File:Poisson.png

2014-06-01T22:09:35Z

Xpism00:

File:Negativni.png

2014-06-01T22:09:17Z

Xpism00:

File:Binomicke.png

2014-06-01T22:08:37Z

Xpism00:

File:Alternativni.png

2014-06-01T22:08:22Z

Xpism00:

Systematické hraní rulety

2014-06-01T20:37:48Z

Xpism00: /* Kód */

=Zadání=

*'''Název simulace:''' Systematické hraní rulety
*'''Předmět:''' 4IT495 Simulace systémů (LS 2013/2014)
*'''Autor:''' Písařík Marek (XPISM00)
*'''Typ modelu:''' Monte Carlo
*'''Modelovací nástroj:''' MS Office Excel 2010

=Definice problému=
Kasinovou hru ruleta je možné hrát náhodně, dle oblíbených čísel, intuice, či pomocí systematického vsázení. Existují 2 typy rulet. Francouzská (čísla 1-36 + neutrální políčko 0), či Americká ruleta (čísla 1-36 + 2x neutrální políčka 0 a 00). Matematickou výhodu rulety tvoří právě neutrální políčka, proto je vhodné si vždy zvolit pro hraní první typ. V každém kole vhodí krupiér kuličku v opačném směru, než je otáčení rulety. Hráči mohou vsázet na nespočet možností, jak dané kolo dopadne.

'''Možné sázky:'''
* číslo (popř. dvojice/čtveřice sousedících čísel)
* řada (popř. dvojice sousedících řad)
* sloupec
* tucty
* barva (červená/černá)
* sudá/lichá
* 1-18/19-36
Ve své simulaci se zaměřím na problematiku systematického sázení zejména na možnosti s 50% pravděpodobností (vyjma nuly) tedy červená/černá, sudost/lichost atd. Na tyto možnosti lze sázet dle matematických posloupností. U tohoto typu hraní je nezbytné disponovat dostatečně vysokým rozpočtem, který pokryje i málo pravděpodobnou řadu stejných hodnot.

'''Systémy:'''
* Martingale systém: vybereme si barvu a neustále na ní sázíme dvojnásobné částky, dokud daná barva nepadne, až ano. Poté budeme +1 násobené hodnoty (řada: 1,2,4,8,16,...)
* D‘ Alembert systém: funguje na stejném principu jako předchozí, jen při padnutí naší barvy nezačínáme od 1násobku hodnoty, nýbrž pouze o jednu hodnotu níže (tedy v případě že vyhrajeme v situaci, kdy sázíme 16ti násobek další kolo nesázíme 1násobek, ale 8mi násobek)
* Fibonacciho systém: Opět se jedná o systém podobný výše uvedeným, nicméně se vsází dle Fibonacciho posloupnosti, tedy vždy součet

'''Cíl simulace'''

V práci tedy budu simulovat náhodnost rulety, přičemž budu aplikovat všechny 3 systémy sázení. Vstupem do systému bude rozpočet, který na hru mám. A tedy v případě, že přijde smolně dlouhá série, na kterou rozpočet nebude stačit, hra končí a uživatel přišel o všechny peníze. Výsledkem bude dosažená částka na konci cyklu a tedy zhodnocení všech variant. Cílem simulace je tedy zhodnocení, který systém je nejvhodnější pro zadaný rozpočet. Nejvhodnějším se rozumí, při kterém dosáhnu s největší pravděpodobností nejvyšší výhry (pokud vůbec nějaké).
posledních dvou hodnot posloupnosti (řada: 1,1,2,3,5,8,13,21,...)

=Metoda=

Jako nejvhodnější metodou pro řešení tohoto problému je právě metoda Monte Carlo. Důvod vhodnosti vychází z podstaty této metody a tedy z generování pseudonáhodných čísel, což přesně kopíruje realitu, kterou se snažíme simulovat. Generování čísel nahrazuje vhozenou kuličku do prostoru točící se rulety. Druhou možností, jak se dobrat k výsledku zkoumání je využít některé online kasino, ve kterém se dá nanečisto vyzkoušet hraní rulety bez nutnosti vložit peníze. Tento způsob je nicméně časově velmi náročný a proto byla zvolena metoda Monte Carlo v prostředí MS Office Excel 2010.

