:32:43Z

Xbarr10:

Nash equilibrium/cs

2012-06-19T23:32:08Z

Xbarr10: /* Příklad 3, smíšené strategie */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své optimální strategie, zatímco jeho soupeř (soupeři) ano, jeho výhra se sníží, nebo zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>DLOUHÝ, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2, hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3, smíšené strategie ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -4
| -2
| 3
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_pr3.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_pr3.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

== Příklad 4: Vězňovo dilema ==
;Řešení

=Další příklady=

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

File:Nash equilibrium pr3.xlsx

2012-06-19T23:30:58Z

Xbarr10:

Nash equilibrium/cs

2012-06-19T23:29:18Z

Xbarr10: /* Příklad 3, smíšené strategie */

{{DISPLAYTITLE:Nashova rovnováha}}
Jedním ze základních úkolů [[Game theory/cs|teorie her]] je popsání optimálních strategií jednotlivých hráčů, respektive výsledku hry (za předpokladu racionálního chování hráčů). Vhodným nástrojem je nalezení '''Nashovy rovnováhy'''.

=Definice=
''Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své optimální strategie, zatímco jeho soupeř (soupeři) ano, jeho výhra se sníží, nebo zůstane stejná.''<ref name=dlouhy>DLOUHÝ, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref>

== Vlastnosti Nashovy rovnováhy ==
Z definice vyplývají následující vlastnosti Nashovy rovnováhy, které jsou užitečné pro její nalezení a interpretaci:
* Nashova rovnováha nikdy neleží v '''silně''' dominovaném sloupci.
* Pokud má hra s konstantním součtem [[Saddle point/cs|sedlový prvek]] (sedlové prvky), pak rovnováha leží v tomto prvku (těchto prvcích).
* Nashova rovnováha není (automaticky) [[Parreto efficiency/cs|Pareto-efektivní]]. Klasickým případem je [[Prisoner's dilemma/cs|hra vězňovo dilema]], ve které se hráči bez možnosti kooperace racionálně rozhodnou pro řešení, které je pro oba z hráčů horší, než jiný možný výsledek hry.
* Každá hra '''s konstantním součtem''' má rovnovážné řešení ve smíšených strategiích. (Ryzí strategie jsou podmnožinou smíšených strategií).<ref name=dlouhy/>
* Každá hra dvou hráčů má alespoň jedno rovnovážné řešení <ref name=dlouhy/><ref name=nash>NASH, John F. ''Equilibrium Points in n-Person Games.'' In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America'', Vol.36, No. 1. Jan 15, 1950. Dostupné z: http://courses.engr.illinois.edu/ece586/TB/Nash-NAS-1950.pdf</ref>

=Řešené příklady=
V následujících kapitolách budou představeny metody hledání Nashovy rovnováhy, počínaje nejjednoduššími, použitelnými jen ve specifických případech, po lehce složitější univerzální metody.

== Příklad 1: Vězňovo dilema, eliminace dominovaných strategií ==
Najděte Nashovu rovnováhu ve hře [[Prisoner's dilemma/cs|vězňovo dilema]], jejíž výplatní matice je dána takto: Pokud se ani jeden z vězňů nepřizná, dostane každý trest 2 roky. Pokud se přizná jeden z vězňů, stráví ve vězení jen jeden rok, ale jeho spolupachatel 10. Pokud se přiznají oba hráči, stráví každý ve vězení 10 let.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5
| -1, -10
|-
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
;Řešení
Využijeme znalosti, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|rovnovážné řešení nikdy neleží v silně (ostře) dominovaném řádku či sloupci]]. Pro prvního hráče první řádek (přiznat) silně dominuje druhý řádek (nepřiznat). Tento řádek tedy můžeme vyškrtnout. (První řádek je pro prvního hráče lepší při každém možném rozhodnutí protihráče.) Obdobně pro druhého hráče je druhý sloupec dominován prvním.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" |
! scope="col" | Přiznat
! scope="col" | Nepřiznat
|-
! scope="row" | Přiznat
| -5, -5 ||style="background-color: grey"| -1, -10
|- style="background-color: grey"
! scope="row" | Nepřiznat
| -10, -1
| -2, -2
|}
V šedě označených buňkách tabulky tedy Nashovo rovnovážné řešení ležet nemůže. Vzhledem k tomu, že [[#Vlastnosti Nashovy rovnováhy|každá hra má alespoň jedno rovnovážné řešení]], toto řešení je dáno volbou "Přiznat" obou hráčů a tedy výplatní hodnotou (-5, -5).

