Simulace.info - User contributions [en]

Monte Carlo method/cs

2015-06-15T14:19:12Z

Xzizl00: Created page with "=Úvod= Metoda Monte Carlo je souhrnné označení pro soubor algoritmů využívajících generování pseudonáhodných čísel pro an..."

=Úvod=

Metoda Monte Carlo je souhrnné označení pro soubor algoritmů využívajících [[Pseudorandom_number_generators/cs|generování pseudonáhodných čísel]] pro analýzu jevů, na které mají vliv náhodné faktory. Metoda je založena na statistickém přístupu, kde se na základě mnohokrát opakovaných náhodných pokusech získají obecné charakteristiky, pomocí kterých bude možné popsat modelovaný jev.<ref name="kosina">KOŠINA, Martin. Metoda Monte Carlo a její využití ve financích : bakalářská práce [online]. Praha : Vysoká škola ekonomická v Praze, Fakulta informatiky a statistiky, 2014 [cit. 2015-05-22]. Dostupné z: http://www.vse.cz/vskp/show_file.php?soubor_id=1248931.</ref> Samotné dílčí pokusy nemají velkou vypovídající hodnotu, avšak mnohonásobné opakování těchto pokusů přináší použitelné výsledky díky platnosti [[Law_of_large_numbers|zákona velkých čísel]]. Metoda Monte Carlo patří mezi stochastické [[Simulation_modeling/cs|simulační metody]], protože opakování celé simulace se stejnými parametry vede k různým výsledkům. Metoda však umožňuje získání alespoň přibližných výsledků v situacích, kdy jsou běžné analytické přístupy příliš složité či nemožné. Při simulaci se metoda Monte Carlo spoléhá na pravděpodobnost, modelování náhodných veličin a statistické odhady jejich charakteristik.<ref name="kucharova">KUCHÁROVÁ, Miroslava. Metody Monte Carlo v systému Matlab : bakalářská práce [online]. Brno : Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta, 2013 [cit. 2015-05-22]. Dostupné z: http://is.muni.cz/th/379700/prif_b/BakalarskaPraca.pdf.</ref> Metodu Monte Carlo lze také použít pro simulaci deterministických úloh, které nepracují s náhodnými veličinami. Růst výpočetního výkonu počítačů se výrazným způsobem projevil na nárůstu popularity metody Monte Carlo v posledních letech. Široké uplatnění nachází zejména v matematice, statistice, fyzice, informatice a finančním inženýrství.

=Historie=

{| class="wikitable" style="float:left; margin-right: 15px;" width="240"
! scope="col" width="50px" |Georges Louis Leclerc de Buffon
|-
| [[File:Buffon.jpg]]
|-
| '''Datum narození:'''
* 7. září 1707
* Montbard, Burgundy, Francie

'''Datum úmrtí:'''
* 16. duben 1788 (ve věku 80 let)
* Paříž, Francie

'''Povolání:''' přírodovědec, matematik
|}

[[File:Buffonova_jehla_(reálný_experiment).jpg|thumb|400px|right||Obr. 1: Buffonova jehla v reálném experimentu]] Počátky použití typu analýzy, která později dostane název metoda Monte Carlo, lze vysledovat již v 18. století. Za první problém řešený pomocí přístupu Monte Carlo se považuje matematická úloha nazvaná Buffonova jehla. Úlohu v roce 1733 navrhl francouzský přírodovědec a matematik Georges Louis Leclerc de Buffon.<ref name="shonkwiler">SHONKWILER, Ronald W a Franklin MENDIVIL. Explorations in Monte Carlo methods. New York: Springer, 2009, xii, 243 p. Undergraduate texts in mathematics. ISBN 03-878-7837-8.</ref> Zadaní úlohy zní: „Máme k dispozici jehlu a list papíru, na kterém jsou vyobrazeny rovnoběžné linky. Vzdálenost mezi jednotlivými linkami se rovná délce jehly. Na papír opakovaně házíme jehlu. Jaká je pravděpodobnost, že jehla po dopadu překříží některou z linek?“ Pomocí této úlohy je možné odhadnout hodnotu π. Pro lepší představu si tento experiment předvedeme, místo jehly však budou použita párátka s délkou 6 cm. Vzdálenosti mezi jednotlivými linkami jsou také 6 cm.

Vzorec pro výpočet hodnoty π:

<math>\pi = \dfrac{2*n}{k}</math>


n... počet hodů

k... počet překřížení


Celkem bylo uskutečněno 20 hodů s párátky. Párátka překřížila některou z linek v 11 případech. Všechna překřížení jsou vyznačena na obrázku Obr. 1.

Nyní můžeme dosadit hodnoty z experimentu do vzorce:

<math>\pi = \dfrac{2*20}{11} = 3,6364</math>

Výsledný odhad hodnoty π činí 3,6364. Odhad je nadhodnocený o přibližně 15,8 %, protože skutečná hodnota π se rovná 3,1416.

{| class="wikitable" style="float:right; margin-left: 15px;" width="300"
! scope="col" width="50px" |Stanislaw Ulam
|-
| [[File:ulam.jpg]]
|-
| '''Datum narození:'''
* 13. duben 1909
* Lvov, Rakousko-Uhersko

'''Datum úmrtí:'''
* 13. květen 1984 (ve věku 75 let)
* Santa Fe, Nové Mexiko, USA

'''Povolání:''' matematik
|}

Metoda Monte Carlo byla objevena ve 40. letech 20 století v Národní laboratoři Los Alamos v USA. O její vznik a následný rozvoj se zasloužili Stanislaw Ulam a John von Neumann, kteří v té době pracovali na vývoji atomové bomby v rámci projektu Manhattan. Zkoumali chování neutronů při průchodu různými druhy materiálů. Cílem jejich pokusů bylo předpovídání trajektorií neutronů. Společně vytvořili model života neutronů, který byl založen na ruletě. Jednotlivé etapy života neutronů byly reprezentovány různými ruletami. Každá ruleta měla své dílky rozdělena podle pravděpodobnosti, s jakou nastane daný jev.<ref name="kucharova"></ref> Například bylo zjištěno, že v jednom případě ze sta došlo k pohlcení neutronu atomem vodíku při jejich vzájemné srážce. Každé roztočení kola rulety simulovalo pohyb neutronu. Roztáčení rulety probíhalo do doby, než byl neutron pohlcen nebo dokud se mu nepodařilo projít celou cestu.<ref name="sedlackova">SEDLÁČKOVÁ, Barbora. Stanovení číselných charakteristik rizika pomocí simulace Monte Carlo : bakalářská práce [online]. Olomouc : Univerzita Palackého v Olomouci, Přírodovědecká fakulta, 2015 [cit. 2015-06-13]. Dostupné z: http://theses.cz/id/4jlfag/Sedlackova.pdf.</ref> Tímto způsobem bylo možné zjistit trajektorii pohybu každého neutronu. Metoda poté dostala název Monte Carlo. John von Neumann vytvořil program, který pomáhal s výpočty metody Monte Carlo na počítači ENIAC.