=Model=

Model zachycuje dění na ruletě, tedy generuje pro každé „kolo“ pseudonáhodnou hodnotu v intervalu <0;36>, která reprezentuje políčko, do kterého padne kulička. Tyto hodnoty jsou následně využívány pro simulaci sázení dle 3 zvolených systémů, tedy Martingale, D‘ Alembert a Fibonacci. Všechny systémy se hrají na stále stejnou zvolenou variantu s 50% procentní pravděpodobností výhry (vyjma nuly), v případě naší simulaci se jedná o sázky na sudost padnuté hodnoty. Každý ze systémů má svůj vlastní sloupec s vypočtenými hodnotami. Pro každou metodu nás zajímá:

* Kolik dané kolo vsázíme na námi vybranou barvu/sudost…
* Kolik jsme dané kolo vyhráli (pokud vůbec)
* Jaký je náš celkový stav konta po odehraném kole
* Jaký je náš stav konta po provedení sázky (tedy jestli máme ještě rozpočet na provedení sázky)

Následující obrázek zachycuje simulaci jednoho cyklu:

[[File:Cyklus.jpg]]

Nejdůležitější částí simulace je výpočet výšky sázky pro aktuální kolo:

'''Martingale systém'''

Jedná se o jednoduchý systém, při kterém se v případě prohry zdvojnásobuje sázka. Takto se postupuje až do doby, kdy padne námi zvolená hodnota. Jakmile se tak stane, začíná se vsázet od počáteční částky.

''=KDYŽ(Minulé_číslo=0;Minulá_sázka*2;KDYŽ(ISEVEN(Minulé_číslo);Počáteční_částka;Minulá_sázka*2))''

Testujeme nejprve nenulovost předchozího tahu. V případě, že byl nulový, aktuální sázka bude dvojnásobek sázky minulého kola. Pokud byl minulý tah nenulový, proběhne test sudosti. Pokud tažené číslo v minulém kole bylo sudé, vyhráli jsme a v aktuálním kole proběhne základní sázka, v opačném případě z důvodu lichosti zdvojnásobujeme sázku minulého kola.

Následné výpočty už jsou triviální. V poli výhra pouze testujeme sudost vygenerovaného čísla + nenulovost. Na základě těchto testů je výhra buď 0, nebo dvojnásobek vsazené částky. V kolonce celkem proběhne součet stavu konta po minulé sázce s rozdílem výhry a sázky aktuálního kola.

'''D‘ Alembert systém'''

V tomto případě pouze trochu modifikujeme předchozí systém. Rozdílnost vyplývá z chování hráče v případě výhry po delší neúspěšné sérii. V takovéto situaci nezačínáme vsázet od základní hodnoty, nýbrž se v posloupnosti posuneme pouze o jeden krok zpět. Výpočet sázky probíhá dle následujícího vzorce.

''=KDYŽ(Minulé_číslo=0;Minulá_sázka*2;KDYŽ(ISEVEN(Minulé_číslo);KDYŽ(Minulá_sázka>Základní_sázka;Minulá_sázka/2;Základní_sázka);Minulá_sázka*2))''

Výpočet probíhá velmi podobně jako v předchozím případě. Výjimkou je vnořená podmínka testující velikost minulé sázky. Pokud je větší než počáteční sázka, dělíme ji 2, v opačném případě bude tvořit výši aktuální sázky hodnota té počáteční.

Ostatní výpočty jsou stejné jako v předchozím případě.

'''Fibonacciho systém'''
Sázení dle Fibonacciho posloupnosti si vyžádá nejsložitější vzorec pro výpočet aktuální sázky

''=KDYŽ(Minulé_číslo =0;KDYŽ(Minulá_sázka=Základní_sázka;2* Základní_sázka; Minulá_sázka +Předminulá_sázka);KDYŽ(ISEVEN(Minulé_číslo); Základní_sázka;KDYŽ(Minulá_sázka = Základní_sázka;2* Základní_sázka; Minulá_sázka + Předminulá_sázka)))''

Nejprve opět testujeme nulovost minulého generovaného čísla. V případě prohry, tedy nulovosti, zjišťujeme velikost minulé sázky. Pokud byla ve výši základní sázky, zdvojnásobíme ji, v opačném případě proběhne určení hodnoty aktuální sázky součtem sázek v posledních dvou kolech. Když generované číslo bude nenulové, proběhne obdobný vnořený proces určování výše aktuální sázky.
Ostatní výpočty jsou opět stejné jako v předchozích případech.

