Simulace.info - User contributions [en]

Mixed strategy/cs

2014-06-18T21:57:26Z

Xvalm48:

{{DISPLAYTITLE:Smíšená strategie}}

= Úvod =
<div>V této kapitole budete seznámeni s konceptem smíšené strategie, kde bude postupně vysvětlen jeho význam a možnosti použití pro analýzu a řešení her. Kapitola se skládá z obsahu trojího typu odlišeného barvou.
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #00BFFF;margin: 0px 0px 1px 10px;">Modrým zvýrazněním jsou označeny obecné definice a poznatky shrnující výklad.</div>
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #228B22;margin: 0px 0px 1px 10px;">Zelené zvýraznění ohraničuje výklad.</div>
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #FF4500;margin: 0px 0px 1px 10px;">Oranžová značí procvičující otázky, na které naleznete odpověď na konci stránky.</div></div>

= Přesvědčení hráče =
<div>Pro srozumitelnější vysvětlení navazujícího konceptu [[#Smíšené strategie|smíšených strategií]] bude první část věnována podřízenému konstruktu teorie her - [[#Přesvědčení hráče|hráčově přesvědčení]].</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Na stadionu ve Wembley je po letech zase pekelně živo. V charitativní exhibiční show tak dobré, že se ji chystá přenášet i Česká televize, se před čáru na pokutový kop připravuje trojice naprosto legendárních hráčů. Trojka fotbalových es ozkouší kvality jednoho vylosovaného fanouška, který se pokusí chycením míče krom své prestiže získat i nějaké peníze pro dobrou věc. Na základě očíslovaných vstupenek je ze skandujícího davu vybrán Richard H., shodou okolností absolvent Vysoké školy ekonomické se silně rozvinutým smyslem pro statistiku a matematizaci čehokoliv a za každou cenu. Richard se chvilku po rozsvícení svého obličeje na videokostce nad stadionem pro 90 000 diváků ani nehne. Jen pozorně přejíždí zrakem po přeplněných tribunách, vyprázdněném, zeleném hřišti a hloučku extraligových hráčů připravených u brány. Několikrát se nadechne, vyrovná ramena, z kapsy od saka vytáhne kalkulačku, a neohroženě sestupuje k hřišti. Cestou dolů, skrze sprostě a anglicky křičící diváky mu zrovna běží hlavou: "Zatraceně Richarde, byls vybrán, abys reprezentoval tady na charitativní exhibici a postavil se velkejm hvězdám. Nebude zas taková ostuda, když ten míč nechytíš. Vždyť první kope Ronaldhino!" 
<div style="float:right;padding: 10px;">[[File:goalkeeper.jpg|240 px|Fotbalový brankář]]</div>
Pokračuje dál, přeskakuje sedačky a mračí se: "Možná bys ale mohl svůj gólmanský úkol formalizovat jako nějakou matematickou úlohu. To by tě i bavilo. Možná použít koncepty [[Game theory/cs|teorie her]]?"
Richarda dole u zábradlí míjí jeden z českých fanoušků, náhodou také nějaký fotbalista, a podává mu svoje gólmanské rukavice: "Já jsem Čech. Tyhle rukavice vám přinesou štěstí." "Já zase Richard, děkuju," přebírá ošoupanou výstroj s logem Chelsea a suverenně ji zastrkává do kalhot. Jeho sebejistý úsměv značí, že je pro výhru v následujícím klání nebude potřebovat. Uvědomil si: "Fotbalista kopající penaltu má v zásadě jen dvě možnosti, jak kopnout. Buď se pokusí mne mást tělem, naznačí mi směr a pak kopne jeho opak. Nebo se blufovat nepokusí a náznak směru jeho těla bude odpovídat i hranému směru míče..." 
Richard si postupně potřásá rukou s Ronaldhinem, Beckhamem a Janem Suchopárkem z pražské Slavie. Největšími fotbalisty všech dob. Pak se se skrývaným smíchem běží připravit do brány: "To je jasné. Vypíšu si všechny možnosti do bloku a prostě to spočítám! Konečně efektně uplatním něco, co jsem naučil na škole!" 
Ronaldhino si nervózně kontroluje kopačky na suchý zip, odtušil, že netypický gólman nebude nejsnadnějším soupeřem. Stadion křičí nedočkavostí. Na trávník dopadávají první zapálené dýmovnice. Ty ale matematikovu koncentrovanou mysl v tandemu s precizně sepsanými zápisky a solárně napájenou kalkulačkou nemohou zastavit...
 Ponechme napjatou atmosféru ve Wembley na chvíli stranou a rozeberme, s jakou logikou si Richard poznačoval do svého bloku.
 

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 1 RICHARD
|-
| rowspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 2 RONALDHINO
|
| VĚŘIT
| NEVĚŘIT
|-
| BLUFOVAT
| style="text-align: center;" | 1 0
| style="text-align: center;" | 0 1
|-
| NEBLUFOVAT
| style="text-align: center;" | 0 1
| style="text-align: center;" | 1 0
|}

Ze zápisu je patrné, že se jedná o hru uspořádanou v [[Normal form/cs|normálové formě]], neboli o [[Payoff matrix/cs|výplatní matici]] dvou hráčů (Richarda a Ronaldhina) a jejich hratelných možností. Ronaldhino disponuje dvojicí strategií {BLUFOVAT, NEBLUFOVAT}, Richard oproti tomu {VĚŘIT a jít v naznačeném směru, NEVĚŘIT a jít v opačném směru}. V případě, že Richard míč chytí, rovná se jeho výplata jedné, Ronaldhinova nule. A naopak. 
Touto formalizací problému, ale Richard nekončí, protože by mu s řešením problému zatím zvlášť nepomohla. Zaznamenaná hra je konfliktní, [[Antagonistic game/cs|antagonistická]] a nemá žádné [[Dominated strategy/cs|dominované strategie]] nebo [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. Těmito koncepty řešení se tedy ke zjištění nejvhodnější strategie nedobereme. Richard proto přemýšlí, jak do svého modelu hry zapracovat i všechny další informace, které jsou o fotbalu dostupné.
Tak například ví, že Ronaldhino a Beckham jsou hvězdy velkých klubů, protřelí blufaři, relativně málo hrající v naznačeném směru. Zatímco ale Suchopárek, podle statistik, zase blufuje jen výjimečně. Zároveň je jasné, že Richard sám nemá žádné zvláštní inklinace z hlediska důvěřivosti nebo nedůvěřivosti. Richard se proto pokouší využít všechny tyto nadstandardní informace, které je možno vyjádřit skrze sestavu pravděpodobností, o kterou bude rozhodování v rámci hry obohaceno.

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 1 RICHARD
|-
| rowspan="6" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 2 RONALDHINO
|
| VĚRIT
| NEVĚŘIT
|-
|
| -
| -
|-
| BLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
|-
| 75 % (0.75)
|-
| NEBLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
|-
| 25 % (0.25)
|}

Přiřazením profilu pravděpodobností ke každé protihráčově variantě Richard vlastně vložil do problému dimenzi poměrného [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] o protihráči, respektive jeho strategiích. Ohodnocení strategie v rámci přesvědčení z logiky věci nabývá hodnot od nuly do jedné. 
Zápis [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] druhého hráče (Ronaldhina) se běžně zapisuje následujícím způsobem<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>: 
θ2 = {0.75, 0.25}

Přidání dimenze [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] umožňuje spočítat očekávaný výnos každé strategie. Očekávaný výnos je pak vlastně jen součtem zhodnocených výplat pro každou strategii. 
u1(Věřit,θ2) = 0.75 • 0 + 0.25 • 1 = 0.25 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.75 • 0.5 • 1 + 0.25 • 0 = 0.75 
 
Z očekávaných výnosů a za předpokladu jeho maximalizace je jasné, že pro Richarda je nejlepší Ronaldhinovi nevěřit. Naopak Ronaldhino nemůže využít specifického [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] o Richardových preferencích a proto je mezi svými volbami indiferentní.
</div>

<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;font-weight: regular;text-align:center;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">Přesvědčením hráče (belief) označujeme pravděpodobnostní ohodnocení nad strategiemi ostatních hráčů.<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
'''Příklad 1''' Jaký bude předpokládaný výnos v případě, že Richard bude chytat druhý kop Beckhama? Beckhamovy strategie jsou podřízeny [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] následovně θ2 = {0.8, 0.2}. [[#Přesvědčení hráče|Přesvědčení]] o Richardových strategiích není definováno. '''Příklad 2''' A jaký bude předpokládaný výnos v případě třetí penalty, kopnuté Janem Suchopárkem? Suchopárkovy strategie jsou podřízeny následovně θ2 = {0.3, 0.7}. [[#Přesvědčení hráče|Přesvědčení]] o Richardových strategiích není definováno. '''Příklad 3''' Jaký bude předpokládaný výnos hry pro oba dva hráče v případě, že budou o obou hráčích známy následující [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]]? θ1 = {0.4, 0.6}; θ2 = {0.7, 0.3}. A jaký bude v takovém případě celkový výnos hry?</div>
 

= Smíšené strategie =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Předchozím konceptem [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] lze podložit následující terminologické rozdělení strategií, které se v [[Game theory/cs|teorii her]] používá. 
Ryzí strategie (pure strategy) zavazuje hráče deterministicky bez možnosti pravděpodobnostního ohodnocení (respektive ohodnocení se vždy rovná jedné). Smíšená strategie (mixed strategy) odpovídá sestavě [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] přiřazující ryzím strategiím specifické probabilistické ohodnocení. A ačkoliv množina ryzích strategií každého hráče je konečná, díky spojitosti probabilistického ohodnocení lze na základě konečného setu ryzích strategií definovat nekonečné množství [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] a tedy i smíšených strategií. Zcela smíšená strategie (totally mixed strategy) představuje smíšenou strategii přiřazující nenulové ohodnocení všem ryzím strategiím hráče.
Například, máme-li hru dvou hráčů s trojicí možných ryzích strategií pro každého, pak [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] θ1 = {0, 0.5, 0.5}, θ2 = {0.1, 0.4, 0.5} představují smíšenou strategii fakticky eliminující první strategii prvního hráče. Kombinaci [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] θ1 = {1/3, 1/3, 1/3} a θ2 = {1/3, 1/3, 1/3} naopak můžeme označit jako naprosto smíšenou strategii.</div>

<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;font-weight: regular;text-align:center;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">O smíšené strategii (mixed strategy) hráče mluvíme, pokud se pro strategii rozhoduje právě na základě přesvědčení (pravděpodobnostního rozdělení). Ryzí strategii (pure strategy) lze považovat za typ smíšené strategie, kde se pravděpodobnostní ohodnocení rovná jedné.<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref></div>

== Nashovo equilibrium ve smíšené strategii ==
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Rozlišujeme [[Nash equilibrium/cs|Nashovu rovnováhu]] ryzí strategie a rovnováhu smíšené strategie. V ryzí rovnovážné strategii hrají všichni hráči ryzí strategie, zatímco ve smíšené rovnovážné strategii alespoň jeden z nich používá [[#Smíšené strategie|strategie smíšené]]. [[John Forbes Nash/cs|John Forbes Nash]] dokázal<ref name="nash">Nash, John. ''Equilibrium points in n-person games''. Proceedings of the National Academy of Sciences, 1950, 36(1):48-49.</ref>, že každá konečná hra má [[Nash equilibrium/cs|Nashovy rovnováhy]], avšak nemusí jít o rovnováhu pouze v ryzích strategiích. Každá hra má tedy své [[Nash equilibrium/cs|Nashovo equilibrium]] alespoň v případě, že je hrána probabilisticky, jedná se pak o smíšenou rovnovážnou strategii.

</div>
<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;background-color: #F0FFFF;text-align:center;font-size:1.2em;">Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží nebo v nejlepším případě zůstane stejná<ref name="dlouhy">Dlouhý, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref> Každá hra má Nashovy rovnováhy, v rámci ryzích nebo alespoň v rámci smíšených strategií.<ref name="nash">Nash, John. ''Equilibrium points in n-person games''. Proceedings of the National Academy of Sciences, 1950, 36(1):48-49.</ref></div>

=== Richardova hra ===
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Richard si je vědom, že dosáhl pomocí [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] formalizace, díky které může vybrat racionálnější variantu. Zvolit strategii na základě očekávaného výnosu není špatné<ref name="turban">Turban, Efraim. ''Fundamentals of Management Science /Základy vědy o řízení: an introduction to game theory.'' 4.Ed. Plano: Business Publications, Inc., 1988, 915 s. ISBN 02-560-6256-0. </ref>, problémem je však, že kvalita takového rozhodnutí se odvíjí od kvality použitého [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], kterým strategie ohodnotil. Proto začíná spíše uvažovat, zda-li se nemůže zaměřit pouze na původní model hry a ten analyticky rozebrat. Nemá-li například hra samotná žádného [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]] v ryzích strategiích, nebylo by možné jej nalézt právě pomocí kombinace probabilistických [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]]?
Zkusme si tedy ke každé ryzí strategii přiřadit proměnnou značící pravděpodobnost volby. U každého hráče si vystačíme pouze s jednou proměnnou, víme totiž, že ohodnocení všech strategií hráče se v součtu musí rovnat jedné a proto lze ohodnocení druhé strategie vyjádřit jako 1 - p, respektive 1 - q.

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | RICHARD
|-
| rowspan="6" style="text-align: center; font-weight: bold;" | RONALDHINO
|
| VĚŘIT
| NEVĚŘIT
|-
|
| q
| 1 - q
|-
| BLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
|-
| p
|-
| NEBLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
|-
| 1 - p
|}
Hledáme takové [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], které nám v rámci hráčových strategií poskytne stejnou váženou výplatu pro každou strategii a které bude v kombinaci s druhým splňovat podmínky [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. Máme zatím jen obecný popis takového systému [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] ([[#Smíšené strategie|smíšené strategie]]), kde θ1 = {q, 1 - q} a θ2 = {p, 1 - p}. Stejně jako jsme počítali očekávaný výnos, využijme pro všechny strategie vyjádření do čtveřice následujících rovnic. V podstatě provádíme citlivostní analýzu.<ref name="turban">Turban, Efraim. ''Fundamentals of Management Science /Základy vědy o řízení: an introduction to game theory.'' 4.Ed. Plano: Business Publications, Inc., 1988, 915 s. ISBN 02-560-6256-0.</ref> 
u1(Věřit, θ2) = 1 • p + 0 • (1 - p) = p 
u1(Nevěřit, θ2) = 0 • p + 1 • (1 - p) = 1 - p 
u2(Blufovat, θ1) = 1 • q + 0 • (1 - q) = q 
u2(Neblufovat, θ1) = 0 • q + 1 • (1 - q) = 1 - q 
Jak už bylo řečeno, nashově-rovnovážná smíšená strategie povede hráče k indiferentnímu výběru mezi jeho základními (ryzími strategiemi). V tomto typu hry dvou hráčů můžeme soustavu rovnic dopočítat srovnáním vyjádření pravděpodnosti první a druhé strategie každého hráče. 
Pro p tedy: p = 1 - p 
2p = 1 
p = 0.5 
A dále pro q: 
q = 1 - q 
2q = 1 
q = 0.5 
[[#Smíšené strategie|Smíšená strategie]] zajišťující [[Nash equilibrium/cs|Nashovo equilibrium]] se tedy nachází v podobě profilu ((q, 1 - q), (p, 1 - p)), tedy konkrétně vyčísleno ((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)). Což znamená, že každý z hráčů by měl v polovině případů volit první strategii, v druhé polovině druhou. Richard zjišťuje, že bez zvláštních [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], je z povahy hry pro zajištění [[Nash equilibrium/cs|Nashovy rovnováhy]] nejvhodnější rovnoměrně rozdělit volené strategie mezi jednotlivé pokusy. Tedy v případě jeho problému tří penaltových kopů jednou zvolit první strategii, jednou druhou a napotřetí si nejspíš hodit mincí.
Ve světle zjištěné rovnovážné smíšené strategie můžeme prohlásit, že [[#Smíšené strategie|smíšená strategie]] z příkladu 3, o které Richard mohl uvažovat, by nebyla rovnovážná.
</div>

=== Hledání rovnovážné smíšené strategie obecně ===
<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:left;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">Pro nalezení rovnovážné smíšené strategie lze obecně doporučit následující postup<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>: 
1. Odstranění ze hry všech silně dominovaných strategií procedůrou iterovaného dominování. 
2. Zaměření pozornosti pouze na vzniklou relevantní podhru původní hry. 
3. Vyjádření smíšených pravděpodobností, díky kterým je hráč indiferentní mezi relevantními ryzími strategiemi. 
4. Vyčíslit rovnice smíšených pravděpodobností, čímž je získán rovnovážný profil.
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Pokusme se nyní nalézt rovnovážnou smíšenou strategii v obecnějším a komplikovanějším případu<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>.
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
! Z
|-
| A
| 0 5
| 2 3
| 2 3
|-
| B
| 2 3
| 0 5
| 3 2
|-
| C
| 5 0
| 3 2
| 2 3
|}

V prvním kroku si ověřujeme, zda-li některá ze strategií není dominována ryzí nebou smíšenou strategií. Zjišťujeme, že lze [[#Smíšené strategie|smíšenou strategií]] (B,C) dominovat strategii A. 
Důkaz o dominanci A je následující: 
2p + 5(1 - 5) > 0 
0p + 3(1 - p) > 2 
3p + 2(1 - p) > 2 
Vyjádřená omezení p: 
p < 5/3 
p < 1/3 
p > 0 
Hodnotu pro proměnnou p omezenou předchozími nerovnicemi lze nalézt. Strategie A tedy nebude součástí řešení. Po jejím odstranění si všímáme u strategií druhého hráče, že strategie X je dominována Y. I tu můžeme tedy vyloučit. Zbývají nám relevantní strategie (B,C) x (Y,Z).

{| class="wikitable"
!
! Y
! Z
|-
| B
| 0 5
| 3 2
|-
| C
| 3 2
| 2 3
|}

Řešíme uvedenou podhru původní hry. Rovnovážnou [[#Smíšené strategie|smíšenou strategii]] definujme jako (p, 1 - p) x (q, 1 - q), z čehož nám po dopočtení vychází profil (1/4, 3/4) x (1/4, 3/4). Respektive (0, 1/4, 3/4) x (0, 1/4, 3/4) pro původní hru.</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
'''Příklad 4''' Uvažte následující hru a nalezněte všechna [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. 
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
|-
| A
| 2 8
| 5 8
|-
| B
| 3 4
| 4 0
|}
'''Příklad 5''' Uvažte následující hru a nalezněte všechna [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. 
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
|-
| A
| 2 4
| 5 -1
|-
| B
| 4 -1
| 4 0
|}
'''Příklad 6''' Nalezněte rovnovážnou smíšenou strategii pro případ hry kámen, nůžky, papír. (příklad lze řešit odhadem)</div>

= Dovětek =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Z předchozích příkladů je patrné, že hledání smíšené rovnovážné strategie není problematické v případě matic 2 x 2. Pro ruční řešení se s takovými maticemi setkáte nejčastěji. Případně, pokud je hra [[Symmetric game/cs|symetrická]], je možné rovnovážnou smíšenou strategii ještě odvodit úvahou i u rozměrnějších her jako například u hry kámen, nůžky, papír. Problematičtější jsou ale rozlehlejší matice, u kterých je nezbytné hru chápat jako úlohu [[Linear programming/cs|lineárního programování]] a řešit pomocí algoritmu (například [[Simplex method/cs|simplexová metoda]]). Nebo musíme využít specializovaných alogritmů (například [[Lemke-Howson algorithm/cs|Lemke-Howson algoritmus]]).
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Tím kapitola končí. A ptáte se, co se stalo toho večera ve Wembley? Richard strávil v brance hezké chvilky nad [[Game theory/cs|teorií her]], při kterých si uvědomil spoustu nového o možnostech řešení a hledání [[Nash equilibrium/cs|rovnovážných stavů]]. Nakonec jej všechno to poznání přivedlo k myšlence, že nebude vůbec špatné dát na fotbalistu Čecha, a jeho oprýskané rukavice, které mají přinášet štěstí, si navléci. Když tak učinil, odložil solární kalkulačku s notýskem k jedné z brankových tyčí, zvedl hlavu od zeleného pažitu, rozhlédl se a zjistil, že stadión je už dávno prázdný. Zůstal tam úplně sám. Zatímco počítal a zkoušel všechny možnosti, Ronaldhino, Beckham a Suchopárek se rozhodli dát na charitu všechny peníze, co jim jejich sponzoři přidělili. Jen tak. Pro dobro věci. A hlavně aby všichni mohli být brzo doma. S tím Richard sice vůbec nepočítal, ale za ty nově nabyté znalosti to určitě stojí. A navíc, získal přece rukavice Petra Čecha. A ty by na eBayi něco málo taky mohly hodit!
</div>
= Výsledky příkladů =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Příklad 1 
u1(Věřit,θ2) = 0.2 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.8 
Příklad 2 
u1(Věřit,θ2) = 0.3 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.7 
Příklad 3 
u1(θ1,θ2) = 0.4 • 0.7 • 0 + 0.4 • 0.3 • 1 + 0.6 • 0.7 • 1 + 0.6 • 0.3 • 0 = 0.54 
u2(θ1,θ2) = 0.7 • 0.4 • 1 + 0.7 • 0.6 • 0 + 0.3 • 0.4 • 0 + 0.3 • 0.6 • 1 = 0.46 
u(θ1,θ2) = 0.54 + 0.46 = 1
Příklad 4 
Hra má v ryzích strategiích dvojici NE (B,X) a (A,Y), kde pareto-optimální je (A,Y). V případě rovnovážné smíšené strategie pak dosáhneme přesvědčení (1/2, 1/2) x (1, 0).

Příklad 5 
Hra nemá v ryzích strategiích žádné NE. Hledání smíšené rovnovážné strategie nás dovede k profilu (1/3, 2/3) x (1/6, 5/6).

Příklad 6 
Opět hledáme takový mix pravděpodobností, který učiní hráče indiferentním mezi jeho strategiemi. Rovnovážným řešením je proto pro oba hráče přesvědčení (1/3, 1/3, 1/3).</div> 

= Reference =
<references/>

= Doporučená literatura =
1. Carmichael, Fiona. A guide to game theory: an introduction to game theory. 1st ed. New York: Financial Times Prentice Hall, 2005, xiii, 286 p. ISBN 02-736-8496-5. 
2. Shomam, Kevin Leyton-Brown and Yoav. Essentials of game theory a concise, multidisciplinary introduction: an introduction to game theory. 1st ed. San 3. Rafael, Calif.: Morgan, 2008, 915 s. ISBN 978-159-8295-931. 
3. Watson, Joel. Strategy: an introduction to game theory. Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.

Mixed strategy/cs

2014-06-18T21:57:00Z

Xvalm48:

{{DISPLAYTITLE:Smíšené strategie}}

= Úvod =
<div>V této kapitole budete seznámeni s konceptem smíšené strategie, kde bude postupně vysvětlen jeho význam a možnosti použití pro analýzu a řešení her. Kapitola se skládá z obsahu trojího typu odlišeného barvou.
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #00BFFF;margin: 0px 0px 1px 10px;">Modrým zvýrazněním jsou označeny obecné definice a poznatky shrnující výklad.</div>
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #228B22;margin: 0px 0px 1px 10px;">Zelené zvýraznění ohraničuje výklad.</div>
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #FF4500;margin: 0px 0px 1px 10px;">Oranžová značí procvičující otázky, na které naleznete odpověď na konci stránky.</div></div>

= Přesvědčení hráče =
<div>Pro srozumitelnější vysvětlení navazujícího konceptu [[#Smíšené strategie|smíšených strategií]] bude první část věnována podřízenému konstruktu teorie her - [[#Přesvědčení hráče|hráčově přesvědčení]].</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Na stadionu ve Wembley je po letech zase pekelně živo. V charitativní exhibiční show tak dobré, že se ji chystá přenášet i Česká televize, se před čáru na pokutový kop připravuje trojice naprosto legendárních hráčů. Trojka fotbalových es ozkouší kvality jednoho vylosovaného fanouška, který se pokusí chycením míče krom své prestiže získat i nějaké peníze pro dobrou věc. Na základě očíslovaných vstupenek je ze skandujícího davu vybrán Richard H., shodou okolností absolvent Vysoké školy ekonomické se silně rozvinutým smyslem pro statistiku a matematizaci čehokoliv a za každou cenu. Richard se chvilku po rozsvícení svého obličeje na videokostce nad stadionem pro 90 000 diváků ani nehne. Jen pozorně přejíždí zrakem po přeplněných tribunách, vyprázdněném, zeleném hřišti a hloučku extraligových hráčů připravených u brány. Několikrát se nadechne, vyrovná ramena, z kapsy od saka vytáhne kalkulačku, a neohroženě sestupuje k hřišti. Cestou dolů, skrze sprostě a anglicky křičící diváky mu zrovna běží hlavou: "Zatraceně Richarde, byls vybrán, abys reprezentoval tady na charitativní exhibici a postavil se velkejm hvězdám. Nebude zas taková ostuda, když ten míč nechytíš. Vždyť první kope Ronaldhino!" 
<div style="float:right;padding: 10px;">[[File:goalkeeper.jpg|240 px|Fotbalový brankář]]</div>
Pokračuje dál, přeskakuje sedačky a mračí se: "Možná bys ale mohl svůj gólmanský úkol formalizovat jako nějakou matematickou úlohu. To by tě i bavilo. Možná použít koncepty [[Game theory/cs|teorie her]]?"
Richarda dole u zábradlí míjí jeden z českých fanoušků, náhodou také nějaký fotbalista, a podává mu svoje gólmanské rukavice: "Já jsem Čech. Tyhle rukavice vám přinesou štěstí." "Já zase Richard, děkuju," přebírá ošoupanou výstroj s logem Chelsea a suverenně ji zastrkává do kalhot. Jeho sebejistý úsměv značí, že je pro výhru v následujícím klání nebude potřebovat. Uvědomil si: "Fotbalista kopající penaltu má v zásadě jen dvě možnosti, jak kopnout. Buď se pokusí mne mást tělem, naznačí mi směr a pak kopne jeho opak. Nebo se blufovat nepokusí a náznak směru jeho těla bude odpovídat i hranému směru míče..." 
Richard si postupně potřásá rukou s Ronaldhinem, Beckhamem a Janem Suchopárkem z pražské Slavie. Největšími fotbalisty všech dob. Pak se se skrývaným smíchem běží připravit do brány: "To je jasné. Vypíšu si všechny možnosti do bloku a prostě to spočítám! Konečně efektně uplatním něco, co jsem naučil na škole!" 
Ronaldhino si nervózně kontroluje kopačky na suchý zip, odtušil, že netypický gólman nebude nejsnadnějším soupeřem. Stadion křičí nedočkavostí. Na trávník dopadávají první zapálené dýmovnice. Ty ale matematikovu koncentrovanou mysl v tandemu s precizně sepsanými zápisky a solárně napájenou kalkulačkou nemohou zastavit...
 Ponechme napjatou atmosféru ve Wembley na chvíli stranou a rozeberme, s jakou logikou si Richard poznačoval do svého bloku.
 

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 1 RICHARD
|-
| rowspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 2 RONALDHINO
|
| VĚŘIT
| NEVĚŘIT
|-
| BLUFOVAT
| style="text-align: center;" | 1 0
| style="text-align: center;" | 0 1
|-
| NEBLUFOVAT
| style="text-align: center;" | 0 1
| style="text-align: center;" | 1 0
|}

Ze zápisu je patrné, že se jedná o hru uspořádanou v [[Normal form/cs|normálové formě]], neboli o [[Payoff matrix/cs|výplatní matici]] dvou hráčů (Richarda a Ronaldhina) a jejich hratelných možností. Ronaldhino disponuje dvojicí strategií {BLUFOVAT, NEBLUFOVAT}, Richard oproti tomu {VĚŘIT a jít v naznačeném směru, NEVĚŘIT a jít v opačném směru}. V případě, že Richard míč chytí, rovná se jeho výplata jedné, Ronaldhinova nule. A naopak. 
Touto formalizací problému, ale Richard nekončí, protože by mu s řešením problému zatím zvlášť nepomohla. Zaznamenaná hra je konfliktní, [[Antagonistic game/cs|antagonistická]] a nemá žádné [[Dominated strategy/cs|dominované strategie]] nebo [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. Těmito koncepty řešení se tedy ke zjištění nejvhodnější strategie nedobereme. Richard proto přemýšlí, jak do svého modelu hry zapracovat i všechny další informace, které jsou o fotbalu dostupné.
Tak například ví, že Ronaldhino a Beckham jsou hvězdy velkých klubů, protřelí blufaři, relativně málo hrající v naznačeném směru. Zatímco ale Suchopárek, podle statistik, zase blufuje jen výjimečně. Zároveň je jasné, že Richard sám nemá žádné zvláštní inklinace z hlediska důvěřivosti nebo nedůvěřivosti. Richard se proto pokouší využít všechny tyto nadstandardní informace, které je možno vyjádřit skrze sestavu pravděpodobností, o kterou bude rozhodování v rámci hry obohaceno.

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 1 RICHARD
|-
| rowspan="6" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 2 RONALDHINO
|
| VĚRIT
| NEVĚŘIT
|-
|
| -
| -
|-
| BLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
|-
| 75 % (0.75)
|-
| NEBLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
|-
| 25 % (0.25)
|}

Přiřazením profilu pravděpodobností ke každé protihráčově variantě Richard vlastně vložil do problému dimenzi poměrného [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] o protihráči, respektive jeho strategiích. Ohodnocení strategie v rámci přesvědčení z logiky věci nabývá hodnot od nuly do jedné. 
Zápis [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] druhého hráče (Ronaldhina) se běžně zapisuje následujícím způsobem<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>: 
θ2 = {0.75, 0.25}

Přidání dimenze [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] umožňuje spočítat očekávaný výnos každé strategie. Očekávaný výnos je pak vlastně jen součtem zhodnocených výplat pro každou strategii. 
u1(Věřit,θ2) = 0.75 • 0 + 0.25 • 1 = 0.25 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.75 • 0.5 • 1 + 0.25 • 0 = 0.75 
 
Z očekávaných výnosů a za předpokladu jeho maximalizace je jasné, že pro Richarda je nejlepší Ronaldhinovi nevěřit. Naopak Ronaldhino nemůže využít specifického [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] o Richardových preferencích a proto je mezi svými volbami indiferentní.
</div>

<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;font-weight: regular;text-align:center;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">Přesvědčením hráče (belief) označujeme pravděpodobnostní ohodnocení nad strategiemi ostatních hráčů.<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
'''Příklad 1''' Jaký bude předpokládaný výnos v případě, že Richard bude chytat druhý kop Beckhama? Beckhamovy strategie jsou podřízeny [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] následovně θ2 = {0.8, 0.2}. [[#Přesvědčení hráče|Přesvědčení]] o Richardových strategiích není definováno. '''Příklad 2''' A jaký bude předpokládaný výnos v případě třetí penalty, kopnuté Janem Suchopárkem? Suchopárkovy strategie jsou podřízeny následovně θ2 = {0.3, 0.7}. [[#Přesvědčení hráče|Přesvědčení]] o Richardových strategiích není definováno. '''Příklad 3''' Jaký bude předpokládaný výnos hry pro oba dva hráče v případě, že budou o obou hráčích známy následující [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]]? θ1 = {0.4, 0.6}; θ2 = {0.7, 0.3}. A jaký bude v takovém případě celkový výnos hry?</div>
 

= Smíšené strategie =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Předchozím konceptem [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] lze podložit následující terminologické rozdělení strategií, které se v [[Game theory/cs|teorii her]] používá. 
Ryzí strategie (pure strategy) zavazuje hráče deterministicky bez možnosti pravděpodobnostního ohodnocení (respektive ohodnocení se vždy rovná jedné). Smíšená strategie (mixed strategy) odpovídá sestavě [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] přiřazující ryzím strategiím specifické probabilistické ohodnocení. A ačkoliv množina ryzích strategií každého hráče je konečná, díky spojitosti probabilistického ohodnocení lze na základě konečného setu ryzích strategií definovat nekonečné množství [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] a tedy i smíšených strategií. Zcela smíšená strategie (totally mixed strategy) představuje smíšenou strategii přiřazující nenulové ohodnocení všem ryzím strategiím hráče.
Například, máme-li hru dvou hráčů s trojicí možných ryzích strategií pro každého, pak [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] θ1 = {0, 0.5, 0.5}, θ2 = {0.1, 0.4, 0.5} představují smíšenou strategii fakticky eliminující první strategii prvního hráče. Kombinaci [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] θ1 = {1/3, 1/3, 1/3} a θ2 = {1/3, 1/3, 1/3} naopak můžeme označit jako naprosto smíšenou strategii.</div>

<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;font-weight: regular;text-align:center;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">O smíšené strategii (mixed strategy) hráče mluvíme, pokud se pro strategii rozhoduje právě na základě přesvědčení (pravděpodobnostního rozdělení). Ryzí strategii (pure strategy) lze považovat za typ smíšené strategie, kde se pravděpodobnostní ohodnocení rovná jedné.<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref></div>

== Nashovo equilibrium ve smíšené strategii ==
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Rozlišujeme [[Nash equilibrium/cs|Nashovu rovnováhu]] ryzí strategie a rovnováhu smíšené strategie. V ryzí rovnovážné strategii hrají všichni hráči ryzí strategie, zatímco ve smíšené rovnovážné strategii alespoň jeden z nich používá [[#Smíšené strategie|strategie smíšené]]. [[John Forbes Nash/cs|John Forbes Nash]] dokázal<ref name="nash">Nash, John. ''Equilibrium points in n-person games''. Proceedings of the National Academy of Sciences, 1950, 36(1):48-49.</ref>, že každá konečná hra má [[Nash equilibrium/cs|Nashovy rovnováhy]], avšak nemusí jít o rovnováhu pouze v ryzích strategiích. Každá hra má tedy své [[Nash equilibrium/cs|Nashovo equilibrium]] alespoň v případě, že je hrána probabilisticky, jedná se pak o smíšenou rovnovážnou strategii.

</div>
<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;background-color: #F0FFFF;text-align:center;font-size:1.2em;">Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží nebo v nejlepším případě zůstane stejná<ref name="dlouhy">Dlouhý, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref> Každá hra má Nashovy rovnováhy, v rámci ryzích nebo alespoň v rámci smíšených strategií.<ref name="nash">Nash, John. ''Equilibrium points in n-person games''. Proceedings of the National Academy of Sciences, 1950, 36(1):48-49.</ref></div>

=== Richardova hra ===
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Richard si je vědom, že dosáhl pomocí [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] formalizace, díky které může vybrat racionálnější variantu. Zvolit strategii na základě očekávaného výnosu není špatné<ref name="turban">Turban, Efraim. ''Fundamentals of Management Science /Základy vědy o řízení: an introduction to game theory.'' 4.Ed. Plano: Business Publications, Inc., 1988, 915 s. ISBN 02-560-6256-0. </ref>, problémem je však, že kvalita takového rozhodnutí se odvíjí od kvality použitého [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], kterým strategie ohodnotil. Proto začíná spíše uvažovat, zda-li se nemůže zaměřit pouze na původní model hry a ten analyticky rozebrat. Nemá-li například hra samotná žádného [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]] v ryzích strategiích, nebylo by možné jej nalézt právě pomocí kombinace probabilistických [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]]?
Zkusme si tedy ke každé ryzí strategii přiřadit proměnnou značící pravděpodobnost volby. U každého hráče si vystačíme pouze s jednou proměnnou, víme totiž, že ohodnocení všech strategií hráče se v součtu musí rovnat jedné a proto lze ohodnocení druhé strategie vyjádřit jako 1 - p, respektive 1 - q.