=Popis metody Monte Carlo=

{| class="wikitable" style="float:left; margin-right: 30px;" width="220"
! scope="col" width="50px" |John von Neumann
|-
| [[File:neumann.gif]]
|-
| '''Datum narození:'''
* 28. prosinec 1903
* Budapešť, Rakousko-Uhersko

'''Datum úmrtí:'''
* 8. únor 1957 (ve věku 53 let)
* Washington, D.C., USA

'''Povolání:''' matematik, informatik, fyzik, statistik, ekonom
|}

===Obecný postup při řešení úloh===

# stanovení cíle
# příprava dat a výběr nástroje
# rozbor problému
# stanovení pravděpodobnostního rozdělení náhodných veličin
# vytvoření modelu
# vygenerování mnoha scénářů
# statistické zpracování výsledků

Nejdříve si stanovíme cíl simulace. Je potřeba si uvědomit, za jakým účelem simulaci provádíme a čeho má být simulací dosaženo. Dále je vhodné mít kvalitní soubor dat, ze kterých se bude při simulaci vycházet. Poté zvolíme vhodný nástroj pro simulaci Monte Carlo, například MS Excel, MATLAB, SAS apod. Následně rozebereme problém a zvolíme klíčové parametry, které budeme používat v simulaci. Určíme náhodné veličiny a stanovíme jejich pravděpodobnostní rozdělení. Při stanovování pravděpodobnostního rozdělení náhodných veličin se vychází z historických dat. Pokud historická data nejsou k dispozici, lze využít znalostí a zkušeností expertů na danou oblast. Poté pomocí matematických vzorců vytvoříme model a vygenerujeme velké množství scénářů. Doporučuje se nejprve vygenerovat menší počet scénářů a ujistit se, že simulace pracuje správně.<ref name="kucharova"></ref> Scénář vznikne tak, že se vygeneruje náhodná kombinace hodnot vstupních náhodných veličin podle jejich rozdělení pravděpodobností. Každý scénář tak představuje jeden možný vývoj reálné situace.<ref name="heza">HÉŽA, Lukáš. Simulace Monte Carlo v MS Excel : diplomová práce [online]. Olomouc : Univerzita Palackého v Olomouci, Přírodovědecká fakulta, 2013 [cit. 2015-05-22]. Dostupné z: http://theses.cz/id/gxbjr4/00172153-589053968.rar.</ref> Nakonec statisticky zpracujeme výsledky a vyvodíme z nich závěry.

===Časté chyby===

* špatný výběr [[Probability_distributions/cs|pravděpodobnostního rozdělení]]
* špatně navržený [[Pseudorandom_number_generators/cs|generátor náhodných čísel]]
* vyvození závěru z nedostatečného počtu opakování
* nezahrnutí důležité veličiny do simulace
* špatný odhad neznámých veličin

Nevhodný výběr pravděpodobnostního rozdělení podstatně zkreslí výsledky a může způsobit, že simulace bude nepoužitelná. Generátory náhodných čísel ve skutečnosti negenerují zcela náhodná čísla, z tohoto důvodu se označují jako generátory pseudonáhodných čísel. Přímým důsledkem potom je, že některé generátory pseudonáhodných čísel generují „náhodnější“ čísla než jiné generátory. Nedostatečné opakování scénářů způsobí velmi nepřesné výsledky, z nichž se nedá vyvodit věrohodný závěr. Opomenutí důležitých veličin či špatný odhad neznámých veličin povede k nereálným výsledkům simulace.

===Nevýhody metody Monte Carlo===

Kvalita celé simulace Monte Carlo se odvíjí od přesnosti a správnosti dat, ze kterých se při simulaci vychází. Jedná se o metodu založenou na statistických principech, proto všechny získané výsledky mají omezenou přesnost a spolehlivost.<ref name="kosina"></ref> Dalším nedostatkem metody Monte Carlo je obtížnost stanovení pravděpodobnostního rozdělení náhodných faktorů spolu s respektováním jejich závislostí.