'''Výpočet vyhodnocení pro daný cyklus:'''

Pro zjištění výsledků daného cyklu generování čísel při jednotlivých systémech probíhá následujícím způsobem. Pro každé kolo generování čísel se v sloupci „Po sázce“ zaznamenává hodnota stavu našeho konta po provedení sázky. Na konci cyklu zjistíme funkcí MIN nejnižší hodnotu, které tento sloupec nabyl. Pokud nalezneme údaj v mínusové hodnotě, cyklus jsme prohrály a stav po tomto cyklu je Rozpočet*(-1). V opačném případě jsme byli úspěšní a výši výhry získáme rozdílem Stavu konta po posledním kole a rozpočtu.

=Výsledky=

Simulace byla provedena v 300.000 provedeních, rozdělených dle různých vstupních kritérií. Jako vstupní data, byly použity pro každý systém poměry mezi základní částkou a rozpočtem a to v hodnotě 10, 50, 100 a 500 násobky základní sázky. Tyto poměry byly aplikovány na počty odehraných kol v intervalu 50 až 1000. Pro všechny tyto kombinace byla provedena simulace 1000x a výsledky byly zprůměrovány. V níže uvedených grafech jsou graficky znázorněny dosažené hodnoty. Z grafů lze vyčíst vliv měnění výše poměru základní sázky/rozpočtu vůči počtu odehraných kol.

'''Martingale systém'''

[[File:Martingale.jpg]]

'''D’Alambert systém'''

[[File:Dalambert.jpg]]

'''Fibonacci systém'''

[[File:Fibonacci.jpg]]

Z výše uvedených hodnot lze vyčíst základní odpověď a to, že systémové hraní rulety z dlouhodobého hlediska nepřináší zisk. Všechny provedené kombinace po celkovém zprůměrování vykazují ztrátové hodnoty. Další tendence, které lze z grafů zjistil lze interpretovat jako. Čím vyšší rozpočet, tím vyšší dosažené ztráty. A současně. Čím více odehraných kol v jednom cyklu, tím rovněž vyšší ztráty.

=Závěr=

Podařilo se mi věrohodně nasimulovat průběh hry ruleta, včetně systémového vsázení. Výsledky potvrdily matematickou výhodu na straně kasina díky existenci neutrálního políčka nula. Omezením mé simulace může být jev, že se provozovatelé kasin brání systémovému hraní pomocí maximální sázky, čímž hráče limitují. Druhým způsobem obrany proti tomuto typu hraní je možnost vykázání takovéhoto hráči pomocí hlídačů, kteří takovéto hráče upozorní velmi nešetrný způsobem, že u nich se systémovým způsobem hrát nesmí. Existuje ale i internetová alternativa hraní rulety, kde takováto omezení nejsou.

=Kód=

[[File:Simulace_ruleta.xlsx]]

[[File:Simulacehodnoty.xlsx]]

2014-05-31T22:26:43Z

Xpism00:

Distributions/cs

2014-05-31T22:26:14Z

Xpism00: /* Normální rozdělení */

{{DISPLAYTITLE:Pravděpodobnostní rozdělení}}

=Úvod=

Změříme-li nějakou veličinu, jde z hlediska teorie o náhodný pokus. Předpis, který přiřazuje každému výsledku našeho náhodného pokusu určité číslo, se nazývá náhodná veličina. Z matematického hlediska je tedy náhodná veličina (x) reálná funkce definovaná na množině všech elementárních jevů (jednotlivé možné výsledky pokusu), která každému jevu přiřadí reálné číslo. Pravděpodobnost, s kterou náhodná proměnná nabývá určité hodnoty nebo je obsažena v určitém intervalu hodnot se nazývá pravděpodobnostní rozdělení.