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | RICHARD
|-
| rowspan="6" style="text-align: center; font-weight: bold;" | RONALDHINO
|
| VĚŘIT
| NEVĚŘIT
|-
|
| q
| 1 - q
|-
| BLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
|-
| p
|-
| NEBLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
|-
| 1 - p
|}
Hledáme takové [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], které nám v rámci hráčových strategií poskytne stejnou váženou výplatu pro každou strategii a které bude v kombinaci s druhým splňovat podmínky [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. Máme zatím jen obecný popis takového systému [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] ([[#Smíšené strategie|smíšené strategie]]), kde θ1 = {q, 1 - q} a θ2 = {p, 1 - p}. Stejně jako jsme počítali očekávaný výnos, využijme pro všechny strategie vyjádření do čtveřice následujících rovnic. V podstatě provádíme citlivostní analýzu.<ref name="turban">Turban, Efraim. ''Fundamentals of Management Science /Základy vědy o řízení: an introduction to game theory.'' 4.Ed. Plano: Business Publications, Inc., 1988, 915 s. ISBN 02-560-6256-0.</ref> 
u1(Věřit, θ2) = 1 • p + 0 • (1 - p) = p 
u1(Nevěřit, θ2) = 0 • p + 1 • (1 - p) = 1 - p 
u2(Blufovat, θ1) = 1 • q + 0 • (1 - q) = q 
u2(Neblufovat, θ1) = 0 • q + 1 • (1 - q) = 1 - q 
Jak už bylo řečeno, nashově-rovnovážná smíšená strategie povede hráče k indiferentnímu výběru mezi jeho základními (ryzími strategiemi). V tomto typu hry dvou hráčů můžeme soustavu rovnic dopočítat srovnáním vyjádření pravděpodnosti první a druhé strategie každého hráče. 
Pro p tedy: p = 1 - p 
2p = 1 
p = 0.5 
A dále pro q: 
q = 1 - q 
2q = 1 
q = 0.5 
[[#Smíšené strategie|Smíšená strategie]] zajišťující [[Nash equilibrium/cs|Nashovo equilibrium]] se tedy nachází v podobě profilu ((q, 1 - q), (p, 1 - p)), tedy konkrétně vyčísleno ((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)). Což znamená, že každý z hráčů by měl v polovině případů volit první strategii, v druhé polovině druhou. Richard zjišťuje, že bez zvláštních [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], je z povahy hry pro zajištění [[Nash equilibrium/cs|Nashovy rovnováhy]] nejvhodnější rovnoměrně rozdělit volené strategie mezi jednotlivé pokusy. Tedy v případě jeho problému tří penaltových kopů jednou zvolit první strategii, jednou druhou a napotřetí si nejspíš hodit mincí.
Ve světle zjištěné rovnovážné smíšené strategie můžeme prohlásit, že [[#Smíšené strategie|smíšená strategie]] z příkladu 3, o které Richard mohl uvažovat, by nebyla rovnovážná.
</div>

=== Hledání rovnovážné smíšené strategie obecně ===
<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:left;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">Pro nalezení rovnovážné smíšené strategie lze obecně doporučit následující postup<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>: 
1. Odstranění ze hry všech silně dominovaných strategií procedůrou iterovaného dominování. 
2. Zaměření pozornosti pouze na vzniklou relevantní podhru původní hry. 
3. Vyjádření smíšených pravděpodobností, díky kterým je hráč indiferentní mezi relevantními ryzími strategiemi. 
4. Vyčíslit rovnice smíšených pravděpodobností, čímž je získán rovnovážný profil.
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Pokusme se nyní nalézt rovnovážnou smíšenou strategii v obecnějším a komplikovanějším případu<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>.
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
! Z
|-
| A
| 0 5
| 2 3
| 2 3
|-
| B
| 2 3
| 0 5
| 3 2
|-
| C
| 5 0
| 3 2
| 2 3
|}

V prvním kroku si ověřujeme, zda-li některá ze strategií není dominována ryzí nebou smíšenou strategií. Zjišťujeme, že lze [[#Smíšené strategie|smíšenou strategií]] (B,C) dominovat strategii A. 
Důkaz o dominanci A je následující: 
2p + 5(1 - 5) > 0 
0p + 3(1 - p) > 2 
3p + 2(1 - p) > 2 
Vyjádřená omezení p: 
p < 5/3 
p < 1/3 
p > 0 
Hodnotu pro proměnnou p omezenou předchozími nerovnicemi lze nalézt. Strategie A tedy nebude součástí řešení. Po jejím odstranění si všímáme u strategií druhého hráče, že strategie X je dominována Y. I tu můžeme tedy vyloučit. Zbývají nám relevantní strategie (B,C) x (Y,Z).

{| class="wikitable"
!
! Y
! Z
|-
| B
| 0 5
| 3 2
|-
| C
| 3 2
| 2 3
|}

Řešíme uvedenou podhru původní hry. Rovnovážnou [[#Smíšené strategie|smíšenou strategii]] definujme jako (p, 1 - p) x (q, 1 - q), z čehož nám po dopočtení vychází profil (1/4, 3/4) x (1/4, 3/4). Respektive (0, 1/4, 3/4) x (0, 1/4, 3/4) pro původní hru.</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
'''Příklad 4''' Uvažte následující hru a nalezněte všechna [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. 
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
|-
| A
| 2 8
| 5 8
|-
| B
| 3 4
| 4 0
|}
'''Příklad 5''' Uvažte následující hru a nalezněte všechna [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. 
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
|-
| A
| 2 4
| 5 -1
|-
| B
| 4 -1
| 4 0
|}
'''Příklad 6''' Nalezněte rovnovážnou smíšenou strategii pro případ hry kámen, nůžky, papír. (příklad lze řešit odhadem)</div>

= Dovětek =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Z předchozích příkladů je patrné, že hledání smíšené rovnovážné strategie není problematické v případě matic 2 x 2. Pro ruční řešení se s takovými maticemi setkáte nejčastěji. Případně, pokud je hra [[Symmetric game/cs|symetrická]], je možné rovnovážnou smíšenou strategii ještě odvodit úvahou i u rozměrnějších her jako například u hry kámen, nůžky, papír. Problematičtější jsou ale rozlehlejší matice, u kterých je nezbytné hru chápat jako úlohu [[Linear programming/cs|lineárního programování]] a řešit pomocí algoritmu (například [[Simplex method/cs|simplexová metoda]]). Nebo musíme využít specializovaných alogritmů (například [[Lemke-Howson algorithm/cs|Lemke-Howson algoritmus]]).
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Tím kapitola končí. A ptáte se, co se stalo toho večera ve Wembley? Richard strávil v brance hezké chvilky nad [[Game theory/cs|teorií her]], při kterých si uvědomil spoustu nového o možnostech řešení a hledání [[Nash equilibrium/cs|rovnovážných stavů]]. Nakonec jej všechno to poznání přivedlo k myšlence, že nebude vůbec špatné dát na fotbalistu Čecha, a jeho oprýskané rukavice, které mají přinášet štěstí, si navléci. Když tak učinil, odložil solární kalkulačku s notýskem k jedné z brankových tyčí, zvedl hlavu od zeleného pažitu, rozhlédl se a zjistil, že stadión je už dávno prázdný. Zůstal tam úplně sám. Zatímco počítal a zkoušel všechny možnosti, Ronaldhino, Beckham a Suchopárek se rozhodli dát na charitu všechny peníze, co jim jejich sponzoři přidělili. Jen tak. Pro dobro věci. A hlavně aby všichni mohli být brzo doma. S tím Richard sice vůbec nepočítal, ale za ty nově nabyté znalosti to určitě stojí. A navíc, získal přece rukavice Petra Čecha. A ty by na eBayi něco málo taky mohly hodit!
</div>
= Výsledky příkladů =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Příklad 1 
u1(Věřit,θ2) = 0.2 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.8 
Příklad 2 
u1(Věřit,θ2) = 0.3 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.7 
Příklad 3 
u1(θ1,θ2) = 0.4 • 0.7 • 0 + 0.4 • 0.3 • 1 + 0.6 • 0.7 • 1 + 0.6 • 0.3 • 0 = 0.54 
u2(θ1,θ2) = 0.7 • 0.4 • 1 + 0.7 • 0.6 • 0 + 0.3 • 0.4 • 0 + 0.3 • 0.6 • 1 = 0.46 
u(θ1,θ2) = 0.54 + 0.46 = 1
Příklad 4 
Hra má v ryzích strategiích dvojici NE (B,X) a (A,Y), kde pareto-optimální je (A,Y). V případě rovnovážné smíšené strategie pak dosáhneme přesvědčení (1/2, 1/2) x (1, 0).

Příklad 5 
Hra nemá v ryzích strategiích žádné NE. Hledání smíšené rovnovážné strategie nás dovede k profilu (1/3, 2/3) x (1/6, 5/6).

Příklad 6 
Opět hledáme takový mix pravděpodobností, který učiní hráče indiferentním mezi jeho strategiemi. Rovnovážným řešením je proto pro oba hráče přesvědčení (1/3, 1/3, 1/3).</div> 

= Reference =
<references/>

= Doporučená literatura =
1. Carmichael, Fiona. A guide to game theory: an introduction to game theory. 1st ed. New York: Financial Times Prentice Hall, 2005, xiii, 286 p. ISBN 02-736-8496-5. 
2. Shomam, Kevin Leyton-Brown and Yoav. Essentials of game theory a concise, multidisciplinary introduction: an introduction to game theory. 1st ed. San 3. Rafael, Calif.: Morgan, 2008, 915 s. ISBN 978-159-8295-931. 
3. Watson, Joel. Strategy: an introduction to game theory. Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.

Mixed strategy/cs

2014-06-18T20:03:59Z

Xvalm48: /* Hledání rovnovážné smíšené strategie obecně */

= Úvod =
<div>V této kapitole budete seznámeni s konceptem smíšené strategie, kde bude postupně vysvětlen jeho význam a možnosti použití pro analýzu a řešení her. Kapitola se skládá z obsahu trojího typu odlišeného barvou.
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #00BFFF;margin: 0px 0px 1px 10px;">Modrým zvýrazněním jsou označeny obecné definice a poznatky shrnující výklad.</div>
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #228B22;margin: 0px 0px 1px 10px;">Zelené zvýraznění ohraničuje výklad.</div>
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #FF4500;margin: 0px 0px 1px 10px;">Oranžová značí procvičující otázky, na které naleznete odpověď na konci stránky.</div></div>

= Přesvědčení hráče =
<div>Pro srozumitelnější vysvětlení navazujícího konceptu [[#Smíšené strategie|smíšených strategií]] bude první část věnována podřízenému konstruktu teorie her - [[#Přesvědčení hráče|hráčově přesvědčení]].</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Na stadionu ve Wembley je po letech zase pekelně živo. V charitativní exhibiční show tak dobré, že se ji chystá přenášet i Česká televize, se před čáru na pokutový kop připravuje trojice naprosto legendárních hráčů. Trojka fotbalových es ozkouší kvality jednoho vylosovaného fanouška, který se pokusí chycením míče krom své prestiže získat i nějaké peníze pro dobrou věc. Na základě očíslovaných vstupenek je ze skandujícího davu vybrán Richard H., shodou okolností absolvent Vysoké školy ekonomické se silně rozvinutým smyslem pro statistiku a matematizaci čehokoliv a za každou cenu. Richard se chvilku po rozsvícení svého obličeje na videokostce nad stadionem pro 90 000 diváků ani nehne. Jen pozorně přejíždí zrakem po přeplněných tribunách, vyprázdněném, zeleném hřišti a hloučku extraligových hráčů připravených u brány. Několikrát se nadechne, vyrovná ramena, z kapsy od saka vytáhne kalkulačku, a neohroženě sestupuje k hřišti. Cestou dolů, skrze sprostě a anglicky křičící diváky mu zrovna běží hlavou: "Zatraceně Richarde, byls vybrán, abys reprezentoval tady na charitativní exhibici a postavil se velkejm hvězdám. Nebude zas taková ostuda, když ten míč nechytíš. Vždyť první kope Ronaldhino!" 
<div style="float:right;padding: 10px;">[[File:goalkeeper.jpg|240 px|Fotbalový brankář]]</div>
Pokračuje dál, přeskakuje sedačky a mračí se: "Možná bys ale mohl svůj gólmanský úkol formalizovat jako nějakou matematickou úlohu. To by tě i bavilo. Možná použít koncepty [[Game theory/cs|teorie her]]?"
Richarda dole u zábradlí míjí jeden z českých fanoušků, náhodou také nějaký fotbalista, a podává mu svoje gólmanské rukavice: "Já jsem Čech. Tyhle rukavice vám přinesou štěstí." "Já zase Richard, děkuju," přebírá ošoupanou výstroj s logem Chelsea a suverenně ji zastrkává do kalhot. Jeho sebejistý úsměv značí, že je pro výhru v následujícím klání nebude potřebovat. Uvědomil si: "Fotbalista kopající penaltu má v zásadě jen dvě možnosti, jak kopnout. Buď se pokusí mne mást tělem, naznačí mi směr a pak kopne jeho opak. Nebo se blufovat nepokusí a náznak směru jeho těla bude odpovídat i hranému směru míče..." 
Richard si postupně potřásá rukou s Ronaldhinem, Beckhamem a Janem Suchopárkem z pražské Slavie. Největšími fotbalisty všech dob. Pak se se skrývaným smíchem běží připravit do brány: "To je jasné. Vypíšu si všechny možnosti do bloku a prostě to spočítám! Konečně efektně uplatním něco, co jsem naučil na škole!" 
Ronaldhino si nervózně kontroluje kopačky na suchý zip, odtušil, že netypický gólman nebude nejsnadnějším soupeřem. Stadion křičí nedočkavostí. Na trávník dopadávají první zapálené dýmovnice. Ty ale matematikovu koncentrovanou mysl v tandemu s precizně sepsanými zápisky a solárně napájenou kalkulačkou nemohou zastavit...
 Ponechme napjatou atmosféru ve Wembley na chvíli stranou a rozeberme, s jakou logikou si Richard poznačoval do svého bloku.
 

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 1 RICHARD
|-
| rowspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 2 RONALDHINO
|
| VĚŘIT
| NEVĚŘIT
|-
| BLUFOVAT
| style="text-align: center;" | 1 0
| style="text-align: center;" | 0 1
|-
| NEBLUFOVAT
| style="text-align: center;" | 0 1
| style="text-align: center;" | 1 0
|}

Ze zápisu je patrné, že se jedná o hru uspořádanou v [[Normal form/cs|normálové formě]], neboli o [[Payoff matrix/cs|výplatní matici]] dvou hráčů (Richarda a Ronaldhina) a jejich hratelných možností. Ronaldhino disponuje dvojicí strategií {BLUFOVAT, NEBLUFOVAT}, Richard oproti tomu {VĚŘIT a jít v naznačeném směru, NEVĚŘIT a jít v opačném směru}. V případě, že Richard míč chytí, rovná se jeho výplata jedné, Ronaldhinova nule. A naopak. 
Touto formalizací problému, ale Richard nekončí, protože by mu s řešením problému zatím zvlášť nepomohla. Zaznamenaná hra je konfliktní, [[Antagonistic game/cs|antagonistická]] a nemá žádné [[Dominated strategy/cs|dominované strategie]] nebo [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. Těmito koncepty řešení se tedy ke zjištění nejvhodnější strategie nedobereme. Richard proto přemýšlí, jak do svého modelu hry zapracovat i všechny další informace, které jsou o fotbalu dostupné.
Tak například ví, že Ronaldhino a Beckham jsou hvězdy velkých klubů, protřelí blufaři, relativně málo hrající v naznačeném směru. Zatímco ale Suchopárek, podle statistik, zase blufuje jen výjimečně. Zároveň je jasné, že Richard sám nemá žádné zvláštní inklinace z hlediska důvěřivosti nebo nedůvěřivosti. Richard se proto pokouší využít všechny tyto nadstandardní informace, které je možno vyjádřit skrze sestavu pravděpodobností, o kterou bude rozhodování v rámci hry obohaceno.

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 1 RICHARD
|-
| rowspan="6" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 2 RONALDHINO
|
| VĚRIT
| NEVĚŘIT
|-
|
| -
| -
|-
| BLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
|-
| 75 % (0.75)
|-
| NEBLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
|-
| 25 % (0.25)
|}

Přiřazením profilu pravděpodobností ke každé protihráčově variantě Richard vlastně vložil do problému dimenzi poměrného [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] o protihráči, respektive jeho strategiích. Ohodnocení strategie v rámci přesvědčení z logiky věci nabývá hodnot od nuly do jedné. 
Zápis [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] druhého hráče (Ronaldhina) se běžně zapisuje následujícím způsobem<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>: 
θ2 = {0.75, 0.25}

Přidání dimenze [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] umožňuje spočítat očekávaný výnos každé strategie. Očekávaný výnos je pak vlastně jen součtem zhodnocených výplat pro každou strategii. 
u1(Věřit,θ2) = 0.75 • 0 + 0.25 • 1 = 0.25 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.75 • 0.5 • 1 + 0.25 • 0 = 0.75 
 
Z očekávaných výnosů a za předpokladu jeho maximalizace je jasné, že pro Richarda je nejlepší Ronaldhinovi nevěřit. Naopak Ronaldhino nemůže využít specifického [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] o Richardových preferencích a proto je mezi svými volbami indiferentní.
</div>

<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;font-weight: regular;text-align:center;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">Přesvědčením hráče (belief) označujeme pravděpodobnostní ohodnocení nad strategiemi ostatních hráčů.<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
'''Příklad 1''' Jaký bude předpokládaný výnos v případě, že Richard bude chytat druhý kop Beckhama? Beckhamovy strategie jsou podřízeny [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] následovně θ2 = {0.8, 0.2}. [[#Přesvědčení hráče|Přesvědčení]] o Richardových strategiích není definováno. '''Příklad 2''' A jaký bude předpokládaný výnos v případě třetí penalty, kopnuté Janem Suchopárkem? Suchopárkovy strategie jsou podřízeny následovně θ2 = {0.3, 0.7}. [[#Přesvědčení hráče|Přesvědčení]] o Richardových strategiích není definováno. '''Příklad 3''' Jaký bude předpokládaný výnos hry pro oba dva hráče v případě, že budou o obou hráčích známy následující [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]]? θ1 = {0.4, 0.6}; θ2 = {0.7, 0.3}. A jaký bude v takovém případě celkový výnos hry?</div>
 

= Smíšené strategie =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Předchozím konceptem [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] lze podložit následující terminologické rozdělení strategií, které se v [[Game theory/cs|teorii her]] používá. 
Ryzí strategie (pure strategy) zavazuje hráče deterministicky bez možnosti pravděpodobnostního ohodnocení (respektive ohodnocení se vždy rovná jedné). Smíšená strategie (mixed strategy) odpovídá sestavě [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] přiřazující ryzím strategiím specifické probabilistické ohodnocení. A ačkoliv množina ryzích strategií každého hráče je konečná, díky spojitosti probabilistického ohodnocení lze na základě konečného setu ryzích strategií definovat nekonečné množství [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] a tedy i smíšených strategií. Zcela smíšená strategie (totally mixed strategy) představuje smíšenou strategii přiřazující nenulové ohodnocení všem ryzím strategiím hráče.
Například, máme-li hru dvou hráčů s trojicí možných ryzích strategií pro každého, pak [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] θ1 = {0, 0.5, 0.5}, θ2 = {0.1, 0.4, 0.5} představují smíšenou strategii fakticky eliminující první strategii prvního hráče. Kombinaci [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] θ1 = {1/3, 1/3, 1/3} a θ2 = {1/3, 1/3, 1/3} naopak můžeme označit jako naprosto smíšenou strategii.</div>

<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;font-weight: regular;text-align:center;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">O smíšené strategii (mixed strategy) hráče mluvíme, pokud se pro strategii rozhoduje právě na základě přesvědčení (pravděpodobnostního rozdělení). Ryzí strategii (pure strategy) lze považovat za typ smíšené strategie, kde se pravděpodobnostní ohodnocení rovná jedné.<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref></div>

== Nashovo equilibrium ve smíšené strategii ==
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Rozlišujeme [[Nash equilibrium/cs|Nashovu rovnováhu]] ryzí strategie a rovnováhu smíšené strategie. V ryzí rovnovážné strategii hrají všichni hráči ryzí strategie, zatímco ve smíšené rovnovážné strategii alespoň jeden z nich používá [[#Smíšené strategie|strategie smíšené]]. [[John Forbes Nash/cs|John Forbes Nash]] dokázal<ref name="nash">Nash, John. ''Equilibrium points in n-person games''. Proceedings of the National Academy of Sciences, 1950, 36(1):48-49.</ref>, že každá konečná hra má [[Nash equilibrium/cs|Nashovy rovnováhy]], avšak nemusí jít o rovnováhu pouze v ryzích strategiích. Každá hra má tedy své [[Nash equilibrium/cs|Nashovo equilibrium]] alespoň v případě, že je hrána probabilisticky, jedná se pak o smíšenou rovnovážnou strategii.

</div>
<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;background-color: #F0FFFF;text-align:center;font-size:1.2em;">Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží nebo v nejlepším případě zůstane stejná<ref name="dlouhy">Dlouhý, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref> Každá hra má Nashovy rovnováhy, v rámci ryzích nebo alespoň v rámci smíšených strategií.<ref name="nash">Nash, John. ''Equilibrium points in n-person games''. Proceedings of the National Academy of Sciences, 1950, 36(1):48-49.</ref></div>

=== Richardova hra ===
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Richard si je vědom, že dosáhl pomocí [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] formalizace, díky které může vybrat racionálnější variantu. Zvolit strategii na základě očekávaného výnosu není špatné<ref name="turban">Turban, Efraim. ''Fundamentals of Management Science /Základy vědy o řízení: an introduction to game theory.'' 4.Ed. Plano: Business Publications, Inc., 1988, 915 s. ISBN 02-560-6256-0. </ref>, problémem je však, že kvalita takového rozhodnutí se odvíjí od kvality použitého [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], kterým strategie ohodnotil. Proto začíná spíše uvažovat, zda-li se nemůže zaměřit pouze na původní model hry a ten analyticky rozebrat. Nemá-li například hra samotná žádného [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]] v ryzích strategiích, nebylo by možné jej nalézt právě pomocí kombinace probabilistických [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]]?
Zkusme si tedy ke každé ryzí strategii přiřadit proměnnou značící pravděpodobnost volby. U každého hráče si vystačíme pouze s jednou proměnnou, víme totiž, že ohodnocení všech strategií hráče se v součtu musí rovnat jedné a proto lze ohodnocení druhé strategie vyjádřit jako 1 - p, respektive 1 - q.

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | RICHARD
|-
| rowspan="6" style="text-align: center; font-weight: bold;" | RONALDHINO
|
| VĚŘIT
| NEVĚŘIT
|-
|
| q
| 1 - q
|-
| BLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
|-
| p
|-
| NEBLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
|-
| 1 - p
|}
Hledáme takové [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], které nám v rámci hráčových strategií poskytne stejnou váženou výplatu pro každou strategii a které bude v kombinaci s druhým splňovat podmínky [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. Máme zatím jen obecný popis takového systému [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] ([[#Smíšené strategie|smíšené strategie]]), kde θ1 = {q, 1 - q} a θ2 = {p, 1 - p}. Stejně jako jsme počítali očekávaný výnos, využijme pro všechny strategie vyjádření do čtveřice následujících rovnic. V podstatě provádíme citlivostní analýzu.<ref name="turban">Turban, Efraim. ''Fundamentals of Management Science /Základy vědy o řízení: an introduction to game theory.'' 4.Ed. Plano: Business Publications, Inc., 1988, 915 s. ISBN 02-560-6256-0.</ref> 
u1(Věřit, θ2) = 1 • p + 0 • (1 - p) = p 
u1(Nevěřit, θ2) = 0 • p + 1 • (1 - p) = 1 - p 
u2(Blufovat, θ1) = 1 • q + 0 • (1 - q) = q 
u2(Neblufovat, θ1) = 0 • q + 1 • (1 - q) = 1 - q 
Jak už bylo řečeno, nashově-rovnovážná smíšená strategie povede hráče k indiferentnímu výběru mezi jeho základními (ryzími strategiemi). V tomto typu hry dvou hráčů můžeme soustavu rovnic dopočítat srovnáním vyjádření pravděpodnosti první a druhé strategie každého hráče. 
Pro p tedy: p = 1 - p 
2p = 1 
p = 0.5 
A dále pro q: 
q = 1 - q 
2q = 1 
q = 0.5 
[[#Smíšené strategie|Smíšená strategie]] zajišťující [[Nash equilibrium/cs|Nashovo equilibrium]] se tedy nachází v podobě profilu ((q, 1 - q), (p, 1 - p)), tedy konkrétně vyčísleno ((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)). Což znamená, že každý z hráčů by měl v polovině případů volit první strategii, v druhé polovině druhou. Richard zjišťuje, že bez zvláštních [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], je z povahy hry pro zajištění [[Nash equilibrium/cs|Nashovy rovnováhy]] nejvhodnější rovnoměrně rozdělit volené strategie mezi jednotlivé pokusy. Tedy v případě jeho problému tří penaltových kopů jednou zvolit první strategii, jednou druhou a napotřetí si nejspíš hodit mincí.
Ve světle zjištěné rovnovážné smíšené strategie můžeme prohlásit, že [[#Smíšené strategie|smíšená strategie]] z příkladu 3, o které Richard mohl uvažovat, by nebyla rovnovážná.
</div>

=== Hledání rovnovážné smíšené strategie obecně ===
<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:left;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">Pro nalezení rovnovážné smíšené strategie lze obecně doporučit následující postup<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>: 
1. Odstranění ze hry všech silně dominovaných strategií procedůrou iterovaného dominování. 
2. Zaměření pozornosti pouze na vzniklou relevantní podhru původní hry. 
3. Vyjádření smíšených pravděpodobností, díky kterým je hráč indiferentní mezi relevantními ryzími strategiemi. 
4. Vyčíslit rovnice smíšených pravděpodobností, čímž je získán rovnovážný profil.
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Pokusme se nyní nalézt rovnovážnou smíšenou strategii v obecnějším a komplikovanějším případu<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>.
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
! Z
|-
| A
| 0 5
| 2 3
| 2 3
|-
| B
| 2 3
| 0 5
| 3 2
|-
| C
| 5 0
| 3 2
| 2 3
|}

V prvním kroku si ověřujeme, zda-li některá ze strategií není dominována ryzí nebou smíšenou strategií. Zjišťujeme, že lze [[#Smíšené strategie|smíšenou strategií]] (B,C) dominovat strategii A. 
Důkaz o dominanci A je následující: 
2p + 5(1 - 5) > 0 
0p + 3(1 - p) > 2 
3p + 2(1 - p) > 2 
Vyjádřená omezení p: 
p < 5/3 
p < 1/3 
p > 0 
Hodnotu pro proměnnou p omezenou předchozími nerovnicemi lze nalézt. Strategie A tedy nebude součástí řešení. Po jejím odstranění si všímáme u strategií druhého hráče, že strategie X je dominována Y. I tu můžeme tedy vyloučit. Zbývají nám relevantní strategie (B,C) x (Y,Z).

{| class="wikitable"
!
! Y
! Z
|-
| B
| 0 5
| 3 2
|-
| C
| 3 2
| 2 3
|}

Řešíme uvedenou podhru původní hry. Rovnovážnou [[#Smíšené strategie|smíšenou strategii]] definujme jako (p, 1 - p) x (q, 1 - q), z čehož nám po dopočtení vychází profil (1/4, 3/4) x (1/4, 3/4). Respektive (0, 1/4, 3/4) x (0, 1/4, 3/4) pro původní hru.</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
'''Příklad 4''' Uvažte následující hru a nalezněte všechna [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. 
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
|-
| A
| 2 8
| 5 8
|-
| B
| 3 4
| 4 0
|}
'''Příklad 5''' Uvažte následující hru a nalezněte všechna [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. 
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
|-
| A
| 2 4
| 5 -1
|-
| B
| 4 -1
| 4 0
|}
'''Příklad 6''' Nalezněte rovnovážnou smíšenou strategii pro případ hry kámen, nůžky, papír. (příklad lze řešit odhadem)</div>

= Dovětek =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Z předchozích příkladů je patrné, že hledání smíšené rovnovážné strategie není problematické v případě matic 2 x 2. Pro ruční řešení se s takovými maticemi setkáte nejčastěji. Případně, pokud je hra [[Symmetric game/cs|symetrická]], je možné rovnovážnou smíšenou strategii ještě odvodit úvahou i u rozměrnějších her jako například u hry kámen, nůžky, papír. Problematičtější jsou ale rozlehlejší matice, u kterých je nezbytné hru chápat jako úlohu [[Linear programming/cs|lineárního programování]] a řešit pomocí algoritmu (například [[Simplex method/cs|simplexová metoda]]). Nebo musíme využít specializovaných alogritmů (například [[Lemke-Howson algorithm/cs|Lemke-Howson algoritmus]]).
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Tím kapitola končí. A ptáte se, co se stalo toho večera ve Wembley? Richard strávil v brance hezké chvilky nad [[Game theory/cs|teorií her]], při kterých si uvědomil spoustu nového o možnostech řešení a hledání [[Nash equilibrium/cs|rovnovážných stavů]]. Nakonec jej všechno to poznání přivedlo k myšlence, že nebude vůbec špatné dát na fotbalistu Čecha, a jeho oprýskané rukavice, které mají přinášet štěstí, si navléci. Když tak učinil, odložil solární kalkulačku s notýskem k jedné z brankových tyčí, zvedl hlavu od zeleného pažitu, rozhlédl se a zjistil, že stadión je už dávno prázdný. Zůstal tam úplně sám. Zatímco počítal a zkoušel všechny možnosti, Ronaldhino, Beckham a Suchopárek se rozhodli dát na charitu všechny peníze, co jim jejich sponzoři přidělili. Jen tak. Pro dobro věci. A hlavně aby všichni mohli být brzo doma. S tím Richard sice vůbec nepočítal, ale za ty nově nabyté znalosti to určitě stojí. A navíc, získal přece rukavice Petra Čecha. A ty by na eBayi něco málo taky mohly hodit!
</div>
= Výsledky příkladů =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Příklad 1 
u1(Věřit,θ2) = 0.2 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.8 
Příklad 2 
u1(Věřit,θ2) = 0.3 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.7 
Příklad 3 
u1(θ1,θ2) = 0.4 • 0.7 • 0 + 0.4 • 0.3 • 1 + 0.6 • 0.7 • 1 + 0.6 • 0.3 • 0 = 0.54 
u2(θ1,θ2) = 0.7 • 0.4 • 1 + 0.7 • 0.6 • 0 + 0.3 • 0.4 • 0 + 0.3 • 0.6 • 1 = 0.46 
u(θ1,θ2) = 0.54 + 0.46 = 1
Příklad 4 
Hra má v ryzích strategiích dvojici NE (B,X) a (A,Y), kde pareto-optimální je (A,Y). V případě rovnovážné smíšené strategie pak dosáhneme přesvědčení (1/2, 1/2) x (1, 0).

Příklad 5 
Hra nemá v ryzích strategiích žádné NE. Hledání smíšené rovnovážné strategie nás dovede k profilu (1/3, 2/3) x (1/6, 5/6).

Příklad 6 
Opět hledáme takový mix pravděpodobností, který učiní hráče indiferentním mezi jeho strategiemi. Rovnovážným řešením je proto pro oba hráče přesvědčení (1/3, 1/3, 1/3).</div> 

= Reference =
<references/>

= Doporučená literatura =
1. Carmichael, Fiona. A guide to game theory: an introduction to game theory. 1st ed. New York: Financial Times Prentice Hall, 2005, xiii, 286 p. ISBN 02-736-8496-5. 
2. Shomam, Kevin Leyton-Brown and Yoav. Essentials of game theory a concise, multidisciplinary introduction: an introduction to game theory. 1st ed. San 3. Rafael, Calif.: Morgan, 2008, 915 s. ISBN 978-159-8295-931. 
3. Watson, Joel. Strategy: an introduction to game theory. Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.

Mixed strategy/cs

2014-06-18T20:03:29Z

Xvalm48: /* Hledání rovnovážné smíšené strategie obecně */

= Úvod =
<div>V této kapitole budete seznámeni s konceptem smíšené strategie, kde bude postupně vysvětlen jeho význam a možnosti použití pro analýzu a řešení her. Kapitola se skládá z obsahu trojího typu odlišeného barvou.
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #00BFFF;margin: 0px 0px 1px 10px;">Modrým zvýrazněním jsou označeny obecné definice a poznatky shrnující výklad.</div>
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #228B22;margin: 0px 0px 1px 10px;">Zelené zvýraznění ohraničuje výklad.</div>
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #FF4500;margin: 0px 0px 1px 10px;">Oranžová značí procvičující otázky, na které naleznete odpověď na konci stránky.</div></div>

= Přesvědčení hráče =
<div>Pro srozumitelnější vysvětlení navazujícího konceptu [[#Smíšené strategie|smíšených strategií]] bude první část věnována podřízenému konstruktu teorie her - [[#Přesvědčení hráče|hráčově přesvědčení]].</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Na stadionu ve Wembley je po letech zase pekelně živo. V charitativní exhibiční show tak dobré, že se ji chystá přenášet i Česká televize, se před čáru na pokutový kop připravuje trojice naprosto legendárních hráčů. Trojka fotbalových es ozkouší kvality jednoho vylosovaného fanouška, který se pokusí chycením míče krom své prestiže získat i nějaké peníze pro dobrou věc. Na základě očíslovaných vstupenek je ze skandujícího davu vybrán Richard H., shodou okolností absolvent Vysoké školy ekonomické se silně rozvinutým smyslem pro statistiku a matematizaci čehokoliv a za každou cenu. Richard se chvilku po rozsvícení svého obličeje na videokostce nad stadionem pro 90 000 diváků ani nehne. Jen pozorně přejíždí zrakem po přeplněných tribunách, vyprázdněném, zeleném hřišti a hloučku extraligových hráčů připravených u brány. Několikrát se nadechne, vyrovná ramena, z kapsy od saka vytáhne kalkulačku, a neohroženě sestupuje k hřišti. Cestou dolů, skrze sprostě a anglicky křičící diváky mu zrovna běží hlavou: "Zatraceně Richarde, byls vybrán, abys reprezentoval tady na charitativní exhibici a postavil se velkejm hvězdám. Nebude zas taková ostuda, když ten míč nechytíš. Vždyť první kope Ronaldhino!" 
<div style="float:right;padding: 10px;">[[File:goalkeeper.jpg|240 px|Fotbalový brankář]]</div>
Pokračuje dál, přeskakuje sedačky a mračí se: "Možná bys ale mohl svůj gólmanský úkol formalizovat jako nějakou matematickou úlohu. To by tě i bavilo. Možná použít koncepty [[Game theory/cs|teorie her]]?"
Richarda dole u zábradlí míjí jeden z českých fanoušků, náhodou také nějaký fotbalista, a podává mu svoje gólmanské rukavice: "Já jsem Čech. Tyhle rukavice vám přinesou štěstí." "Já zase Richard, děkuju," přebírá ošoupanou výstroj s logem Chelsea a suverenně ji zastrkává do kalhot. Jeho sebejistý úsměv značí, že je pro výhru v následujícím klání nebude potřebovat. Uvědomil si: "Fotbalista kopající penaltu má v zásadě jen dvě možnosti, jak kopnout. Buď se pokusí mne mást tělem, naznačí mi směr a pak kopne jeho opak. Nebo se blufovat nepokusí a náznak směru jeho těla bude odpovídat i hranému směru míče..." 
Richard si postupně potřásá rukou s Ronaldhinem, Beckhamem a Janem Suchopárkem z pražské Slavie. Největšími fotbalisty všech dob. Pak se se skrývaným smíchem běží připravit do brány: "To je jasné. Vypíšu si všechny možnosti do bloku a prostě to spočítám! Konečně efektně uplatním něco, co jsem naučil na škole!" 
Ronaldhino si nervózně kontroluje kopačky na suchý zip, odtušil, že netypický gólman nebude nejsnadnějším soupeřem. Stadion křičí nedočkavostí. Na trávník dopadávají první zapálené dýmovnice. Ty ale matematikovu koncentrovanou mysl v tandemu s precizně sepsanými zápisky a solárně napájenou kalkulačkou nemohou zastavit...
 Ponechme napjatou atmosféru ve Wembley na chvíli stranou a rozeberme, s jakou logikou si Richard poznačoval do svého bloku.
 