=Praktická aplikace=

[[File:Buffonova_jehla_(1._scénář).png|thumb|200px|left|Obr. 2: Buffonova jehla v prostředí MS Excel]] [[File:Buffonova_jehla_2_(1._scénář).png|thumb|280px|right|Obr. 3: Ukázka elegantnějšího řešení Buffonovy jehly v prostředí MS Excel]] [[File:Buffonova_jehla_(metoda_Monte_Carlo).png|thumb|280px|right|Obr. 4: Řešení Buffonovy jehly metodou Monte Carlo v prostředí MS Excel]] Jako příklad aplikace metody Monte Carlo na konkrétní problém nám opět poslouží úloha Buffonova jehla. Tentokrát ji ale budeme řešit prostřednictvím počítače. Budeme simulovat 20 hodů jehlou, tento scénář poté zopakujeme 1 000 krát a odhadneme přibližnou hodnotu π. Pravděpodobnost, že jehla překříží některou z linek je 63,6619 %, pokud se délka jehly rovná vzdálenosti rovnoběžných linek.<ref name="weisstein">WEISSTEIN, Eric W. Buffon's Needle Problem. MathWorld: A Wolfram Web Resource [online]. 2015 [cit. 2015-05-24]. Dostupné z: http://mathworld.wolfram.com/BuffonsNeedleProblem.html</ref> Nejdříve převedeme výše provedený reálný experiment s Buffonovou jehlou do prostředí MS Excel, neboť realita a počítačová simulace se v některých ohledech liší. Při řešení úlohy v Excelu je například nutné znát, s jakou pravděpodobností jehla po dopadu na papír překříží některou linku, abychom mohli rozhodnout, zda náhodně vygenerovaná hodnota bude spadat do intervalu „překříží“ nebo „nepřekříží“ (viz obrázek Obr. 2). Pro uskutečnění reálného experimentu jsme však nic podobného nepotřebovali znát. Vytvoření simulace podle kroků z reálného experimentu je sice dostatečně srozumitelné pro pochopení, avšak poněkud těžkopádné, protože nelze změnit počet hodů bez výraznějšího zásahu do kódu. Existuje elegantnější řešení, které využívá [[Probability_distributions/cs|pravděpodobnostní rozdělení]] (viz obrázek Obr. 3). Hod jehlou je příkladem binomického rozdělení, protože výsledkem musí být buď „překříží“ nebo „nepřekříží“, jednotlivé hody jsou na sobě navzájem nezávislé a pravděpodobnost překřížení je v každém hodu stejná. Řešení Buffonovy jehly prostřednictvím metody Monte Carlo ukazuje obrázek Obr. 4. Scénář, ve kterém bylo simulováno 20 hodů jehlou, byl nejdříve zopakován 1 000 krát, a poté 10 000 krát. Vícenásobné opakování přináší přesnější výsledky. Odhad hodnoty π dle samotného 1. scénáře je 3,33, zatímco po tisícinásobném zopakování výsledný odhad činí 3,15 a po 10 000 opakování to je již 3,14.

=Redukce rozptylu=
[[Variance_reduction/cs|Podrobnější informace o způsobech redukce rozptylu]]

Redukce rozptylu odhadovaných veličin v simulaci zvyšuje přesnost metody Monte Carlo. Existují dvě hlavní strategie redukce rozptylu: snížení proměnlivosti vstupů nebo upravení výstupů simulace.<ref name="glasserman">GLASSERMAN, Paul. Monte Carlo methods in financial engineering. New York: Springer, 2004, xiii, 596 p. ISBN 03-870-0451-3.</ref> Mezi nejvíce používané způsoby redukce rozptylu patří antitetické proměnné, metoda řídicích proměnných, metoda momentů, výběr podle důležitosti a stratifikovaný výběr.<ref name="tvrdik">TVRDÍK, Michal. Simulační metody při hodnocení cenných papírů : bakalářská práce [online]. Praha : Univerzita Karlova v Praze, Matematicko-fyzikální fakulta, 2007 [cit. 2015-06-13]. Dostupné z: https://is.cuni.cz/webapps/zzp/download/130014391/?lang=cs.</ref>

=Interpretace výsledků=
[[Methods_for_interpretation_of_MC_simulation_results/cs|Podrobnější informace o interpretaci výsledků metody Monte Carlo]]

Před samotnou interpretací výsledků je vhodné provést validaci a verifikaci modelu. Validací se rozumí kontrola, zda má model smysl a chová se v souladu s realitou. Verifikace je kontrola počítačového kódu modelu, která ověřuje, zda model funguje přesně podle našich představ a provádí veškeré operace požadovaným způsobem. Také se doporučuje provést kontrolu přesnosti odhadů.<ref name="brandimarte">BRANDIMARTE, Paolo. Handbook in Monte Carlo simulation: applications in financial engineering, risk management, and economics. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc., 2014, xvii, 662 pages. ISBN 978-047-0531-112.</ref>

=Oblasti použití=
[[Monte_Carlo_method_application_in_simulations/cs|Podrobnější informace o oblastech použití metody Monte Carlo]]

Metoda Monte Carlo nachází široké uplatnění v mnoha oborech lidské činnosti. Nejčastěji bývá využívána v následujících oblastech:

===Matematika===

Metoda Monte Carlo umožňuje řešit jednoduché i vícerozměrné integrály. Využívá se především pro počítání vícerozměrných integrálů, protože jejich způsob výpočtu pomocí běžných numerických metod je složitější než v případě výpočtu jednoduchých integrálů. Metoda Monte Carlo poskytuje lepší výsledky než jiné postupy. Lze ji také použít pro hledání kořenů rovnic nebo pro Millerův-Rabinův test prvočíselnosti, který dokáže rozhodnout, zda je dané celé číslo prvočíslem.<ref name="vopatova">VOPATOVÁ, Klára. Monte Carlo simulace v ekonometrii : bakalářská práce [online]. Praha : Vysoká škola ekonomická v Praze, Fakulta informatiky a statistiky, 2013 [cit. 2015-05-25]. Dostupné z: http://www.vse.cz/vskp/show_file.php?soubor_id=1210363.</ref> Metoda Monte Carlo se také využívá pro řešení úloh optimalizace z operačního výzkumu.<ref name="kohlas">KOHLAS, Jürg. Monte Carlo Simulation im Operations Research. New York: Springer-Verlag, 1972, vi, 162 p. ISBN 35-400-5736-6.</ref>

===Statistika===

Metoda Monte Carlo je založena na statistických přístupech, proto není překvapivé, že se využívá i ve statistice samotné. Nejčastěji se s ní testují statistické hypotézy. Rostoucí popularitu zaznamenává v Bayesovské statistice, kde se využívá pro simulaci složitých modelů, které není možné zpracovat Bayesovskou analýzou.<ref name="albert">ALBERT, Jim. Bayesian computation with R. 2nd ed. New York: Springer, 2009, xii, 298 p. Use R!. ISBN 03-879-2297-0.</ref> V Bayesovské statistice se používá [[Markov_chain_Monte_Carlo_method/cs|Markovova metoda Monte Carlo]], která je založena na Markovových řetězcích. Markovovův řetězec je náhodný proces, ve kterém pravděpodobnost přechodu mezi dvěma stavy není závislá na předchozích stavech procesu, řídí se tak pouze současným stavem procesu.<ref name="vorackova">VORÁČOVÁ, Šárka. Stochastické procesy: Markovovy řetězce s diskrétním časem. České vysoké učení technické v Praze: Fakulta dopravní [online]. 2015 [cit. 2015-05-26]. Dostupné z: http://www.fd.cvut.cz/department/k611/pedagog/K611THO_soubory/4_DTMC.pdf</ref>