Ve hrách, které obsahují více nedominovaných řádků či sloupců tento postup k nalezení Nashovy rovnováhy nestačí. Neuvažování dominovaných prvků ale může ulehčit postup v případě dalších metod.

== Příklad 2, hledání sedlového bodu ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Žádný ze slouců ani řádků není dominován, řešení zkusíme nalézt pomocí sedlového bodu (maximum ve sloupci, minimum v řádku).
Maximum ve sloupci budu značit červenou barvou, minimum v řádku zeleným rámečkem.
* Maximum v prvním sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii α) je 0, označím ji tedy červeně.
* Maximum v druhém sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii β) je 3, označím ji tedy červeně.
* Maximum ve třetím sloupci (optimální reakce prvního hráče, pokud druhý hráč zahraje strategii γ) je 5, označím ji tedy červeně.
* Minimum v prvním řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii a) je 0, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii b) je -2, označím zeleným rámečkem.
* Minimum v druhém řádku (optimální reakce druhého hráče, pokud první hráč zahraje strategii c) je -7, označím zeleným rámečkem.
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 0
| 1
| 2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -1
| 3
| -2
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -2
| -7
| 5
|}
V buňce, kde se řádkové minimum a sloupcové maximum setkají, leží sedlový bod, a tedy i Nashova rovnováha.

Ve hře s konstantním součtem mohou nastat následující situace:
* Existuje jeden sedlový bod, potom Nashova rovnováha leží v tomto sedlovém bodě.
* Existuje více sedlových bodů o stejné hodnotě, potom Nashova rovnováha leží v každém z nich.
* Neexistuje sedlový bod, v tomto případě existuje pouze smíšené řešení.

== Příklad 3, smíšené strategie ==
Nalezněte optimální strategie obou hráčů a Nashovu rovnováhu pro následující jednomaticovou hru:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|- style="text-align: center"
! scope="row" | c
| -4
| -2
| 3
|}

Prostor strategií prvního hráče je dán vektorem (a, b, c), prostoj strategií druhého hráče vektorem (α, β, γ). Výplatní matice určuje výplaty prvního hráče, výplaty druhého hráče jsou opačné (jde o hru s nulovým součtem).

;Řešení
Na první pohled je patrné že řádek c je dominován řádkem b. (racionálně uvažující první hráč tuto možnost nikdy nezvolí, protože strategie b mu ve všech případech přinese větší užitek). Pro zjednodušení výpočtu tedy budeme brát v úvahu pouze první dva řádky, v nichž jistě leží řešení.

Pokusíme se nalézt řešení pomocí sedlového bodu, postup je stejný jako u [[#Příklad 2, hledání sedlového bodu|předchozího příkladu.]]
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 3
| 5
| -8
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| -2
| -1
| 5
|}
Matice zjevně neobsahuje sedlový bod (žádný její prvek není zároveň řádkovým minimem a sloupcovým maximem) a nedy ani žádné řešení v ryzích strategiích.

;Nalezení řešení ve smíšených strategiích
Smíšené strategie je možné nalézt pomocí [[Linear programming/cs|metod lineárního programování]], a to buď ručně, například pomocí simplexového algoritmu nebo (v prípadě max 2 sloupců nebo řádků) graficky, nebo počítačovým programem (Lingo, MPL, Excel Solver, ...). Většina metod vyžaduje na vstupu nezáporná čísla, proto matici upravíme přičtením konstanty (nejnižšího prvku, v tomto případě 8), což řešení nezmění (jde o strategicky ekvivalentní hry).
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" style="width: 1.5em" |
! scope="col" style="width: 1.5em" | α
! scope="col" style="width: 1.5em" | β
! scope="col" style="width: 1.5em" | γ
|- style="text-align: center"
! scope="row" | a
| 11
| 13
| 0
|- style="text-align: center"
! scope="row" | b
| 6
| 7
| 13
|}

Předpis pro účelovou funkci a omezující podmínky je dán následující tabulkou:
<div style="border:1px solid black">
;Nalezení Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích<ref name=dlouhy/>
Účelová funkce (minimalizovat) 
<math>p_1+p_2+...+p_m</math>

Podmínky 
<math>a_1_1p_1+a_2_1p_m+...+a_m_1p_m\ge0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_1_np_1+a_2_np_m+...+a_m_np_m\ge0</math>

<math>p_i \ge 0</math>   <math>i=1,2,...m</math>
----
nebo

Účelová funkce (maximalizovat) 
<math>q_1+q_2+...+q_n</math>

Podmínky 
<math>a_1_1q_1+a_1_2q_n+...+a_1_nq_n\le0</math> 
<math>...</math> 
<math>a_m_1q_1+a_m_2q_2+...+a_m_nq_n\le0</math>

<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>
----
Úlohy jsou duálně sdružené, takže stačí vypočítat pouze jednu z nich,proměnné z druhé úlohy jsou potom duální proměnné z první (a naopak).