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 1 RICHARD
|-
| rowspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 2 RONALDHINO
|
| VĚŘIT
| NEVĚŘIT
|-
| BLUFOVAT
| style="text-align: center;" | 1 0
| style="text-align: center;" | 0 1
|-
| NEBLUFOVAT
| style="text-align: center;" | 0 1
| style="text-align: center;" | 1 0
|}

Ze zápisu je patrné, že se jedná o hru uspořádanou v [[Normal form/cs|normálové formě]], neboli o [[Payoff matrix/cs|výplatní matici]] dvou hráčů (Richarda a Ronaldhina) a jejich hratelných možností. Ronaldhino disponuje dvojicí strategií {BLUFOVAT, NEBLUFOVAT}, Richard oproti tomu {VĚŘIT a jít v naznačeném směru, NEVĚŘIT a jít v opačném směru}. V případě, že Richard míč chytí, rovná se jeho výplata jedné, Ronaldhinova nule. A naopak. 
Touto formalizací problému, ale Richard nekončí, protože by mu s řešením problému zatím zvlášť nepomohla. Zaznamenaná hra je konfliktní, [[Antagonistic game/cs|antagonistická]] a nemá žádné [[Dominated strategy/cs|dominované strategie]] nebo [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. Těmito koncepty řešení se tedy ke zjištění nejvhodnější strategie nedobereme. Richard proto přemýšlí, jak do svého modelu hry zapracovat i všechny další informace, které jsou o fotbalu dostupné.
Tak například ví, že Ronaldhino a Beckham jsou hvězdy velkých klubů, protřelí blufaři, relativně málo hrající v naznačeném směru. Zatímco ale Suchopárek, podle statistik, zase blufuje jen výjimečně. Zároveň je jasné, že Richard sám nemá žádné zvláštní inklinace z hlediska důvěřivosti nebo nedůvěřivosti. Richard se proto pokouší využít všechny tyto nadstandardní informace, které je možno vyjádřit skrze sestavu pravděpodobností, o kterou bude rozhodování v rámci hry obohaceno.

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 1 RICHARD
|-
| rowspan="6" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 2 RONALDHINO
|
| VĚRIT
| NEVĚŘIT
|-
|
| -
| -
|-
| BLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
|-
| 75 % (0.75)
|-
| NEBLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
|-
| 25 % (0.25)
|}

Přiřazením profilu pravděpodobností ke každé protihráčově variantě Richard vlastně vložil do problému dimenzi poměrného [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] o protihráči, respektive jeho strategiích. Ohodnocení strategie v rámci přesvědčení z logiky věci nabývá hodnot od nuly do jedné. 
Zápis [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] druhého hráče (Ronaldhina) se běžně zapisuje následujícím způsobem<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>: 
θ2 = {0.75, 0.25}

Přidání dimenze [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] umožňuje spočítat očekávaný výnos každé strategie. Očekávaný výnos je pak vlastně jen součtem zhodnocených výplat pro každou strategii. 
u1(Věřit,θ2) = 0.75 • 0 + 0.25 • 1 = 0.25 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.75 • 0.5 • 1 + 0.25 • 0 = 0.75 
 
Z očekávaných výnosů a za předpokladu jeho maximalizace je jasné, že pro Richarda je nejlepší Ronaldhinovi nevěřit. Naopak Ronaldhino nemůže využít specifického [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] o Richardových preferencích a proto je mezi svými volbami indiferentní.
</div>

<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;font-weight: regular;text-align:center;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">Přesvědčením hráče (belief) označujeme pravděpodobnostní ohodnocení nad strategiemi ostatních hráčů.<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
'''Příklad 1''' Jaký bude předpokládaný výnos v případě, že Richard bude chytat druhý kop Beckhama? Beckhamovy strategie jsou podřízeny [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] následovně θ2 = {0.8, 0.2}. [[#Přesvědčení hráče|Přesvědčení]] o Richardových strategiích není definováno. '''Příklad 2''' A jaký bude předpokládaný výnos v případě třetí penalty, kopnuté Janem Suchopárkem? Suchopárkovy strategie jsou podřízeny následovně θ2 = {0.3, 0.7}. [[#Přesvědčení hráče|Přesvědčení]] o Richardových strategiích není definováno. '''Příklad 3''' Jaký bude předpokládaný výnos hry pro oba dva hráče v případě, že budou o obou hráčích známy následující [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]]? θ1 = {0.4, 0.6}; θ2 = {0.7, 0.3}. A jaký bude v takovém případě celkový výnos hry?</div>
 

= Smíšené strategie =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Předchozím konceptem [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] lze podložit následující terminologické rozdělení strategií, které se v [[Game theory/cs|teorii her]] používá. 
Ryzí strategie (pure strategy) zavazuje hráče deterministicky bez možnosti pravděpodobnostního ohodnocení (respektive ohodnocení se vždy rovná jedné). Smíšená strategie (mixed strategy) odpovídá sestavě [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] přiřazující ryzím strategiím specifické probabilistické ohodnocení. A ačkoliv množina ryzích strategií každého hráče je konečná, díky spojitosti probabilistického ohodnocení lze na základě konečného setu ryzích strategií definovat nekonečné množství [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] a tedy i smíšených strategií. Zcela smíšená strategie (totally mixed strategy) představuje smíšenou strategii přiřazující nenulové ohodnocení všem ryzím strategiím hráče.
Například, máme-li hru dvou hráčů s trojicí možných ryzích strategií pro každého, pak [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] θ1 = {0, 0.5, 0.5}, θ2 = {0.1, 0.4, 0.5} představují smíšenou strategii fakticky eliminující první strategii prvního hráče. Kombinaci [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] θ1 = {1/3, 1/3, 1/3} a θ2 = {1/3, 1/3, 1/3} naopak můžeme označit jako naprosto smíšenou strategii.</div>

<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;font-weight: regular;text-align:center;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">O smíšené strategii (mixed strategy) hráče mluvíme, pokud se pro strategii rozhoduje právě na základě přesvědčení (pravděpodobnostního rozdělení). Ryzí strategii (pure strategy) lze považovat za typ smíšené strategie, kde se pravděpodobnostní ohodnocení rovná jedné.<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref></div>

== Nashovo equilibrium ve smíšené strategii ==
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Rozlišujeme [[Nash equilibrium/cs|Nashovu rovnováhu]] ryzí strategie a rovnováhu smíšené strategie. V ryzí rovnovážné strategii hrají všichni hráči ryzí strategie, zatímco ve smíšené rovnovážné strategii alespoň jeden z nich používá [[#Smíšené strategie|strategie smíšené]]. [[John Forbes Nash/cs|John Forbes Nash]] dokázal<ref name="nash">Nash, John. ''Equilibrium points in n-person games''. Proceedings of the National Academy of Sciences, 1950, 36(1):48-49.</ref>, že každá konečná hra má [[Nash equilibrium/cs|Nashovy rovnováhy]], avšak nemusí jít o rovnováhu pouze v ryzích strategiích. Každá hra má tedy své [[Nash equilibrium/cs|Nashovo equilibrium]] alespoň v případě, že je hrána probabilisticky, jedná se pak o smíšenou rovnovážnou strategii.

</div>
<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;background-color: #F0FFFF;text-align:center;font-size:1.2em;">Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží nebo v nejlepším případě zůstane stejná<ref name="dlouhy">Dlouhý, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref> Každá hra má Nashovy rovnováhy, v rámci ryzích nebo alespoň v rámci smíšených strategií.<ref name="nash">Nash, John. ''Equilibrium points in n-person games''. Proceedings of the National Academy of Sciences, 1950, 36(1):48-49.</ref></div>

=== Richardova hra ===
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Richard si je vědom, že dosáhl pomocí [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] formalizace, díky které může vybrat racionálnější variantu. Zvolit strategii na základě očekávaného výnosu není špatné<ref name="turban">Turban, Efraim. ''Fundamentals of Management Science /Základy vědy o řízení: an introduction to game theory.'' 4.Ed. Plano: Business Publications, Inc., 1988, 915 s. ISBN 02-560-6256-0. </ref>, problémem je však, že kvalita takového rozhodnutí se odvíjí od kvality použitého [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], kterým strategie ohodnotil. Proto začíná spíše uvažovat, zda-li se nemůže zaměřit pouze na původní model hry a ten analyticky rozebrat. Nemá-li například hra samotná žádného [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]] v ryzích strategiích, nebylo by možné jej nalézt právě pomocí kombinace probabilistických [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]]?
Zkusme si tedy ke každé ryzí strategii přiřadit proměnnou značící pravděpodobnost volby. U každého hráče si vystačíme pouze s jednou proměnnou, víme totiž, že ohodnocení všech strategií hráče se v součtu musí rovnat jedné a proto lze ohodnocení druhé strategie vyjádřit jako 1 - p, respektive 1 - q.

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | RICHARD
|-
| rowspan="6" style="text-align: center; font-weight: bold;" | RONALDHINO
|
| VĚŘIT
| NEVĚŘIT
|-
|
| q
| 1 - q
|-
| BLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
|-
| p
|-
| NEBLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
|-
| 1 - p
|}
Hledáme takové [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], které nám v rámci hráčových strategií poskytne stejnou váženou výplatu pro každou strategii a které bude v kombinaci s druhým splňovat podmínky [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. Máme zatím jen obecný popis takového systému [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] ([[#Smíšené strategie|smíšené strategie]]), kde θ1 = {q, 1 - q} a θ2 = {p, 1 - p}. Stejně jako jsme počítali očekávaný výnos, využijme pro všechny strategie vyjádření do čtveřice následujících rovnic. V podstatě provádíme citlivostní analýzu.<ref name="turban">Turban, Efraim. ''Fundamentals of Management Science /Základy vědy o řízení: an introduction to game theory.'' 4.Ed. Plano: Business Publications, Inc., 1988, 915 s. ISBN 02-560-6256-0.</ref> 
u1(Věřit, θ2) = 1 • p + 0 • (1 - p) = p 
u1(Nevěřit, θ2) = 0 • p + 1 • (1 - p) = 1 - p 
u2(Blufovat, θ1) = 1 • q + 0 • (1 - q) = q 
u2(Neblufovat, θ1) = 0 • q + 1 • (1 - q) = 1 - q 
Jak už bylo řečeno, nashově-rovnovážná smíšená strategie povede hráče k indiferentnímu výběru mezi jeho základními (ryzími strategiemi). V tomto typu hry dvou hráčů můžeme soustavu rovnic dopočítat srovnáním vyjádření pravděpodnosti první a druhé strategie každého hráče. 
Pro p tedy: p = 1 - p 
2p = 1 
p = 0.5 
A dále pro q: 
q = 1 - q 
2q = 1 
q = 0.5 
[[#Smíšené strategie|Smíšená strategie]] zajišťující [[Nash equilibrium/cs|Nashovo equilibrium]] se tedy nachází v podobě profilu ((q, 1 - q), (p, 1 - p)), tedy konkrétně vyčísleno ((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)). Což znamená, že každý z hráčů by měl v polovině případů volit první strategii, v druhé polovině druhou. Richard zjišťuje, že bez zvláštních [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], je z povahy hry pro zajištění [[Nash equilibrium/cs|Nashovy rovnováhy]] nejvhodnější rovnoměrně rozdělit volené strategie mezi jednotlivé pokusy. Tedy v případě jeho problému tří penaltových kopů jednou zvolit první strategii, jednou druhou a napotřetí si nejspíš hodit mincí.
Ve světle zjištěné rovnovážné smíšené strategie můžeme prohlásit, že [[#Smíšené strategie|smíšená strategie]] z příkladu 3, o které Richard mohl uvažovat, by nebyla rovnovážná.
</div>

=== Hledání rovnovážné smíšené strategie obecně ===
<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:left;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">Pro nalezení rovnovážné smíšené strategie lze obecně doporučit následující postup<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>: 
1. Odstranění ze hry všech silně dominovaných strategií procedůrou iterovaného dominování. 
2. Zaměření pozornosti pouze na vzniklou relevantní podhru původní hry. 
3. Vyjádření smíšených pravděpodobností, díky kterým je hráč indiferentní mezi relevantními ryzími strategiemi. 
4. Vyčíslit rovnice smíšených pravděpodobností, čímž je získán rovnovážný profil.
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Pokusme se nyní nalézt rovnovážnou smíšenou strategii v obecnějším a komplikovanějším případu<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>.
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
! Z
|-
| A
| 0 5
| 2 3
| 2 3
|-
| B
| 2 3
| 0 5
| 3 2
|-
| C
| 5 0
| 3 2
| 2 3
|}

V prvním kroku si ověřujeme, zda-li některá ze strategií není dominována ryzí nebou smíšenou strategií. Zjišťujeme, že lze [[#Smíšené strategie|smíšenou strategií]] (B,C) dominovat strategii A. 
Důkaz o dominanci A je následující: 
2p + 5(1 - 5) > 0 
0p + 3(1 - p) > 2 
3p + 2(1 - p) > 2 
Vyjádřená omezení p: 
p < 5/3 
p < 1/3 
p > 0 
Hodnotu pro proměnnou p omezenou předchozími nerovnicemi lze nalézt. Strategie A tedy nebude součástí řešení. Po jejím odstranění si všímáme u strategií druhého hráče, že je strategie X je dominována Y. I tu můžeme tedy vyloučit. Zbývají nám relevantní strategie (B,C) x (Y,Z).

{| class="wikitable"
!
! Y
! Z
|-
| B
| 0 5
| 3 2
|-
| C
| 3 2
| 2 3
|}

Řešíme uvedenou podhru původní hry. Rovnovážnou [[#Smíšené strategie|smíšenou strategii]] definujme jako (p, 1 - p) x (q, 1 - q), z čehož nám po dopočtení vychází profil (1/4, 3/4) x (1/4, 3/4). Respektive (0, 1/4, 3/4) x (0, 1/4, 3/4) pro původní hru.</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
'''Příklad 4''' Uvažte následující hru a nalezněte všechna [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. 
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
|-
| A
| 2 8
| 5 8
|-
| B
| 3 4
| 4 0
|}
'''Příklad 5''' Uvažte následující hru a nalezněte všechna [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. 
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
|-
| A
| 2 4
| 5 -1
|-
| B
| 4 -1
| 4 0
|}
'''Příklad 6''' Nalezněte rovnovážnou smíšenou strategii pro případ hry kámen, nůžky, papír. (příklad lze řešit odhadem)</div>

= Dovětek =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Z předchozích příkladů je patrné, že hledání smíšené rovnovážné strategie není problematické v případě matic 2 x 2. Pro ruční řešení se s takovými maticemi setkáte nejčastěji. Případně, pokud je hra [[Symmetric game/cs|symetrická]], je možné rovnovážnou smíšenou strategii ještě odvodit úvahou i u rozměrnějších her jako například u hry kámen, nůžky, papír. Problematičtější jsou ale rozlehlejší matice, u kterých je nezbytné hru chápat jako úlohu [[Linear programming/cs|lineárního programování]] a řešit pomocí algoritmu (například [[Simplex method/cs|simplexová metoda]]). Nebo musíme využít specializovaných alogritmů (například [[Lemke-Howson algorithm/cs|Lemke-Howson algoritmus]]).
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Tím kapitola končí. A ptáte se, co se stalo toho večera ve Wembley? Richard strávil v brance hezké chvilky nad [[Game theory/cs|teorií her]], při kterých si uvědomil spoustu nového o možnostech řešení a hledání [[Nash equilibrium/cs|rovnovážných stavů]]. Nakonec jej všechno to poznání přivedlo k myšlence, že nebude vůbec špatné dát na fotbalistu Čecha, a jeho oprýskané rukavice, které mají přinášet štěstí, si navléci. Když tak učinil, odložil solární kalkulačku s notýskem k jedné z brankových tyčí, zvedl hlavu od zeleného pažitu, rozhlédl se a zjistil, že stadión je už dávno prázdný. Zůstal tam úplně sám. Zatímco počítal a zkoušel všechny možnosti, Ronaldhino, Beckham a Suchopárek se rozhodli dát na charitu všechny peníze, co jim jejich sponzoři přidělili. Jen tak. Pro dobro věci. A hlavně aby všichni mohli být brzo doma. S tím Richard sice vůbec nepočítal, ale za ty nově nabyté znalosti to určitě stojí. A navíc, získal přece rukavice Petra Čecha. A ty by na eBayi něco málo taky mohly hodit!
</div>
= Výsledky příkladů =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Příklad 1 
u1(Věřit,θ2) = 0.2 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.8 
Příklad 2 
u1(Věřit,θ2) = 0.3 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.7 
Příklad 3 
u1(θ1,θ2) = 0.4 • 0.7 • 0 + 0.4 • 0.3 • 1 + 0.6 • 0.7 • 1 + 0.6 • 0.3 • 0 = 0.54 
u2(θ1,θ2) = 0.7 • 0.4 • 1 + 0.7 • 0.6 • 0 + 0.3 • 0.4 • 0 + 0.3 • 0.6 • 1 = 0.46 
u(θ1,θ2) = 0.54 + 0.46 = 1
Příklad 4 
Hra má v ryzích strategiích dvojici NE (B,X) a (A,Y), kde pareto-optimální je (A,Y). V případě rovnovážné smíšené strategie pak dosáhneme přesvědčení (1/2, 1/2) x (1, 0).

Příklad 5 
Hra nemá v ryzích strategiích žádné NE. Hledání smíšené rovnovážné strategie nás dovede k profilu (1/3, 2/3) x (1/6, 5/6).

Příklad 6 
Opět hledáme takový mix pravděpodobností, který učiní hráče indiferentním mezi jeho strategiemi. Rovnovážným řešením je proto pro oba hráče přesvědčení (1/3, 1/3, 1/3).</div> 

= Reference =
<references/>

= Doporučená literatura =
1. Carmichael, Fiona. A guide to game theory: an introduction to game theory. 1st ed. New York: Financial Times Prentice Hall, 2005, xiii, 286 p. ISBN 02-736-8496-5. 
2. Shomam, Kevin Leyton-Brown and Yoav. Essentials of game theory a concise, multidisciplinary introduction: an introduction to game theory. 1st ed. San 3. Rafael, Calif.: Morgan, 2008, 915 s. ISBN 978-159-8295-931. 
3. Watson, Joel. Strategy: an introduction to game theory. Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.

Mixed strategy/cs

2014-06-18T20:02:47Z

Xvalm48: /* Hledání rovnovážné smíšené strategie obecně */

= Úvod =
<div>V této kapitole budete seznámeni s konceptem smíšené strategie, kde bude postupně vysvětlen jeho význam a možnosti použití pro analýzu a řešení her. Kapitola se skládá z obsahu trojího typu odlišeného barvou.
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #00BFFF;margin: 0px 0px 1px 10px;">Modrým zvýrazněním jsou označeny obecné definice a poznatky shrnující výklad.</div>
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #228B22;margin: 0px 0px 1px 10px;">Zelené zvýraznění ohraničuje výklad.</div>
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #FF4500;margin: 0px 0px 1px 10px;">Oranžová značí procvičující otázky, na které naleznete odpověď na konci stránky.</div></div>

= Přesvědčení hráče =
<div>Pro srozumitelnější vysvětlení navazujícího konceptu [[#Smíšené strategie|smíšených strategií]] bude první část věnována podřízenému konstruktu teorie her - [[#Přesvědčení hráče|hráčově přesvědčení]].</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Na stadionu ve Wembley je po letech zase pekelně živo. V charitativní exhibiční show tak dobré, že se ji chystá přenášet i Česká televize, se před čáru na pokutový kop připravuje trojice naprosto legendárních hráčů. Trojka fotbalových es ozkouší kvality jednoho vylosovaného fanouška, který se pokusí chycením míče krom své prestiže získat i nějaké peníze pro dobrou věc. Na základě očíslovaných vstupenek je ze skandujícího davu vybrán Richard H., shodou okolností absolvent Vysoké školy ekonomické se silně rozvinutým smyslem pro statistiku a matematizaci čehokoliv a za každou cenu. Richard se chvilku po rozsvícení svého obličeje na videokostce nad stadionem pro 90 000 diváků ani nehne. Jen pozorně přejíždí zrakem po přeplněných tribunách, vyprázdněném, zeleném hřišti a hloučku extraligových hráčů připravených u brány. Několikrát se nadechne, vyrovná ramena, z kapsy od saka vytáhne kalkulačku, a neohroženě sestupuje k hřišti. Cestou dolů, skrze sprostě a anglicky křičící diváky mu zrovna běží hlavou: "Zatraceně Richarde, byls vybrán, abys reprezentoval tady na charitativní exhibici a postavil se velkejm hvězdám. Nebude zas taková ostuda, když ten míč nechytíš. Vždyť první kope Ronaldhino!" 
<div style="float:right;padding: 10px;">[[File:goalkeeper.jpg|240 px|Fotbalový brankář]]</div>
Pokračuje dál, přeskakuje sedačky a mračí se: "Možná bys ale mohl svůj gólmanský úkol formalizovat jako nějakou matematickou úlohu. To by tě i bavilo. Možná použít koncepty [[Game theory/cs|teorie her]]?"
Richarda dole u zábradlí míjí jeden z českých fanoušků, náhodou také nějaký fotbalista, a podává mu svoje gólmanské rukavice: "Já jsem Čech. Tyhle rukavice vám přinesou štěstí." "Já zase Richard, děkuju," přebírá ošoupanou výstroj s logem Chelsea a suverenně ji zastrkává do kalhot. Jeho sebejistý úsměv značí, že je pro výhru v následujícím klání nebude potřebovat. Uvědomil si: "Fotbalista kopající penaltu má v zásadě jen dvě možnosti, jak kopnout. Buď se pokusí mne mást tělem, naznačí mi směr a pak kopne jeho opak. Nebo se blufovat nepokusí a náznak směru jeho těla bude odpovídat i hranému směru míče..." 
Richard si postupně potřásá rukou s Ronaldhinem, Beckhamem a Janem Suchopárkem z pražské Slavie. Největšími fotbalisty všech dob. Pak se se skrývaným smíchem běží připravit do brány: "To je jasné. Vypíšu si všechny možnosti do bloku a prostě to spočítám! Konečně efektně uplatním něco, co jsem naučil na škole!" 
Ronaldhino si nervózně kontroluje kopačky na suchý zip, odtušil, že netypický gólman nebude nejsnadnějším soupeřem. Stadion křičí nedočkavostí. Na trávník dopadávají první zapálené dýmovnice. Ty ale matematikovu koncentrovanou mysl v tandemu s precizně sepsanými zápisky a solárně napájenou kalkulačkou nemohou zastavit...
 Ponechme napjatou atmosféru ve Wembley na chvíli stranou a rozeberme, s jakou logikou si Richard poznačoval do svého bloku.
 

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 1 RICHARD
|-
| rowspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 2 RONALDHINO
|
| VĚŘIT
| NEVĚŘIT
|-
| BLUFOVAT
| style="text-align: center;" | 1 0
| style="text-align: center;" | 0 1
|-
| NEBLUFOVAT
| style="text-align: center;" | 0 1
| style="text-align: center;" | 1 0
|}

Ze zápisu je patrné, že se jedná o hru uspořádanou v [[Normal form/cs|normálové formě]], neboli o [[Payoff matrix/cs|výplatní matici]] dvou hráčů (Richarda a Ronaldhina) a jejich hratelných možností. Ronaldhino disponuje dvojicí strategií {BLUFOVAT, NEBLUFOVAT}, Richard oproti tomu {VĚŘIT a jít v naznačeném směru, NEVĚŘIT a jít v opačném směru}. V případě, že Richard míč chytí, rovná se jeho výplata jedné, Ronaldhinova nule. A naopak. 
Touto formalizací problému, ale Richard nekončí, protože by mu s řešením problému zatím zvlášť nepomohla. Zaznamenaná hra je konfliktní, [[Antagonistic game/cs|antagonistická]] a nemá žádné [[Dominated strategy/cs|dominované strategie]] nebo [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. Těmito koncepty řešení se tedy ke zjištění nejvhodnější strategie nedobereme. Richard proto přemýšlí, jak do svého modelu hry zapracovat i všechny další informace, které jsou o fotbalu dostupné.
Tak například ví, že Ronaldhino a Beckham jsou hvězdy velkých klubů, protřelí blufaři, relativně málo hrající v naznačeném směru. Zatímco ale Suchopárek, podle statistik, zase blufuje jen výjimečně. Zároveň je jasné, že Richard sám nemá žádné zvláštní inklinace z hlediska důvěřivosti nebo nedůvěřivosti. Richard se proto pokouší využít všechny tyto nadstandardní informace, které je možno vyjádřit skrze sestavu pravděpodobností, o kterou bude rozhodování v rámci hry obohaceno.

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 1 RICHARD
|-
| rowspan="6" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 2 RONALDHINO
|
| VĚRIT
| NEVĚŘIT
|-
|
| -
| -
|-
| BLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
|-
| 75 % (0.75)
|-
| NEBLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
|-
| 25 % (0.25)
|}

Přiřazením profilu pravděpodobností ke každé protihráčově variantě Richard vlastně vložil do problému dimenzi poměrného [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] o protihráči, respektive jeho strategiích. Ohodnocení strategie v rámci přesvědčení z logiky věci nabývá hodnot od nuly do jedné. 
Zápis [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] druhého hráče (Ronaldhina) se běžně zapisuje následujícím způsobem<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>: 
θ2 = {0.75, 0.25}

Přidání dimenze [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] umožňuje spočítat očekávaný výnos každé strategie. Očekávaný výnos je pak vlastně jen součtem zhodnocených výplat pro každou strategii. 
u1(Věřit,θ2) = 0.75 • 0 + 0.25 • 1 = 0.25 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.75 • 0.5 • 1 + 0.25 • 0 = 0.75 
 
Z očekávaných výnosů a za předpokladu jeho maximalizace je jasné, že pro Richarda je nejlepší Ronaldhinovi nevěřit. Naopak Ronaldhino nemůže využít specifického [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] o Richardových preferencích a proto je mezi svými volbami indiferentní.
</div>

<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;font-weight: regular;text-align:center;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">Přesvědčením hráče (belief) označujeme pravděpodobnostní ohodnocení nad strategiemi ostatních hráčů.<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
'''Příklad 1''' Jaký bude předpokládaný výnos v případě, že Richard bude chytat druhý kop Beckhama? Beckhamovy strategie jsou podřízeny [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] následovně θ2 = {0.8, 0.2}. [[#Přesvědčení hráče|Přesvědčení]] o Richardových strategiích není definováno. '''Příklad 2''' A jaký bude předpokládaný výnos v případě třetí penalty, kopnuté Janem Suchopárkem? Suchopárkovy strategie jsou podřízeny následovně θ2 = {0.3, 0.7}. [[#Přesvědčení hráče|Přesvědčení]] o Richardových strategiích není definováno. '''Příklad 3''' Jaký bude předpokládaný výnos hry pro oba dva hráče v případě, že budou o obou hráčích známy následující [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]]? θ1 = {0.4, 0.6}; θ2 = {0.7, 0.3}. A jaký bude v takovém případě celkový výnos hry?</div>
 

= Smíšené strategie =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Předchozím konceptem [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] lze podložit následující terminologické rozdělení strategií, které se v [[Game theory/cs|teorii her]] používá. 
Ryzí strategie (pure strategy) zavazuje hráče deterministicky bez možnosti pravděpodobnostního ohodnocení (respektive ohodnocení se vždy rovná jedné). Smíšená strategie (mixed strategy) odpovídá sestavě [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] přiřazující ryzím strategiím specifické probabilistické ohodnocení. A ačkoliv množina ryzích strategií každého hráče je konečná, díky spojitosti probabilistického ohodnocení lze na základě konečného setu ryzích strategií definovat nekonečné množství [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] a tedy i smíšených strategií. Zcela smíšená strategie (totally mixed strategy) představuje smíšenou strategii přiřazující nenulové ohodnocení všem ryzím strategiím hráče.
Například, máme-li hru dvou hráčů s trojicí možných ryzích strategií pro každého, pak [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] θ1 = {0, 0.5, 0.5}, θ2 = {0.1, 0.4, 0.5} představují smíšenou strategii fakticky eliminující první strategii prvního hráče. Kombinaci [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] θ1 = {1/3, 1/3, 1/3} a θ2 = {1/3, 1/3, 1/3} naopak můžeme označit jako naprosto smíšenou strategii.</div>

<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;font-weight: regular;text-align:center;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">O smíšené strategii (mixed strategy) hráče mluvíme, pokud se pro strategii rozhoduje právě na základě přesvědčení (pravděpodobnostního rozdělení). Ryzí strategii (pure strategy) lze považovat za typ smíšené strategie, kde se pravděpodobnostní ohodnocení rovná jedné.<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref></div>

== Nashovo equilibrium ve smíšené strategii ==
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Rozlišujeme [[Nash equilibrium/cs|Nashovu rovnováhu]] ryzí strategie a rovnováhu smíšené strategie. V ryzí rovnovážné strategii hrají všichni hráči ryzí strategie, zatímco ve smíšené rovnovážné strategii alespoň jeden z nich používá [[#Smíšené strategie|strategie smíšené]]. [[John Forbes Nash/cs|John Forbes Nash]] dokázal<ref name="nash">Nash, John. ''Equilibrium points in n-person games''. Proceedings of the National Academy of Sciences, 1950, 36(1):48-49.</ref>, že každá konečná hra má [[Nash equilibrium/cs|Nashovy rovnováhy]], avšak nemusí jít o rovnováhu pouze v ryzích strategiích. Každá hra má tedy své [[Nash equilibrium/cs|Nashovo equilibrium]] alespoň v případě, že je hrána probabilisticky, jedná se pak o smíšenou rovnovážnou strategii.

</div>
<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;background-color: #F0FFFF;text-align:center;font-size:1.2em;">Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží nebo v nejlepším případě zůstane stejná<ref name="dlouhy">Dlouhý, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref> Každá hra má Nashovy rovnováhy, v rámci ryzích nebo alespoň v rámci smíšených strategií.<ref name="nash">Nash, John. ''Equilibrium points in n-person games''. Proceedings of the National Academy of Sciences, 1950, 36(1):48-49.</ref></div>

=== Richardova hra ===
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Richard si je vědom, že dosáhl pomocí [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] formalizace, díky které může vybrat racionálnější variantu. Zvolit strategii na základě očekávaného výnosu není špatné<ref name="turban">Turban, Efraim. ''Fundamentals of Management Science /Základy vědy o řízení: an introduction to game theory.'' 4.Ed. Plano: Business Publications, Inc., 1988, 915 s. ISBN 02-560-6256-0. </ref>, problémem je však, že kvalita takového rozhodnutí se odvíjí od kvality použitého [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], kterým strategie ohodnotil. Proto začíná spíše uvažovat, zda-li se nemůže zaměřit pouze na původní model hry a ten analyticky rozebrat. Nemá-li například hra samotná žádného [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]] v ryzích strategiích, nebylo by možné jej nalézt právě pomocí kombinace probabilistických [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]]?
Zkusme si tedy ke každé ryzí strategii přiřadit proměnnou značící pravděpodobnost volby. U každého hráče si vystačíme pouze s jednou proměnnou, víme totiž, že ohodnocení všech strategií hráče se v součtu musí rovnat jedné a proto lze ohodnocení druhé strategie vyjádřit jako 1 - p, respektive 1 - q.

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | RICHARD
|-
| rowspan="6" style="text-align: center; font-weight: bold;" | RONALDHINO
|
| VĚŘIT
| NEVĚŘIT
|-
|
| q
| 1 - q
|-
| BLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
|-
| p
|-
| NEBLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
|-
| 1 - p
|}
Hledáme takové [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], které nám v rámci hráčových strategií poskytne stejnou váženou výplatu pro každou strategii a které bude v kombinaci s druhým splňovat podmínky [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. Máme zatím jen obecný popis takového systému [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] ([[#Smíšené strategie|smíšené strategie]]), kde θ1 = {q, 1 - q} a θ2 = {p, 1 - p}. Stejně jako jsme počítali očekávaný výnos, využijme pro všechny strategie vyjádření do čtveřice následujících rovnic. V podstatě provádíme citlivostní analýzu.<ref name="turban">Turban, Efraim. ''Fundamentals of Management Science /Základy vědy o řízení: an introduction to game theory.'' 4.Ed. Plano: Business Publications, Inc., 1988, 915 s. ISBN 02-560-6256-0.</ref> 
u1(Věřit, θ2) = 1 • p + 0 • (1 - p) = p 
u1(Nevěřit, θ2) = 0 • p + 1 • (1 - p) = 1 - p 
u2(Blufovat, θ1) = 1 • q + 0 • (1 - q) = q 
u2(Neblufovat, θ1) = 0 • q + 1 • (1 - q) = 1 - q 
Jak už bylo řečeno, nashově-rovnovážná smíšená strategie povede hráče k indiferentnímu výběru mezi jeho základními (ryzími strategiemi). V tomto typu hry dvou hráčů můžeme soustavu rovnic dopočítat srovnáním vyjádření pravděpodnosti první a druhé strategie každého hráče. 
Pro p tedy: p = 1 - p 
2p = 1 
p = 0.5 
A dále pro q: 
q = 1 - q 
2q = 1 
q = 0.5 
[[#Smíšené strategie|Smíšená strategie]] zajišťující [[Nash equilibrium/cs|Nashovo equilibrium]] se tedy nachází v podobě profilu ((q, 1 - q), (p, 1 - p)), tedy konkrétně vyčísleno ((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)). Což znamená, že každý z hráčů by měl v polovině případů volit první strategii, v druhé polovině druhou. Richard zjišťuje, že bez zvláštních [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], je z povahy hry pro zajištění [[Nash equilibrium/cs|Nashovy rovnováhy]] nejvhodnější rovnoměrně rozdělit volené strategie mezi jednotlivé pokusy. Tedy v případě jeho problému tří penaltových kopů jednou zvolit první strategii, jednou druhou a napotřetí si nejspíš hodit mincí.
Ve světle zjištěné rovnovážné smíšené strategie můžeme prohlásit, že [[#Smíšené strategie|smíšená strategie]] z příkladu 3, o které Richard mohl uvažovat, by nebyla rovnovážná.
</div>

=== Hledání rovnovážné smíšené strategie obecně ===
<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:left;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">Pro nalezení rovnovážné smíšené strategie lze obecně doporučit následující postup<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>: 
1. Odstranění ze hry všech silně dominovaných strategií procedůrou iterovaného dominování. 
2. Zaměření pozornosti pouze na vzniklou relevantní podhru původní hry. 
3. Vyjádření smíšených pravděpodobností, díky kterým je hráč indiferentní mezi relevantními ryzími strategiemi. 
4. Vyčíslit rovnice smíšených pravděpodobností, čímž je získán rovnovážný profil.
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Pokusme se nyní nalézt rovnovážnou smíšenou strategii v obecnějším a komplikovanějším případu<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>.
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
! Z
|-
| A
| 0 5
| 2 3
| 2 3
|-
| B
| 2 3
| 0 5
| 3 2
|-
| C
| 5 0
| 3 2
| 2 3
|}

V prvním kroku si ověřujeme, zda-li některá ze strategií není dominována ryzí nebou smíšenou strategií. Zjišťujeme, že lze [[#Smíšené strategie|smíšenou strategií]] (B,C) dominovat strategii A. 
Důkaz o dominanci A je následující: 
2p + 5(1 - 5) > 0 
0p + 3(1 - p) > 2 
3p + 2(1 - p) > 2 
Vyjádřená omezení p: 
p < 5/3 
p < 1/3 
p > 0 
p omezené předchozími nerovnicemi lze nalézt. Strategie A tedy nebude součástí řešení. Po jejím odstranění si všímáme u strategií druhého hráče, že je strategie X je dominována Y. I tu můžeme tedy vyloučit. Zbývají nám relevantní strategie (B,C) x (Y,Z).