Pro vysvětlení principu je vhodné použít nejklasičtější příklad. Hod mincí se sledováním výsledku, co padlo, je vlastně provedení náhodného pokusu. Definičním oborem (možnými výsledky) tohoto pokusu jsou dva výsledky - první možnost = padne líc (panna); - druhá možnost = padne rub (orel). Obor hodnot je v tomto případě množina {0,1}. Pro tuto situaci vlastně definiční obor a obor hodnot splývají, ale nemusí tomu obvykle tak být. Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny tedy získáme, pokud každé hodnotě diskrétní náhodné veličiny, popř. intervalu hodnot spojité náhodné veličiny, přiřadíme pravděpodobnost.

Obecně platí, že ve statistice se používají velká písmena k reprezentování náhodné proměnné a malá písmena, představují jednu z jejich hodnot. Například,
X představuje náhodné proměnné x.
P (X) představuje pravděpodobnost X.
P (X = x), se vztahuje k pravděpodobnosti, že náhodná proměnná X je rovna na určitou hodnotu, označené x. Jako příklad lze uvést, P (X = 1), se vztahuje k pravděpodobnosti, že náhodná proměnná X je rovno 1.

Modifikovaným příkladem s hodem mincí bude jasně znázorněn vztah mezi náhodnými proměnnými a rozdělením pravděpodobnosti a zároveň se svým způsobem vracíme k našemu úvodu.
Představte si, že hodit mincí dvakrát. Tento jednoduchý statistický experiment může mít čtyři možné výsledky: HH, HL, LH, a LL. Nyní proměnná X představuje počet hlav, které padnou při tomto experimentu. Proměnná X může nabývat hodnot 0, 1, nebo 2. V tomto příkladu, X je náhodná proměnná, protože jeho hodnota je určena na základě výsledků statistického experimentu.
Rozdělení pravděpodobnosti je tabulka, nebo rovnice, která spojuje jednotlivé výsledky statistické experimentu s jeho pravděpodobností výskytu. V následující tabulce, která sdružuje výsledky s pravděpodobností, je předveden příklad rozdělení pravděpodobnosti.

[[File:1.jpg]]

Výše uvedená tabulka představuje rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné X.

=Typy rozdělení=

== Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti ==

Je-li náhodná veličina, diskrétní veličina, její rozdělení pravděpodobnosti se nazývá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti.
Příkladem se opět vracíme k hodu mincí. Tento jednoduchý statistický experiment může mít čtyři možné výsledky: HH, HL, LH, a LL. Nyní, ať náhodná veličina X představuje počet hlav, které vyplývají z tohoto experimentu. Náhodná veličina X se může uskutečnit pouze na základě hodnot 0, 1, nebo 2, takže je diskrétní náhodná veličina.

[[File:1.jpg]]

Výše uvedená tabulka představuje diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, protože se týká každé hodnoty diskrétní náhodné veličiny s pravděpodobností výskytu.
U diskrétního rozdělení pravděpodobnosti platí, že každá možná hodnota diskrétní náhodné veličiny může být spojena s nenulovou pravděpodobností. Potom platí, že diskrétní rozdělení pravděpodobnosti může být vždy prezentováno ve formě tabulky.

Typy rozdělení:
* Diracovo rozdělení
* Rovnoměrné rozdělení
* Alternativní (Bernoulliovo, nula-jedničkové) rozdělení
* Binomické rozdělení
* Geometrické rozdělení
* Hypergeometrické rozdělení
* Poissonovo rozdělení
* Negativně binomické rozdělení

== Spojité rozdělení pravděpodobnosti ==

Je-li náhodná veličina veličinou spojitou, její rozdělení pravděpodobnosti se nazývá spojité rozdělení pravděpodobnosti .
Spojité rozdělení pravděpodobnosti se liší od diskrétního rozdělení pravděpodobnosti v několika ohledech.

* Pravděpodobnost, že spojitá náhodná proměnná bude předpokládat určitou hodnotu, je nulová.
* V důsledku toho kontinuální rozdělení, pravděpodobnost nelze vyjádřit ve formě tabulky.
* Místo toho se používá k popisu kontinuálního rozdělení pravděpodobnosti rovnice nebo vzorec.