===Fyzika===

Metoda Monte Carlo využívá ve statistické fyzice, fyzikální chemii, kvantové fyzice, aerodynamice, fyzice částic či při předpovědi počasí. Často se využívá v případech, kdy není možné uskutečnit reálný experiment z důvodu nedostatku financí nebo nebezpečnosti. Statistická fyzika se zabývá zjišťováním vlastností makroskopického systému pomocí simulace chování velkého množství mikročástic, což je ideální pole působnosti pro metodu Monte Carlo, proto se zde také nejvíce využívá. Ve fyzikální chemii se pomocí metody Monte Carlo řeší sestavování rovnice modelovaného plynu.<ref name="kosina"></ref>

===Finanční inženýrství===

Ve finančním inženýrství se metoda Monte Carlo používá pro simulaci různých zdrojů nejistoty, které mají vliv na hodnotu finančního instrumentu, portfolia nebo investice. Metoda nachází využití zejména v korporátních financích při oceňování ziskovosti projektů, v investování při predikování cen finančních instrumentů, měnových kurzů či ekonomických ukazatelů i pro oceňování portfolií a finančních derivátů.

===Informatika===

V počítačové grafice se metoda Monte Carlo využívá při renderování 3D modelů, kde se pomocí metody Monte Carlo náhodně generují odrazy světla od různých ploch.<ref name="kosina"></ref> V roce 2006 byla vynalezena metoda, která se nazývá [[Monte_Carlo_search_tree_method/cs|Monte Carlo vyhledávací strom]]. Využívá se při rozhodování umělé inteligence ve hrách.<ref name="champandard">CHAMPANDARD, Alex J. Monte-Carlo Tree Search in TOTAL WAR: ROME II’s Campaign AI. AiGameDev.com [online]. 2014 [cit. 2015-05-26]. Dostupné z: http://aigamedev.com/open/coverage/mcts-rome-ii/</ref> Metoda umožňuje umělé inteligenci zvolit nejlepší možný tah v dané situaci.

=Úloha k procvičení=

Obchod zabývající se digitální distribucí počítačových her právě uvádí do prodeje novou RPG hru. Obchod by potřeboval znát, kolik EUR utrží z prodeje této hry každý den. Cena hry se bude pohybovat kolem 40 EUR (+/- 5 EUR z důvodu slevových akcí apod.). Očekává se, že se denně prodá 50 000 (+/- 5 000) kopií hry. Pro zjednodušení předpokládejte normální rozdělení pravděpodobnosti.

Výsledky: [[File:MC_příklad_na_procvičení_(výsledky).xlsx]]

=Zajímavosti=

Metoda Monte Carlo dostala název podle slavných kasin v Monte Carlu, protože princip simulací Monte Carlo zahrnuje prvky nahodilosti a opakování obdobně jako ruleta v kasinu. První AAA počítačovou hrou využívající pokročilou umělou inteligenci, která je založena na Monte Carlo rozhodovacích stromech, se stala strategie Total War: Rome II.<ref name="champandard"></ref>

=Odkazy=
<references/>

File:MC příklad na procvičení (výsledky).xlsx

2015-06-15T14:07:25Z

Xzizl00:

File:Buffon.jpg

2015-06-15T14:05:23Z

Xzizl00:

File:Buffonova jehla (metoda Monte Carlo).png

2015-06-15T14:04:05Z

Xzizl00:

File:Buffonova jehla 2 (1. scénář).png

2015-06-15T14:03:51Z

Xzizl00:

File:Buffonova jehla (1. scénář).png

2015-06-15T14:03:13Z

Xzizl00:

File:Buffonova jehla (reálný experiment).jpg

2015-06-15T14:02:28Z

Xzizl00:

Investování do dividendových akcií z DJIA

2015-06-07T16:26:49Z

Xzizl00: Created page with "=Zadání= '''Název simulace:''' Investování do dividendových akcií z DJIA '''Semestr:''' LS 2014/2015 '''Autor:''' Bc. Ladislav Žižka (xzizl00) '''Typ modelu:''' M..."

=Zadání=

'''Název simulace:''' Investování do dividendových akcií z DJIA

'''Semestr:''' LS 2014/2015

'''Autor:''' Bc. Ladislav Žižka (xzizl00)

'''Typ modelu:''' Monte Carlo

'''Prostředí:''' MS Excel

'''Zadání:''' [[Xzizl00|zadání_xzizl00]]

=Definice problému=

Model simuluje vývoj hodnoty investice do dividendových akcií z DJIA. V rámci této simulace se dividendovou akcií rozumí taková akcie, která vyplácí dividendy nepřetržitě každý rok po dobu posledních devíti let. Tuto podmínku splňuje 27 společností z celkových 30 akciových titulů v Dow Jonesově indexu. Společnosti Apple, Cisco a Visa byly ze simulace vyřazeny. U všech 27 společností se pomocí metody Monte Carlo simuluje vývoj výnosu z vložených prostředků a vývoj výnosu z dividend. Jedná se o americké akcie, proto jsou všechny ceny a vklady v amerických dolarech (USD). Cílem práce je sledování chování výnosu při různých hodnotách vstupních parametrů a nalezení vhodné kombinace výše pravidelné roční investice a podílu reinvestovaných dividend pro investora, který si přeje získat část výnosu v podobě dividend již během doby trvání investice.

=Metoda=

Pro simulaci byla použita metoda Monte Carlo a prostředí MS Excel 2013. Metoda Monte Carlo patří mezi široce využívané metody v oblasti finančního inženýrství. Hlavním důvodem výběru této metody je existence velkého množství potřebných finančních dat o společnostech v DJIA, která jsou na Internetu zdarma k dispozici. Z tohoto důvodu mohla být metoda Monte Carlo bez výraznějších problémů použita pro tento úkol.