{| class="wikitable"
!
! Y
! Z
|-
| B
| 0 5
| 3 2
|-
| C
| 3 2
| 2 3
|}

Řešíme uvedenou podhru původní hry. Rovnovážnou [[#Smíšené strategie|smíšenou strategii]] definujme jako (p, 1 - p) x (q, 1 - q), z čehož nám po dopočtení vychází profil (1/4, 3/4) x (1/4, 3/4). Respektive (0, 1/4, 3/4) x (0, 1/4, 3/4) pro původní hru.</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
'''Příklad 4''' Uvažte následující hru a nalezněte všechna [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. 
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
|-
| A
| 2 8
| 5 8
|-
| B
| 3 4
| 4 0
|}
'''Příklad 5''' Uvažte následující hru a nalezněte všechna [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. 
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
|-
| A
| 2 4
| 5 -1
|-
| B
| 4 -1
| 4 0
|}
'''Příklad 6''' Nalezněte rovnovážnou smíšenou strategii pro případ hry kámen, nůžky, papír. (příklad lze řešit odhadem)</div>

= Dovětek =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Z předchozích příkladů je patrné, že hledání smíšené rovnovážné strategie není problematické v případě matic 2 x 2. Pro ruční řešení se s takovými maticemi setkáte nejčastěji. Případně, pokud je hra [[Symmetric game/cs|symetrická]], je možné rovnovážnou smíšenou strategii ještě odvodit úvahou i u rozměrnějších her jako například u hry kámen, nůžky, papír. Problematičtější jsou ale rozlehlejší matice, u kterých je nezbytné hru chápat jako úlohu [[Linear programming/cs|lineárního programování]] a řešit pomocí algoritmu (například [[Simplex method/cs|simplexová metoda]]). Nebo musíme využít specializovaných alogritmů (například [[Lemke-Howson algorithm/cs|Lemke-Howson algoritmus]]).
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Tím kapitola končí. A ptáte se, co se stalo toho večera ve Wembley? Richard strávil v brance hezké chvilky nad [[Game theory/cs|teorií her]], při kterých si uvědomil spoustu nového o možnostech řešení a hledání [[Nash equilibrium/cs|rovnovážných stavů]]. Nakonec jej všechno to poznání přivedlo k myšlence, že nebude vůbec špatné dát na fotbalistu Čecha, a jeho oprýskané rukavice, které mají přinášet štěstí, si navléci. Když tak učinil, odložil solární kalkulačku s notýskem k jedné z brankových tyčí, zvedl hlavu od zeleného pažitu, rozhlédl se a zjistil, že stadión je už dávno prázdný. Zůstal tam úplně sám. Zatímco počítal a zkoušel všechny možnosti, Ronaldhino, Beckham a Suchopárek se rozhodli dát na charitu všechny peníze, co jim jejich sponzoři přidělili. Jen tak. Pro dobro věci. A hlavně aby všichni mohli být brzo doma. S tím Richard sice vůbec nepočítal, ale za ty nově nabyté znalosti to určitě stojí. A navíc, získal přece rukavice Petra Čecha. A ty by na eBayi něco málo taky mohly hodit!
</div>
= Výsledky příkladů =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Příklad 1 
u1(Věřit,θ2) = 0.2 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.8 
Příklad 2 
u1(Věřit,θ2) = 0.3 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.7 
Příklad 3 
u1(θ1,θ2) = 0.4 • 0.7 • 0 + 0.4 • 0.3 • 1 + 0.6 • 0.7 • 1 + 0.6 • 0.3 • 0 = 0.54 
u2(θ1,θ2) = 0.7 • 0.4 • 1 + 0.7 • 0.6 • 0 + 0.3 • 0.4 • 0 + 0.3 • 0.6 • 1 = 0.46 
u(θ1,θ2) = 0.54 + 0.46 = 1
Příklad 4 
Hra má v ryzích strategiích dvojici NE (B,X) a (A,Y), kde pareto-optimální je (A,Y). V případě rovnovážné smíšené strategie pak dosáhneme přesvědčení (1/2, 1/2) x (1, 0).

Příklad 5 
Hra nemá v ryzích strategiích žádné NE. Hledání smíšené rovnovážné strategie nás dovede k profilu (1/3, 2/3) x (1/6, 5/6).

Příklad 6 
Opět hledáme takový mix pravděpodobností, který učiní hráče indiferentním mezi jeho strategiemi. Rovnovážným řešením je proto pro oba hráče přesvědčení (1/3, 1/3, 1/3).</div> 

= Reference =
<references/>

= Doporučená literatura =
1. Carmichael, Fiona. A guide to game theory: an introduction to game theory. 1st ed. New York: Financial Times Prentice Hall, 2005, xiii, 286 p. ISBN 02-736-8496-5. 
2. Shomam, Kevin Leyton-Brown and Yoav. Essentials of game theory a concise, multidisciplinary introduction: an introduction to game theory. 1st ed. San 3. Rafael, Calif.: Morgan, 2008, 915 s. ISBN 978-159-8295-931. 
3. Watson, Joel. Strategy: an introduction to game theory. Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.

Mixed strategy/cs

2014-06-18T20:00:31Z

Xvalm48: /* Nashovo equilibrium ve smíšené strategii */

= Úvod =
<div>V této kapitole budete seznámeni s konceptem smíšené strategie, kde bude postupně vysvětlen jeho význam a možnosti použití pro analýzu a řešení her. Kapitola se skládá z obsahu trojího typu odlišeného barvou.
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #00BFFF;margin: 0px 0px 1px 10px;">Modrým zvýrazněním jsou označeny obecné definice a poznatky shrnující výklad.</div>
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #228B22;margin: 0px 0px 1px 10px;">Zelené zvýraznění ohraničuje výklad.</div>
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #FF4500;margin: 0px 0px 1px 10px;">Oranžová značí procvičující otázky, na které naleznete odpověď na konci stránky.</div></div>

= Přesvědčení hráče =
<div>Pro srozumitelnější vysvětlení navazujícího konceptu [[#Smíšené strategie|smíšených strategií]] bude první část věnována podřízenému konstruktu teorie her - [[#Přesvědčení hráče|hráčově přesvědčení]].</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Na stadionu ve Wembley je po letech zase pekelně živo. V charitativní exhibiční show tak dobré, že se ji chystá přenášet i Česká televize, se před čáru na pokutový kop připravuje trojice naprosto legendárních hráčů. Trojka fotbalových es ozkouší kvality jednoho vylosovaného fanouška, který se pokusí chycením míče krom své prestiže získat i nějaké peníze pro dobrou věc. Na základě očíslovaných vstupenek je ze skandujícího davu vybrán Richard H., shodou okolností absolvent Vysoké školy ekonomické se silně rozvinutým smyslem pro statistiku a matematizaci čehokoliv a za každou cenu. Richard se chvilku po rozsvícení svého obličeje na videokostce nad stadionem pro 90 000 diváků ani nehne. Jen pozorně přejíždí zrakem po přeplněných tribunách, vyprázdněném, zeleném hřišti a hloučku extraligových hráčů připravených u brány. Několikrát se nadechne, vyrovná ramena, z kapsy od saka vytáhne kalkulačku, a neohroženě sestupuje k hřišti. Cestou dolů, skrze sprostě a anglicky křičící diváky mu zrovna běží hlavou: "Zatraceně Richarde, byls vybrán, abys reprezentoval tady na charitativní exhibici a postavil se velkejm hvězdám. Nebude zas taková ostuda, když ten míč nechytíš. Vždyť první kope Ronaldhino!" 
<div style="float:right;padding: 10px;">[[File:goalkeeper.jpg|240 px|Fotbalový brankář]]</div>
Pokračuje dál, přeskakuje sedačky a mračí se: "Možná bys ale mohl svůj gólmanský úkol formalizovat jako nějakou matematickou úlohu. To by tě i bavilo. Možná použít koncepty [[Game theory/cs|teorie her]]?"
Richarda dole u zábradlí míjí jeden z českých fanoušků, náhodou také nějaký fotbalista, a podává mu svoje gólmanské rukavice: "Já jsem Čech. Tyhle rukavice vám přinesou štěstí." "Já zase Richard, děkuju," přebírá ošoupanou výstroj s logem Chelsea a suverenně ji zastrkává do kalhot. Jeho sebejistý úsměv značí, že je pro výhru v následujícím klání nebude potřebovat. Uvědomil si: "Fotbalista kopající penaltu má v zásadě jen dvě možnosti, jak kopnout. Buď se pokusí mne mást tělem, naznačí mi směr a pak kopne jeho opak. Nebo se blufovat nepokusí a náznak směru jeho těla bude odpovídat i hranému směru míče..." 
Richard si postupně potřásá rukou s Ronaldhinem, Beckhamem a Janem Suchopárkem z pražské Slavie. Největšími fotbalisty všech dob. Pak se se skrývaným smíchem běží připravit do brány: "To je jasné. Vypíšu si všechny možnosti do bloku a prostě to spočítám! Konečně efektně uplatním něco, co jsem naučil na škole!" 
Ronaldhino si nervózně kontroluje kopačky na suchý zip, odtušil, že netypický gólman nebude nejsnadnějším soupeřem. Stadion křičí nedočkavostí. Na trávník dopadávají první zapálené dýmovnice. Ty ale matematikovu koncentrovanou mysl v tandemu s precizně sepsanými zápisky a solárně napájenou kalkulačkou nemohou zastavit...
 Ponechme napjatou atmosféru ve Wembley na chvíli stranou a rozeberme, s jakou logikou si Richard poznačoval do svého bloku.
 

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 1 RICHARD
|-
| rowspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 2 RONALDHINO
|
| VĚŘIT
| NEVĚŘIT
|-
| BLUFOVAT
| style="text-align: center;" | 1 0
| style="text-align: center;" | 0 1
|-
| NEBLUFOVAT
| style="text-align: center;" | 0 1
| style="text-align: center;" | 1 0
|}

Ze zápisu je patrné, že se jedná o hru uspořádanou v [[Normal form/cs|normálové formě]], neboli o [[Payoff matrix/cs|výplatní matici]] dvou hráčů (Richarda a Ronaldhina) a jejich hratelných možností. Ronaldhino disponuje dvojicí strategií {BLUFOVAT, NEBLUFOVAT}, Richard oproti tomu {VĚŘIT a jít v naznačeném směru, NEVĚŘIT a jít v opačném směru}. V případě, že Richard míč chytí, rovná se jeho výplata jedné, Ronaldhinova nule. A naopak. 
Touto formalizací problému, ale Richard nekončí, protože by mu s řešením problému zatím zvlášť nepomohla. Zaznamenaná hra je konfliktní, [[Antagonistic game/cs|antagonistická]] a nemá žádné [[Dominated strategy/cs|dominované strategie]] nebo [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. Těmito koncepty řešení se tedy ke zjištění nejvhodnější strategie nedobereme. Richard proto přemýšlí, jak do svého modelu hry zapracovat i všechny další informace, které jsou o fotbalu dostupné.
Tak například ví, že Ronaldhino a Beckham jsou hvězdy velkých klubů, protřelí blufaři, relativně málo hrající v naznačeném směru. Zatímco ale Suchopárek, podle statistik, zase blufuje jen výjimečně. Zároveň je jasné, že Richard sám nemá žádné zvláštní inklinace z hlediska důvěřivosti nebo nedůvěřivosti. Richard se proto pokouší využít všechny tyto nadstandardní informace, které je možno vyjádřit skrze sestavu pravděpodobností, o kterou bude rozhodování v rámci hry obohaceno.

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 1 RICHARD
|-
| rowspan="6" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 2 RONALDHINO
|
| VĚRIT
| NEVĚŘIT
|-
|
| -
| -
|-
| BLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
|-
| 75 % (0.75)
|-
| NEBLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
|-
| 25 % (0.25)
|}

Přiřazením profilu pravděpodobností ke každé protihráčově variantě Richard vlastně vložil do problému dimenzi poměrného [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] o protihráči, respektive jeho strategiích. Ohodnocení strategie v rámci přesvědčení z logiky věci nabývá hodnot od nuly do jedné. 
Zápis [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] druhého hráče (Ronaldhina) se běžně zapisuje následujícím způsobem<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>: 
θ2 = {0.75, 0.25}

Přidání dimenze [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] umožňuje spočítat očekávaný výnos každé strategie. Očekávaný výnos je pak vlastně jen součtem zhodnocených výplat pro každou strategii. 
u1(Věřit,θ2) = 0.75 • 0 + 0.25 • 1 = 0.25 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.75 • 0.5 • 1 + 0.25 • 0 = 0.75 
 
Z očekávaných výnosů a za předpokladu jeho maximalizace je jasné, že pro Richarda je nejlepší Ronaldhinovi nevěřit. Naopak Ronaldhino nemůže využít specifického [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] o Richardových preferencích a proto je mezi svými volbami indiferentní.
</div>

<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;font-weight: regular;text-align:center;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">Přesvědčením hráče (belief) označujeme pravděpodobnostní ohodnocení nad strategiemi ostatních hráčů.<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
'''Příklad 1''' Jaký bude předpokládaný výnos v případě, že Richard bude chytat druhý kop Beckhama? Beckhamovy strategie jsou podřízeny [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] následovně θ2 = {0.8, 0.2}. [[#Přesvědčení hráče|Přesvědčení]] o Richardových strategiích není definováno. '''Příklad 2''' A jaký bude předpokládaný výnos v případě třetí penalty, kopnuté Janem Suchopárkem? Suchopárkovy strategie jsou podřízeny následovně θ2 = {0.3, 0.7}. [[#Přesvědčení hráče|Přesvědčení]] o Richardových strategiích není definováno. '''Příklad 3''' Jaký bude předpokládaný výnos hry pro oba dva hráče v případě, že budou o obou hráčích známy následující [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]]? θ1 = {0.4, 0.6}; θ2 = {0.7, 0.3}. A jaký bude v takovém případě celkový výnos hry?</div>
 

= Smíšené strategie =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Předchozím konceptem [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] lze podložit následující terminologické rozdělení strategií, které se v [[Game theory/cs|teorii her]] používá. 
Ryzí strategie (pure strategy) zavazuje hráče deterministicky bez možnosti pravděpodobnostního ohodnocení (respektive ohodnocení se vždy rovná jedné). Smíšená strategie (mixed strategy) odpovídá sestavě [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] přiřazující ryzím strategiím specifické probabilistické ohodnocení. A ačkoliv množina ryzích strategií každého hráče je konečná, díky spojitosti probabilistického ohodnocení lze na základě konečného setu ryzích strategií definovat nekonečné množství [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] a tedy i smíšených strategií. Zcela smíšená strategie (totally mixed strategy) představuje smíšenou strategii přiřazující nenulové ohodnocení všem ryzím strategiím hráče.
Například, máme-li hru dvou hráčů s trojicí možných ryzích strategií pro každého, pak [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] θ1 = {0, 0.5, 0.5}, θ2 = {0.1, 0.4, 0.5} představují smíšenou strategii fakticky eliminující první strategii prvního hráče. Kombinaci [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] θ1 = {1/3, 1/3, 1/3} a θ2 = {1/3, 1/3, 1/3} naopak můžeme označit jako naprosto smíšenou strategii.</div>

<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;font-weight: regular;text-align:center;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">O smíšené strategii (mixed strategy) hráče mluvíme, pokud se pro strategii rozhoduje právě na základě přesvědčení (pravděpodobnostního rozdělení). Ryzí strategii (pure strategy) lze považovat za typ smíšené strategie, kde se pravděpodobnostní ohodnocení rovná jedné.<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref></div>

== Nashovo equilibrium ve smíšené strategii ==
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Rozlišujeme [[Nash equilibrium/cs|Nashovu rovnováhu]] ryzí strategie a rovnováhu smíšené strategie. V ryzí rovnovážné strategii hrají všichni hráči ryzí strategie, zatímco ve smíšené rovnovážné strategii alespoň jeden z nich používá [[#Smíšené strategie|strategie smíšené]]. [[John Forbes Nash/cs|John Forbes Nash]] dokázal<ref name="nash">Nash, John. ''Equilibrium points in n-person games''. Proceedings of the National Academy of Sciences, 1950, 36(1):48-49.</ref>, že každá konečná hra má [[Nash equilibrium/cs|Nashovy rovnováhy]], avšak nemusí jít o rovnováhu pouze v ryzích strategiích. Každá hra má tedy své [[Nash equilibrium/cs|Nashovo equilibrium]] alespoň v případě, že je hrána probabilisticky, jedná se pak o smíšenou rovnovážnou strategii.

</div>
<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;background-color: #F0FFFF;text-align:center;font-size:1.2em;">Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží nebo v nejlepším případě zůstane stejná<ref name="dlouhy">Dlouhý, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref> Každá hra má Nashovy rovnováhy, v rámci ryzích nebo alespoň v rámci smíšených strategií.<ref name="nash">Nash, John. ''Equilibrium points in n-person games''. Proceedings of the National Academy of Sciences, 1950, 36(1):48-49.</ref></div>

=== Richardova hra ===
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Richard si je vědom, že dosáhl pomocí [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] formalizace, díky které může vybrat racionálnější variantu. Zvolit strategii na základě očekávaného výnosu není špatné<ref name="turban">Turban, Efraim. ''Fundamentals of Management Science /Základy vědy o řízení: an introduction to game theory.'' 4.Ed. Plano: Business Publications, Inc., 1988, 915 s. ISBN 02-560-6256-0. </ref>, problémem je však, že kvalita takového rozhodnutí se odvíjí od kvality použitého [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], kterým strategie ohodnotil. Proto začíná spíše uvažovat, zda-li se nemůže zaměřit pouze na původní model hry a ten analyticky rozebrat. Nemá-li například hra samotná žádného [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]] v ryzích strategiích, nebylo by možné jej nalézt právě pomocí kombinace probabilistických [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]]?
Zkusme si tedy ke každé ryzí strategii přiřadit proměnnou značící pravděpodobnost volby. U každého hráče si vystačíme pouze s jednou proměnnou, víme totiž, že ohodnocení všech strategií hráče se v součtu musí rovnat jedné a proto lze ohodnocení druhé strategie vyjádřit jako 1 - p, respektive 1 - q.

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | RICHARD
|-
| rowspan="6" style="text-align: center; font-weight: bold;" | RONALDHINO
|
| VĚŘIT
| NEVĚŘIT
|-
|
| q
| 1 - q
|-
| BLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
|-
| p
|-
| NEBLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
|-
| 1 - p
|}
Hledáme takové [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], které nám v rámci hráčových strategií poskytne stejnou váženou výplatu pro každou strategii a které bude v kombinaci s druhým splňovat podmínky [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. Máme zatím jen obecný popis takového systému [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] ([[#Smíšené strategie|smíšené strategie]]), kde θ1 = {q, 1 - q} a θ2 = {p, 1 - p}. Stejně jako jsme počítali očekávaný výnos, využijme pro všechny strategie vyjádření do čtveřice následujících rovnic. V podstatě provádíme citlivostní analýzu.<ref name="turban">Turban, Efraim. ''Fundamentals of Management Science /Základy vědy o řízení: an introduction to game theory.'' 4.Ed. Plano: Business Publications, Inc., 1988, 915 s. ISBN 02-560-6256-0.</ref> 
u1(Věřit, θ2) = 1 • p + 0 • (1 - p) = p 
u1(Nevěřit, θ2) = 0 • p + 1 • (1 - p) = 1 - p 
u2(Blufovat, θ1) = 1 • q + 0 • (1 - q) = q 
u2(Neblufovat, θ1) = 0 • q + 1 • (1 - q) = 1 - q 
Jak už bylo řečeno, nashově-rovnovážná smíšená strategie povede hráče k indiferentnímu výběru mezi jeho základními (ryzími strategiemi). V tomto typu hry dvou hráčů můžeme soustavu rovnic dopočítat srovnáním vyjádření pravděpodnosti první a druhé strategie každého hráče. 
Pro p tedy: p = 1 - p 
2p = 1 
p = 0.5 
A dále pro q: 
q = 1 - q 
2q = 1 
q = 0.5 
[[#Smíšené strategie|Smíšená strategie]] zajišťující [[Nash equilibrium/cs|Nashovo equilibrium]] se tedy nachází v podobě profilu ((q, 1 - q), (p, 1 - p)), tedy konkrétně vyčísleno ((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)). Což znamená, že každý z hráčů by měl v polovině případů volit první strategii, v druhé polovině druhou. Richard zjišťuje, že bez zvláštních [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], je z povahy hry pro zajištění [[Nash equilibrium/cs|Nashovy rovnováhy]] nejvhodnější rovnoměrně rozdělit volené strategie mezi jednotlivé pokusy. Tedy v případě jeho problému tří penaltových kopů jednou zvolit první strategii, jednou druhou a napotřetí si nejspíš hodit mincí.
Ve světle zjištěné rovnovážné smíšené strategie můžeme prohlásit, že [[#Smíšené strategie|smíšená strategie]] z příkladu 3, o které Richard mohl uvažovat, by nebyla rovnovážná.
</div>

=== Hledání rovnovážné smíšené strategie obecně ===
<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:left;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">Pro nalezení rovnovážné smíšené strategie lze obecně doporučit následující postup<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>: 
1. Odstranění ze hry všech silně dominovaných strategií procedůrou iterovaného dominování. 
2. Zaměření pozornosti pouze na vzniklou relevantní podhru původní hry. 
3. Vyjádření smíšených pravděpodobností, díky kterým je hráč indiferentní mezi relevantními ryzími strategiemi. 
4. Vyčíslit rovnice smíšených pravděpodobností, čímž je získán rovnovážný profil.
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Pokusme se nyní nalézt rovnovážnou smíšenou strategii v obecnějším a komplikovanějším případu.
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
! Z
|-
| A
| 0 5
| 2 3
| 2 3
|-
| B
| 2 3
| 0 5
| 3 2
|-
| C
| 5 0
| 3 2
| 2 3
|}

V prvním kroku si ověřujeme, zda-li některá ze strategií není dominována ryzí nebou smíšenou strategií. Zjišťujeme, že lze [[#Smíšené strategie|smíšenou strategií]] (B,C) dominovat strategii A. 
Důkaz o dominanci A je následující: 
2p + 5(1 - 5) > 0 
0p + 3(1 - p) > 2 
3p + 2(1 - p) > 2 
Vyjádřená omezení p: 
p < 5/3 
p < 1/3 
p > 0 
p omezené předchozími nerovnicemi lze nalézt. Strategie A tedy nebude součástí řešení. Po jejím odstranění si všímáme u strategií druhého hráče, že je strategie X je dominována Y. I tu můžeme tedy vyloučit. Zbývají nám relevantní strategie (B,C) x (Y,Z).

{| class="wikitable"
!
! Y
! Z
|-
| B
| 0 5
| 3 2
|-
| C
| 3 2
| 2 3
|}

Řešíme uvedenou podhru původní hry. Rovnovážnou [[#Smíšené strategie|smíšenou strategii]] definujme jako (p, 1 - p) x (q, 1 - q), z čehož nám po dopočtení vychází profil (1/4, 3/4) x (1/4, 3/4). Respektive (0, 1/4, 3/4) x (0, 1/4, 3/4) pro původní hru.</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
'''Příklad 4''' Uvažte následující hru a nalezněte všechna [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. 
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
|-
| A
| 2 8
| 5 8
|-
| B
| 3 4
| 4 0
|}
'''Příklad 5''' Uvažte následující hru a nalezněte všechna [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. 
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
|-
| A
| 2 4
| 5 -1
|-
| B
| 4 -1
| 4 0
|}
'''Příklad 6''' Nalezněte rovnovážnou smíšenou strategii pro případ hry kámen, nůžky, papír. (příklad lze řešit odhadem)</div>

= Dovětek =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Z předchozích příkladů je patrné, že hledání smíšené rovnovážné strategie není problematické v případě matic 2 x 2. Pro ruční řešení se s takovými maticemi setkáte nejčastěji. Případně, pokud je hra [[Symmetric game/cs|symetrická]], je možné rovnovážnou smíšenou strategii ještě odvodit úvahou i u rozměrnějších her jako například u hry kámen, nůžky, papír. Problematičtější jsou ale rozlehlejší matice, u kterých je nezbytné hru chápat jako úlohu [[Linear programming/cs|lineárního programování]] a řešit pomocí algoritmu (například [[Simplex method/cs|simplexová metoda]]). Nebo musíme využít specializovaných alogritmů (například [[Lemke-Howson algorithm/cs|Lemke-Howson algoritmus]]).
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Tím kapitola končí. A ptáte se, co se stalo toho večera ve Wembley? Richard strávil v brance hezké chvilky nad [[Game theory/cs|teorií her]], při kterých si uvědomil spoustu nového o možnostech řešení a hledání [[Nash equilibrium/cs|rovnovážných stavů]]. Nakonec jej všechno to poznání přivedlo k myšlence, že nebude vůbec špatné dát na fotbalistu Čecha, a jeho oprýskané rukavice, které mají přinášet štěstí, si navléci. Když tak učinil, odložil solární kalkulačku s notýskem k jedné z brankových tyčí, zvedl hlavu od zeleného pažitu, rozhlédl se a zjistil, že stadión je už dávno prázdný. Zůstal tam úplně sám. Zatímco počítal a zkoušel všechny možnosti, Ronaldhino, Beckham a Suchopárek se rozhodli dát na charitu všechny peníze, co jim jejich sponzoři přidělili. Jen tak. Pro dobro věci. A hlavně aby všichni mohli být brzo doma. S tím Richard sice vůbec nepočítal, ale za ty nově nabyté znalosti to určitě stojí. A navíc, získal přece rukavice Petra Čecha. A ty by na eBayi něco málo taky mohly hodit!
</div>
= Výsledky příkladů =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Příklad 1 
u1(Věřit,θ2) = 0.2 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.8 
Příklad 2 
u1(Věřit,θ2) = 0.3 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.7 
Příklad 3 
u1(θ1,θ2) = 0.4 • 0.7 • 0 + 0.4 • 0.3 • 1 + 0.6 • 0.7 • 1 + 0.6 • 0.3 • 0 = 0.54 
u2(θ1,θ2) = 0.7 • 0.4 • 1 + 0.7 • 0.6 • 0 + 0.3 • 0.4 • 0 + 0.3 • 0.6 • 1 = 0.46 
u(θ1,θ2) = 0.54 + 0.46 = 1
Příklad 4 
Hra má v ryzích strategiích dvojici NE (B,X) a (A,Y), kde pareto-optimální je (A,Y). V případě rovnovážné smíšené strategie pak dosáhneme přesvědčení (1/2, 1/2) x (1, 0).

Příklad 5 
Hra nemá v ryzích strategiích žádné NE. Hledání smíšené rovnovážné strategie nás dovede k profilu (1/3, 2/3) x (1/6, 5/6).

Příklad 6 
Opět hledáme takový mix pravděpodobností, který učiní hráče indiferentním mezi jeho strategiemi. Rovnovážným řešením je proto pro oba hráče přesvědčení (1/3, 1/3, 1/3).</div> 

= Reference =
<references/>

= Doporučená literatura =
1. Carmichael, Fiona. A guide to game theory: an introduction to game theory. 1st ed. New York: Financial Times Prentice Hall, 2005, xiii, 286 p. ISBN 02-736-8496-5. 
2. Shomam, Kevin Leyton-Brown and Yoav. Essentials of game theory a concise, multidisciplinary introduction: an introduction to game theory. 1st ed. San 3. Rafael, Calif.: Morgan, 2008, 915 s. ISBN 978-159-8295-931. 
3. Watson, Joel. Strategy: an introduction to game theory. Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.

Mixed strategy/cs

2014-06-18T19:59:59Z

Xvalm48: /* Nashovo equilibrium ve smíšené strategii */

= Úvod =
<div>V této kapitole budete seznámeni s konceptem smíšené strategie, kde bude postupně vysvětlen jeho význam a možnosti použití pro analýzu a řešení her. Kapitola se skládá z obsahu trojího typu odlišeného barvou.
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #00BFFF;margin: 0px 0px 1px 10px;">Modrým zvýrazněním jsou označeny obecné definice a poznatky shrnující výklad.</div>
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #228B22;margin: 0px 0px 1px 10px;">Zelené zvýraznění ohraničuje výklad.</div>
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #FF4500;margin: 0px 0px 1px 10px;">Oranžová značí procvičující otázky, na které naleznete odpověď na konci stránky.</div></div>

= Přesvědčení hráče =
<div>Pro srozumitelnější vysvětlení navazujícího konceptu [[#Smíšené strategie|smíšených strategií]] bude první část věnována podřízenému konstruktu teorie her - [[#Přesvědčení hráče|hráčově přesvědčení]].</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Na stadionu ve Wembley je po letech zase pekelně živo. V charitativní exhibiční show tak dobré, že se ji chystá přenášet i Česká televize, se před čáru na pokutový kop připravuje trojice naprosto legendárních hráčů. Trojka fotbalových es ozkouší kvality jednoho vylosovaného fanouška, který se pokusí chycením míče krom své prestiže získat i nějaké peníze pro dobrou věc. Na základě očíslovaných vstupenek je ze skandujícího davu vybrán Richard H., shodou okolností absolvent Vysoké školy ekonomické se silně rozvinutým smyslem pro statistiku a matematizaci čehokoliv a za každou cenu. Richard se chvilku po rozsvícení svého obličeje na videokostce nad stadionem pro 90 000 diváků ani nehne. Jen pozorně přejíždí zrakem po přeplněných tribunách, vyprázdněném, zeleném hřišti a hloučku extraligových hráčů připravených u brány. Několikrát se nadechne, vyrovná ramena, z kapsy od saka vytáhne kalkulačku, a neohroženě sestupuje k hřišti. Cestou dolů, skrze sprostě a anglicky křičící diváky mu zrovna běží hlavou: "Zatraceně Richarde, byls vybrán, abys reprezentoval tady na charitativní exhibici a postavil se velkejm hvězdám. Nebude zas taková ostuda, když ten míč nechytíš. Vždyť první kope Ronaldhino!" 
<div style="float:right;padding: 10px;">[[File:goalkeeper.jpg|240 px|Fotbalový brankář]]</div>
Pokračuje dál, přeskakuje sedačky a mračí se: "Možná bys ale mohl svůj gólmanský úkol formalizovat jako nějakou matematickou úlohu. To by tě i bavilo. Možná použít koncepty [[Game theory/cs|teorie her]]?"
Richarda dole u zábradlí míjí jeden z českých fanoušků, náhodou také nějaký fotbalista, a podává mu svoje gólmanské rukavice: "Já jsem Čech. Tyhle rukavice vám přinesou štěstí." "Já zase Richard, děkuju," přebírá ošoupanou výstroj s logem Chelsea a suverenně ji zastrkává do kalhot. Jeho sebejistý úsměv značí, že je pro výhru v následujícím klání nebude potřebovat. Uvědomil si: "Fotbalista kopající penaltu má v zásadě jen dvě možnosti, jak kopnout. Buď se pokusí mne mást tělem, naznačí mi směr a pak kopne jeho opak. Nebo se blufovat nepokusí a náznak směru jeho těla bude odpovídat i hranému směru míče..." 
Richard si postupně potřásá rukou s Ronaldhinem, Beckhamem a Janem Suchopárkem z pražské Slavie. Největšími fotbalisty všech dob. Pak se se skrývaným smíchem běží připravit do brány: "To je jasné. Vypíšu si všechny možnosti do bloku a prostě to spočítám! Konečně efektně uplatním něco, co jsem naučil na škole!" 
Ronaldhino si nervózně kontroluje kopačky na suchý zip, odtušil, že netypický gólman nebude nejsnadnějším soupeřem. Stadion křičí nedočkavostí. Na trávník dopadávají první zapálené dýmovnice. Ty ale matematikovu koncentrovanou mysl v tandemu s precizně sepsanými zápisky a solárně napájenou kalkulačkou nemohou zastavit...
 Ponechme napjatou atmosféru ve Wembley na chvíli stranou a rozeberme, s jakou logikou si Richard poznačoval do svého bloku.
 

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 1 RICHARD
|-
| rowspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 2 RONALDHINO
|
| VĚŘIT
| NEVĚŘIT
|-
| BLUFOVAT
| style="text-align: center;" | 1 0
| style="text-align: center;" | 0 1
|-
| NEBLUFOVAT
| style="text-align: center;" | 0 1
| style="text-align: center;" | 1 0
|}

Ze zápisu je patrné, že se jedná o hru uspořádanou v [[Normal form/cs|normálové formě]], neboli o [[Payoff matrix/cs|výplatní matici]] dvou hráčů (Richarda a Ronaldhina) a jejich hratelných možností. Ronaldhino disponuje dvojicí strategií {BLUFOVAT, NEBLUFOVAT}, Richard oproti tomu {VĚŘIT a jít v naznačeném směru, NEVĚŘIT a jít v opačném směru}. V případě, že Richard míč chytí, rovná se jeho výplata jedné, Ronaldhinova nule. A naopak. 
Touto formalizací problému, ale Richard nekončí, protože by mu s řešením problému zatím zvlášť nepomohla. Zaznamenaná hra je konfliktní, [[Antagonistic game/cs|antagonistická]] a nemá žádné [[Dominated strategy/cs|dominované strategie]] nebo [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. Těmito koncepty řešení se tedy ke zjištění nejvhodnější strategie nedobereme. Richard proto přemýšlí, jak do svého modelu hry zapracovat i všechny další informace, které jsou o fotbalu dostupné.
Tak například ví, že Ronaldhino a Beckham jsou hvězdy velkých klubů, protřelí blufaři, relativně málo hrající v naznačeném směru. Zatímco ale Suchopárek, podle statistik, zase blufuje jen výjimečně. Zároveň je jasné, že Richard sám nemá žádné zvláštní inklinace z hlediska důvěřivosti nebo nedůvěřivosti. Richard se proto pokouší využít všechny tyto nadstandardní informace, které je možno vyjádřit skrze sestavu pravděpodobností, o kterou bude rozhodování v rámci hry obohaceno.

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 1 RICHARD
|-
| rowspan="6" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 2 RONALDHINO
|
| VĚRIT
| NEVĚŘIT
|-
|
| -
| -
|-
| BLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
|-
| 75 % (0.75)
|-
| NEBLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
|-
| 25 % (0.25)
|}

Přiřazením profilu pravděpodobností ke každé protihráčově variantě Richard vlastně vložil do problému dimenzi poměrného [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] o protihráči, respektive jeho strategiích. Ohodnocení strategie v rámci přesvědčení z logiky věci nabývá hodnot od nuly do jedné. 
Zápis [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] druhého hráče (Ronaldhina) se běžně zapisuje následujícím způsobem<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>: 
θ2 = {0.75, 0.25}

Přidání dimenze [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] umožňuje spočítat očekávaný výnos každé strategie. Očekávaný výnos je pak vlastně jen součtem zhodnocených výplat pro každou strategii. 
u1(Věřit,θ2) = 0.75 • 0 + 0.25 • 1 = 0.25 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.75 • 0.5 • 1 + 0.25 • 0 = 0.75 
 
Z očekávaných výnosů a za předpokladu jeho maximalizace je jasné, že pro Richarda je nejlepší Ronaldhinovi nevěřit. Naopak Ronaldhino nemůže využít specifického [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] o Richardových preferencích a proto je mezi svými volbami indiferentní.
</div>

<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;font-weight: regular;text-align:center;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">Přesvědčením hráče (belief) označujeme pravděpodobnostní ohodnocení nad strategiemi ostatních hráčů.<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
'''Příklad 1''' Jaký bude předpokládaný výnos v případě, že Richard bude chytat druhý kop Beckhama? Beckhamovy strategie jsou podřízeny [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] následovně θ2 = {0.8, 0.2}. [[#Přesvědčení hráče|Přesvědčení]] o Richardových strategiích není definováno. '''Příklad 2''' A jaký bude předpokládaný výnos v případě třetí penalty, kopnuté Janem Suchopárkem? Suchopárkovy strategie jsou podřízeny následovně θ2 = {0.3, 0.7}. [[#Přesvědčení hráče|Přesvědčení]] o Richardových strategiích není definováno. '''Příklad 3''' Jaký bude předpokládaný výnos hry pro oba dva hráče v případě, že budou o obou hráčích známy následující [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]]? θ1 = {0.4, 0.6}; θ2 = {0.7, 0.3}. A jaký bude v takovém případě celkový výnos hry?</div>
 

= Smíšené strategie =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Předchozím konceptem [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] lze podložit následující terminologické rozdělení strategií, které se v [[Game theory/cs|teorii her]] používá. 
Ryzí strategie (pure strategy) zavazuje hráče deterministicky bez možnosti pravděpodobnostního ohodnocení (respektive ohodnocení se vždy rovná jedné). Smíšená strategie (mixed strategy) odpovídá sestavě [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] přiřazující ryzím strategiím specifické probabilistické ohodnocení. A ačkoliv množina ryzích strategií každého hráče je konečná, díky spojitosti probabilistického ohodnocení lze na základě konečného setu ryzích strategií definovat nekonečné množství [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] a tedy i smíšených strategií. Zcela smíšená strategie (totally mixed strategy) představuje smíšenou strategii přiřazující nenulové ohodnocení všem ryzím strategiím hráče.
Například, máme-li hru dvou hráčů s trojicí možných ryzích strategií pro každého, pak [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] θ1 = {0, 0.5, 0.5}, θ2 = {0.1, 0.4, 0.5} představují smíšenou strategii fakticky eliminující první strategii prvního hráče. Kombinaci [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] θ1 = {1/3, 1/3, 1/3} a θ2 = {1/3, 1/3, 1/3} naopak můžeme označit jako naprosto smíšenou strategii.</div>

<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;font-weight: regular;text-align:center;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">O smíšené strategii (mixed strategy) hráče mluvíme, pokud se pro strategii rozhoduje právě na základě přesvědčení (pravděpodobnostního rozdělení). Ryzí strategii (pure strategy) lze považovat za typ smíšené strategie, kde se pravděpodobnostní ohodnocení rovná jedné.<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref></div>

== Nashovo equilibrium ve smíšené strategii ==
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Rozlišujeme [[Nash equilibrium/cs|Nashovu rovnováhu]] ryzí strategie a rovnováhu smíšené strategie. V ryzí rovnovážné strategii hrají všichni hráči ryzí strategie, zatímco ve smíšené rovnovážné strategii alespoň jeden z nich používá [[#Smíšené strategie|strategie smíšené]]. [[John Forbes Nash/cs|John Forbes Nash]] dokázal<ref name="nash">Nash, John. ''Equilibrium points in n-person games''. Proceedings of the National Academy of Sciences, 1950, 36(1):48-49.</ref>, že každá konečná hra má [[Nash equilibrium/cs|Nashovy rovnováhy]], avšak nemusí jít o rovnováhu pouze v ryzích strategiích. Každá hra má tedy své [[Nash equilibrium/cs|Nashovo equilibrium]] alespoň v případě, že je hrána probabilisticky, jedná se pak o smíšenou rovnovážnou strategii.