Nejčastěji používaná rovnice kontinuálního rozdělení pravděpodobnosti se nazývá funkce hustoty pravděpodobnosti. Pro toto rozdělení pravděpodobnosti má funkce hustoty následující vlastnosti:

* Vzhledem k tomu, že spojitá náhodná proměnná je definována přes kontinuální rozsah hodnot (tzv. domény proměnné), bude graf funkce hustoty kontinuální v tomto rozsahu.
* Oblast ohraničená křivkou funkce hustoty a na ose x je rovna 1.
* Pravděpodobnost, že náhodná veličina nabývá hodnoty mezi a a, b se rovná oblasti pod funkcí hustoty ohraničené a a b .

Typy rozdělení:
* Rovnoměrné rozdělení
* Normální (Gaussovo) rozdělení – normované a obecné
* Logaritmicko-normální
* Cauchyovo rozdělení
* Exponenciální rozdělení
* Gama rozdělení
* Beta rozdělení
* Rozdělení chí-kvadrát
* Studentovo t-rozdělení
* (Fisherovo) F-rozdělení

=Příklady diskrétních rozdělení=

== Alternativní rozdělení ==

Týká se náhodných veličin, které mohou mít pouze dva různé výsledky. Pravděpodobnost jednoho z nich je p, druhého
1 − p. Značení tohoto rozdělení A(p).

Příklad 1:

Zmiňovaný hod mincí s p=0,5 a možnými výsledky {0,1},

Příklad 2:

V pytlíku máme tři kuličky černé barvy a jednu bílé barvy, výsledkem pokusu bude vytažení černé či bílé
kuličky, bíle s pravděpodobností p = 0,25 a bílé s pravděpodobností 1-p = 0,75.

== Rovnoměrné rozdělení ==

== Binomické rozdělení ==

Binomický experiment (také známý jako Bernoulliho zákon) je statistický experiment , který má následující vlastnosti:
* Experiment se skládá z "n" opakovaných pokusů.
* Každý proces může vyústit v pouhých dvou možných výsledků. Říkáme, že jeden z těchto výsledků je úspěch a další, selhání.
* Pravděpodobnost úspěchu, označujeme P.
* Fyzikální zákony jsou nezávislé a to znamená, že výsledek v jedné studii neovlivní výsledek v jiných studiích.

Veličina s binomickým rozdělením je tedy součtem nezávislých veličin s rozdělením alternativním, parametry tohoto rozdělení
jsou tedy jednak "p" a poté ještě počet pokusů "n". Toto rozdělení se typicky značí jako Bi(n,p). Pravděpodobnostní
funkce vypadá takto:

[[File:binomicke_rozdeleni.jpg]]

kde x může nabývat hodnot 0, 1, 2 až n.

Příklad: Počet šestek při hodu 3 kostkami. Například pravděpodobnost, že padne jedna šestka je:

[[File:binomicke_rozdeleni1.jpg]]

== Negativní binomické rozdělení ==

Negativní binomický experiment je statistický experiment , který má následující vlastnosti:
* Experiment se skládá z x opakovaných pokusů.
* Každý proces může vyústit do pouhých dvou možných výsledků. Říkáme jeden z těchto výsledků je úspěch a další, selhání.
* Pravděpodobnost úspěchu, označme P rovnost fyzikálních zákonů.
* Zákony jsou nezávislé ; to znamená, že výsledek v jedné studii neovlivní výsledek v jiných studiích.
* Experiment pokračuje až R je pozorování úspěchů, kde r je určena předem.

Podívejme se na následující statistický experiment. Opakovaně jste hodili mincí a spočtěte, kolikrát mince přistane na hlavě. Můžete pokračovat, dokud mince přistane na hlavě 5 krát N.
To je dáno tím, že jde o negativní binomické experiment:
* Experiment se skládá z opakovaných pokusů. Opakovaně jsme hodili mincí, dokud přistála 5krát na hlavě.
* Každý proces může mít za následek jen dva možné výsledky - panna nebo lev.
* Pravděpodobnost úspěchu je konstantní - 0,5 na každé zkoušce.
* Pravidla jsou nezávislá; To znamená, že výsledky mezi jednotlivými experimenty se navzájem neovlivní.
* Experiment pokračuje, dokud se neobjevil pevný počet úspěchů; v tomto případě 5 hlav.