=Model=

Model umožňuje simulovat možný vývoj investice včetně dividend podle zvoleného investičního horizontu (1-50 let). Model má 7 vstupních parametrů, které jsou popsány níže. Těžiště modelu spočívá v Student's t location-scale rozdělení,<ref name="math">T Location-Scale Distribution. MathWorks [online]. 2015 [cit. 2015-06-06]. Dostupné z: http://www.mathworks.com/help/stats/t-location-scale-distribution.html</ref> které se využívá při simulaci změny kurzu akcie za rok. Toto rozdělení jsem se rozhodl zvolit na základě výsledků studie o statistických rozděleních a výnosu akciového indexu S&P 500.<ref name="egan">EGAN, William J. The Distribution of S&P 500 Index Returns. Burrus Financial Intelligence [online]. 2007 [cit. 2015-06-06]. Dostupné z: http://bfi.cl/papers/Egan%202007%20-%20The%20distribution%20of%20the%20S&P%20500%20index%20returns.pdf</ref> Inverzní distribuční funkci Student's t location-scale rozdělení jsem vytvořil v Excelu pomocí údajů z Wikipedie.<ref name="wiki">Location-scale family. Wikipedia: The free encyclopedia [online]. 2015 [cit. 2015-06-06]. Dostupné z: http://en.wikipedia.org/wiki/Location-scale_family</ref>

Obecný tvar inverzní distribuční funkce Student's t location-scale rozdělení v Excelu:

''<code>TINV(pravděpodobnost; stupeň_volnosti) * střední_hodnota + směrodatná_odchylka</code>''

Pravděpodobnost je náhodné číslo, stupeň volnosti se vypočítá pomocí vzorce ''n-1'', kde ''n'' je počet pozorování, střední hodnota je průměrný roční výnos akcie za posledních 10 let a směrodatná odchylka se spočítá z ročních výnosů akcie za posledních 10 let. Takto postavená inverzní distribuční funkce Student's t location-scale rozdělení nevrací záporné hodnoty, proto se dále využívá binomické rozdělení. Inverzní distribuční funkce binomického rozdělení rozhoduje o růstu nebo poklesu kurzu akcie.

Obecný tvar příkazu v Excelu, který rozhoduje o růstu či poklesu akcie:

''<code>KDYŽ(BINOM.INV(1; pravděpodobnost_růstu_akcie; NÁHČÍSLO()) = 0; -1; 1)</code>''

Pravděpodobnost růstu akcie se vypočítá jako poměr počtu růstových dní (uzavírací kurz na konci dne je větší nebo rovný 0) a celkovým počtem obchodních dní od začátku roku 2005 do 26. 5. 2015. Výslednou změna kurzu akcie dostaneme po vynásobení výsledků výše popsaných příkazů. Pokud je změna kurzu -100 % nebo méně, tak společnost zkrachuje. Dividendy mohou v modelu buď růst, nebo stagnovat. Model neumožňuje pokles dividendy, výjimku tvoří případy, kdy společnost zkrachuje. V reálném světě se zejména velké společnosti snaží zachovávat stabilní růst dividend, proto pokles dividend nebývá častým jevem. Na růst hodnoty dividend má vliv více faktorů.

Obecný tvar příkazu v Excelu, který rozhoduje o růstu nebo stagnaci hodnoty dividendy:

''<code>KDYŽ(NEBO(růst_kurzu_předchozí_rok < 0; NÁHČÍSLO() > pravděpodobnost_růstu_dividendy);1;1 + průměrný_roční_růst_dividendy)</code>''

Pokud je změna kurzu v předchozím roce záporná nebo náhodné číslo je vyšší než pravděpodobnost růstu dividendy, tak výše dividendy v tomto roce stagnuje. Pravděpodobnost růstu dividendy je poměr počtu roků, ve kterých dividenda rostla, a celkovým počtem roků, ve kterých se vyplácela dividenda. V ostatních případech se dividenda navýší o hodnotu průměrného ročního růstu dividend, který se spočítá jako geometrický nebo aritmetický průměr ročního růstu dividendy za posledních 9 či více let.

==Podstata modelu==

Na začátku model rovnoměrně rozdělí počáteční vložený vklad mezi každou z 27 společností a nakoupí nejvyšší možný počet akcií za cenu z 26. 5. 2015. Zbývající prostředky se skladují pro každou společnost odděleně. Na konci roku se k nim volitelně (dle nastavení vstupních parametrů) přidá dividenda z již vlastněných akcií téže společnosti. Dividendy se vždy vyplácí jednorázově za celý rok. Také je spočítána cena akcie v posledním obchodním dni v roce. Na začátku nového roku se ke zbývajícím prostředkům volitelně přidá část prostředků z pravidelné investice. Následně se v prvním obchodním dni nového roku nakoupí další akcie téže společnosti za cenu z posledního obchodního dne minulého roku. Poté se vše každý rok opakuje, dokud nenastane konec investičního horizontu. Nakonec se pomocí metody Monte Carlo provede 1 000 opakování a zpracují výsledky.

==Výhody modelu==

* model umožňuje volit investiční horizont
* model umožňuje odčerpávat dividendy
* model umožňuje zvolit, kolik let se bude pravidelně investovat zvolená peněžní částka nebo neodčerpávat dividendy
* model počítá s ojedinělým krachem společností
* model nevyužívá normální rozdělení pravděpodobnosti, které je nevhodné pro simulování výnosu akcií<ref name="cfa">Quantitive (chapter 5). CFA Institute [online]. 2015 [cit. 2015-06-06]. Dostupné z: http://www.cfainstitute.org/learning/products/publications/inv/Documents/quantitative_chapter5.pptx</ref>

==Omezení modelu==

* model nezahrnuje transakční náklady ani daně
* model nebere v potaz inflaci
* dividendy nemohou klesat
* model nepočítá s uzavřením burzy na dobu delší než jeden rok
* model vychází pouze z historických dat
* model potřebuje delší čas na přepočítání všech tabulek dat

==Vstupní parametry a jejich omezení==

[[File:Vstupní parametry příkladu.png|frame|right|Obr. 1 Příklad vstupních parametrů]]

'''''Investiční horizont (1 až 50 let):''''' zamýšlený počet let trvání celé investice

'''''Výše počáteční investice (větší než 0):''''' velikost počáteční investované peněžní částky v USD, která bude jednorázově investována na počátku investičního horizontu

'''''Výše pravidelné roční investice (větší nebo rovna 0):''''' velikost peněžní částky v USD, která bude pravidelně investována na počátku každého roku, kromě prvního roku

'''''Počet let pravidelného ročního investování (0 až 50 let):''''' období, ve kterém bude uskutečňována pravidelná roční investice

'''''Počet let bez odčerpávání dividend (0 až 50 let):''''' období, ve kterém se budou veškeré dividendy pravidelně každý rok reinvestovat

'''''Procento reinvestovaných dividend (0 % až 100 %):''''' udává, kolik procent hodnoty dividend bude reinvestováno, až skončí období, ve kterém se veškeré dividendy reinvestovaly

'''''Percentil (0 % až 100 %):''''' určuje percentil výsledků

==Příklad==

[[File:Výsledky příkladu.png|frame|right|Obr. 2 Výsledky příkladu]] Máme v plánu investovat do dividendových akcií z Dow Jonesova indexu. Náš uvažovaný investiční horizont je 30 let. Na počáteční nákup 27 dividendových akcií z DJIA máme celkem k dispozici 10 000 USD. Dále plánujeme pravidelně každý rok investovat částku 1 000 USD po dobu prvních 10 let. Dividendy v prvních 20 letech nebudeme potřebovat, proto všechny vyplacené dividendy hodláme znovu reinvestovat. V posledních 10 letech však budeme chtít odčerpávat 50 % vyplacených dividend pro vlastní potřebu. Jaká bude přibližná výše odčerpaných dividend? Jak velké zhodnocení vložených prostředků můžeme očekávat?

Zápis vstupních parametrů z příkladu je na obrázku Obr. 1. Pro výsledky jsme zvolili 5% percentil. Za daných parametrů by mělo být výsledné zhodnocení vložených prostředků s 95% pravděpodobností vyšší než 704 %. Hodnota investice po 30 letech (bez započítání odčerpaných dividend) by s 95% pravděpodobností měla být vyšší než 37 290 USD. Výše odčerpaných dividend by měla činit více než 123 591 USD (viz obrázek Obr. 2).

=Výsledky=

Bylo vytvořeno deset možných strategií, jakým způsobem investovat 10 000 USD do dividendových akcií z DJIA. Investiční horizont je ve všech případech stejný a činí 30 let. Strategie 0 přináší nejvyšší dosažitelný výnos ze všech strategií, protože každý rok se pravidelně investuje 1 000 USD a veškeré dividendy se reinvestují po celou dobu trvání investice. Tato strategie slouží hlavně k porovnání, o kolik se sníží výnos při pokusech odčerpávat různou výši dividend. Hodnoty vstupních parametrů všech strategií jsou v tabulce Tab. 1. Percentil je ve všech případech nastaven na 5.

{| class="wikitable"
|+style="caption-side:bottom"|Tab. 1 Hodnoty vstupních parametrů všech použitých strategií
|-
|
|'''Stručný popis'''
|'''Investiční horizont'''
|'''Počáteční investice'''
|'''Pravidelná investice'''
|'''Počet let pravidelné investice'''
|'''Počet let bez odčerpávání dividend'''
|'''Procento reinvestovaných dividend'''
|-
|'''Strategie 0'''
|vše investovat
|style="text-align:right;" | 30
|style="text-align:right;" | 10 000
|style="text-align:right;" | 1 000
|style="text-align:right;" | 30
|style="text-align:right;" | 30
|style="text-align:right;" | 100
|-
|'''Strategie 1'''
|viz příklad výše
|style="text-align:right;" | 30
|style="text-align:right;" | 10 000
|style="text-align:right;" | 1 000
|style="text-align:right;" | 10
|style="text-align:right;" | 20
|style="text-align:right;" | 50
|-
|'''Strategie 2'''
|strategie 1 se 100% odčerpáváním
|style="text-align:right;" | 30
|style="text-align:right;" | 10 000
|style="text-align:right;" | 1 000
|style="text-align:right;" | 10
|style="text-align:right;" | 20
|style="text-align:right;" | 0
|-
|'''Strategie 3'''
|strategie 1 se 100% reinvestováním
|style="text-align:right;" | 30
|style="text-align:right;" | 10 000
|style="text-align:right;" | 1 000
|style="text-align:right;" | 10
|style="text-align:right;" | 20
|style="text-align:right;" | 100
|-
|'''Strategie 4'''
|vše odčerpat
|style="text-align:right;" | 30
|style="text-align:right;" | 10 000
|style="text-align:right;" | 0
|style="text-align:right;" | 0
|style="text-align:right;" | 0
|style="text-align:right;" | 0
|-
|'''Strategie 5'''
|odčerpávat 10 %
|style="text-align:right;" | 30
|style="text-align:right;" | 10 000
|style="text-align:right;" | 0
|style="text-align:right;" | 0
|style="text-align:right;" | 0
|style="text-align:right;" | 90
|-
|'''Strategie 6'''
|odčerpávat 25 %
|style="text-align:right;" | 30
|style="text-align:right;" | 10 000
|style="text-align:right;" | 0
|style="text-align:right;" | 0
|style="text-align:right;" | 0
|style="text-align:right;" | 75
|-
|'''Strategie 7'''
|10 let investovat, pak 25 % odčerpávat
|style="text-align:right;" | 30
|style="text-align:right;" | 10 000
|style="text-align:right;" | 1 000
|style="text-align:right;" | 10
|style="text-align:right;" | 10
|style="text-align:right;" | 75
|-
|'''Strategie 8'''
|15 let investovat, pak 50 % odčerpávat
|style="text-align:right;" | 30
|style="text-align:right;" | 10 000
|style="text-align:right;" | 1 000
|style="text-align:right;" | 15
|style="text-align:right;" | 15
|style="text-align:right;" | 50
|-
|'''Strategie 9'''
|15 let reinvestovat, pak 75 % odčerpávat
|style="text-align:right;" | 30
|style="text-align:right;" | 10 000
|style="text-align:right;" | 0
|style="text-align:right;" | 0
|style="text-align:right;" | 15
|style="text-align:right;" | 25
|}

V tabulce Tab. 2 jsou zaznamenány zjištěné výsledky všech strategií. Z výsledků je jasně patrné, že nejlepšího zhodnocení prostředků dosahují strategie 0 a 3, které nepočítají s odčerpáváním dividend po celou dobu trvání investice. Obě strategie dokáží za 30 let zhodnotit vložené prostředky s 95% pravděpodobností o více než 3 300 %. Ostatním strategiím se k takovým výsledkům nepodařilo ani přiblížit. Odčerpávání dividend tedy výrazně snižuje výsledný výnos. Potvrzuje to i skutečnost, že chamtivá strategie 4, která se zaměřila na odčerpávání všech dividend po celou dobu trvání investice, si s pouhým 60% zhodnocením vložených prostředků vedla nejhůře ze všech strategií.

{| class="wikitable"
|+style="caption-side:bottom"|Tab. 2 Výsledky všech použitých strategií
|-
|
|'''Stručný popis'''
|'''Celková výše vložených prostředků'''
|'''Hodnota investice bez odčerpaných dividend'''
|'''Výše odčerpaných dividend'''
|'''Celkové zhodnocení všech vložených prostředků'''
|-
|'''Strategie 0'''
|vše investovat
|style="text-align:right;" | 40 000
|style="text-align:right;" | 1 460 923
|style="text-align:right;" | 0
|style="text-align:right;" | 3 552 %
|-
|'''Strategie 1'''
|viz příklad výše
|style="text-align:right;" | 20 000
|style="text-align:right;" | 37 290
|style="text-align:right;" | 123 591
|style="text-align:right;" | 704 %
|-
|'''Strategie 2'''
|strategie 1 se 100% odčerpáváním
|style="text-align:right;" | 20 000
|style="text-align:right;" | 8
|style="text-align:right;" | 41 425
|style="text-align:right;" | 107 %
|-
|'''Strategie 3'''
|strategie 1 se 100% reinvestováním
|style="text-align:right;" | 20 000
|style="text-align:right;" | 690 244
|style="text-align:right;" | 0
|style="text-align:right;" | 3 351 %
|-
|'''Strategie 4'''
|vše odčerpat
|style="text-align:right;" | 10 000
|style="text-align:right;" | 7
|style="text-align:right;" | 15 987
|style="text-align:right;" | 60 %
|-
|'''Strategie 5'''
|odčerpávat 10 %
|style="text-align:right;" | 10 000
|style="text-align:right;" | 104 846
|style="text-align:right;" | 26 765
|style="text-align:right;" | 1 216 %
|-
|'''Strategie 6'''
|odčerpávat 25 %
|style="text-align:right;" | 10 000
|style="text-align:right;" | 52 288
|style="text-align:right;" | 51 161
|style="text-align:right;" | 934 %
|-
|'''Strategie 7'''
|10 let investovat, pak 25 % odčerpávat
|style="text-align:right;" | 20 000
|style="text-align:right;" | 52 053
|style="text-align:right;" | 60 371
|style="text-align:right;" | 462 %
|-
|'''Strategie 8'''
|15 let investovat, pak 50 % odčerpávat
|style="text-align:right;" | 25 000
|style="text-align:right;" | 41 387
|style="text-align:right;" | 112 734
|style="text-align:right;" | 516 %
|-
|'''Strategie 9'''
|15 let reinvestovat, pak 75 % odčerpávat
|style="text-align:right;" | 10 000
|style="text-align:right;" | 2 615
|style="text-align:right;" | 29 035
|style="text-align:right;" | 217 %
|}

Strategie 1, 2 a 3 jsou zajímavé tím, že jejich vývoj probíhá prvních 20 let podobně. Změna jediného parametru však způsobí, že výsledky se budou nakonec velmi lišit. Reinvestování 100 % dividend posledních 10 let povede k výborným výsledkům (strategie 3), reinvestování 50 % dividend povede k dobrým výsledkům (strategie 1), ale odčerpávání 100 % dividend v posledních 10 letech povede k výrazně slabším výsledkům (strategie 2). Strategie 5 a 6 se jeví jako nejvhodnější strategie pro průběžné odčerpávání dividend při zachování velmi dobrého zhodnocení vložených prostředků na konci investičního horizontu. Strategie 5, která odčerpává 10 % hodnoty vyplacených dividend každý rok, by měla dosáhnout s 95% pravděpodobností většího zhodnocení než 1 200 %. Celková výše odčerpaných dividend by měla být vyšší než 26 700 USD. V případě strategie 6 by se mělo jednat o více než 930% zhodnocení a výše odčerpaných dividend by měla být vyšší než 51 100 USD. Velikost zhodnocení vložených prostředků každou strategií je znázorněna v grafu na obrázku Obr. 3.

[[File:Strategie - graf.png|frame|center|Obr. 3 Graf ukazující zhodnocení vložených prostředků jednotlivými strategiemi]]

=Závěr=

Model ukazuje, že odčerpávání dividend má výrazný vliv na výsledné zhodnocení investice. Strategie, které reinvestují veškeré dividendy, dosahují mnohem lepších výsledků než strategie, které odčerpávají část dividend během doby trvání investice. Investor by si toho měl být vždy vědom, především pokud se rozhoduje, jak naloží s právě vyplacenými dividendami. Mezi strategiemi, které odčerpávají dividendy během doby trvání investice, jsou velké rozdíly. Nelze doporučit odčerpávat 75-100 % vyplacených dividend v kterékoliv části investičního horizontu, protože se ukazuje, že dopad na výsledné zhodnocení je velmi negativní. Model ukazuje, že mírné odčerpávání 10-25 % vyplacených dividend po dobu trvání investice nemá výrazný dopad na výsledné zhodnocení vložených prostředků. Pokud si investor přeje získat část výnosu v podobě dividend již během trvání investice, lze mu doporučit, aby svou strategii založil na mírném odčerpávání vyplacených dividend a nesnižoval procento reinvestovaných dividend pod 75 %.

=Zdroje=

Historická data o dividendách: [http://finance.yahoo.com/q? Yahoo Finance]

Historická data o kurzech: [http://www.google.com/finance?hl=en&tab=ee Google Finance]

=Poznámky=

Vzhledem k neoslnivému výkonu Excelu při počítání mnoha tabulek dat bylo použito pouze 1 000 opakování. I přes to však přepočítání celého modelu trvá kolem 20 minut na stolním počítači s procesorem Intel Core i5 2500K. Excel z nějakého důvodu nedokáže zatížit všechna 4 jádra na více než na 35 %. Z tohoto důvodu jsou data již předpočítána s různými hodnotami vstupních parametrů a automatické přepočítávání tabulek dat je vypnuto.

=Kód=

Ke stažení:

[[File:Strategie_0-4.zip|Strategie 0-4]]

[[File:Strategie_5-9.zip|Strategie 5-9]]

=Odkazy=
<references/>

File:Strategie 5-9.zip

2015-06-07T16:22:03Z

Xzizl00:

File:Strategie 0-4.zip

2015-06-07T16:17:21Z

Xzizl00:

File:Strategie - graf.png

2015-06-07T16:12:52Z

Xzizl00:

File:Výsledky příkladu.png

2015-06-07T16:12:16Z

Xzizl00:

File:Vstupní parametry příkladu.png

2015-06-07T16:11:39Z

Xzizl00:

SS 2014/2015/cs

2015-06-07T16:10:12Z

Xzizl00:

{{DISPLAYTITLE:LS 2014/2015}}

Semestrální práce (simulace) z letního semestru 2013/2014. Sem přidejte odkaz na stránku s Vaší prací.
Nejprve je třeba nechat schválit [[Assignment SS 2014/2015/cs|zadání práce]].

=Vypracovaná témata LS 2014/2015=
* Ondřej Cahlík, xcaho01 - [[Výroba elektřiny fotovoltaickými panely pro pokrytí denní spotřeby v celoročním provozu]]
* Vojtěch Slánský, xslav21 - [[Analýza poptávky v případě preference krátkodobého zisku před dlouhodobým]]
* Maxim Rytych, xrytm00 - [[Multiagentní simulace explozí]]
* Jakub Pokorný, xpokj24 - [[Bezpečnost a plynulost provozu na křižovatce a kruhovém objezdu]]
* Aneta Švondrová, xsvoa11 - [[Optimalizace nakupovaných leteckých kapacit]]
* Ladislav Žižka, xzizl00 - [[Investování do dividendových akcií z DJIA]]

SS 2014/2015/cs

2015-06-07T16:09:48Z

Xzizl00:

Xzizl00

2015-05-02T17:45:41Z

Xzizl00:

== Investování do akciového indexu DJIA ==

Simulace se bude zabývat investováním do akcií z burzovního indexu Dow Jones Industrial Average (DJIA). Bude simulovat výnos investice v padesátiletém investičním horizontu pro zajištění pohodlného stáří. Představa čekání tak dlouhou dobu až na konečný výnos není pro mnoho investorů přijatelná. Simulace proto obsahuje parametr procento reinvestovaných dividend, který umožňuje odčerpávat část dividend během doby trvání investice.

== Zadání ==

'''Název simulace''': Investování do akciového indexu DJIA

'''Předmět''': 4IT495 Simulace systémů (LS 2014/2015)

'''Autor''': Bc. Ladislav Žižka

'''Typ modelu''': Monte Carlo

'''Modelovací nástroj''': MS Excel

== Cíl ==
Cílem práce bude sledování chování výnosu při různých hodnotách parametrů a nalezení vhodné kombinace výše pravidelné roční investice a podílu reinvestovaných dividend.

== Parametry ==
* počáteční investice
* pravidelná roční investice
* investiční horizont (roky)
* průměrná výnosová míra
* průměrný dividendový výnos
* průměrný růst dividend
* procento reinvestovaných dividend

== Výstupy práce ==

Výstupem simulace bude očekávaný výnos investice do akciového indexu při zohlednění růstu dividend a procenta reinvestovaných dividend.

:: [[User:Oleg.Svatos|Oleg.Svatos]] 18:44, 2 May 2015 (CEST) Zdravím, takových simulací je už tady několik (koukněte do historie na odkaz Simulace) a nevidím, čím by se vaše simulace nějak znatelně lišila. Doporučil bych jiné téma.

:: [[User:Xzizl00|Ladislav Žižka]] 19:45, 2 May 2015 (CEST) Dobrý den, našel jsem 2 simulace na podobné téma, jedna se zabývá diverzifikací portfolia a druhá se zaměřuje na S&P index. Žádná z nich však nebere v potaz vliv dividend na dlouhodobé investování, obě neumožňují odčerpat část prostředků před uzavřením pozice a ani se o dividendách nikde nezmiňují.

Assignment SS 2014/2015/cs

2015-05-02T12:55:26Z

Xzizl00: /* Zadání */

{{DISPLAYTITLE:Zadání LS 2014/2015}}

{{Ambox
| text = <div>
Na tuto stránku vkládejte svá zadání. Nezapomeňte se podepsat. Můžete použít <nowiki>~~~~</nowiki> (čtyři tildy) k automatickému podpisu. Používejte Ukázat náhled, abyste si prohlédli Váš výsledek před konečným odesláním.
</div>
}}

{{Ambox
| text = <div>
Prosíme, snažte se formulovat Vaše zadání pečlive. S ohledem na to, že jde o Vaši semestrální práci, očekáváme adekvátní úsilí vynaložené na zadání. Nezapomeňte, že hlavním výsledkem má být výzkumná zpráva, což znamená, že Váš simulační model musí generovat takové výsledky, které jsou konkrétní, měřitelné a ověřitelné. Pečlivě promyslete, jakým způsobem budete vyvíjet Váš model, odvoďte entity, které budete používat, nakreslete si diagram modelu, zvažte, co budete měřit. Teprve pokud máte o modelu dostatečně přesnou představu, vložte Vaše zadání. A samozřejmě, nezapomeňte si prosím přečíst [[How to deal with the simulation assignment/cs|Jak na simulace]].
</div>
}}

{{Ambox
| type = content
| text = <div>
Abychom se vyhnuli případnému budoucímu nedorozumnění, prosíme, ověřte si, že máte tučné '''schváleno''' někde v našem komentáři pod Vaším zadání. Pokud tam není '''schváleno''', znamená to, že Vaše zadání dosud schváleno nebylo.
</div>
}}

== Zadání ==

[[xsvoa11]]

[[xrytm00]]

[[xzizl00]]

Xzizl00

2015-05-02T12:53:36Z

Xzizl00: Created page with "== Investování do akciového indexu DJIA == Simulace se bude zabývat investováním do akcií z burzovního indexu Dow Jones Industrial Average (DJIA). Bude simulovat výn..."