Pro zjištění strategie je nutné proměnné p nebo q vydělit hodnotou účelové funkce.
</div>
Pro náš příklad je výpočetně lepší zvolit druhou možnost, protože vede ke dvěma omezujícím podmínkám (+ jedné na nezápornost), zatímco první ke třem. Účelová funkce je potom: 
<math>q_1+q_2+q_3</math> (minimalizovat) 
a omezující podmínky: 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>11q_1+13q_2+0q_3\le0</math> 
<math>q_j \ge 0</math>   <math>j=1,2,...n</math>

Po vyřešení úlohy [[File:Nash_equilibrium_smisenastrategie.xlsx| (řešení v doplňku Řešitel pro MS Excel 2010 ke stažení)]] dostáváme následující rovnovážné strategie: (a, b)=(52%, 48%) pro prvního hráče a (α, β, γ)=(32%, 27%, 41%). Tyto strategie je možné zachytit i graficky:
[[File:Nash_equilibrium_smisenastrategie.png|frame|center|alt=smisena strategie|Smíšená strategie]]
Cenu hry je možné určit jako součin pravděpodobností jednotlivých prvků s výplatní maticí. V tomto případě vychází 8,032. Od tohoto výsledku je nutné odečíst konstantu 8, kterou jsme k výplatní matici přičetli v prvním kroku. Výsledná cena hry je potom 0,032, což znamená, že hra je mírně nespravedlivá ve prospěch prvního hráče.

== Příklad 4: Vězňovo dilema ==
;Řešení

=Další příklady=

=Reference=
<references/>

=Doplňující literatura=
* Ben Polak, Game Theory (Yale University: Open Yale Courses), [http://oyc.yale.edu/economics/econ-159 http://oyc.yale.edu/] (Accessed June 17, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA, lectures 4-8

[[Category:Ekonomie]]
[[Category:Teorie her]]

Nash equilibrium/cs

2012-06-19T17:03:05Z

Xbarr10: /* Příklad 3, smíšené strategie */

Nash equilibrium/cs

2012-06-19T16:34:47Z

Xbarr10: /* Příklad 3, smíšené strategie */

Nash equilibrium/cs

2012-06-19T15:56:57Z

Xbarr10: /* Příklad 3, smíšené strategie */

Nash equilibrium/cs

2012-06-19T15:22:05Z

Xbarr10: /* Příklad 3, smíšená strategie */

Nash equilibrium/cs

2012-06-19T15:04:16Z

Xbarr10: /* Příklad 3, smíšená strategie */

Nash equilibrium/cs

2012-06-19T14:19:32Z

Xbarr10: /* Příklad 3, smíšená strategie */

Nash equilibrium/cs

2012-06-19T14:10:57Z

Xbarr10: /* Příklad 3 */

Nash equilibrium/cs

2012-06-19T14:07:19Z

Xbarr10: /* Příklad 2 */

Nash equilibrium/cs

2012-06-19T14:06:54Z

Xbarr10: /* Příklad 1: Vězňovo dilema */

Nash equilibrium/cs

2012-06-19T14:06:13Z

Xbarr10: /* Příklad 3: Vězňovo dilema */

Nash equilibrium/cs

2012-06-19T12:11:48Z

Xbarr10: /* Příklad 3: Vězňovo dilema */

Nash equilibrium/cs

2012-06-19T12:11:31Z

Xbarr10: /* Příklad 1: Vězňovo dilema */

Nash equilibrium/cs

2012-06-19T12:11:01Z

Xbarr10: /* Příklad 2 */

Nash equilibrium/cs

2012-06-19T12:10:08Z

Xbarr10: /* Příklad 2 */

Nash equilibrium/cs

2012-06-19T11:45:27Z

Xbarr10: /* Příklad 2 */

Nash equilibrium/cs

2012-06-19T11:30:52Z

Xbarr10: /* Řešené příklady */