Negativní binomická náhodná proměnná je číslo "X" opakovaných zkoušek k produkci "r" úspěchů v negativní binomické experimentu. Rozdělení pravděpodobnosti negativního binomického rozdělení náhodné veličiny se nazývá negativní binomické rozdělení . Negativní binomické rozdělení je také známé jako distribuce Pascal.

[[File:NBR1.jpg]]

Předpokládejme, že opakovaně házíme mincí a počítáme počet hlav (úspěchů). Budeme-li pokračovat házením mincí, dokud nepadne l 2 krát hlava, provádíme negativní binomický experiment. Negativní binomická náhodná proměnná je počet mincí požadovaných k dosažení 12 hlav. V tomto příkladu je množství hodů náhodná proměnná, která může mít libovolné celé číslo mezi 12 a nekonečnem. Negativní binomické rozdělení pravděpodobnosti pro tento příklad je uvedeno v tabulce:

[[File:NBR.jpg]]

Příklad:

Bob je vysokoškolský basketbalový hráč. Má 70% úspěšnost ve střelbě na koš. To znamená, že jeho pravděpodobnost bodování je 0,70. Jaká je pravděpodobnost, že Bob během sezóny dá 3 koše z pěti pokusů (hodů) po sobě jdoucích?

Řešení:

Toto je příklad negativního binomického experimentu. Pravděpodobnost úspěchu ( P ) je 0,70, počet pokusů ( x ) je 5 a počet úspěchů ( r ) je 3.

Chcete-li tento problém vyřešit, musíte doplnit hodnoty do negativního binomického vzorce.

[[File:NBR2.jpg]]

To znamená, že pravděpodobnost, že Bob dá své tři úspěšné hody z pěti pokusů je 0,18522.

== Poissonovo rozdělení ==

Toto rozdělení vyplývá z Poissonova experimentu. Poisson experiment je statistický experiment , který má následující vlastnosti:
* Experiment má za následek výsledky, které mohou být klasifikovány jako úspěchy či neúspěchy.
* Je známo, že průměrný počet úspěchů (μ), který se vyskytuje v určitém regionu.
* Pravděpodobnost, že dojde k úspěchu, je úměrná velikosti regionu.
* Pravděpodobnost, že dojde k úspěchu ve velmi malé oblasti, je v podstatě nulová.

Všimněte si, že zadaná oblast může mít mnoho podob. Například, to může být délka, plocha, objem, doba, atd.
Použití: Počet úrazů za určitý interval, počet tiskových chyb na jedné stránce, počet branek za fotbalový zápas, počet vadných výrobků za časový interval, atd.

Předpokládejme, že provádíme Poisson experiment, ve kterém je μ průměrný počet úspěchů v daném regionu. Potom pravděpodobnost Poisson je:

P ( x , μ) = (e -μ ) (μ x ) / x!

kde x je skutečný počet úspěchů, které vyplývají z experimentu, a e je přibližně rovna 2,71828.

Příklad:

Průměrný počet prodaných domů od firmy „Xena nemovitosti s.r.o.“ je 2 domy za den. Jaká je pravděpodobnost, že přesně 3 domy budou zítra prodány?

Řešení:

Toto je Poissonův experiment, v němž víme následující:

μ = 2; že 2 domy se prodávají za den v průměru.

x = 3; protože chceme zjistit pravděpodobnost, že tři domy budou zítra prodány.

e = 2.71828; protože e je konstanta rovná přibližně 2,71828.

Doplňme tyto hodnoty do Poissonova vzorce:

P ( x , μ) = (e -μ ) (μ x ) / x!

P (3, 2) = (2,71828 -2 ) (2 3 ) / 3!

P (3, 2) = (0,13534) (8 ) / 6

P (3, 2) = 0,180

To znamená, že pravděpodobnost prodeje 3 domů zítra je 0,180.