</div>
<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;background-color: #F0FFFF;text-align:center;font-size:1.2em;">Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží nebo v nejlepším případě zůstane stejná<ref name="dlouhy">Dlouhý, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref> Každá hra má Nashovy rovnováhy, v rámci ryzích nebo alespoň v rámci smíšených strategiích.<ref name="nash">Nash, John. ''Equilibrium points in n-person games''. Proceedings of the National Academy of Sciences, 1950, 36(1):48-49.</ref></div>

=== Richardova hra ===
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Richard si je vědom, že dosáhl pomocí [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] formalizace, díky které může vybrat racionálnější variantu. Zvolit strategii na základě očekávaného výnosu není špatné<ref name="turban">Turban, Efraim. ''Fundamentals of Management Science /Základy vědy o řízení: an introduction to game theory.'' 4.Ed. Plano: Business Publications, Inc., 1988, 915 s. ISBN 02-560-6256-0. </ref>, problémem je však, že kvalita takového rozhodnutí se odvíjí od kvality použitého [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], kterým strategie ohodnotil. Proto začíná spíše uvažovat, zda-li se nemůže zaměřit pouze na původní model hry a ten analyticky rozebrat. Nemá-li například hra samotná žádného [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]] v ryzích strategiích, nebylo by možné jej nalézt právě pomocí kombinace probabilistických [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]]?
Zkusme si tedy ke každé ryzí strategii přiřadit proměnnou značící pravděpodobnost volby. U každého hráče si vystačíme pouze s jednou proměnnou, víme totiž, že ohodnocení všech strategií hráče se v součtu musí rovnat jedné a proto lze ohodnocení druhé strategie vyjádřit jako 1 - p, respektive 1 - q.

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | RICHARD
|-
| rowspan="6" style="text-align: center; font-weight: bold;" | RONALDHINO
|
| VĚŘIT
| NEVĚŘIT
|-
|
| q
| 1 - q
|-
| BLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
|-
| p
|-
| NEBLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
|-
| 1 - p
|}
Hledáme takové [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], které nám v rámci hráčových strategií poskytne stejnou váženou výplatu pro každou strategii a které bude v kombinaci s druhým splňovat podmínky [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. Máme zatím jen obecný popis takového systému [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] ([[#Smíšené strategie|smíšené strategie]]), kde θ1 = {q, 1 - q} a θ2 = {p, 1 - p}. Stejně jako jsme počítali očekávaný výnos, využijme pro všechny strategie vyjádření do čtveřice následujících rovnic. V podstatě provádíme citlivostní analýzu.<ref name="turban">Turban, Efraim. ''Fundamentals of Management Science /Základy vědy o řízení: an introduction to game theory.'' 4.Ed. Plano: Business Publications, Inc., 1988, 915 s. ISBN 02-560-6256-0.</ref> 
u1(Věřit, θ2) = 1 • p + 0 • (1 - p) = p 
u1(Nevěřit, θ2) = 0 • p + 1 • (1 - p) = 1 - p 
u2(Blufovat, θ1) = 1 • q + 0 • (1 - q) = q 
u2(Neblufovat, θ1) = 0 • q + 1 • (1 - q) = 1 - q 
Jak už bylo řečeno, nashově-rovnovážná smíšená strategie povede hráče k indiferentnímu výběru mezi jeho základními (ryzími strategiemi). V tomto typu hry dvou hráčů můžeme soustavu rovnic dopočítat srovnáním vyjádření pravděpodnosti první a druhé strategie každého hráče. 
Pro p tedy: p = 1 - p 
2p = 1 
p = 0.5 
A dále pro q: 
q = 1 - q 
2q = 1 
q = 0.5 
[[#Smíšené strategie|Smíšená strategie]] zajišťující [[Nash equilibrium/cs|Nashovo equilibrium]] se tedy nachází v podobě profilu ((q, 1 - q), (p, 1 - p)), tedy konkrétně vyčísleno ((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)). Což znamená, že každý z hráčů by měl v polovině případů volit první strategii, v druhé polovině druhou. Richard zjišťuje, že bez zvláštních [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], je z povahy hry pro zajištění [[Nash equilibrium/cs|Nashovy rovnováhy]] nejvhodnější rovnoměrně rozdělit volené strategie mezi jednotlivé pokusy. Tedy v případě jeho problému tří penaltových kopů jednou zvolit první strategii, jednou druhou a napotřetí si nejspíš hodit mincí.
Ve světle zjištěné rovnovážné smíšené strategie můžeme prohlásit, že [[#Smíšené strategie|smíšená strategie]] z příkladu 3, o které Richard mohl uvažovat, by nebyla rovnovážná.
</div>

=== Hledání rovnovážné smíšené strategie obecně ===
<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:left;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">Pro nalezení rovnovážné smíšené strategie lze obecně doporučit následující postup<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>: 
1. Odstranění ze hry všech silně dominovaných strategií procedůrou iterovaného dominování. 
2. Zaměření pozornosti pouze na vzniklou relevantní podhru původní hry. 
3. Vyjádření smíšených pravděpodobností, díky kterým je hráč indiferentní mezi relevantními ryzími strategiemi. 
4. Vyčíslit rovnice smíšených pravděpodobností, čímž je získán rovnovážný profil.
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Pokusme se nyní nalézt rovnovážnou smíšenou strategii v obecnějším a komplikovanějším případu.
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
! Z
|-
| A
| 0 5
| 2 3
| 2 3
|-
| B
| 2 3
| 0 5
| 3 2
|-
| C
| 5 0
| 3 2
| 2 3
|}

V prvním kroku si ověřujeme, zda-li některá ze strategií není dominována ryzí nebou smíšenou strategií. Zjišťujeme, že lze [[#Smíšené strategie|smíšenou strategií]] (B,C) dominovat strategii A. 
Důkaz o dominanci A je následující: 
2p + 5(1 - 5) > 0 
0p + 3(1 - p) > 2 
3p + 2(1 - p) > 2 
Vyjádřená omezení p: 
p < 5/3 
p < 1/3 
p > 0 
p omezené předchozími nerovnicemi lze nalézt. Strategie A tedy nebude součástí řešení. Po jejím odstranění si všímáme u strategií druhého hráče, že je strategie X je dominována Y. I tu můžeme tedy vyloučit. Zbývají nám relevantní strategie (B,C) x (Y,Z).

{| class="wikitable"
!
! Y
! Z
|-
| B
| 0 5
| 3 2
|-
| C
| 3 2
| 2 3
|}

Řešíme uvedenou podhru původní hry. Rovnovážnou [[#Smíšené strategie|smíšenou strategii]] definujme jako (p, 1 - p) x (q, 1 - q), z čehož nám po dopočtení vychází profil (1/4, 3/4) x (1/4, 3/4). Respektive (0, 1/4, 3/4) x (0, 1/4, 3/4) pro původní hru.</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
'''Příklad 4''' Uvažte následující hru a nalezněte všechna [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. 
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
|-
| A
| 2 8
| 5 8
|-
| B
| 3 4
| 4 0
|}
'''Příklad 5''' Uvažte následující hru a nalezněte všechna [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. 
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
|-
| A
| 2 4
| 5 -1
|-
| B
| 4 -1
| 4 0
|}
'''Příklad 6''' Nalezněte rovnovážnou smíšenou strategii pro případ hry kámen, nůžky, papír. (příklad lze řešit odhadem)</div>

= Dovětek =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Z předchozích příkladů je patrné, že hledání smíšené rovnovážné strategie není problematické v případě matic 2 x 2. Pro ruční řešení se s takovými maticemi setkáte nejčastěji. Případně, pokud je hra [[Symmetric game/cs|symetrická]], je možné rovnovážnou smíšenou strategii ještě odvodit úvahou i u rozměrnějších her jako například u hry kámen, nůžky, papír. Problematičtější jsou ale rozlehlejší matice, u kterých je nezbytné hru chápat jako úlohu [[Linear programming/cs|lineárního programování]] a řešit pomocí algoritmu (například [[Simplex method/cs|simplexová metoda]]). Nebo musíme využít specializovaných alogritmů (například [[Lemke-Howson algorithm/cs|Lemke-Howson algoritmus]]).
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Tím kapitola končí. A ptáte se, co se stalo toho večera ve Wembley? Richard strávil v brance hezké chvilky nad [[Game theory/cs|teorií her]], při kterých si uvědomil spoustu nového o možnostech řešení a hledání [[Nash equilibrium/cs|rovnovážných stavů]]. Nakonec jej všechno to poznání přivedlo k myšlence, že nebude vůbec špatné dát na fotbalistu Čecha, a jeho oprýskané rukavice, které mají přinášet štěstí, si navléci. Když tak učinil, odložil solární kalkulačku s notýskem k jedné z brankových tyčí, zvedl hlavu od zeleného pažitu, rozhlédl se a zjistil, že stadión je už dávno prázdný. Zůstal tam úplně sám. Zatímco počítal a zkoušel všechny možnosti, Ronaldhino, Beckham a Suchopárek se rozhodli dát na charitu všechny peníze, co jim jejich sponzoři přidělili. Jen tak. Pro dobro věci. A hlavně aby všichni mohli být brzo doma. S tím Richard sice vůbec nepočítal, ale za ty nově nabyté znalosti to určitě stojí. A navíc, získal přece rukavice Petra Čecha. A ty by na eBayi něco málo taky mohly hodit!
</div>
= Výsledky příkladů =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Příklad 1 
u1(Věřit,θ2) = 0.2 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.8 
Příklad 2 
u1(Věřit,θ2) = 0.3 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.7 
Příklad 3 
u1(θ1,θ2) = 0.4 • 0.7 • 0 + 0.4 • 0.3 • 1 + 0.6 • 0.7 • 1 + 0.6 • 0.3 • 0 = 0.54 
u2(θ1,θ2) = 0.7 • 0.4 • 1 + 0.7 • 0.6 • 0 + 0.3 • 0.4 • 0 + 0.3 • 0.6 • 1 = 0.46 
u(θ1,θ2) = 0.54 + 0.46 = 1
Příklad 4 
Hra má v ryzích strategiích dvojici NE (B,X) a (A,Y), kde pareto-optimální je (A,Y). V případě rovnovážné smíšené strategie pak dosáhneme přesvědčení (1/2, 1/2) x (1, 0).

Příklad 5 
Hra nemá v ryzích strategiích žádné NE. Hledání smíšené rovnovážné strategie nás dovede k profilu (1/3, 2/3) x (1/6, 5/6).

Příklad 6 
Opět hledáme takový mix pravděpodobností, který učiní hráče indiferentním mezi jeho strategiemi. Rovnovážným řešením je proto pro oba hráče přesvědčení (1/3, 1/3, 1/3).</div> 

= Reference =
<references/>

= Doporučená literatura =
1. Carmichael, Fiona. A guide to game theory: an introduction to game theory. 1st ed. New York: Financial Times Prentice Hall, 2005, xiii, 286 p. ISBN 02-736-8496-5. 
2. Shomam, Kevin Leyton-Brown and Yoav. Essentials of game theory a concise, multidisciplinary introduction: an introduction to game theory. 1st ed. San 3. Rafael, Calif.: Morgan, 2008, 915 s. ISBN 978-159-8295-931. 
3. Watson, Joel. Strategy: an introduction to game theory. Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.

Mixed strategy/cs

2014-06-18T19:58:21Z

Xvalm48: /* Smíšené strategie */

= Úvod =
<div>V této kapitole budete seznámeni s konceptem smíšené strategie, kde bude postupně vysvětlen jeho význam a možnosti použití pro analýzu a řešení her. Kapitola se skládá z obsahu trojího typu odlišeného barvou.
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #00BFFF;margin: 0px 0px 1px 10px;">Modrým zvýrazněním jsou označeny obecné definice a poznatky shrnující výklad.</div>
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #228B22;margin: 0px 0px 1px 10px;">Zelené zvýraznění ohraničuje výklad.</div>
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #FF4500;margin: 0px 0px 1px 10px;">Oranžová značí procvičující otázky, na které naleznete odpověď na konci stránky.</div></div>

= Přesvědčení hráče =
<div>Pro srozumitelnější vysvětlení navazujícího konceptu [[#Smíšené strategie|smíšených strategií]] bude první část věnována podřízenému konstruktu teorie her - [[#Přesvědčení hráče|hráčově přesvědčení]].</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Na stadionu ve Wembley je po letech zase pekelně živo. V charitativní exhibiční show tak dobré, že se ji chystá přenášet i Česká televize, se před čáru na pokutový kop připravuje trojice naprosto legendárních hráčů. Trojka fotbalových es ozkouší kvality jednoho vylosovaného fanouška, který se pokusí chycením míče krom své prestiže získat i nějaké peníze pro dobrou věc. Na základě očíslovaných vstupenek je ze skandujícího davu vybrán Richard H., shodou okolností absolvent Vysoké školy ekonomické se silně rozvinutým smyslem pro statistiku a matematizaci čehokoliv a za každou cenu. Richard se chvilku po rozsvícení svého obličeje na videokostce nad stadionem pro 90 000 diváků ani nehne. Jen pozorně přejíždí zrakem po přeplněných tribunách, vyprázdněném, zeleném hřišti a hloučku extraligových hráčů připravených u brány. Několikrát se nadechne, vyrovná ramena, z kapsy od saka vytáhne kalkulačku, a neohroženě sestupuje k hřišti. Cestou dolů, skrze sprostě a anglicky křičící diváky mu zrovna běží hlavou: "Zatraceně Richarde, byls vybrán, abys reprezentoval tady na charitativní exhibici a postavil se velkejm hvězdám. Nebude zas taková ostuda, když ten míč nechytíš. Vždyť první kope Ronaldhino!" 
<div style="float:right;padding: 10px;">[[File:goalkeeper.jpg|240 px|Fotbalový brankář]]</div>
Pokračuje dál, přeskakuje sedačky a mračí se: "Možná bys ale mohl svůj gólmanský úkol formalizovat jako nějakou matematickou úlohu. To by tě i bavilo. Možná použít koncepty [[Game theory/cs|teorie her]]?"
Richarda dole u zábradlí míjí jeden z českých fanoušků, náhodou také nějaký fotbalista, a podává mu svoje gólmanské rukavice: "Já jsem Čech. Tyhle rukavice vám přinesou štěstí." "Já zase Richard, děkuju," přebírá ošoupanou výstroj s logem Chelsea a suverenně ji zastrkává do kalhot. Jeho sebejistý úsměv značí, že je pro výhru v následujícím klání nebude potřebovat. Uvědomil si: "Fotbalista kopající penaltu má v zásadě jen dvě možnosti, jak kopnout. Buď se pokusí mne mást tělem, naznačí mi směr a pak kopne jeho opak. Nebo se blufovat nepokusí a náznak směru jeho těla bude odpovídat i hranému směru míče..." 
Richard si postupně potřásá rukou s Ronaldhinem, Beckhamem a Janem Suchopárkem z pražské Slavie. Největšími fotbalisty všech dob. Pak se se skrývaným smíchem běží připravit do brány: "To je jasné. Vypíšu si všechny možnosti do bloku a prostě to spočítám! Konečně efektně uplatním něco, co jsem naučil na škole!" 
Ronaldhino si nervózně kontroluje kopačky na suchý zip, odtušil, že netypický gólman nebude nejsnadnějším soupeřem. Stadion křičí nedočkavostí. Na trávník dopadávají první zapálené dýmovnice. Ty ale matematikovu koncentrovanou mysl v tandemu s precizně sepsanými zápisky a solárně napájenou kalkulačkou nemohou zastavit...
 Ponechme napjatou atmosféru ve Wembley na chvíli stranou a rozeberme, s jakou logikou si Richard poznačoval do svého bloku.
 

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 1 RICHARD
|-
| rowspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 2 RONALDHINO
|
| VĚŘIT
| NEVĚŘIT
|-
| BLUFOVAT
| style="text-align: center;" | 1 0
| style="text-align: center;" | 0 1
|-
| NEBLUFOVAT
| style="text-align: center;" | 0 1
| style="text-align: center;" | 1 0
|}

Ze zápisu je patrné, že se jedná o hru uspořádanou v [[Normal form/cs|normálové formě]], neboli o [[Payoff matrix/cs|výplatní matici]] dvou hráčů (Richarda a Ronaldhina) a jejich hratelných možností. Ronaldhino disponuje dvojicí strategií {BLUFOVAT, NEBLUFOVAT}, Richard oproti tomu {VĚŘIT a jít v naznačeném směru, NEVĚŘIT a jít v opačném směru}. V případě, že Richard míč chytí, rovná se jeho výplata jedné, Ronaldhinova nule. A naopak. 
Touto formalizací problému, ale Richard nekončí, protože by mu s řešením problému zatím zvlášť nepomohla. Zaznamenaná hra je konfliktní, [[Antagonistic game/cs|antagonistická]] a nemá žádné [[Dominated strategy/cs|dominované strategie]] nebo [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. Těmito koncepty řešení se tedy ke zjištění nejvhodnější strategie nedobereme. Richard proto přemýšlí, jak do svého modelu hry zapracovat i všechny další informace, které jsou o fotbalu dostupné.
Tak například ví, že Ronaldhino a Beckham jsou hvězdy velkých klubů, protřelí blufaři, relativně málo hrající v naznačeném směru. Zatímco ale Suchopárek, podle statistik, zase blufuje jen výjimečně. Zároveň je jasné, že Richard sám nemá žádné zvláštní inklinace z hlediska důvěřivosti nebo nedůvěřivosti. Richard se proto pokouší využít všechny tyto nadstandardní informace, které je možno vyjádřit skrze sestavu pravděpodobností, o kterou bude rozhodování v rámci hry obohaceno.

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 1 RICHARD
|-
| rowspan="6" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 2 RONALDHINO
|
| VĚRIT
| NEVĚŘIT
|-
|
| -
| -
|-
| BLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
|-
| 75 % (0.75)
|-
| NEBLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
|-
| 25 % (0.25)
|}

Přiřazením profilu pravděpodobností ke každé protihráčově variantě Richard vlastně vložil do problému dimenzi poměrného [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] o protihráči, respektive jeho strategiích. Ohodnocení strategie v rámci přesvědčení z logiky věci nabývá hodnot od nuly do jedné. 
Zápis [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] druhého hráče (Ronaldhina) se běžně zapisuje následujícím způsobem<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>: 
θ2 = {0.75, 0.25}

Přidání dimenze [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] umožňuje spočítat očekávaný výnos každé strategie. Očekávaný výnos je pak vlastně jen součtem zhodnocených výplat pro každou strategii. 
u1(Věřit,θ2) = 0.75 • 0 + 0.25 • 1 = 0.25 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.75 • 0.5 • 1 + 0.25 • 0 = 0.75 
 
Z očekávaných výnosů a za předpokladu jeho maximalizace je jasné, že pro Richarda je nejlepší Ronaldhinovi nevěřit. Naopak Ronaldhino nemůže využít specifického [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] o Richardových preferencích a proto je mezi svými volbami indiferentní.
</div>

<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;font-weight: regular;text-align:center;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">Přesvědčením hráče (belief) označujeme pravděpodobnostní ohodnocení nad strategiemi ostatních hráčů.<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
'''Příklad 1''' Jaký bude předpokládaný výnos v případě, že Richard bude chytat druhý kop Beckhama? Beckhamovy strategie jsou podřízeny [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] následovně θ2 = {0.8, 0.2}. [[#Přesvědčení hráče|Přesvědčení]] o Richardových strategiích není definováno. '''Příklad 2''' A jaký bude předpokládaný výnos v případě třetí penalty, kopnuté Janem Suchopárkem? Suchopárkovy strategie jsou podřízeny následovně θ2 = {0.3, 0.7}. [[#Přesvědčení hráče|Přesvědčení]] o Richardových strategiích není definováno. '''Příklad 3''' Jaký bude předpokládaný výnos hry pro oba dva hráče v případě, že budou o obou hráčích známy následující [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]]? θ1 = {0.4, 0.6}; θ2 = {0.7, 0.3}. A jaký bude v takovém případě celkový výnos hry?</div>
 

= Smíšené strategie =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Předchozím konceptem [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] lze podložit následující terminologické rozdělení strategií, které se v [[Game theory/cs|teorii her]] používá. 
Ryzí strategie (pure strategy) zavazuje hráče deterministicky bez možnosti pravděpodobnostního ohodnocení (respektive ohodnocení se vždy rovná jedné). Smíšená strategie (mixed strategy) odpovídá sestavě [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] přiřazující ryzím strategiím specifické probabilistické ohodnocení. A ačkoliv množina ryzích strategií každého hráče je konečná, díky spojitosti probabilistického ohodnocení lze na základě konečného setu ryzích strategií definovat nekonečné množství [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] a tedy i smíšených strategií. Zcela smíšená strategie (totally mixed strategy) představuje smíšenou strategii přiřazující nenulové ohodnocení všem ryzím strategiím hráče.
Například, máme-li hru dvou hráčů s trojicí možných ryzích strategií pro každého, pak [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] θ1 = {0, 0.5, 0.5}, θ2 = {0.1, 0.4, 0.5} představují smíšenou strategii fakticky eliminující první strategii prvního hráče. Kombinaci [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] θ1 = {1/3, 1/3, 1/3} a θ2 = {1/3, 1/3, 1/3} naopak můžeme označit jako naprosto smíšenou strategii.</div>

<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;font-weight: regular;text-align:center;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">O smíšené strategii (mixed strategy) hráče mluvíme, pokud se pro strategii rozhoduje právě na základě přesvědčení (pravděpodobnostního rozdělení). Ryzí strategii (pure strategy) lze považovat za typ smíšené strategie, kde se pravděpodobnostní ohodnocení rovná jedné.<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref></div>

== Nashovo equilibrium ve smíšené strategii ==
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Rozlišujeme [[Nash equilibrium/cs|Nashovu rovnováhu]] ryzí strategie a rovnováhu smíšené strategie. V ryzí rovnovážné strategii hrají všichni hráči ryzí strategie, zatímco ve smíšené rovnovážné strategii alespoň jeden z nich používá [[#Smíšené strategie|strategie smíšené]]. [[John Forbes Nash/cs|John Forbes Nash]] dokázal<ref name="nash">Nash, John. ''Equilibrium points in n-person games''. Proceedings of the National Academy of Sciences, 1950, 36(1):48-49.</ref>, že každá konečná hra má [[Nash equilibrium/cs|Nashovy rovnováhy]], avšak nemusí jít o rovnováhu pouze v ryzích strategiích. Každá hra má tedy své [[Nash equilibrium/cs|Nashovo equilibrium]] alespoň v případě, že je hrána probabilisticky, jedná se pak o smíšenou rovnovážnou strategii.

</div>
<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;background-color: #F0FFFF;text-align:center;font-size:1.2em;">Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží nebo v nejlepším případě zůstane stejná<ref name="dlouhy">Dlouhý, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref> Každá hra má Nashovy rovnováhy, ať už v ryzích nebo smíšených strategiích.<ref name="nash">Nash, John. ''Equilibrium points in n-person games''. Proceedings of the National Academy of Sciences, 1950, 36(1):48-49.</ref></div>

=== Richardova hra ===
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Richard si je vědom, že dosáhl pomocí [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] formalizace, díky které může vybrat racionálnější variantu. Zvolit strategii na základě očekávaného výnosu není špatné<ref name="turban">Turban, Efraim. ''Fundamentals of Management Science /Základy vědy o řízení: an introduction to game theory.'' 4.Ed. Plano: Business Publications, Inc., 1988, 915 s. ISBN 02-560-6256-0. </ref>, problémem je však, že kvalita takového rozhodnutí se odvíjí od kvality použitého [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], kterým strategie ohodnotil. Proto začíná spíše uvažovat, zda-li se nemůže zaměřit pouze na původní model hry a ten analyticky rozebrat. Nemá-li například hra samotná žádného [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]] v ryzích strategiích, nebylo by možné jej nalézt právě pomocí kombinace probabilistických [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]]?
Zkusme si tedy ke každé ryzí strategii přiřadit proměnnou značící pravděpodobnost volby. U každého hráče si vystačíme pouze s jednou proměnnou, víme totiž, že ohodnocení všech strategií hráče se v součtu musí rovnat jedné a proto lze ohodnocení druhé strategie vyjádřit jako 1 - p, respektive 1 - q.

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | RICHARD
|-
| rowspan="6" style="text-align: center; font-weight: bold;" | RONALDHINO
|
| VĚŘIT
| NEVĚŘIT
|-
|
| q
| 1 - q
|-
| BLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
|-
| p
|-
| NEBLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
|-
| 1 - p
|}
Hledáme takové [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], které nám v rámci hráčových strategií poskytne stejnou váženou výplatu pro každou strategii a které bude v kombinaci s druhým splňovat podmínky [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. Máme zatím jen obecný popis takového systému [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] ([[#Smíšené strategie|smíšené strategie]]), kde θ1 = {q, 1 - q} a θ2 = {p, 1 - p}. Stejně jako jsme počítali očekávaný výnos, využijme pro všechny strategie vyjádření do čtveřice následujících rovnic. V podstatě provádíme citlivostní analýzu.<ref name="turban">Turban, Efraim. ''Fundamentals of Management Science /Základy vědy o řízení: an introduction to game theory.'' 4.Ed. Plano: Business Publications, Inc., 1988, 915 s. ISBN 02-560-6256-0.</ref> 
u1(Věřit, θ2) = 1 • p + 0 • (1 - p) = p 
u1(Nevěřit, θ2) = 0 • p + 1 • (1 - p) = 1 - p 
u2(Blufovat, θ1) = 1 • q + 0 • (1 - q) = q 
u2(Neblufovat, θ1) = 0 • q + 1 • (1 - q) = 1 - q 
Jak už bylo řečeno, nashově-rovnovážná smíšená strategie povede hráče k indiferentnímu výběru mezi jeho základními (ryzími strategiemi). V tomto typu hry dvou hráčů můžeme soustavu rovnic dopočítat srovnáním vyjádření pravděpodnosti první a druhé strategie každého hráče. 
Pro p tedy: p = 1 - p 
2p = 1 
p = 0.5 
A dále pro q: 
q = 1 - q 
2q = 1 
q = 0.5 
[[#Smíšené strategie|Smíšená strategie]] zajišťující [[Nash equilibrium/cs|Nashovo equilibrium]] se tedy nachází v podobě profilu ((q, 1 - q), (p, 1 - p)), tedy konkrétně vyčísleno ((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)). Což znamená, že každý z hráčů by měl v polovině případů volit první strategii, v druhé polovině druhou. Richard zjišťuje, že bez zvláštních [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], je z povahy hry pro zajištění [[Nash equilibrium/cs|Nashovy rovnováhy]] nejvhodnější rovnoměrně rozdělit volené strategie mezi jednotlivé pokusy. Tedy v případě jeho problému tří penaltových kopů jednou zvolit první strategii, jednou druhou a napotřetí si nejspíš hodit mincí.
Ve světle zjištěné rovnovážné smíšené strategie můžeme prohlásit, že [[#Smíšené strategie|smíšená strategie]] z příkladu 3, o které Richard mohl uvažovat, by nebyla rovnovážná.
</div>

=== Hledání rovnovážné smíšené strategie obecně ===
<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:left;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">Pro nalezení rovnovážné smíšené strategie lze obecně doporučit následující postup<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>: 
1. Odstranění ze hry všech silně dominovaných strategií procedůrou iterovaného dominování. 
2. Zaměření pozornosti pouze na vzniklou relevantní podhru původní hry. 
3. Vyjádření smíšených pravděpodobností, díky kterým je hráč indiferentní mezi relevantními ryzími strategiemi. 
4. Vyčíslit rovnice smíšených pravděpodobností, čímž je získán rovnovážný profil.
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Pokusme se nyní nalézt rovnovážnou smíšenou strategii v obecnějším a komplikovanějším případu.
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
! Z
|-
| A
| 0 5
| 2 3
| 2 3
|-
| B
| 2 3
| 0 5
| 3 2
|-
| C
| 5 0
| 3 2
| 2 3
|}

V prvním kroku si ověřujeme, zda-li některá ze strategií není dominována ryzí nebou smíšenou strategií. Zjišťujeme, že lze [[#Smíšené strategie|smíšenou strategií]] (B,C) dominovat strategii A. 
Důkaz o dominanci A je následující: 
2p + 5(1 - 5) > 0 
0p + 3(1 - p) > 2 
3p + 2(1 - p) > 2 
Vyjádřená omezení p: 
p < 5/3 
p < 1/3 
p > 0 
p omezené předchozími nerovnicemi lze nalézt. Strategie A tedy nebude součástí řešení. Po jejím odstranění si všímáme u strategií druhého hráče, že je strategie X je dominována Y. I tu můžeme tedy vyloučit. Zbývají nám relevantní strategie (B,C) x (Y,Z).

{| class="wikitable"
!
! Y
! Z
|-
| B
| 0 5
| 3 2
|-
| C
| 3 2
| 2 3
|}

Řešíme uvedenou podhru původní hry. Rovnovážnou [[#Smíšené strategie|smíšenou strategii]] definujme jako (p, 1 - p) x (q, 1 - q), z čehož nám po dopočtení vychází profil (1/4, 3/4) x (1/4, 3/4). Respektive (0, 1/4, 3/4) x (0, 1/4, 3/4) pro původní hru.</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
'''Příklad 4''' Uvažte následující hru a nalezněte všechna [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. 
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
|-
| A
| 2 8
| 5 8
|-
| B
| 3 4
| 4 0
|}
'''Příklad 5''' Uvažte následující hru a nalezněte všechna [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. 
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
|-
| A
| 2 4
| 5 -1
|-
| B
| 4 -1
| 4 0
|}
'''Příklad 6''' Nalezněte rovnovážnou smíšenou strategii pro případ hry kámen, nůžky, papír. (příklad lze řešit odhadem)</div>

= Dovětek =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Z předchozích příkladů je patrné, že hledání smíšené rovnovážné strategie není problematické v případě matic 2 x 2. Pro ruční řešení se s takovými maticemi setkáte nejčastěji. Případně, pokud je hra [[Symmetric game/cs|symetrická]], je možné rovnovážnou smíšenou strategii ještě odvodit úvahou i u rozměrnějších her jako například u hry kámen, nůžky, papír. Problematičtější jsou ale rozlehlejší matice, u kterých je nezbytné hru chápat jako úlohu [[Linear programming/cs|lineárního programování]] a řešit pomocí algoritmu (například [[Simplex method/cs|simplexová metoda]]). Nebo musíme využít specializovaných alogritmů (například [[Lemke-Howson algorithm/cs|Lemke-Howson algoritmus]]).
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Tím kapitola končí. A ptáte se, co se stalo toho večera ve Wembley? Richard strávil v brance hezké chvilky nad [[Game theory/cs|teorií her]], při kterých si uvědomil spoustu nového o možnostech řešení a hledání [[Nash equilibrium/cs|rovnovážných stavů]]. Nakonec jej všechno to poznání přivedlo k myšlence, že nebude vůbec špatné dát na fotbalistu Čecha, a jeho oprýskané rukavice, které mají přinášet štěstí, si navléci. Když tak učinil, odložil solární kalkulačku s notýskem k jedné z brankových tyčí, zvedl hlavu od zeleného pažitu, rozhlédl se a zjistil, že stadión je už dávno prázdný. Zůstal tam úplně sám. Zatímco počítal a zkoušel všechny možnosti, Ronaldhino, Beckham a Suchopárek se rozhodli dát na charitu všechny peníze, co jim jejich sponzoři přidělili. Jen tak. Pro dobro věci. A hlavně aby všichni mohli být brzo doma. S tím Richard sice vůbec nepočítal, ale za ty nově nabyté znalosti to určitě stojí. A navíc, získal přece rukavice Petra Čecha. A ty by na eBayi něco málo taky mohly hodit!
</div>
= Výsledky příkladů =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Příklad 1 
u1(Věřit,θ2) = 0.2 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.8 
Příklad 2 
u1(Věřit,θ2) = 0.3 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.7 
Příklad 3 
u1(θ1,θ2) = 0.4 • 0.7 • 0 + 0.4 • 0.3 • 1 + 0.6 • 0.7 • 1 + 0.6 • 0.3 • 0 = 0.54 
u2(θ1,θ2) = 0.7 • 0.4 • 1 + 0.7 • 0.6 • 0 + 0.3 • 0.4 • 0 + 0.3 • 0.6 • 1 = 0.46 
u(θ1,θ2) = 0.54 + 0.46 = 1
Příklad 4 
Hra má v ryzích strategiích dvojici NE (B,X) a (A,Y), kde pareto-optimální je (A,Y). V případě rovnovážné smíšené strategie pak dosáhneme přesvědčení (1/2, 1/2) x (1, 0).

Příklad 5 
Hra nemá v ryzích strategiích žádné NE. Hledání smíšené rovnovážné strategie nás dovede k profilu (1/3, 2/3) x (1/6, 5/6).

Příklad 6 
Opět hledáme takový mix pravděpodobností, který učiní hráče indiferentním mezi jeho strategiemi. Rovnovážným řešením je proto pro oba hráče přesvědčení (1/3, 1/3, 1/3).</div> 

= Reference =
<references/>

= Doporučená literatura =
1. Carmichael, Fiona. A guide to game theory: an introduction to game theory. 1st ed. New York: Financial Times Prentice Hall, 2005, xiii, 286 p. ISBN 02-736-8496-5. 
2. Shomam, Kevin Leyton-Brown and Yoav. Essentials of game theory a concise, multidisciplinary introduction: an introduction to game theory. 1st ed. San 3. Rafael, Calif.: Morgan, 2008, 915 s. ISBN 978-159-8295-931. 
3. Watson, Joel. Strategy: an introduction to game theory. Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.

Mixed strategy/cs

2014-06-18T19:57:55Z

Xvalm48: /* Smíšené strategie */

= Úvod =
<div>V této kapitole budete seznámeni s konceptem smíšené strategie, kde bude postupně vysvětlen jeho význam a možnosti použití pro analýzu a řešení her. Kapitola se skládá z obsahu trojího typu odlišeného barvou.
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #00BFFF;margin: 0px 0px 1px 10px;">Modrým zvýrazněním jsou označeny obecné definice a poznatky shrnující výklad.</div>
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #228B22;margin: 0px 0px 1px 10px;">Zelené zvýraznění ohraničuje výklad.</div>
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #FF4500;margin: 0px 0px 1px 10px;">Oranžová značí procvičující otázky, na které naleznete odpověď na konci stránky.</div></div>

= Přesvědčení hráče =
<div>Pro srozumitelnější vysvětlení navazujícího konceptu [[#Smíšené strategie|smíšených strategií]] bude první část věnována podřízenému konstruktu teorie her - [[#Přesvědčení hráče|hráčově přesvědčení]].</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Na stadionu ve Wembley je po letech zase pekelně živo. V charitativní exhibiční show tak dobré, že se ji chystá přenášet i Česká televize, se před čáru na pokutový kop připravuje trojice naprosto legendárních hráčů. Trojka fotbalových es ozkouší kvality jednoho vylosovaného fanouška, který se pokusí chycením míče krom své prestiže získat i nějaké peníze pro dobrou věc. Na základě očíslovaných vstupenek je ze skandujícího davu vybrán Richard H., shodou okolností absolvent Vysoké školy ekonomické se silně rozvinutým smyslem pro statistiku a matematizaci čehokoliv a za každou cenu. Richard se chvilku po rozsvícení svého obličeje na videokostce nad stadionem pro 90 000 diváků ani nehne. Jen pozorně přejíždí zrakem po přeplněných tribunách, vyprázdněném, zeleném hřišti a hloučku extraligových hráčů připravených u brány. Několikrát se nadechne, vyrovná ramena, z kapsy od saka vytáhne kalkulačku, a neohroženě sestupuje k hřišti. Cestou dolů, skrze sprostě a anglicky křičící diváky mu zrovna běží hlavou: "Zatraceně Richarde, byls vybrán, abys reprezentoval tady na charitativní exhibici a postavil se velkejm hvězdám. Nebude zas taková ostuda, když ten míč nechytíš. Vždyť první kope Ronaldhino!" 
<div style="float:right;padding: 10px;">[[File:goalkeeper.jpg|240 px|Fotbalový brankář]]</div>
Pokračuje dál, přeskakuje sedačky a mračí se: "Možná bys ale mohl svůj gólmanský úkol formalizovat jako nějakou matematickou úlohu. To by tě i bavilo. Možná použít koncepty [[Game theory/cs|teorie her]]?"
Richarda dole u zábradlí míjí jeden z českých fanoušků, náhodou také nějaký fotbalista, a podává mu svoje gólmanské rukavice: "Já jsem Čech. Tyhle rukavice vám přinesou štěstí." "Já zase Richard, děkuju," přebírá ošoupanou výstroj s logem Chelsea a suverenně ji zastrkává do kalhot. Jeho sebejistý úsměv značí, že je pro výhru v následujícím klání nebude potřebovat. Uvědomil si: "Fotbalista kopající penaltu má v zásadě jen dvě možnosti, jak kopnout. Buď se pokusí mne mást tělem, naznačí mi směr a pak kopne jeho opak. Nebo se blufovat nepokusí a náznak směru jeho těla bude odpovídat i hranému směru míče..." 
Richard si postupně potřásá rukou s Ronaldhinem, Beckhamem a Janem Suchopárkem z pražské Slavie. Největšími fotbalisty všech dob. Pak se se skrývaným smíchem běží připravit do brány: "To je jasné. Vypíšu si všechny možnosti do bloku a prostě to spočítám! Konečně efektně uplatním něco, co jsem naučil na škole!" 
Ronaldhino si nervózně kontroluje kopačky na suchý zip, odtušil, že netypický gólman nebude nejsnadnějším soupeřem. Stadion křičí nedočkavostí. Na trávník dopadávají první zapálené dýmovnice. Ty ale matematikovu koncentrovanou mysl v tandemu s precizně sepsanými zápisky a solárně napájenou kalkulačkou nemohou zastavit...
 Ponechme napjatou atmosféru ve Wembley na chvíli stranou a rozeberme, s jakou logikou si Richard poznačoval do svého bloku.
 

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 1 RICHARD
|-
| rowspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 2 RONALDHINO
|
| VĚŘIT
| NEVĚŘIT
|-
| BLUFOVAT
| style="text-align: center;" | 1 0
| style="text-align: center;" | 0 1
|-
| NEBLUFOVAT
| style="text-align: center;" | 0 1
| style="text-align: center;" | 1 0
|}

Ze zápisu je patrné, že se jedná o hru uspořádanou v [[Normal form/cs|normálové formě]], neboli o [[Payoff matrix/cs|výplatní matici]] dvou hráčů (Richarda a Ronaldhina) a jejich hratelných možností. Ronaldhino disponuje dvojicí strategií {BLUFOVAT, NEBLUFOVAT}, Richard oproti tomu {VĚŘIT a jít v naznačeném směru, NEVĚŘIT a jít v opačném směru}. V případě, že Richard míč chytí, rovná se jeho výplata jedné, Ronaldhinova nule. A naopak. 
Touto formalizací problému, ale Richard nekončí, protože by mu s řešením problému zatím zvlášť nepomohla. Zaznamenaná hra je konfliktní, [[Antagonistic game/cs|antagonistická]] a nemá žádné [[Dominated strategy/cs|dominované strategie]] nebo [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. Těmito koncepty řešení se tedy ke zjištění nejvhodnější strategie nedobereme. Richard proto přemýšlí, jak do svého modelu hry zapracovat i všechny další informace, které jsou o fotbalu dostupné.
Tak například ví, že Ronaldhino a Beckham jsou hvězdy velkých klubů, protřelí blufaři, relativně málo hrající v naznačeném směru. Zatímco ale Suchopárek, podle statistik, zase blufuje jen výjimečně. Zároveň je jasné, že Richard sám nemá žádné zvláštní inklinace z hlediska důvěřivosti nebo nedůvěřivosti. Richard se proto pokouší využít všechny tyto nadstandardní informace, které je možno vyjádřit skrze sestavu pravděpodobností, o kterou bude rozhodování v rámci hry obohaceno.

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 1 RICHARD
|-
| rowspan="6" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 2 RONALDHINO
|
| VĚRIT
| NEVĚŘIT
|-
|
| -
| -
|-
| BLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
|-
| 75 % (0.75)
|-
| NEBLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
|-
| 25 % (0.25)
|}

Přiřazením profilu pravděpodobností ke každé protihráčově variantě Richard vlastně vložil do problému dimenzi poměrného [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] o protihráči, respektive jeho strategiích. Ohodnocení strategie v rámci přesvědčení z logiky věci nabývá hodnot od nuly do jedné. 
Zápis [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] druhého hráče (Ronaldhina) se běžně zapisuje následujícím způsobem<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>: 
θ2 = {0.75, 0.25}

Přidání dimenze [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] umožňuje spočítat očekávaný výnos každé strategie. Očekávaný výnos je pak vlastně jen součtem zhodnocených výplat pro každou strategii. 
u1(Věřit,θ2) = 0.75 • 0 + 0.25 • 1 = 0.25 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.75 • 0.5 • 1 + 0.25 • 0 = 0.75 
 
Z očekávaných výnosů a za předpokladu jeho maximalizace je jasné, že pro Richarda je nejlepší Ronaldhinovi nevěřit. Naopak Ronaldhino nemůže využít specifického [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] o Richardových preferencích a proto je mezi svými volbami indiferentní.
</div>

<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;font-weight: regular;text-align:center;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">Přesvědčením hráče (belief) označujeme pravděpodobnostní ohodnocení nad strategiemi ostatních hráčů.<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
'''Příklad 1''' Jaký bude předpokládaný výnos v případě, že Richard bude chytat druhý kop Beckhama? Beckhamovy strategie jsou podřízeny [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] následovně θ2 = {0.8, 0.2}. [[#Přesvědčení hráče|Přesvědčení]] o Richardových strategiích není definováno. '''Příklad 2''' A jaký bude předpokládaný výnos v případě třetí penalty, kopnuté Janem Suchopárkem? Suchopárkovy strategie jsou podřízeny následovně θ2 = {0.3, 0.7}. [[#Přesvědčení hráče|Přesvědčení]] o Richardových strategiích není definováno. '''Příklad 3''' Jaký bude předpokládaný výnos hry pro oba dva hráče v případě, že budou o obou hráčích známy následující [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]]? θ1 = {0.4, 0.6}; θ2 = {0.7, 0.3}. A jaký bude v takovém případě celkový výnos hry?</div>
 

= Smíšené strategie =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Předchozím konceptem [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] lze podložit následující terminologické rozdělení strategií, které se v [[Game theory/cs|teorii her]] používá. 
Ryzí strategie (pure strategy) zavazuje hráče deterministicky bez možnosti pravděpodobnostního ohodnocení (respektive ohodnocení se vždy rovná jedné). Smíšená strategie (mixed strategy) odpovídá sestavě [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] přiřazujícímu ryzím strategiím specifické probabilistické ohodnocení. A ačkoliv množina ryzích strategií každého hráče je konečná, díky spojitosti probabilistického ohodnocení lze na základě konečného setu ryzích strategií definovat nekonečné množství [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] a tedy i smíšených strategií. Zcela smíšená strategie (totally mixed strategy) představuje smíšenou strategii přiřazující nenulové ohodnocení všem ryzím strategiím hráče.
Například, máme-li hru dvou hráčů s trojicí možných ryzích strategií pro každého, pak [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] θ1 = {0, 0.5, 0.5}, θ2 = {0.1, 0.4, 0.5} představují smíšenou strategii fakticky eliminující první strategii prvního hráče. Kombinaci [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] θ1 = {1/3, 1/3, 1/3} a θ2 = {1/3, 1/3, 1/3} naopak můžeme označit jako naprosto smíšenou strategii.</div>

<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;font-weight: regular;text-align:center;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">O smíšené strategii (mixed strategy) hráče mluvíme, pokud se pro strategii rozhoduje právě na základě přesvědčení (pravděpodobnostního rozdělení). Ryzí strategii (pure strategy) lze považovat za typ smíšené strategie, kde se pravděpodobnostní ohodnocení rovná jedné.<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref></div>

== Nashovo equilibrium ve smíšené strategii ==
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Rozlišujeme [[Nash equilibrium/cs|Nashovu rovnováhu]] ryzí strategie a rovnováhu smíšené strategie. V ryzí rovnovážné strategii hrají všichni hráči ryzí strategie, zatímco ve smíšené rovnovážné strategii alespoň jeden z nich používá [[#Smíšené strategie|strategie smíšené]]. [[John Forbes Nash/cs|John Forbes Nash]] dokázal<ref name="nash">Nash, John. ''Equilibrium points in n-person games''. Proceedings of the National Academy of Sciences, 1950, 36(1):48-49.</ref>, že každá konečná hra má [[Nash equilibrium/cs|Nashovy rovnováhy]], avšak nemusí jít o rovnováhu pouze v ryzích strategiích. Každá hra má tedy své [[Nash equilibrium/cs|Nashovo equilibrium]] alespoň v případě, že je hrána probabilisticky, jedná se pak o smíšenou rovnovážnou strategii.

</div>
<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;background-color: #F0FFFF;text-align:center;font-size:1.2em;">Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží nebo v nejlepším případě zůstane stejná<ref name="dlouhy">Dlouhý, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref> Každá hra má Nashovy rovnováhy, ať už v ryzích nebo smíšených strategiích.<ref name="nash">Nash, John. ''Equilibrium points in n-person games''. Proceedings of the National Academy of Sciences, 1950, 36(1):48-49.</ref></div>

=== Richardova hra ===
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Richard si je vědom, že dosáhl pomocí [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] formalizace, díky které může vybrat racionálnější variantu. Zvolit strategii na základě očekávaného výnosu není špatné<ref name="turban">Turban, Efraim. ''Fundamentals of Management Science /Základy vědy o řízení: an introduction to game theory.'' 4.Ed. Plano: Business Publications, Inc., 1988, 915 s. ISBN 02-560-6256-0. </ref>, problémem je však, že kvalita takového rozhodnutí se odvíjí od kvality použitého [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], kterým strategie ohodnotil. Proto začíná spíše uvažovat, zda-li se nemůže zaměřit pouze na původní model hry a ten analyticky rozebrat. Nemá-li například hra samotná žádného [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]] v ryzích strategiích, nebylo by možné jej nalézt právě pomocí kombinace probabilistických [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]]?
Zkusme si tedy ke každé ryzí strategii přiřadit proměnnou značící pravděpodobnost volby. U každého hráče si vystačíme pouze s jednou proměnnou, víme totiž, že ohodnocení všech strategií hráče se v součtu musí rovnat jedné a proto lze ohodnocení druhé strategie vyjádřit jako 1 - p, respektive 1 - q.

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | RICHARD
|-
| rowspan="6" style="text-align: center; font-weight: bold;" | RONALDHINO
|
| VĚŘIT
| NEVĚŘIT
|-
|
| q
| 1 - q
|-
| BLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
|-
| p
|-
| NEBLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
|-
| 1 - p
|}
Hledáme takové [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], které nám v rámci hráčových strategií poskytne stejnou váženou výplatu pro každou strategii a které bude v kombinaci s druhým splňovat podmínky [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. Máme zatím jen obecný popis takového systému [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] ([[#Smíšené strategie|smíšené strategie]]), kde θ1 = {q, 1 - q} a θ2 = {p, 1 - p}. Stejně jako jsme počítali očekávaný výnos, využijme pro všechny strategie vyjádření do čtveřice následujících rovnic. V podstatě provádíme citlivostní analýzu.<ref name="turban">Turban, Efraim. ''Fundamentals of Management Science /Základy vědy o řízení: an introduction to game theory.'' 4.Ed. Plano: Business Publications, Inc., 1988, 915 s. ISBN 02-560-6256-0.</ref> 
u1(Věřit, θ2) = 1 • p + 0 • (1 - p) = p 
u1(Nevěřit, θ2) = 0 • p + 1 • (1 - p) = 1 - p 
u2(Blufovat, θ1) = 1 • q + 0 • (1 - q) = q 
u2(Neblufovat, θ1) = 0 • q + 1 • (1 - q) = 1 - q 
Jak už bylo řečeno, nashově-rovnovážná smíšená strategie povede hráče k indiferentnímu výběru mezi jeho základními (ryzími strategiemi). V tomto typu hry dvou hráčů můžeme soustavu rovnic dopočítat srovnáním vyjádření pravděpodnosti první a druhé strategie každého hráče. 
Pro p tedy: p = 1 - p 
2p = 1 
p = 0.5 
A dále pro q: 
q = 1 - q 
2q = 1 
q = 0.5 
[[#Smíšené strategie|Smíšená strategie]] zajišťující [[Nash equilibrium/cs|Nashovo equilibrium]] se tedy nachází v podobě profilu ((q, 1 - q), (p, 1 - p)), tedy konkrétně vyčísleno ((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)). Což znamená, že každý z hráčů by měl v polovině případů volit první strategii, v druhé polovině druhou. Richard zjišťuje, že bez zvláštních [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], je z povahy hry pro zajištění [[Nash equilibrium/cs|Nashovy rovnováhy]] nejvhodnější rovnoměrně rozdělit volené strategie mezi jednotlivé pokusy. Tedy v případě jeho problému tří penaltových kopů jednou zvolit první strategii, jednou druhou a napotřetí si nejspíš hodit mincí.
Ve světle zjištěné rovnovážné smíšené strategie můžeme prohlásit, že [[#Smíšené strategie|smíšená strategie]] z příkladu 3, o které Richard mohl uvažovat, by nebyla rovnovážná.
</div>

=== Hledání rovnovážné smíšené strategie obecně ===
<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:left;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">Pro nalezení rovnovážné smíšené strategie lze obecně doporučit následující postup<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>: 
1. Odstranění ze hry všech silně dominovaných strategií procedůrou iterovaného dominování. 
2. Zaměření pozornosti pouze na vzniklou relevantní podhru původní hry. 
3. Vyjádření smíšených pravděpodobností, díky kterým je hráč indiferentní mezi relevantními ryzími strategiemi. 
4. Vyčíslit rovnice smíšených pravděpodobností, čímž je získán rovnovážný profil.
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Pokusme se nyní nalézt rovnovážnou smíšenou strategii v obecnějším a komplikovanějším případu.
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
! Z
|-
| A
| 0 5
| 2 3
| 2 3
|-
| B
| 2 3
| 0 5
| 3 2
|-
| C
| 5 0
| 3 2
| 2 3
|}

V prvním kroku si ověřujeme, zda-li některá ze strategií není dominována ryzí nebou smíšenou strategií. Zjišťujeme, že lze [[#Smíšené strategie|smíšenou strategií]] (B,C) dominovat strategii A. 
Důkaz o dominanci A je následující: 
2p + 5(1 - 5) > 0 
0p + 3(1 - p) > 2 
3p + 2(1 - p) > 2 
Vyjádřená omezení p: 
p < 5/3 
p < 1/3 
p > 0 
p omezené předchozími nerovnicemi lze nalézt. Strategie A tedy nebude součástí řešení. Po jejím odstranění si všímáme u strategií druhého hráče, že je strategie X je dominována Y. I tu můžeme tedy vyloučit. Zbývají nám relevantní strategie (B,C) x (Y,Z).

{| class="wikitable"
!
! Y
! Z
|-
| B
| 0 5
| 3 2
|-
| C
| 3 2
| 2 3
|}

Řešíme uvedenou podhru původní hry. Rovnovážnou [[#Smíšené strategie|smíšenou strategii]] definujme jako (p, 1 - p) x (q, 1 - q), z čehož nám po dopočtení vychází profil (1/4, 3/4) x (1/4, 3/4). Respektive (0, 1/4, 3/4) x (0, 1/4, 3/4) pro původní hru.</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
'''Příklad 4''' Uvažte následující hru a nalezněte všechna [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. 
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
|-
| A
| 2 8
| 5 8
|-
| B
| 3 4
| 4 0
|}
'''Příklad 5''' Uvažte následující hru a nalezněte všechna [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. 
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
|-
| A
| 2 4
| 5 -1
|-
| B
| 4 -1
| 4 0
|}
'''Příklad 6''' Nalezněte rovnovážnou smíšenou strategii pro případ hry kámen, nůžky, papír. (příklad lze řešit odhadem)</div>

= Dovětek =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Z předchozích příkladů je patrné, že hledání smíšené rovnovážné strategie není problematické v případě matic 2 x 2. Pro ruční řešení se s takovými maticemi setkáte nejčastěji. Případně, pokud je hra [[Symmetric game/cs|symetrická]], je možné rovnovážnou smíšenou strategii ještě odvodit úvahou i u rozměrnějších her jako například u hry kámen, nůžky, papír. Problematičtější jsou ale rozlehlejší matice, u kterých je nezbytné hru chápat jako úlohu [[Linear programming/cs|lineárního programování]] a řešit pomocí algoritmu (například [[Simplex method/cs|simplexová metoda]]). Nebo musíme využít specializovaných alogritmů (například [[Lemke-Howson algorithm/cs|Lemke-Howson algoritmus]]).
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Tím kapitola končí. A ptáte se, co se stalo toho večera ve Wembley? Richard strávil v brance hezké chvilky nad [[Game theory/cs|teorií her]], při kterých si uvědomil spoustu nového o možnostech řešení a hledání [[Nash equilibrium/cs|rovnovážných stavů]]. Nakonec jej všechno to poznání přivedlo k myšlence, že nebude vůbec špatné dát na fotbalistu Čecha, a jeho oprýskané rukavice, které mají přinášet štěstí, si navléci. Když tak učinil, odložil solární kalkulačku s notýskem k jedné z brankových tyčí, zvedl hlavu od zeleného pažitu, rozhlédl se a zjistil, že stadión je už dávno prázdný. Zůstal tam úplně sám. Zatímco počítal a zkoušel všechny možnosti, Ronaldhino, Beckham a Suchopárek se rozhodli dát na charitu všechny peníze, co jim jejich sponzoři přidělili. Jen tak. Pro dobro věci. A hlavně aby všichni mohli být brzo doma. S tím Richard sice vůbec nepočítal, ale za ty nově nabyté znalosti to určitě stojí. A navíc, získal přece rukavice Petra Čecha. A ty by na eBayi něco málo taky mohly hodit!
</div>
= Výsledky příkladů =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Příklad 1 
u1(Věřit,θ2) = 0.2 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.8 
Příklad 2 
u1(Věřit,θ2) = 0.3 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.7 
Příklad 3 
u1(θ1,θ2) = 0.4 • 0.7 • 0 + 0.4 • 0.3 • 1 + 0.6 • 0.7 • 1 + 0.6 • 0.3 • 0 = 0.54 
u2(θ1,θ2) = 0.7 • 0.4 • 1 + 0.7 • 0.6 • 0 + 0.3 • 0.4 • 0 + 0.3 • 0.6 • 1 = 0.46 
u(θ1,θ2) = 0.54 + 0.46 = 1
Příklad 4 
Hra má v ryzích strategiích dvojici NE (B,X) a (A,Y), kde pareto-optimální je (A,Y). V případě rovnovážné smíšené strategie pak dosáhneme přesvědčení (1/2, 1/2) x (1, 0).

Příklad 5 
Hra nemá v ryzích strategiích žádné NE. Hledání smíšené rovnovážné strategie nás dovede k profilu (1/3, 2/3) x (1/6, 5/6).

Příklad 6 
Opět hledáme takový mix pravděpodobností, který učiní hráče indiferentním mezi jeho strategiemi. Rovnovážným řešením je proto pro oba hráče přesvědčení (1/3, 1/3, 1/3).</div> 

= Reference =
<references/>

= Doporučená literatura =
1. Carmichael, Fiona. A guide to game theory: an introduction to game theory. 1st ed. New York: Financial Times Prentice Hall, 2005, xiii, 286 p. ISBN 02-736-8496-5. 
2. Shomam, Kevin Leyton-Brown and Yoav. Essentials of game theory a concise, multidisciplinary introduction: an introduction to game theory. 1st ed. San 3. Rafael, Calif.: Morgan, 2008, 915 s. ISBN 978-159-8295-931. 
3. Watson, Joel. Strategy: an introduction to game theory. Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.

Mixed strategy/cs

2014-06-18T19:55:36Z

Xvalm48: /* Přesvědčení hráče */

= Úvod =
<div>V této kapitole budete seznámeni s konceptem smíšené strategie, kde bude postupně vysvětlen jeho význam a možnosti použití pro analýzu a řešení her. Kapitola se skládá z obsahu trojího typu odlišeného barvou.
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #00BFFF;margin: 0px 0px 1px 10px;">Modrým zvýrazněním jsou označeny obecné definice a poznatky shrnující výklad.</div>
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #228B22;margin: 0px 0px 1px 10px;">Zelené zvýraznění ohraničuje výklad.</div>
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #FF4500;margin: 0px 0px 1px 10px;">Oranžová značí procvičující otázky, na které naleznete odpověď na konci stránky.</div></div>

= Přesvědčení hráče =
<div>Pro srozumitelnější vysvětlení navazujícího konceptu [[#Smíšené strategie|smíšených strategií]] bude první část věnována podřízenému konstruktu teorie her - [[#Přesvědčení hráče|hráčově přesvědčení]].</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Na stadionu ve Wembley je po letech zase pekelně živo. V charitativní exhibiční show tak dobré, že se ji chystá přenášet i Česká televize, se před čáru na pokutový kop připravuje trojice naprosto legendárních hráčů. Trojka fotbalových es ozkouší kvality jednoho vylosovaného fanouška, který se pokusí chycením míče krom své prestiže získat i nějaké peníze pro dobrou věc. Na základě očíslovaných vstupenek je ze skandujícího davu vybrán Richard H., shodou okolností absolvent Vysoké školy ekonomické se silně rozvinutým smyslem pro statistiku a matematizaci čehokoliv a za každou cenu. Richard se chvilku po rozsvícení svého obličeje na videokostce nad stadionem pro 90 000 diváků ani nehne. Jen pozorně přejíždí zrakem po přeplněných tribunách, vyprázdněném, zeleném hřišti a hloučku extraligových hráčů připravených u brány. Několikrát se nadechne, vyrovná ramena, z kapsy od saka vytáhne kalkulačku, a neohroženě sestupuje k hřišti. Cestou dolů, skrze sprostě a anglicky křičící diváky mu zrovna běží hlavou: "Zatraceně Richarde, byls vybrán, abys reprezentoval tady na charitativní exhibici a postavil se velkejm hvězdám. Nebude zas taková ostuda, když ten míč nechytíš. Vždyť první kope Ronaldhino!" 
<div style="float:right;padding: 10px;">[[File:goalkeeper.jpg|240 px|Fotbalový brankář]]</div>
Pokračuje dál, přeskakuje sedačky a mračí se: "Možná bys ale mohl svůj gólmanský úkol formalizovat jako nějakou matematickou úlohu. To by tě i bavilo. Možná použít koncepty [[Game theory/cs|teorie her]]?"
Richarda dole u zábradlí míjí jeden z českých fanoušků, náhodou také nějaký fotbalista, a podává mu svoje gólmanské rukavice: "Já jsem Čech. Tyhle rukavice vám přinesou štěstí." "Já zase Richard, děkuju," přebírá ošoupanou výstroj s logem Chelsea a suverenně ji zastrkává do kalhot. Jeho sebejistý úsměv značí, že je pro výhru v následujícím klání nebude potřebovat. Uvědomil si: "Fotbalista kopající penaltu má v zásadě jen dvě možnosti, jak kopnout. Buď se pokusí mne mást tělem, naznačí mi směr a pak kopne jeho opak. Nebo se blufovat nepokusí a náznak směru jeho těla bude odpovídat i hranému směru míče..." 
Richard si postupně potřásá rukou s Ronaldhinem, Beckhamem a Janem Suchopárkem z pražské Slavie. Největšími fotbalisty všech dob. Pak se se skrývaným smíchem běží připravit do brány: "To je jasné. Vypíšu si všechny možnosti do bloku a prostě to spočítám! Konečně efektně uplatním něco, co jsem naučil na škole!" 
Ronaldhino si nervózně kontroluje kopačky na suchý zip, odtušil, že netypický gólman nebude nejsnadnějším soupeřem. Stadion křičí nedočkavostí. Na trávník dopadávají první zapálené dýmovnice. Ty ale matematikovu koncentrovanou mysl v tandemu s precizně sepsanými zápisky a solárně napájenou kalkulačkou nemohou zastavit...
 Ponechme napjatou atmosféru ve Wembley na chvíli stranou a rozeberme, s jakou logikou si Richard poznačoval do svého bloku.
 

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 1 RICHARD
|-
| rowspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 2 RONALDHINO
|
| VĚŘIT
| NEVĚŘIT
|-
| BLUFOVAT
| style="text-align: center;" | 1 0
| style="text-align: center;" | 0 1
|-
| NEBLUFOVAT
| style="text-align: center;" | 0 1
| style="text-align: center;" | 1 0
|}

Ze zápisu je patrné, že se jedná o hru uspořádanou v [[Normal form/cs|normálové formě]], neboli o [[Payoff matrix/cs|výplatní matici]] dvou hráčů (Richarda a Ronaldhina) a jejich hratelných možností. Ronaldhino disponuje dvojicí strategií {BLUFOVAT, NEBLUFOVAT}, Richard oproti tomu {VĚŘIT a jít v naznačeném směru, NEVĚŘIT a jít v opačném směru}. V případě, že Richard míč chytí, rovná se jeho výplata jedné, Ronaldhinova nule. A naopak. 
Touto formalizací problému, ale Richard nekončí, protože by mu s řešením problému zatím zvlášť nepomohla. Zaznamenaná hra je konfliktní, [[Antagonistic game/cs|antagonistická]] a nemá žádné [[Dominated strategy/cs|dominované strategie]] nebo [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. Těmito koncepty řešení se tedy ke zjištění nejvhodnější strategie nedobereme. Richard proto přemýšlí, jak do svého modelu hry zapracovat i všechny další informace, které jsou o fotbalu dostupné.
Tak například ví, že Ronaldhino a Beckham jsou hvězdy velkých klubů, protřelí blufaři, relativně málo hrající v naznačeném směru. Zatímco ale Suchopárek, podle statistik, zase blufuje jen výjimečně. Zároveň je jasné, že Richard sám nemá žádné zvláštní inklinace z hlediska důvěřivosti nebo nedůvěřivosti. Richard se proto pokouší využít všechny tyto nadstandardní informace, které je možno vyjádřit skrze sestavu pravděpodobností, o kterou bude rozhodování v rámci hry obohaceno.

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 1 RICHARD
|-
| rowspan="6" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 2 RONALDHINO
|
| VĚRIT
| NEVĚŘIT
|-
|
| -
| -
|-
| BLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
|-
| 75 % (0.75)
|-
| NEBLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
|-
| 25 % (0.25)
|}

Přiřazením profilu pravděpodobností ke každé protihráčově variantě Richard vlastně vložil do problému dimenzi poměrného [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] o protihráči, respektive jeho strategiích. Ohodnocení strategie v rámci přesvědčení z logiky věci nabývá hodnot od nuly do jedné. 
Zápis [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] druhého hráče (Ronaldhina) se běžně zapisuje následujícím způsobem<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>: 
θ2 = {0.75, 0.25}

Přidání dimenze [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] umožňuje spočítat očekávaný výnos každé strategie. Očekávaný výnos je pak vlastně jen součtem zhodnocených výplat pro každou strategii. 
u1(Věřit,θ2) = 0.75 • 0 + 0.25 • 1 = 0.25 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.75 • 0.5 • 1 + 0.25 • 0 = 0.75 
 
Z očekávaných výnosů a za předpokladu jeho maximalizace je jasné, že pro Richarda je nejlepší Ronaldhinovi nevěřit. Naopak Ronaldhino nemůže využít specifického [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] o Richardových preferencích a proto je mezi svými volbami indiferentní.
</div>

<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;font-weight: regular;text-align:center;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">Přesvědčením hráče (belief) označujeme pravděpodobnostní ohodnocení nad strategiemi ostatních hráčů.<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
'''Příklad 1''' Jaký bude předpokládaný výnos v případě, že Richard bude chytat druhý kop Beckhama? Beckhamovy strategie jsou podřízeny [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] následovně θ2 = {0.8, 0.2}. [[#Přesvědčení hráče|Přesvědčení]] o Richardových strategiích není definováno. '''Příklad 2''' A jaký bude předpokládaný výnos v případě třetí penalty, kopnuté Janem Suchopárkem? Suchopárkovy strategie jsou podřízeny následovně θ2 = {0.3, 0.7}. [[#Přesvědčení hráče|Přesvědčení]] o Richardových strategiích není definováno. '''Příklad 3''' Jaký bude předpokládaný výnos hry pro oba dva hráče v případě, že budou o obou hráčích známy následující [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]]? θ1 = {0.4, 0.6}; θ2 = {0.7, 0.3}. A jaký bude v takovém případě celkový výnos hry?</div>
 

= Smíšené strategie =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Předchozím konceptem [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] lze podložit následující terminologické rozdělení strategií, které se v [[Game theory/cs|teorii her]] používá. 
Ryzí strategie (pure strategy) zavazuje hráče deterministicky bez možnosti pravděpodobnostního ohodnocení (respektive ohodnocení se vždy rovná jedné). Smíšená strategie (mixed strategy) odpovídá profilu [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] přiřazujícímu ryzím strategiím specifické probabilistické ohodnocení. A ačkoliv množina ryzích strategií každého hráče je konečná, díky spojitosti probabilistického ohodnocení lze na základě konečného setu ryzích strategií definovat nekonečné množství [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] a tedy i smíšených strategií. Zcela smíšená strategie (totally mixed strategy) představuje smíšenou strategii přiřazující nenulové ohodnocení všem ryzím strategiím hráče.
Například, máme-li hru dvou hráčů s trojicí možných ryzích strategií pro každého, pak [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] θ1 = {0, 0.5, 0.5}, θ2 = {0.1, 0.4, 0.5} představují smíšenou strategii fakticky eliminující první strategii prvního hráče. Kombinaci [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] θ1 = {1/3, 1/3, 1/3} a θ2 = {1/3, 1/3, 1/3} naopak můžeme označit jako naprosto smíšenou strategii.</div>

<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;font-weight: regular;text-align:center;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">O smíšené strategii (mixed strategy) hráče mluvíme, pokud se pro strategii rozhoduje právě na základě přesvědčení (pravděpodobnostního rozdělení). Ryzí strategii (pure strategy) lze považovat za typ smíšené strategie, kde se pravděpodobnostní ohodnocení rovná jedné.<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref></div>

== Nashovo equilibrium ve smíšené strategii ==
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Rozlišujeme [[Nash equilibrium/cs|Nashovu rovnováhu]] ryzí strategie a rovnováhu smíšené strategie. V ryzí rovnovážné strategii hrají všichni hráči ryzí strategie, zatímco ve smíšené rovnovážné strategii alespoň jeden z nich používá [[#Smíšené strategie|strategie smíšené]]. [[John Forbes Nash/cs|John Forbes Nash]] dokázal<ref name="nash">Nash, John. ''Equilibrium points in n-person games''. Proceedings of the National Academy of Sciences, 1950, 36(1):48-49.</ref>, že každá konečná hra má [[Nash equilibrium/cs|Nashovy rovnováhy]], avšak nemusí jít o rovnováhu pouze v ryzích strategiích. Každá hra má tedy své [[Nash equilibrium/cs|Nashovo equilibrium]] alespoň v případě, že je hrána probabilisticky, jedná se pak o smíšenou rovnovážnou strategii.

</div>
<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;background-color: #F0FFFF;text-align:center;font-size:1.2em;">Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží nebo v nejlepším případě zůstane stejná<ref name="dlouhy">Dlouhý, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref> Každá hra má Nashovy rovnováhy, ať už v ryzích nebo smíšených strategiích.<ref name="nash">Nash, John. ''Equilibrium points in n-person games''. Proceedings of the National Academy of Sciences, 1950, 36(1):48-49.</ref></div>

=== Richardova hra ===
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Richard si je vědom, že dosáhl pomocí [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] formalizace, díky které může vybrat racionálnější variantu. Zvolit strategii na základě očekávaného výnosu není špatné<ref name="turban">Turban, Efraim. ''Fundamentals of Management Science /Základy vědy o řízení: an introduction to game theory.'' 4.Ed. Plano: Business Publications, Inc., 1988, 915 s. ISBN 02-560-6256-0. </ref>, problémem je však, že kvalita takového rozhodnutí se odvíjí od kvality použitého [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], kterým strategie ohodnotil. Proto začíná spíše uvažovat, zda-li se nemůže zaměřit pouze na původní model hry a ten analyticky rozebrat. Nemá-li například hra samotná žádného [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]] v ryzích strategiích, nebylo by možné jej nalézt právě pomocí kombinace probabilistických [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]]?
Zkusme si tedy ke každé ryzí strategii přiřadit proměnnou značící pravděpodobnost volby. U každého hráče si vystačíme pouze s jednou proměnnou, víme totiž, že ohodnocení všech strategií hráče se v součtu musí rovnat jedné a proto lze ohodnocení druhé strategie vyjádřit jako 1 - p, respektive 1 - q.

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | RICHARD
|-
| rowspan="6" style="text-align: center; font-weight: bold;" | RONALDHINO
|
| VĚŘIT
| NEVĚŘIT
|-
|
| q
| 1 - q
|-
| BLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
|-
| p
|-
| NEBLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
|-
| 1 - p
|}
Hledáme takové [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], které nám v rámci hráčových strategií poskytne stejnou váženou výplatu pro každou strategii a které bude v kombinaci s druhým splňovat podmínky [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. Máme zatím jen obecný popis takového systému [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] ([[#Smíšené strategie|smíšené strategie]]), kde θ1 = {q, 1 - q} a θ2 = {p, 1 - p}. Stejně jako jsme počítali očekávaný výnos, využijme pro všechny strategie vyjádření do čtveřice následujících rovnic. V podstatě provádíme citlivostní analýzu.<ref name="turban">Turban, Efraim. ''Fundamentals of Management Science /Základy vědy o řízení: an introduction to game theory.'' 4.Ed. Plano: Business Publications, Inc., 1988, 915 s. ISBN 02-560-6256-0.</ref> 
u1(Věřit, θ2) = 1 • p + 0 • (1 - p) = p 
u1(Nevěřit, θ2) = 0 • p + 1 • (1 - p) = 1 - p 
u2(Blufovat, θ1) = 1 • q + 0 • (1 - q) = q 
u2(Neblufovat, θ1) = 0 • q + 1 • (1 - q) = 1 - q 
Jak už bylo řečeno, nashově-rovnovážná smíšená strategie povede hráče k indiferentnímu výběru mezi jeho základními (ryzími strategiemi). V tomto typu hry dvou hráčů můžeme soustavu rovnic dopočítat srovnáním vyjádření pravděpodnosti první a druhé strategie každého hráče. 
Pro p tedy: p = 1 - p 
2p = 1 
p = 0.5 
A dále pro q: 
q = 1 - q 
2q = 1 
q = 0.5 
[[#Smíšené strategie|Smíšená strategie]] zajišťující [[Nash equilibrium/cs|Nashovo equilibrium]] se tedy nachází v podobě profilu ((q, 1 - q), (p, 1 - p)), tedy konkrétně vyčísleno ((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)). Což znamená, že každý z hráčů by měl v polovině případů volit první strategii, v druhé polovině druhou. Richard zjišťuje, že bez zvláštních [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], je z povahy hry pro zajištění [[Nash equilibrium/cs|Nashovy rovnováhy]] nejvhodnější rovnoměrně rozdělit volené strategie mezi jednotlivé pokusy. Tedy v případě jeho problému tří penaltových kopů jednou zvolit první strategii, jednou druhou a napotřetí si nejspíš hodit mincí.
Ve světle zjištěné rovnovážné smíšené strategie můžeme prohlásit, že [[#Smíšené strategie|smíšená strategie]] z příkladu 3, o které Richard mohl uvažovat, by nebyla rovnovážná.
</div>

=== Hledání rovnovážné smíšené strategie obecně ===
<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:left;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">Pro nalezení rovnovážné smíšené strategie lze obecně doporučit následující postup<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>: 
1. Odstranění ze hry všech silně dominovaných strategií procedůrou iterovaného dominování. 
2. Zaměření pozornosti pouze na vzniklou relevantní podhru původní hry. 
3. Vyjádření smíšených pravděpodobností, díky kterým je hráč indiferentní mezi relevantními ryzími strategiemi. 
4. Vyčíslit rovnice smíšených pravděpodobností, čímž je získán rovnovážný profil.
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Pokusme se nyní nalézt rovnovážnou smíšenou strategii v obecnějším a komplikovanějším případu.
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
! Z
|-
| A
| 0 5
| 2 3
| 2 3
|-
| B
| 2 3
| 0 5
| 3 2
|-
| C
| 5 0
| 3 2
| 2 3
|}

V prvním kroku si ověřujeme, zda-li některá ze strategií není dominována ryzí nebou smíšenou strategií. Zjišťujeme, že lze [[#Smíšené strategie|smíšenou strategií]] (B,C) dominovat strategii A. 
Důkaz o dominanci A je následující: 
2p + 5(1 - 5) > 0 
0p + 3(1 - p) > 2 
3p + 2(1 - p) > 2 
Vyjádřená omezení p: 
p < 5/3 
p < 1/3 
p > 0 
p omezené předchozími nerovnicemi lze nalézt. Strategie A tedy nebude součástí řešení. Po jejím odstranění si všímáme u strategií druhého hráče, že je strategie X je dominována Y. I tu můžeme tedy vyloučit. Zbývají nám relevantní strategie (B,C) x (Y,Z).

{| class="wikitable"
!
! Y
! Z
|-
| B
| 0 5
| 3 2
|-
| C
| 3 2
| 2 3
|}

Řešíme uvedenou podhru původní hry. Rovnovážnou [[#Smíšené strategie|smíšenou strategii]] definujme jako (p, 1 - p) x (q, 1 - q), z čehož nám po dopočtení vychází profil (1/4, 3/4) x (1/4, 3/4). Respektive (0, 1/4, 3/4) x (0, 1/4, 3/4) pro původní hru.</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
'''Příklad 4''' Uvažte následující hru a nalezněte všechna [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. 
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
|-
| A
| 2 8
| 5 8
|-
| B
| 3 4
| 4 0
|}
'''Příklad 5''' Uvažte následující hru a nalezněte všechna [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. 
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
|-
| A
| 2 4
| 5 -1
|-
| B
| 4 -1
| 4 0
|}
'''Příklad 6''' Nalezněte rovnovážnou smíšenou strategii pro případ hry kámen, nůžky, papír. (příklad lze řešit odhadem)</div>

= Dovětek =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Z předchozích příkladů je patrné, že hledání smíšené rovnovážné strategie není problematické v případě matic 2 x 2. Pro ruční řešení se s takovými maticemi setkáte nejčastěji. Případně, pokud je hra [[Symmetric game/cs|symetrická]], je možné rovnovážnou smíšenou strategii ještě odvodit úvahou i u rozměrnějších her jako například u hry kámen, nůžky, papír. Problematičtější jsou ale rozlehlejší matice, u kterých je nezbytné hru chápat jako úlohu [[Linear programming/cs|lineárního programování]] a řešit pomocí algoritmu (například [[Simplex method/cs|simplexová metoda]]). Nebo musíme využít specializovaných alogritmů (například [[Lemke-Howson algorithm/cs|Lemke-Howson algoritmus]]).
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Tím kapitola končí. A ptáte se, co se stalo toho večera ve Wembley? Richard strávil v brance hezké chvilky nad [[Game theory/cs|teorií her]], při kterých si uvědomil spoustu nového o možnostech řešení a hledání [[Nash equilibrium/cs|rovnovážných stavů]]. Nakonec jej všechno to poznání přivedlo k myšlence, že nebude vůbec špatné dát na fotbalistu Čecha, a jeho oprýskané rukavice, které mají přinášet štěstí, si navléci. Když tak učinil, odložil solární kalkulačku s notýskem k jedné z brankových tyčí, zvedl hlavu od zeleného pažitu, rozhlédl se a zjistil, že stadión je už dávno prázdný. Zůstal tam úplně sám. Zatímco počítal a zkoušel všechny možnosti, Ronaldhino, Beckham a Suchopárek se rozhodli dát na charitu všechny peníze, co jim jejich sponzoři přidělili. Jen tak. Pro dobro věci. A hlavně aby všichni mohli být brzo doma. S tím Richard sice vůbec nepočítal, ale za ty nově nabyté znalosti to určitě stojí. A navíc, získal přece rukavice Petra Čecha. A ty by na eBayi něco málo taky mohly hodit!
</div>
= Výsledky příkladů =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Příklad 1 
u1(Věřit,θ2) = 0.2 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.8 
Příklad 2 
u1(Věřit,θ2) = 0.3 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.7 
Příklad 3 
u1(θ1,θ2) = 0.4 • 0.7 • 0 + 0.4 • 0.3 • 1 + 0.6 • 0.7 • 1 + 0.6 • 0.3 • 0 = 0.54 
u2(θ1,θ2) = 0.7 • 0.4 • 1 + 0.7 • 0.6 • 0 + 0.3 • 0.4 • 0 + 0.3 • 0.6 • 1 = 0.46 
u(θ1,θ2) = 0.54 + 0.46 = 1
Příklad 4 
Hra má v ryzích strategiích dvojici NE (B,X) a (A,Y), kde pareto-optimální je (A,Y). V případě rovnovážné smíšené strategie pak dosáhneme přesvědčení (1/2, 1/2) x (1, 0).

Příklad 5 
Hra nemá v ryzích strategiích žádné NE. Hledání smíšené rovnovážné strategie nás dovede k profilu (1/3, 2/3) x (1/6, 5/6).

Příklad 6 
Opět hledáme takový mix pravděpodobností, který učiní hráče indiferentním mezi jeho strategiemi. Rovnovážným řešením je proto pro oba hráče přesvědčení (1/3, 1/3, 1/3).</div> 

= Reference =
<references/>

= Doporučená literatura =
1. Carmichael, Fiona. A guide to game theory: an introduction to game theory. 1st ed. New York: Financial Times Prentice Hall, 2005, xiii, 286 p. ISBN 02-736-8496-5. 
2. Shomam, Kevin Leyton-Brown and Yoav. Essentials of game theory a concise, multidisciplinary introduction: an introduction to game theory. 1st ed. San 3. Rafael, Calif.: Morgan, 2008, 915 s. ISBN 978-159-8295-931. 
3. Watson, Joel. Strategy: an introduction to game theory. Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.

Mixed strategy/cs

2014-06-18T13:17:12Z

Xvalm48: Založení stránky Smíšená strategie

= Úvod =
<div>V této kapitole budete seznámeni s konceptem smíšené strategie, kde bude postupně vysvětlen jeho význam a možnosti použití pro analýzu a řešení her. Kapitola se skládá z obsahu trojího typu odlišeného barvou.
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #00BFFF;margin: 0px 0px 1px 10px;">Modrým zvýrazněním jsou označeny obecné definice a poznatky shrnující výklad.</div>
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #228B22;margin: 0px 0px 1px 10px;">Zelené zvýraznění ohraničuje výklad.</div>
<div style="padding: 5px;border-left: 10px solid #FF4500;margin: 0px 0px 1px 10px;">Oranžová značí procvičující otázky, na které naleznete odpověď na konci stránky.</div></div>

= Přesvědčení hráče =
<div>Pro srozumitelnější vysvětlení navazujícího konceptu [[#Smíšené strategie|smíšených strategií]] bude první část věnována podřízenému konstruktu teorie her - [[#Přesvědčení hráče|hráčově přesvědčení]].</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Na stadionu ve Wembley je po letech zase pekelně živo. V charitativní exhibiční show tak dobré, že se ji chystá přenášet i Česká televize, se před čáru na pokutový kop připravuje trojice naprosto legendárních hráčů. Trojka fotbalových es ozkouší kvality jednoho vylosovaného fanouška, který se pokusí chycením míče krom své prestiže získat i nějaké peníze pro dobrou věc. Na základě očíslovaných vstupenek je ze skandujícího davu vybrán Richard H., shodou okolností absolvent Vysoké školy ekonomické se silně rozvinutým smyslem pro statistiku a matematizaci čehokoliv a za každou cenu. Richard se chvilku po rozsvícení svého obličeje na videokostce nad stadionem pro 90 000 diváků ani nehne. Jen pozorně přejíždí zrakem po přeplněných tribunách, vyprázdněném, zeleném hřišti a hloučku extraligových hráčů připravených u brány. Několikrát se nadechne, vyrovná ramena, z kapsy od saka vytáhne kalkulačku, a neohroženě sestupuje k hřišti. Cestou dolů, skrze sprostě a anglicky křičící diváky mu zrovna běží hlavou: "Zatraceně Richarde, byls vybrán, abys reprezentoval tady na charitativní exhibici a postavil se velkejm hvězdám. Nebude zas taková ostuda, když ten míč nechytíš. Vždyť první kope Ronaldhino!" 
<div style="float:right;padding: 10px;">[[File:goalkeeper.jpg|240 px|Fotbalový brankář]]</div>
Pokračuje dál, přeskakuje sedačky a mračí se: "Možná bys ale mohl svůj gólmanský úkol formalizovat jako nějakou matematickou úlohu. To by tě i bavilo. Možná použít koncepty [[Game theory/cs|teorie her]]?"
Richarda dole u zábradlí míjí jeden z českých fanoušků, náhodou také nějaký fotbalista, a podává mu svoje gólmanské rukavice: "Já jsem Čech. Tyhle rukavice vám přinesou štěstí." "Já zase Richard, děkuju," přebírá ošoupanou výstroj s logem Chelsea a suverenně ji zastrkává do kalhot. Jeho sebejistý úsměv značí, že je pro výhru v následujícím klání nebude potřebovat. Uvědomil si: "Fotbalista kopající penaltu má v zásadě jen dvě možnosti, jak kopnout. Buď se pokusí mne mást tělem, naznačí mi směr a pak kopne jeho opak. Nebo se blufovat nepokusí a náznak směru jeho těla bude odpovídat i hranému směru míče..." 
Richard si postupně potřásá rukou s Ronaldhinem, Beckhamem a Janem Suchopárkem z pražské Slavie. Největšími fotbalisty všech dob. Pak se se skrývaným smíchem běží připravit do brány: "To je jasné. Vypíšu si všechny možnosti do bloku a prostě to spočítám! Konečně efektně uplatním něco, co jsem naučil na škole!" 
Ronaldhino si nervózně kontroluje kopačky na suchý zip, odtušil, že netypický gólman nebude nejsnadnějším soupeřem. Stadion křičí nedočkavostí. Na trávník dopadávají první zapálené dýmovnice. Ty ale matematikovu koncentrovanou mysl v tandemu s precizně sepsanými zápisky a solárně napájenou kalkulačkou nemohou zastavit...
 Ponechme napjatou atmosféru ve Wembley na chvíli stranou a rozeberme, s jakou logikou si Richard poznačoval do svého bloku.
 

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 1 RICHARD
|-
| rowspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 2 RONALDHINO
|
| VĚŘIT
| NEVĚŘIT
|-
| BLUFOVAT
| style="text-align: center;" | 1 0
| style="text-align: center;" | 0 1
|-
| NEBLUFOVAT
| style="text-align: center;" | 0 1
| style="text-align: center;" | 1 0
|}

Ze zápisu je patrné, že se jedná o hru uspořádanou v [[Normal form/cs|normálové formě]], neboli o [[Payoff matrix/cs|výplatní matici]] dvou hráčů (Richarda a Ronaldhina) a jejich hratelných možností. Ronaldhino disponuje dvojicí strategií {BLUFOVAT, NEBLUFOVAT}, Richard oproti tomu {VĚŘIT a jít v naznačeném směru, NEVĚŘIT a jít v opačném směru}. V případě, že Richard míč chytí, rovná se jeho výplata jedné, Ronaldhinova nule. A naopak. 
Touto formalizací problému, ale Richard nekončí, protože by mu s řešením problému zatím zvlášť nepomohla. Zaznamenaná hra je konfliktní, [[Antagonistic game/cs|antagonistická]] a nemá žádné [[Dominated strategy/cs|dominované strategie]] nebo [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. Těmito koncepty řešení se tedy ke zjištění nejvhodnější strategie nedobereme. Richard proto přemýšlí, jak do svého modelu hry zapracovat i všechny další informace, které jsou o fotbalu dostupné.
Tak například ví, že Ronaldhino a Beckham jsou hvězdy velkých klubů, protřelí blufaři, relativně málo hrající v naznačeném směru. Zatímco ale Suchopárek, podle statistik, zase blufuje jen výjimečně. Zároveň je jasné, že on sám nemá žádné zvláštní inklinace z hlediska důvěřivosti nebo nedůvěřivosti. Richard se proto pokouší využít i všechny tyto nadstandardní informace, které je možno vyjádřit skrze sestavu pravděpodobností, o kterou bude rozhodování v rámci hry obohaceno.

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 1 RICHARD
|-
| rowspan="6" style="text-align: center; font-weight: bold;" | 2 RONALDHINO
|
| VĚRIT
| NEVĚŘIT
|-
|
| -
| -
|-
| BLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
|-
| 75 % (0.75)
|-
| NEBLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
|-
| 25 % (0.25)
|}

Přiřazením profilu pravděpodobností ke každé protihráčově variantě Richard vlastně vložil do problému dimenzi poměrného [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] o protihráči, respektive jeho strategiích. Ohodnocení strategie v rámci přesvědčení z logiky věci nabývá hodnot od nuly do jedné. 
Zápis [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] druhého hráče (Ronaldhina) se běžně zapisuje následujícím způsobem<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>: 
θ2 = {0.75, 0.25}

Přidání dimenze [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] umožňuje spočítat očekávaný výnos každé strategie. Očekávaný výnos je pak vlastně jen součtem zhodnocených výplat pro každou strategii. 
u1(Věřit,θ2) = 0.75 • 0 + 0.25 • 1 = 0.25 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.75 • 0.5 • 1 + 0.25 • 0 = 0.75 
 
Z očekávaných výnosů a za předpokladu jeho maximalizace je jasné, že pro Richarda je nejlepší Ronaldhinovi nevěřit. Naopak Ronaldhino nemůže využít specifického [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] o Richardových preferencích a proto je mezi svými volbami indiferentní.
</div>

<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;font-weight: regular;text-align:center;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">Přesvědčením hráče (belief) označujeme pravděpodobnostní ohodnocení nad strategiemi ostatních hráčů.<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
'''Příklad 1''' Jaký bude předpokládaný výnos v případě, že Richard bude chytat druhý kop Beckhama? Beckhamovy strategie jsou podřízeny [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] následovně θ2 = {0.8, 0.2}. [[#Přesvědčení hráče|Přesvědčení]] o Richardových strategiích není definováno. '''Příklad 2''' A jaký bude předpokládaný výnos v případě třetí penalty, kopnuté Janem Suchopárkem? Suchopárkovy strategie jsou podřízeny následovně θ2 = {0.3, 0.7}. [[#Přesvědčení hráče|Přesvědčení]] o Richardových strategiích není definováno. '''Příklad 3''' Jaký bude předpokládaný výnos hry pro oba dva hráče v případě, že budou o obou hráčích známy následující [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]]? θ1 = {0.4, 0.6}; θ2 = {0.7, 0.3}. A jaký bude v takovém případě celkový výnos hry?</div>
 
= Smíšené strategie =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Předchozím konceptem [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] lze podložit následující terminologické rozdělení strategií, které se v [[Game theory/cs|teorii her]] používá. 
Ryzí strategie (pure strategy) zavazuje hráče deterministicky bez možnosti pravděpodobnostního ohodnocení (respektive ohodnocení se vždy rovná jedné). Smíšená strategie (mixed strategy) odpovídá profilu [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] přiřazujícímu ryzím strategiím specifické probabilistické ohodnocení. A ačkoliv množina ryzích strategií každého hráče je konečná, díky spojitosti probabilistického ohodnocení lze na základě konečného setu ryzích strategií definovat nekonečné množství [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] a tedy i smíšených strategií. Zcela smíšená strategie (totally mixed strategy) představuje smíšenou strategii přiřazující nenulové ohodnocení všem ryzím strategiím hráče.
Například, máme-li hru dvou hráčů s trojicí možných ryzích strategií pro každého, pak [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] θ1 = {0, 0.5, 0.5}, θ2 = {0.1, 0.4, 0.5} představují smíšenou strategii fakticky eliminující první strategii prvního hráče. Kombinaci [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] θ1 = {1/3, 1/3, 1/3} a θ2 = {1/3, 1/3, 1/3} naopak můžeme označit jako naprosto smíšenou strategii.</div>

<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;font-weight: regular;text-align:center;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">O smíšené strategii (mixed strategy) hráče mluvíme, pokud se pro strategii rozhoduje právě na základě přesvědčení (pravděpodobnostního rozdělení). Ryzí strategii (pure strategy) lze považovat za typ smíšené strategie, kde se pravděpodobnostní ohodnocení rovná jedné.<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref></div>

== Nashovo equilibrium ve smíšené strategii ==
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Rozlišujeme [[Nash equilibrium/cs|Nashovu rovnováhu]] ryzí strategie a rovnováhu smíšené strategie. V ryzí rovnovážné strategii hrají všichni hráči ryzí strategie, zatímco ve smíšené rovnovážné strategii alespoň jeden z nich používá [[#Smíšené strategie|strategie smíšené]]. [[John Forbes Nash/cs|John Forbes Nash]] dokázal<ref name="nash">Nash, John. ''Equilibrium points in n-person games''. Proceedings of the National Academy of Sciences, 1950, 36(1):48-49.</ref>, že každá konečná hra má [[Nash equilibrium/cs|Nashovy rovnováhy]], avšak nemusí jít o rovnováhu pouze v ryzích strategiích. Každá hra má tedy své [[Nash equilibrium/cs|Nashovo equilibrium]] alespoň v případě, že je hrána probabilisticky, jedná se pak o smíšenou rovnovážnou strategii.

</div>
<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;background-color: #F0FFFF;text-align:center;font-size:1.2em;">Nashova rovnováha je takové řešení, ve kterém platí, že pokud se jeden z hráčů nebude držet své strategie, zatímco ostatní hráč(i) ano, jeho výhra se sníží nebo v nejlepším případě zůstane stejná<ref name="dlouhy">Dlouhý, Martin. ''Úvod do teorie her.'' 2., přepracované vydání Praha: Oeconomica, 2009, 119 s. ISBN 978-80-245-1609-7.</ref> Každá hra má Nashovy rovnováhy, ať už v ryzích nebo smíšených strategiích.<ref name="nash">Nash, John. ''Equilibrium points in n-person games''. Proceedings of the National Academy of Sciences, 1950, 36(1):48-49.</ref></div>

=== Richardova hra ===
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Richard si je vědom, že dosáhl pomocí [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] formalizace, díky které může vybrat racionálnější variantu. Zvolit strategii na základě očekávaného výnosu není špatné<ref name="turban">Turban, Efraim. ''Fundamentals of Management Science /Základy vědy o řízení: an introduction to game theory.'' 4.Ed. Plano: Business Publications, Inc., 1988, 915 s. ISBN 02-560-6256-0. </ref>, problémem je však, že kvalita takového rozhodnutí se odvíjí od kvality použitého [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], kterým strategie ohodnotil. Proto začíná spíše uvažovat, zda-li se nemůže zaměřit pouze na původní model hry a ten analyticky rozebrat. Nemá-li například hra samotná žádného [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]] v ryzích strategiích, nebylo by možné jej nalézt právě pomocí kombinace probabilistických [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]]?
Zkusme si tedy ke každé ryzí strategii přiřadit proměnnou značící pravděpodobnost volby. U každého hráče si vystačíme pouze s jednou proměnnou, víme totiž, že ohodnocení všech strategií hráče se v součtu musí rovnat jedné a proto lze ohodnocení druhé strategie vyjádřit jako 1 - p, respektive 1 - q.

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" style="text-align: center; font-weight: bold;" | RICHARD
|-
| rowspan="6" style="text-align: center; font-weight: bold;" | RONALDHINO
|
| VĚŘIT
| NEVĚŘIT
|-
|
| q
| 1 - q
|-
| BLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
|-
| p
|-
| NEBLUFOVAT
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 0 1
| rowspan="2" style="text-align: center;" | 1 0
|-
| 1 - p
|}
Hledáme takové [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], které nám v rámci hráčových strategií poskytne stejnou váženou výplatu pro každou strategii a které bude v kombinaci s druhým splňovat podmínky [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. Máme zatím jen obecný popis takového systému [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]] ([[#Smíšené strategie|smíšené strategie]]), kde θ1 = {q, 1 - q} a θ2 = {p, 1 - p}. Stejně jako jsme počítali očekávaný výnos, využijme pro všechny strategie vyjádření do čtveřice následujících rovnic. V podstatě provádíme citlivostní analýzu.<ref name="turban">Turban, Efraim. ''Fundamentals of Management Science /Základy vědy o řízení: an introduction to game theory.'' 4.Ed. Plano: Business Publications, Inc., 1988, 915 s. ISBN 02-560-6256-0.</ref> 
u1(Věřit, θ2) = 1 • p + 0 • (1 - p) = p 
u1(Nevěřit, θ2) = 0 • p + 1 • (1 - p) = 1 - p 
u2(Blufovat, θ1) = 1 • q + 0 • (1 - q) = q 
u2(Neblufovat, θ1) = 0 • q + 1 • (1 - q) = 1 - q 
Jak už bylo řečeno, nashově-rovnovážná smíšená strategie povede hráče k indiferentnímu výběru mezi jeho základními (ryzími strategiemi). V tomto typu hry dvou hráčů můžeme soustavu rovnic dopočítat srovnáním vyjádření pravděpodnosti první a druhé strategie každého hráče. 
Pro p tedy: p = 1 - p 
2p = 1 
p = 0.5 
A dále pro q: 
q = 1 - q 
2q = 1 
q = 0.5 
[[#Smíšené strategie|Smíšená strategie]] zajišťující [[Nash equilibrium/cs|Nashovo equilibrium]] se tedy nachází v podobě profilu ((q, 1 - q), (p, 1 - p)), tedy konkrétně vyčísleno ((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)). Což znamená, že každý z hráčů by měl v polovině případů volit první strategii, v druhé polovině druhou. Richard zjišťuje, že bez zvláštních [[#Přesvědčení hráče|přesvědčení]], je z povahy hry pro zajištění [[Nash equilibrium/cs|Nashovy rovnováhy]] nejvhodnější rovnoměrně rozdělit volené strategie mezi jednotlivé pokusy. Tedy v případě jeho problému tří penaltových kopů jednou zvolit první strategii, jednou druhou a napotřetí si nejspíš hodit mincí.
Ve světle zjištěné rovnovážné smíšené strategie můžeme prohlásit, že [[#Smíšené strategie|smíšená strategie]] z příkladu 3, o které Richard mohl uvažovat, by nebyla rovnovážná.
</div>

=== Hledání rovnovážné smíšené strategie obecně ===
<div style="padding: 10px 5px 10px 5px;border-left: 5px solid #00BFFF;border-top: 1px solid black; border-bottom: 1px solid black;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:left;background-color: #F0FFFF;font-size:1.2em;">Pro nalezení rovnovážné smíšené strategie lze obecně doporučit následující postup<ref name="watson">Watson, Joel. ''Strategy: an introduction to game theory.'' Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.</ref>: 
1. Odstranění ze hry všech silně dominovaných strategií procedůrou iterovaného dominování. 
2. Zaměření pozornosti pouze na vzniklou relevantní podhru původní hry. 
3. Vyjádření smíšených pravděpodobností, díky kterým je hráč indiferentní mezi relevantními ryzími strategiemi. 
4. Vyčíslit rovnice smíšených pravděpodobností, čímž je získán rovnovážný profil.
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;">Pokusme se nyní nalézt rovnovážnou smíšenou strategii v obecnějším a komplikovanějším případu.
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
! Z
|-
| A
| 0 5
| 2 3
| 2 3
|-
| B
| 2 3
| 0 5
| 3 2
|-
| C
| 5 0
| 3 2
| 2 3
|}

V prvním kroku si ověřujeme, zda-li některá ze strategií není dominována ryzí nebou smíšenou strategií. Zjišťujeme, že lze [[#Smíšené strategie|smíšenou strategií]] (B,C) dominovat strategii A. 
Důkaz o dominanci A je následující: 
2p + 5(1 - 5) > 0 
0p + 3(1 - p) > 2 
3p + 2(1 - p) > 2 
Vyjádřená omezení p: 
p < 5/3 
p < 1/3 
p > 0 
p omezené předchozími nerovnicemi lze nalézt. Strategie A tedy nebude součástí řešení. Po jejím odstranění si všímáme u strategií druhého hráče, že je strategie X je dominována Y. I tu můžeme tedy vyloučit. Zbývají nám relevantní strategie (B,C) x (Y,Z).

{| class="wikitable"
!
! Y
! Z
|-
| B
| 0 5
| 3 2
|-
| C
| 3 2
| 2 3
|}

Řešíme uvedenou podhru původní hry. Rovnovážnou [[#Smíšené strategie|smíšenou strategii]] definujme jako (p, 1 - p) x (q, 1 - q), z čehož nám po dopočtení vychází profil (1/4, 3/4) x (1/4, 3/4). Respektive (0, 1/4, 3/4) x (0, 1/4, 3/4) pro původní hru.</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
'''Příklad 4''' Uvažte následující hru a nalezněte všechna [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. 
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
|-
| A
| 2 8
| 5 8
|-
| B
| 3 4
| 4 0
|}
'''Příklad 5''' Uvažte následující hru a nalezněte všechna [[Nash equilibrium/cs|Nashova equilibria]]. 
{| class="wikitable"
!
! X
! Y
|-
| A
| 2 4
| 5 -1
|-
| B
| 4 -1
| 4 0
|}
'''Příklad 6''' Nalezněte rovnovážnou smíšenou strategii pro případ hry kámen, nůžky, papír. (příklad lze řešit odhadem)</div>

= Dovětek =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Z předchozích příkladů je patrné, že hledání smíšené rovnovážné strategie není problematické v případě matic 2 x 2. Pro ruční řešení se s takovými maticemi setkáte nejčastěji. Případně, pokud je hra [[Symmetric game/cs|symetrická]], je možné rovnovážnou smíšenou strategii ještě odvodit úvahou i u rozměrnějších her jako například u hry kámen, nůžky, papír. Problematičtější jsou ale rozlehlejší matice, u kterých je nezbytné hru chápat jako úlohu [[Linear programming/cs|lineárního programování]] a řešit pomocí algoritmu (například [[Simplex method/cs|simplexová metoda]]). Nebo musíme využít specializovaných alogritmů (například [[Lemke-Howson algorithm/cs|Lemke-Howson algoritmus]]).
</div>
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #228B22;margin: 10px 0px 10px 10px;text-align:justify;">Tím kapitola končí. A ptáte se, co se stalo toho večera ve Wembley? Richard strávil v brance hezké chvilky nad [[Game theory/cs|teorií her]], při kterých si uvědomil spoustu nového o možnostech řešení a hledání [[Nash equilibrium/cs|rovnovážných stavů]]. Nakonec jej všechno to poznání přivedlo k myšlence, že nebude vůbec špatné dát na fotbalistu Čecha, a jeho oprýskané rukavice, které mají přinášet štěstí, si navléci. Když tak učinil, odložil solární kalkulačku s notýskem k jedné z brankových tyčí, zvedl hlavu od zeleného pažitu, rozhlédl se a zjistil, že stadión je už dávno prázdný. Zůstal tam úplně sám. Zatímco počítal a zkoušel všechny možnosti, Ronaldhino, Beckham a Suchopárek se rozhodli dát na charitu všechny peníze, co jim jejich sponzoři přidělili. Jen tak. Pro dobro věci. A hlavně aby všichni mohli být brzo doma. S tím Richard sice vůbec nepočítal, ale za ty nově nabyté znalosti to určitě stojí. A navíc, získal přece rukavice Petra Čecha. A ty by na eBayi něco málo taky mohly hodit!
</div>
= Výsledky příkladů =
<div style="padding: 7px;border-left: 5px solid #FF4500;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Příklad 1 
u1(Věřit,θ2) = 0.2 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.8 
Příklad 2 
u1(Věřit,θ2) = 0.3 
u1(Nevěřit,θ2) = 0.7 
Příklad 3 
u1(θ1,θ2) = 0.4 • 0.7 • 0 + 0.4 • 0.3 • 1 + 0.6 • 0.7 • 1 + 0.6 • 0.3 • 0 = 0.54 
u2(θ1,θ2) = 0.7 • 0.4 • 1 + 0.7 • 0.6 • 0 + 0.3 • 0.4 • 0 + 0.3 • 0.6 • 1 = 0.46 
u(θ1,θ2) = 0.54 + 0.46 = 1
Příklad 4 
Hra má v ryzích strategiích dvojici NE (B,X) a (A,Y), kde pareto-optimální je (A,Y). V případě rovnovážné smíšené strategie pak dosáhneme přesvědčení (1/2, 1/2) x (1, 0).

Příklad 5 
Hra nemá v ryzích strategiích žádné NE. Hledání smíšené rovnovážné strategie nás dovede k profilu (1/3, 2/3) x (1/6, 5/6).

Příklad 6 
Opět hledáme takový mix pravděpodobností, který učiní hráče indiferentním mezi jeho strategiemi. Rovnovážným řešením je proto pro oba hráče přesvědčení (1/3, 1/3, 1/3).</div> 

= Reference =
<references/>

= Doporučená literatura =
1. Carmichael, Fiona. A guide to game theory: an introduction to game theory. 1st ed. New York: Financial Times Prentice Hall, 2005, xiii, 286 p. ISBN 02-736-8496-5. 
2. Shomam, Kevin Leyton-Brown and Yoav. Essentials of game theory a concise, multidisciplinary introduction: an introduction to game theory. 1st ed. San 3. Rafael, Calif.: Morgan, 2008, 915 s. ISBN 978-159-8295-931. 
3. Watson, Joel. Strategy: an introduction to game theory. Third Edition. xv, 491 pages. ISBN 978-039-3918-380.

Talk:Mixed strategy/cs

2014-06-17T19:09:25Z

Xvalm48: Created page with "Zdravím Lucie, myslím, že mi edituješ stránku :) Prosím založ si vlastní stránku, pokud se nemýlím, tak tvé téma je Normální forma."

Zdravím Lucie, myslím, že mi edituješ stránku :) Prosím založ si vlastní stránku, pokud se nemýlím, tak tvé téma je Normální forma.

Mapování jazyka - Simulace geneze a evoluce

2014-06-08T21:58:32Z

Xvalm48: /* Základní informace */

= Základní informace =
Autor: Miroslav Valeš (xvalm48) 
Typ: Multi-agentní simulace 
Platforma: C#, .NET 4.5 
Souhrnný výstupní článek: [[http://www.tropo.cz/The%20Language%20Mapping%20Phenomena.pdf]] 
Aplikace a zdrojový kód: [[http://www.tropo.cz/Language%20Mapping.zip]] 

= Závěrečná zpráva =

== Zadání ==

Model se v oblastech lingvistiky a fonologie věnuje simulaci geneze a evoluce jazyka, coby reprezentačního prostředku, ve kterém základní jednotka (písmeno, slabika, slovo) odkazuje na konkrétní význam. Různorodí agenti tyto jednotky používají v komunikaci, přičemž jejich užívání jazyka zapřičiňuje postupnou evoluci jazyka. Model by měl poskytnout odpověď, zda-li jazyk (jazykový slovník) s trvanlivými výrazy může emergovat pouze na základě chování mnoha deliberativních agentů. Zvláštní pozornost bude věnována vlivu endogenních parametrů, jako jsou omezení minimální a maximální délky výrazu, prahu podobnosti nebo vliv nastavení agentů na vytvářený jazyk. 
(... detail zadání je dostupný http://www.simulace.info/index.php/Xvalm48)

== Průběh vývoje ==

Oproti původnímu záměru bylo přistoupeno k záložní, i když pracnější, realizaci v prostředí C#, .NET 4.5. Důvodem přestupu z původně uvažovaného NetLoga byla nevyhovující výkonnost. NetLogo se vzhledem k počítání pravděpodobností tisíců znakových řetězců ukázalo být špatnou volbou. Druhým důvodem byla také udržitelnost a přehlednost kódu, která se přechodem na C# podstatně zlepšila. 
Pro sofistikovanější použití matematických rozdělení (Normálové, Beta, Gamma...) byla do projektu začleněna knihovna Troschuetz.Random. Pro zamýšlené porovnávání podobnosti znakových řetězců skrze Levenshtein a Metaphone pak project využívá transkribce původní implementace Double Metaphone Lawrence Philipse. 
Původním záměrem bylo take pro pohodlnou analýzu poskytnout uživateli kompletní záznam pro každý krok simulace, tedy například i soupis mapy pro každý krok. Což se ale vzhledem k paměťové náročnosti nepodařilo zajistit. Uspokojivým řešením je tak omezenější reporting dat pro každý krok.

== Výsledky ==
Po dvou měsících vývoje vznikla aplikace, simulátor, umožňující parametrizaci modelu pomocí řady typů zmiňovaných matematických rozdělení. Aplikace poskytuje výstup dat (obdobně jako NetLogo) v nastavitelném grafu a v reálném čase umožňuje i přístup k aktuálním atributům agenta. Omezení aplikace je dáno zadáním, avšak zdrojový kód je dostatečně přehledný, aby nebyly v budoucnu znemožněny případné úpravy. Detailním popisem použité abstrakce a zjištěného chování se zabývá níže uvedený článek.

Výsledky jsou dostupné v zazipovaném archivu obsahujícím článek a aplikaci se zdrojovým kódem: [[http://www.tropo.cz/Language%20Mapping.zip]] 
Výstupní článek samostatně, popisující zjištěné vlastnosti simulací, je dostupný zde: [[http://www.tropo.cz/The%20Language%20Mapping%20Phenomena.pdf]] 
[http://www.tropo.cz/LMS_screenshot.jpg Screenshot z výsledného simulátoru]

Mapování jazyka - Simulace geneze a evoluce

2014-06-08T21:54:54Z

Xvalm48: Created page with "= Základní informace = Autor: Miroslav Valeš Typ: Multi-agentní simulace Platforma: C#, .NET 4.5 Souhrnný výstupní článek: [[http://www.tropo.cz/The%20Lan..."

= Základní informace =
Autor: Miroslav Valeš 
Typ: Multi-agentní simulace 
Platforma: C#, .NET 4.5 
Souhrnný výstupní článek: [[http://www.tropo.cz/The%20Language%20Mapping%20Phenomena.pdf]] 
Aplikace a zdrojový kód: [[http://www.tropo.cz/Language%20Mapping.zip]] 

= Závěrečná zpráva =

== Zadání ==

Model se v oblastech lingvistiky a fonologie věnuje simulaci geneze a evoluce jazyka, coby reprezentačního prostředku, ve kterém základní jednotka (písmeno, slabika, slovo) odkazuje na konkrétní význam. Různorodí agenti tyto jednotky používají v komunikaci, přičemž jejich užívání jazyka zapřičiňuje postupnou evoluci jazyka. Model by měl poskytnout odpověď, zda-li jazyk (jazykový slovník) s trvanlivými výrazy může emergovat pouze na základě chování mnoha deliberativních agentů. Zvláštní pozornost bude věnována vlivu endogenních parametrů, jako jsou omezení minimální a maximální délky výrazu, prahu podobnosti nebo vliv nastavení agentů na vytvářený jazyk. 
(... detail zadání je dostupný http://www.simulace.info/index.php/Xvalm48)

== Průběh vývoje ==

Oproti původnímu záměru bylo přistoupeno k záložní, i když pracnější, realizaci v prostředí C#, .NET 4.5. Důvodem přestupu z původně uvažovaného NetLoga byla nevyhovující výkonnost. NetLogo se vzhledem k počítání pravděpodobností tisíců znakových řetězců ukázalo být špatnou volbou. Druhým důvodem byla také udržitelnost a přehlednost kódu, která se přechodem na C# podstatně zlepšila. 
Pro sofistikovanější použití matematických rozdělení (Normálové, Beta, Gamma...) byla do projektu začleněna knihovna Troschuetz.Random. Pro zamýšlené porovnávání podobnosti znakových řetězců skrze Levenshtein a Metaphone pak project využívá transkribce původní implementace Double Metaphone Lawrence Philipse. 
Původním záměrem bylo take pro pohodlnou analýzu poskytnout uživateli kompletní záznam pro každý krok simulace, tedy například i soupis mapy pro každý krok. Což se ale vzhledem k paměťové náročnosti nepodařilo zajistit. Uspokojivým řešením je tak omezenější reporting dat pro každý krok.

== Výsledky ==
Po dvou měsících vývoje vznikla aplikace, simulátor, umožňující parametrizaci modelu pomocí řady typů zmiňovaných matematických rozdělení. Aplikace poskytuje výstup dat (obdobně jako NetLogo) v nastavitelném grafu a v reálném čase umožňuje i přístup k aktuálním atributům agenta. Omezení aplikace je dáno zadáním, avšak zdrojový kód je dostatečně přehledný, aby nebyly v budoucnu znemožněny případné úpravy. Detailním popisem použité abstrakce a zjištěného chování se zabývá níže uvedený článek.

Výsledky jsou dostupné v zazipovaném archivu obsahujícím článek a aplikaci se zdrojovým kódem: [[http://www.tropo.cz/Language%20Mapping.zip]] 
Výstupní článek samostatně, popisující zjištěné vlastnosti simulací, je dostupný zde: [[http://www.tropo.cz/The%20Language%20Mapping%20Phenomena.pdf]] 
[http://www.tropo.cz/LMS_screenshot.jpg Screenshot z výsledného simulátoru]

SS 2013/2014/cs

2014-06-08T19:15:01Z

Xvalm48: /* Vypracovaná témata LS 2013/2014 */

{{DISPLAYTITLE:LS 2013/2014}}

Semestrální práce (simulace) z letního semestru 2013/2014. Sem přidejte odkaz na stránku s Vaší prací.
Nejprve je třeba nechat schválit [[Assignment SS 2013/2014/cs|zadání práce]].

=Vypracovaná témata LS 2013/2014=
* [[Systematické hraní rulety]]

* [[Triage - Simulace kategorizace obětí při hromadném neštěstí]]

* [[Simulace investičního burzovního indexu]]

* [[Dlouhodobé investování pro zajištění stability v důchodu na základě investičního portfolia ]]

* [[Simulace Helpdesk Portálu]]

* [[Kraus Lucie, xkral52 - Rozvozové časy - Monte Carlo]]

* [[Zatížení sítě Eduroam]]

* [[Model vývoje HDP ČR]]

* [[Mapování jazyka - Simulace geneze a evoluce]]

Xvalm48

2014-05-07T23:13:05Z

Xvalm48: /* Průběh modelu: */

= Geneze jazyka =

Název simulace: Geneze jazyka 
Autor: Miroslav Valeš 
Typ: Multi agentní simulace 
Modelovací nástroj: NetLogo, případně vlastní (viz Technologie)

== Zadání: ==
Model se v oblastech lingvistiky a fonologie věnuje simulaci geneze a evoluce jazyka, coby reprezentačního prostředku, ve kterém základní jednotka (písmeno, slabika, slovo) odkazuje na konkrétní význam. Různorodí agenti tyto jednotky používají v komunikaci, přičemž jejich užívání jazyka zapřičiňuje postupnou evoluci jazyka.
Model by měl poskytnout odpověď, zda-li jazyk (jazykový slovník) s trvanlivými výrazy může emergovat pouze na základě chování mnoha deliberativních agentů. Zvláštní pozornost bude věnována vlivu endogenních parametrů, jako jsou omezení minimální a maximální délky výrazu, prahu podobnosti nebo vliv nastavení agentů na vytvářený jazyk.

== Základní předpoklady: ==
Základním východiskem je rozmístění významů v dvojrozměrném prostoru, kde počet významů je konečný, definovaný skrze X a Y. 
Různé výrazy složené ze samohlásek a souhlásek různé délky mohou mít v prostoru stejnou pozici a tedy odkazovat na stejný význam. 
Ve vztahu výraz a význam, platí, čím používanější význam, tím kratší výraz. 
Pragmatické kritérium: Existence podobných výrazů pro různé významy musí splňovat rozdílnost, aby mohla být agenty komunikována. Od určité hranice podobnosti nemá smysl zachovávat dva a více stejných výrazů pro totožný (blízký) význam. V tomto modelu je rozdílnost výrazů posuzována pomocí dvou různých metod (viz Technologie).

=== Prvky modelu: ===
- Supra jazyková mapa - abstrakce, kde jsou v dvojrozměrném poli rozmístěny výrazy. Výraz má svoji znakovou podobu, je složen ze samohlásek a souhlásek. Unikátnost výrazu je dána jeho významem, v této abstrakci umístěním X a Y. Je tedy myslitelné, aby více výrazů odkazovalo na totožný význam. Supra, globální jazyková mapa představuje základní kontrakt, jazyk prostředí společný pro všechny agent, ze kterého mohou jejich komunikační jednání vycházet. 
- Agenti / Mluvčí - jsou sofistikovaní, deliberativní mluvčí mající svou vlastní jazykovou mapu umožňující individuální mutace pojmenování. Mají několik parametrů určující jejich chování (viz dále). 
- Výrazy - jsou již zmiňované prvky umístěné v jazykových mapách.

=== Parametry výrazu: ===
- Významnost výrazu - je skóre představující počet používanost výrazu pro daný význam. Vzniká průběžne dle četnosti používání výrazu agenty. 
- Pozice - umístění X, Y, neboli význam výrazu

=== Parametry agenta (mluvčího): ===
- Seznam významů s pravděpodobnostní četností (seznam pozic X,Y s pravděpodobností výběru v kole). Tento seznam by měl být neměnný nebo měnný jenom minimálně. 
- Vlastní jazyková mapa - vlastní mapa utvářená jednáním agenta. 
- Exponovanost agenta - představuje faktor jeho aktivity, průměrného počtu použití různých pojmenování za kolo. 
- Významnost agenta je skóre dle kterého aktuální použití výrazů a tedy jeho vzniklá jazyková mapa ovlivňuje supra-mapu a tedy i další agenty 
- Rozlišovací schopnost agenta - práh schopnosti rozlišit výrazy z hlediska výslovnosti (viz Technologie) 
- Faktor kreativity (respektive komformita) je vyjádření tendece vycházet při pojmenování významu ze supra-mapy nebo generování vlastního pojmenování

=== Průběh modelu: ===
- Agenti mají vlastní seznam významů, podle kterého náhodně a v souladu s měrou svojí exponovanosti v každém kole komunikují. Při komunikaci konkrétního významu (pozice X,Y) agent přebírá ze supra jazykové mapy výraz nejbližší významu. Výběr je ovlivněn rozlišovací schopností a faktorem kreativity. Čím je faktor kreativity vyšší, tím agent generuje spíše vlastní význam. Generování je podřízeno četnostní významu - čím vyšší, tím méně znaků. Může být ošetřeno pravidlem na základě žebříčku délek a relativních četností. Rozlišovací úroveň agenta také podmiňuje zachování více stejně nebo podobně umístěných výrazů a jejich výslovnostní podobnosti (viz Pragmatické kritérium) 
- Globální parametr určuje práh významnosti agenta, při jehož překročení agentova vlastní jazyková mapa na konci kola (definovaného intervalu) se promítá do supra jazykové mapy. - Nepoužívané výrazy po daném časovém intervalu zanikají

=== Technologie: ===
- pro srovnání vygenerovaných výrazů z hlediska výslovnosti bude použit algoritmus Metaphone nebo Levenshtein 
- model bude realizován v Netlogu, případně ve vlastní aplikaci v jazyce C#, platforma .NET 
- pro simulaci bude zásadní metoda porovnávání výslovnosti a generování výrazů ze samohlásek a souhlásek

Xvalm48

2014-05-07T23:12:55Z

Xvalm48: /* Průběh modelu: */

= Geneze jazyka =

Název simulace: Geneze jazyka 
Autor: Miroslav Valeš 
Typ: Multi agentní simulace 
Modelovací nástroj: NetLogo, případně vlastní (viz Technologie)

== Zadání: ==
Model se v oblastech lingvistiky a fonologie věnuje simulaci geneze a evoluce jazyka, coby reprezentačního prostředku, ve kterém základní jednotka (písmeno, slabika, slovo) odkazuje na konkrétní význam. Různorodí agenti tyto jednotky používají v komunikaci, přičemž jejich užívání jazyka zapřičiňuje postupnou evoluci jazyka.
Model by měl poskytnout odpověď, zda-li jazyk (jazykový slovník) s trvanlivými výrazy může emergovat pouze na základě chování mnoha deliberativních agentů. Zvláštní pozornost bude věnována vlivu endogenních parametrů, jako jsou omezení minimální a maximální délky výrazu, prahu podobnosti nebo vliv nastavení agentů na vytvářený jazyk.

== Základní předpoklady: ==
Základním východiskem je rozmístění významů v dvojrozměrném prostoru, kde počet významů je konečný, definovaný skrze X a Y. 
Různé výrazy složené ze samohlásek a souhlásek různé délky mohou mít v prostoru stejnou pozici a tedy odkazovat na stejný význam. 
Ve vztahu výraz a význam, platí, čím používanější význam, tím kratší výraz. 
Pragmatické kritérium: Existence podobných výrazů pro různé významy musí splňovat rozdílnost, aby mohla být agenty komunikována. Od určité hranice podobnosti nemá smysl zachovávat dva a více stejných výrazů pro totožný (blízký) význam. V tomto modelu je rozdílnost výrazů posuzována pomocí dvou různých metod (viz Technologie).

=== Prvky modelu: ===
- Supra jazyková mapa - abstrakce, kde jsou v dvojrozměrném poli rozmístěny výrazy. Výraz má svoji znakovou podobu, je složen ze samohlásek a souhlásek. Unikátnost výrazu je dána jeho významem, v této abstrakci umístěním X a Y. Je tedy myslitelné, aby více výrazů odkazovalo na totožný význam. Supra, globální jazyková mapa představuje základní kontrakt, jazyk prostředí společný pro všechny agent, ze kterého mohou jejich komunikační jednání vycházet. 
- Agenti / Mluvčí - jsou sofistikovaní, deliberativní mluvčí mající svou vlastní jazykovou mapu umožňující individuální mutace pojmenování. Mají několik parametrů určující jejich chování (viz dále). 
- Výrazy - jsou již zmiňované prvky umístěné v jazykových mapách.

=== Parametry výrazu: ===
- Významnost výrazu - je skóre představující počet používanost výrazu pro daný význam. Vzniká průběžne dle četnosti používání výrazu agenty. 
- Pozice - umístění X, Y, neboli význam výrazu

=== Parametry agenta (mluvčího): ===
- Seznam významů s pravděpodobnostní četností (seznam pozic X,Y s pravděpodobností výběru v kole). Tento seznam by měl být neměnný nebo měnný jenom minimálně. 
- Vlastní jazyková mapa - vlastní mapa utvářená jednáním agenta. 
- Exponovanost agenta - představuje faktor jeho aktivity, průměrného počtu použití různých pojmenování za kolo. 
- Významnost agenta je skóre dle kterého aktuální použití výrazů a tedy jeho vzniklá jazyková mapa ovlivňuje supra-mapu a tedy i další agenty 
- Rozlišovací schopnost agenta - práh schopnosti rozlišit výrazy z hlediska výslovnosti (viz Technologie) 
- Faktor kreativity (respektive komformita) je vyjádření tendece vycházet při pojmenování významu ze supra-mapy nebo generování vlastního pojmenování

=== Průběh modelu: ===
- Agenti mají vlastní seznam významů, podle kterého náhodně a v souladu s měrou svojí exponovanosti v každém kole komunikují. Při komunikaci konkrétního významu (pozice X,Y) agent přebírá ze supra jazykové mapy výraz nejbližší významu. Výběr je ovlivněn rozlišovací schopností a faktorem kreativity. Čím je faktor kreativity vyšší, tím agent generuje spíše vlastní význam. Generování je podřízeno četnostní významu - čím vyšší, tím méně znaků. Může být ošetřeno pravidlem na základě žebříčku délek a relativních četností. Rozlišovací úroveň agenta také podmiňuje zachování více stejně nebo podobně umístěných výrazů a jejich výslovnostní podobnosti (viz Pragmatické kritérium) 
- Globální parametr určuje práh významnosti agenta, při jehož překročení agentova vlastní jazyková mapa na konci kola (definovaného intervalu) se promítá do supra jazykové mapy. - Nepoužívané výrazy po daném časovém interval zanikají

=== Technologie: ===
- pro srovnání vygenerovaných výrazů z hlediska výslovnosti bude použit algoritmus Metaphone nebo Levenshtein 
- model bude realizován v Netlogu, případně ve vlastní aplikaci v jazyce C#, platforma .NET 
- pro simulaci bude zásadní metoda porovnávání výslovnosti a generování výrazů ze samohlásek a souhlásek

Xvalm48

2014-05-07T23:11:50Z

Xvalm48: /* Parametry agenta: */

= Geneze jazyka =

Název simulace: Geneze jazyka 
Autor: Miroslav Valeš 
Typ: Multi agentní simulace 
Modelovací nástroj: NetLogo, případně vlastní (viz Technologie)

== Zadání: ==
Model se v oblastech lingvistiky a fonologie věnuje simulaci geneze a evoluce jazyka, coby reprezentačního prostředku, ve kterém základní jednotka (písmeno, slabika, slovo) odkazuje na konkrétní význam. Různorodí agenti tyto jednotky používají v komunikaci, přičemž jejich užívání jazyka zapřičiňuje postupnou evoluci jazyka.
Model by měl poskytnout odpověď, zda-li jazyk (jazykový slovník) s trvanlivými výrazy může emergovat pouze na základě chování mnoha deliberativních agentů. Zvláštní pozornost bude věnována vlivu endogenních parametrů, jako jsou omezení minimální a maximální délky výrazu, prahu podobnosti nebo vliv nastavení agentů na vytvářený jazyk.

== Základní předpoklady: ==
Základním východiskem je rozmístění významů v dvojrozměrném prostoru, kde počet významů je konečný, definovaný skrze X a Y. 
Různé výrazy složené ze samohlásek a souhlásek různé délky mohou mít v prostoru stejnou pozici a tedy odkazovat na stejný význam. 
Ve vztahu výraz a význam, platí, čím používanější význam, tím kratší výraz. 
Pragmatické kritérium: Existence podobných výrazů pro různé významy musí splňovat rozdílnost, aby mohla být agenty komunikována. Od určité hranice podobnosti nemá smysl zachovávat dva a více stejných výrazů pro totožný (blízký) význam. V tomto modelu je rozdílnost výrazů posuzována pomocí dvou různých metod (viz Technologie).

=== Prvky modelu: ===
- Supra jazyková mapa - abstrakce, kde jsou v dvojrozměrném poli rozmístěny výrazy. Výraz má svoji znakovou podobu, je složen ze samohlásek a souhlásek. Unikátnost výrazu je dána jeho významem, v této abstrakci umístěním X a Y. Je tedy myslitelné, aby více výrazů odkazovalo na totožný význam. Supra, globální jazyková mapa představuje základní kontrakt, jazyk prostředí společný pro všechny agent, ze kterého mohou jejich komunikační jednání vycházet. 
- Agenti / Mluvčí - jsou sofistikovaní, deliberativní mluvčí mající svou vlastní jazykovou mapu umožňující individuální mutace pojmenování. Mají několik parametrů určující jejich chování (viz dále). 
- Výrazy - jsou již zmiňované prvky umístěné v jazykových mapách.

=== Parametry výrazu: ===
- Významnost výrazu - je skóre představující počet používanost výrazu pro daný význam. Vzniká průběžne dle četnosti používání výrazu agenty. 
- Pozice - umístění X, Y, neboli význam výrazu

=== Parametry agenta (mluvčího): ===
- Seznam významů s pravděpodobnostní četností (seznam pozic X,Y s pravděpodobností výběru v kole). Tento seznam by měl být neměnný nebo měnný jenom minimálně. 
- Vlastní jazyková mapa - vlastní mapa utvářená jednáním agenta. 
- Exponovanost agenta - představuje faktor jeho aktivity, průměrného počtu použití různých pojmenování za kolo. 
- Významnost agenta je skóre dle kterého aktuální použití výrazů a tedy jeho vzniklá jazyková mapa ovlivňuje supra-mapu a tedy i další agenty 
- Rozlišovací schopnost agenta - práh schopnosti rozlišit výrazy z hlediska výslovnosti (viz Technologie) 
- Faktor kreativity (respektive komformita) je vyjádření tendece vycházet při pojmenování významu ze supra-mapy nebo generování vlastního pojmenování

=== Průběh modelu: ===
- Agenti mají vlastní seznam významů, podle kterého náhodně a v souladu s měrou svojí exponovanosti v každém kole komunikují. Při komunikaci konkrétního významu (pozice X,Y) agent přebírá ze supra jazykové mapy výraz nejbližší významu. Výběr je ovlivněn rozlišovací schopností a faktorem kreativity. Čím je faktor kreativity vyšší, tím agent generuje spíše vlastní význam. Generování je podřízeno četnostní významu - čím vyšší, tím méně znaků. Může být ošetřeno pravidlem na základě žebříčku délek a relativních četností. Rozlišovací úroveň agenta také podmiňuje zachování více stejně nebo podobně umístěných výrazů a jejich výslovnostní podobnosti (viz Pragmatické kritérium) 
- Globální parametr určuje práh významnosti agenta, při jehož překročení agentova vlastní jazyková mapa na konci kola (definovaného intervalu) se promítá do supra jazykové mapy. 

=== Technologie: ===
- pro srovnání vygenerovaných výrazů z hlediska výslovnosti bude použit algoritmus Metaphone nebo Levenshtein 
- model bude realizován v Netlogu, případně ve vlastní aplikaci v jazyce C#, platforma .NET 
- pro simulaci bude zásadní metoda porovnávání výslovnosti a generování výrazů ze samohlásek a souhlásek

Xvalm48

2014-05-07T23:09:06Z

Xvalm48: /* Geneze jazyka */

= Geneze jazyka =

Název simulace: Geneze jazyka 
Autor: Miroslav Valeš 
Typ: Multi agentní simulace 
Modelovací nástroj: NetLogo, případně vlastní (viz Technologie)

== Zadání: ==
Model se v oblastech lingvistiky a fonologie věnuje simulaci geneze a evoluce jazyka, coby reprezentačního prostředku, ve kterém základní jednotka (písmeno, slabika, slovo) odkazuje na konkrétní význam. Různorodí agenti tyto jednotky používají v komunikaci, přičemž jejich užívání jazyka zapřičiňuje postupnou evoluci jazyka.
Model by měl poskytnout odpověď, zda-li jazyk (jazykový slovník) s trvanlivými výrazy může emergovat pouze na základě chování mnoha deliberativních agentů. Zvláštní pozornost bude věnována vlivu endogenních parametrů, jako jsou omezení minimální a maximální délky výrazu, prahu podobnosti nebo vliv nastavení agentů na vytvářený jazyk.

== Základní předpoklady: ==
Základním východiskem je rozmístění významů v dvojrozměrném prostoru, kde počet významů je konečný, definovaný skrze X a Y. 
Různé výrazy složené ze samohlásek a souhlásek různé délky mohou mít v prostoru stejnou pozici a tedy odkazovat na stejný význam. 
Ve vztahu výraz a význam, platí, čím používanější význam, tím kratší výraz. 
Pragmatické kritérium: Existence podobných výrazů pro různé významy musí splňovat rozdílnost, aby mohla být agenty komunikována. Od určité hranice podobnosti nemá smysl zachovávat dva a více stejných výrazů pro totožný (blízký) význam. V tomto modelu je rozdílnost výrazů posuzována pomocí dvou různých metod (viz Technologie).

=== Prvky modelu: ===
- Supra jazyková mapa - abstrakce, kde jsou v dvojrozměrném poli rozmístěny výrazy. Výraz má svoji znakovou podobu, je složen ze samohlásek a souhlásek. Unikátnost výrazu je dána jeho významem, v této abstrakci umístěním X a Y. Je tedy myslitelné, aby více výrazů odkazovalo na totožný význam. Supra, globální jazyková mapa představuje základní kontrakt, jazyk prostředí společný pro všechny agent, ze kterého mohou jejich komunikační jednání vycházet. 
- Agenti / Mluvčí - jsou sofistikovaní, deliberativní mluvčí mající svou vlastní jazykovou mapu umožňující individuální mutace pojmenování. Mají několik parametrů určující jejich chování (viz dále). 
- Výrazy - jsou již zmiňované prvky umístěné v jazykových mapách.

=== Parametry výrazu: ===
- Významnost výrazu - je skóre představující počet používanost výrazu pro daný význam. Vzniká průběžne dle četnosti používání výrazu agenty. 
- Pozice - umístění X, Y, neboli význam výrazu

=== Parametry agenta: ===
- Seznam významů s pravděpodobnostní četností (seznam pozic X,Y s pravděpodobností výběru v kole). Tento seznam by měl být neměnný nebo měnný jenom minimálně. 
- Vlastní jazyková mapa - vlastní mapa utvářená jednáním agenta. 
- Exponovanost agenta - představuje faktor jeho aktivity, průměrného počtu použití různých pojmenování za kolo. 
- Významnost agenta je skóre dle kterého aktuální použití výrazů a tedy jeho vzniklá jazyková mapa ovlivňuje supra-mapu a tedy i další agenty 
- Rozlišovací schopnost agenta - práh schopnosti rozlišit výrazy z hlediska výslovnosti (viz Technologie) 
- Faktor kreativity (respektive komformita) je vyjádření tendece vycházet při pojmenování významu ze supra-mapy nebo generování vlastního pojmenování

=== Průběh modelu: ===
- Agenti mají vlastní seznam významů, podle kterého náhodně a v souladu s měrou svojí exponovanosti v každém kole komunikují. Při komunikaci konkrétního významu (pozice X,Y) agent přebírá ze supra jazykové mapy výraz nejbližší významu. Výběr je ovlivněn rozlišovací schopností a faktorem kreativity. Čím je faktor kreativity vyšší, tím agent generuje spíše vlastní význam. Generování je podřízeno četnostní významu - čím vyšší, tím méně znaků. Může být ošetřeno pravidlem na základě žebříčku délek a relativních četností. Rozlišovací úroveň agenta také podmiňuje zachování více stejně nebo podobně umístěných výrazů a jejich výslovnostní podobnosti (viz Pragmatické kritérium) 
- Globální parametr určuje práh významnosti agenta, při jehož překročení agentova vlastní jazyková mapa na konci kola (definovaného intervalu) se promítá do supra jazykové mapy. 

=== Technologie: ===
- pro srovnání vygenerovaných výrazů z hlediska výslovnosti bude použit algoritmus Metaphone nebo Levenshtein 
- model bude realizován v Netlogu, případně ve vlastní aplikaci v jazyce C#, platforma .NET 
- pro simulaci bude zásadní metoda porovnávání výslovnosti a generování výrazů ze samohlásek a souhlásek

Xvalm48

2014-05-07T23:06:20Z

Xvalm48: /* Zadání: */

= Geneze jazyka =

Název simulace: Geneze jazyka 
Autor: Miroslav Valeš 
Modelovací nástroj: NetLogo, případně vlastní (viz Technologie)

== Zadání: ==
Model se v oblastech lingvistiky a fonologie věnuje simulaci geneze a evoluce jazyka, coby reprezentačního prostředku, ve kterém základní jednotka (písmeno, slabika, slovo) odkazuje na konkrétní význam. Různorodí agenti tyto jednotky používají v komunikaci, přičemž jejich užívání jazyka zapřičiňuje postupnou evoluci jazyka.
Model by měl poskytnout odpověď, zda-li jazyk (jazykový slovník) s trvanlivými výrazy může emergovat pouze na základě chování mnoha deliberativních agentů. Zvláštní pozornost bude věnována vlivu endogenních parametrů, jako jsou omezení minimální a maximální délky výrazu, prahu podobnosti nebo vliv nastavení agentů na vytvářený jazyk.

== Základní předpoklady: ==
Základním východiskem je rozmístění významů v dvojrozměrném prostoru, kde počet významů je konečný, definovaný skrze X a Y. 
Různé výrazy složené ze samohlásek a souhlásek různé délky mohou mít v prostoru stejnou pozici a tedy odkazovat na stejný význam. 
Ve vztahu výraz a význam, platí, čím používanější význam, tím kratší výraz. 
Pragmatické kritérium: Existence podobných výrazů pro různé významy musí splňovat rozdílnost, aby mohla být agenty komunikována. Od určité hranice podobnosti nemá smysl zachovávat dva a více stejných výrazů pro totožný (blízký) význam. V tomto modelu je rozdílnost výrazů posuzována pomocí dvou různých metod (viz Technologie).

=== Prvky modelu: ===
- Supra jazyková mapa - abstrakce, kde jsou v dvojrozměrném poli rozmístěny výrazy. Výraz má svoji znakovou podobu, je složen ze samohlásek a souhlásek. Unikátnost výrazu je dána jeho významem, v této abstrakci umístěním X a Y. Je tedy myslitelné, aby více výrazů odkazovalo na totožný význam. Supra, globální jazyková mapa představuje základní kontrakt, jazyk prostředí společný pro všechny agent, ze kterého mohou jejich komunikační jednání vycházet. 
- Agenti / Mluvčí - jsou sofistikovaní, deliberativní mluvčí mající svou vlastní jazykovou mapu umožňující individuální mutace pojmenování. Mají několik parametrů určující jejich chování (viz dále). 
- Výrazy - jsou již zmiňované prvky umístěné v jazykových mapách.

=== Parametry výrazu: ===
- Významnost výrazu - je skóre představující počet používanost výrazu pro daný význam. Vzniká průběžne dle četnosti používání výrazu agenty. 
- Pozice - umístění X, Y, neboli význam výrazu

=== Parametry agenta: ===
- Seznam významů s pravděpodobnostní četností (seznam pozic X,Y s pravděpodobností výběru v kole). Tento seznam by měl být neměnný nebo měnný jenom minimálně. 
- Vlastní jazyková mapa - vlastní mapa utvářená jednáním agenta. 
- Exponovanost agenta - představuje faktor jeho aktivity, průměrného počtu použití různých pojmenování za kolo. 
- Významnost agenta je skóre dle kterého aktuální použití výrazů a tedy jeho vzniklá jazyková mapa ovlivňuje supra-mapu a tedy i další agenty 
- Rozlišovací schopnost agenta - práh schopnosti rozlišit výrazy z hlediska výslovnosti (viz Technologie) 
- Faktor kreativity (respektive komformita) je vyjádření tendece vycházet při pojmenování významu ze supra-mapy nebo generování vlastního pojmenování

=== Průběh modelu: ===
- Agenti mají vlastní seznam významů, podle kterého náhodně a v souladu s měrou svojí exponovanosti v každém kole komunikují. Při komunikaci konkrétního významu (pozice X,Y) agent přebírá ze supra jazykové mapy výraz nejbližší významu. Výběr je ovlivněn rozlišovací schopností a faktorem kreativity. Čím je faktor kreativity vyšší, tím agent generuje spíše vlastní význam. Generování je podřízeno četnostní významu - čím vyšší, tím méně znaků. Může být ošetřeno pravidlem na základě žebříčku délek a relativních četností. Rozlišovací úroveň agenta také podmiňuje zachování více stejně nebo podobně umístěných výrazů a jejich výslovnostní podobnosti (viz Pragmatické kritérium) 
- Globální parametr určuje práh významnosti agenta, při jehož překročení agentova vlastní jazyková mapa na konci kola (definovaného intervalu) se promítá do supra jazykové mapy. 

=== Technologie: ===
- pro srovnání vygenerovaných výrazů z hlediska výslovnosti bude použit algoritmus Metaphone nebo Levenshtein 
- model bude realizován v Netlogu, případně ve vlastní aplikaci v jazyce C#, platforma .NET 
- pro simulaci bude zásadní metoda porovnávání výslovnosti a generování výrazů ze samohlásek a souhlásek

Assignment SS 2013/2014/cs

2014-05-07T23:04:11Z

Xvalm48: /* Zadání */

{{DISPLAYTITLE:Zadání LS 2013/2014}}

{{Ambox
| text = <div>
Na tuto stránku vkládejte svá zadání. Nezapomeňte se podepsat. Můžete použít <nowiki>~~~~</nowiki> (čtyři tildy) k automatickému podpisu. Používejte Ukázat náhled, abyste si prohlédli Váš výsledek před konečným odesláním.
</div>
}}

{{Ambox
| text = <div>
Prosíme, snažte se formulovat Vaše zadání pečlive. S ohledem na to, že jde o Vaši semestrální práci, očekáváme adekvátní úsilí vynaložené na zadání. Nezapomeňte, že hlavním výsledkem má být výzkumná zpráva, což znamená, že Váš simulační model musí generovat takové výsledky, které jsou konkrétní, měřitelné a ověřitelné. Pečlivě promyslete, jakým způsobem budete vyvíjet Váš model, odvoďte entity, které budete používat, nakreslete si diagram modelu, zvažte, co budete měřit. Teprve pokud máte o modelu dostatečně přesnou představu, vložte Vaše zadání. A samozřejmě, nezapomeňte si prosím přečíst [[How to deal with the simulation assignment/cs|Jak na simulace]].
</div>
}}

{{Ambox
| type = content
| text = <div>
Abychom se vyhnuli případnému budoucímu nedorozumnění, prosíme, ověřte si, že máte tučné '''schváleno''' někde v našem komentáři pod Vaším zadání. Pokud tam není '''schváleno''', znamená to, že Vaše zadání dosud schváleno nebylo.
</div>
}}

== Zadání ==

[[xgubk00]]

[[xkral52]]

[[xsoul21]]

[[xprom90]]

[[xsubo00]]

[[xpalj24]]

[[xkrep00]]

[[xbanl00]]

[[xcesj04]]

[[xvalm48]] NOVÉ

Xvalm48

2014-05-07T23:01:10Z

Xvalm48: Created page with "= Geneze jazyka = Název simulace: Geneze jazyka Autor: Miroslav Valeš Modelovací nástroj: NetLogo, případně vlastní (viz Technologie) == Zadání: == Model s..."

= Geneze jazyka =

Název simulace: Geneze jazyka 
Autor: Miroslav Valeš 
Modelovací nástroj: NetLogo, případně vlastní (viz Technologie)

== Zadání: ==
Model se v oblastech lingvistiky a fonologie věnuje simulaci geneze a evoluce jazyka, coby reprezentačního prostředku, ve kterém základní jednotka (písmeno, slabika, slovo) odkazuje na konkrétní význam. Různorodí agenti tyto jednotky používají v komunikaci, přičemž jejich užívání jazyka zapřičiňuje postupnou evoluci jazyka.
Model by měl poskytnout odpověď, zda-li jazyk (jazykový slovník) s trvanlivými výrazy může emergovat pouze na základě chování mnoha deliberativních agentů.

== Základní předpoklady: ==
Základním východiskem je rozmístění významů v dvojrozměrném prostoru, kde počet významů je konečný, definovaný skrze X a Y. 
Různé výrazy složené ze samohlásek a souhlásek různé délky mohou mít v prostoru stejnou pozici a tedy odkazovat na stejný význam. 
Ve vztahu výraz a význam, platí, čím používanější význam, tím kratší výraz. 
Pragmatické kritérium: Existence podobných výrazů pro různé významy musí splňovat rozdílnost, aby mohla být agenty komunikována. Od určité hranice podobnosti nemá smysl zachovávat dva a více stejných výrazů pro totožný (blízký) význam. V tomto modelu je rozdílnost výrazů posuzována pomocí dvou různých metod (viz Technologie).

=== Prvky modelu: ===
- Supra jazyková mapa - abstrakce, kde jsou v dvojrozměrném poli rozmístěny výrazy. Výraz má svoji znakovou podobu, je složen ze samohlásek a souhlásek. Unikátnost výrazu je dána jeho významem, v této abstrakci umístěním X a Y. Je tedy myslitelné, aby více výrazů odkazovalo na totožný význam. Supra, globální jazyková mapa představuje základní kontrakt, jazyk prostředí společný pro všechny agent, ze kterého mohou jejich komunikační jednání vycházet. 
- Agenti / Mluvčí - jsou sofistikovaní, deliberativní mluvčí mající svou vlastní jazykovou mapu umožňující individuální mutace pojmenování. Mají několik parametrů určující jejich chování (viz dále). 
- Výrazy - jsou již zmiňované prvky umístěné v jazykových mapách.

=== Parametry výrazu: ===
- Významnost výrazu - je skóre představující počet používanost výrazu pro daný význam. Vzniká průběžne dle četnosti používání výrazu agenty. 
- Pozice - umístění X, Y, neboli význam výrazu

=== Parametry agenta: ===
- Seznam významů s pravděpodobnostní četností (seznam pozic X,Y s pravděpodobností výběru v kole). Tento seznam by měl být neměnný nebo měnný jenom minimálně. 
- Vlastní jazyková mapa - vlastní mapa utvářená jednáním agenta. 
- Exponovanost agenta - představuje faktor jeho aktivity, průměrného počtu použití různých pojmenování za kolo. 
- Významnost agenta je skóre dle kterého aktuální použití výrazů a tedy jeho vzniklá jazyková mapa ovlivňuje supra-mapu a tedy i další agenty 
- Rozlišovací schopnost agenta - práh schopnosti rozlišit výrazy z hlediska výslovnosti (viz Technologie) 
- Faktor kreativity (respektive komformita) je vyjádření tendece vycházet při pojmenování významu ze supra-mapy nebo generování vlastního pojmenování

=== Průběh modelu: ===
- Agenti mají vlastní seznam významů, podle kterého náhodně a v souladu s měrou svojí exponovanosti v každém kole komunikují. Při komunikaci konkrétního významu (pozice X,Y) agent přebírá ze supra jazykové mapy výraz nejbližší významu. Výběr je ovlivněn rozlišovací schopností a faktorem kreativity. Čím je faktor kreativity vyšší, tím agent generuje spíše vlastní význam. Generování je podřízeno četnostní významu - čím vyšší, tím méně znaků. Může být ošetřeno pravidlem na základě žebříčku délek a relativních četností. Rozlišovací úroveň agenta také podmiňuje zachování více stejně nebo podobně umístěných výrazů a jejich výslovnostní podobnosti (viz Pragmatické kritérium) 
- Globální parametr určuje práh významnosti agenta, při jehož překročení agentova vlastní jazyková mapa na konci kola (definovaného intervalu) se promítá do supra jazykové mapy. 

=== Technologie: ===
- pro srovnání vygenerovaných výrazů z hlediska výslovnosti bude použit algoritmus Metaphone nebo Levenshtein 
- model bude realizován v Netlogu, případně ve vlastní aplikaci v jazyce C#, platforma .NET 
- pro simulaci bude zásadní metoda porovnávání výslovnosti a generování výrazů ze samohlásek a souhlásek

Assignment SS 2013/2014/cs

2014-05-07T22:51:51Z

Xvalm48: /* Zadání */