== Geometrické rozdělení ==

=Příklady spojitých rozdělení=

== Rovnoměrné rozdělení ==

== Exponenciální rozdělení ==

== Normální rozdělení ==

Toto rozdělení je pravděpodobně nejznámější snad i nejdůležitějším rozdělením, označované také jako Gaussovo rozdělení. Důležité je především z důvodu platnosti centrální limitní věty, která říká, že součet nezávislých náhodných veličin má přibližně normální rozdělení (čím více veličin sečteme, tím lépe), což znamená, že lze aproximativně použít procedury, které byly na základě normálního rozdělení navrženy, pro proměnné, které se tímto rozdělením neřídí. Toto rozdělení se objevuje u jevů, jejichž proměnlivost je způsobena velkým množstvím nezávislých veličin.

Normální rozdělení je definován následující rovnicí:

[[File:normalni.jpg]]

kde X je normální náhodná proměnná, μ je střední, σ je standardní odchylka, π je přibližně 3,14159, a e je přibližně 2,71828. Náhodná veličina X v normální rovnici se nazývá normální náhodná veličina. Normální rovnice je funkce hustoty pravděpodobnosti pro normální rozdělení.

Normální křivka
Graf normálního rozdělení závisí na dvou faktorech - střední a standardní odchylka. Střední hodnota distribuce určuje umístění středu grafu, a standardní odchylka určuje výšku a šířku grafu. Všechny normální distribuce vypadají jako symetrické křivky ve tvaru zvonu.
Celková plocha pod normální křivkou je rovna 1.
Každá normální křivka (bez ohledu na její střední nebo standardní odchylku), odpovídá následujícímu pravidlu 68-95-99,7.
Tato čísla vyjadřují kolik procent z plochy pod křivkou spadá do které standardní odchylky od střední hodnoty.
Je zřejmé, že vzhledem k normální rozdělení, většina výsledků bude patřit do 3 standardní odchylky od průměru.

[[File:normalni1.png]]

Příklad:
Předpokládejme, že skóre testu IQ jsou normálně rozděleny. Pokud výsledek testu má průměr 100 a směrodatnou odchylku 10., jaká je pravděpodobnost, že osoba, která udělá test bude mít skóre mezi 90 a 110?

Řešení:
Zde chceme znát pravděpodobnost, že výsledek testu spadá mezi 90 a 110 "trik" k řešení tohoto problému je uvědomit si následující.:
P (90 < x <110) = P (X <110) - P (X <90)
Pro výpočet P (X <110), zadáme následující vstupy: Hodnota normálního rozdělení náhodné veličiny je 110, průměr je 100 a směrodatná odchylka je 10 Zjistili jsme, že P (X <110) je 0,84.
Pro výpočet P (X <90), zadáme následující vstupy: Hodnota normálního rozdělení náhodné veličiny je 90, průměr je 100 a směrodatná odchylka je 10 Zjistili jsme, že P (X <90) je 0,16.
P (90 < x <110) = P (X <110) - P (X <90)
P (90 < x <110) = 0,84 až 0,16
P (90 < x <110) = 0,68

Výsledkem je pravděpodobnost, že asi u 68% testovaných se skóre bude pohybovat mezi 90 a 110.

2014-05-31T19:56:42Z

Xpism00: Příklad rodzělení pravděpodobnosti

Příklad rodzělení pravděpodobnosti

Distributions/cs

2014-05-31T19:52:55Z

Xpism00: Created page with "{{DISPLAYTITLE:Pravděpodobnostní rozdělení}} =Úvod="

{{DISPLAYTITLE:Pravděpodobnostní rozdělení}}

=Úvod=

Systematické hraní rulety

2014-05-31T14:32:06Z

Xpism00: /* Kód */

File:Simulace ruleta.xlsx

2014-05-31T14:31:40Z

Xpism00:

Systematické hraní rulety

2014-05-31T14:29:58Z

Xpism00: /* Závěr */

File:Fibonacci.jpg

2014-05-31T14:27:48Z

Xpism00:

File:Dalambert.jpg

2014-05-31T14:27:27Z

Xpism00: