Exponential distribution/cs - Revision history

Klei00: Chybějící mezera

2021-04-22T21:19:09Z

Chybějící mezera

Klei00: Úprava příkladu

2021-04-22T21:18:00Z

Úprava příkladu

Klei00: Úprava definice

2021-04-22T21:07:56Z

Úprava definice

Klei00: Klei00 moved page Exponential distribution to Exponential distribution/cs

2021-04-22T20:58:34Z

Klei00 moved page Exponential distribution to Exponential distribution/cs

Klei00: Exponenciální rozdělení - první verze

2021-04-22T20:57:29Z

Exponenciální rozdělení - první verze

New page

{{DISPLAYTITLE:Exponenciální rozdělení}}
=Úvod=

Exponenciální rozdělení představuje jedno ze základních [[Probability distributions/cs|pravděpodobnostních rozdělení]]. Společně s rovnoměrným, normálním či logritmicko-normálním rozdělením spadá do spojitých rozdělení. Náhodná veličina, která má exponenciální rozdělení, představuje dobu čekání mezi dvěma jevy, které nastávají s pravděpodobností mající [[Poisson distribution/cs|Poissonovo rozdělení]] (např. doba mezi dvěma nehodami na dálnici). Dalo by se tedy říct, že exponenciální rozdělení je spojitým protějškem Poissonova rozdělení.<ref name="neubauer">NEUBAUER, Jiří, Marek SEDLAČÍK a Oldřich KŘÍŽ. Základy statistiky: Aplikace v technických a ekonomických oborech. 2. rozšířené vydání. Praha: Grada Publishing, 2016, s. 121-124. ISBN 978-80-247-5786-5</ref> 
Jako příklad souvislosti Poissonova a exponenciálního rozdělení lze uvést již zmíněné autonehody na dálnici. Poissonovo rozdělení zde popisuje počet autonehod na dané dálnici za určitý časový interval, například v průměru 2 autonehody za den. Exponenciální rozdělení pak popisuje dobu do výskytu první autonehody, nebo dobu mezi dvěma autonehodami. V tomto příkladu by to bylo v průměru 1/2 dne (střední hodnota těchto dvou rozdělení je vzájemně převrácenou hodnotou).

=Terminologie=
==Definice==
[[File:hustota.gif|thumb|400px|right||Obr. 1: Funkce hustoty pravděpodobnosti exponenciálního rozdělení<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref>]]
[[File:disfce.gif|thumb|400px|right||Obr. 2: Distribuční funkce exponenciálního rozdělení<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref>]]
Spojitá náhodná veličina X má exponenciální rozdělení <math>E(\lambda)</math>, právě tehdy, když má funkce hustoty pravděpodobnosti tvar:<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref> 
<math>f(x)=\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math> 
Distribuční funkce je potom popsaná rovnicemi:<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref> 
<math>F(x)=\begin{cases}
1-e^{-\lambda x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math> 

==Vlastnosti==
Jednoparametrové exponenciální rozdělení se značí jako <math>X \sim Exp( \lambda )</math>, kde parametr <math>\lambda</math> představuje střední hodnotu počtu jevů, které nastanou v daný časový interval. Jelikož počet jevů je vždy kladné číslo, tak pro parametr platí <math>\lambda>0</math>. Střední hodnota exponenciálního rozdělení se pak počítá jako <math>EX={1 \over \lambda}</math> a rozptyl exponenciálního rozdělení se počítá jako <math>varX={1 \over \lambda^2}</math>.<ref name="kulich">KULICH, Michal. Přehled pravděpodobnostních rozdělení. Praha: Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova, 2009 [online]. [cit. 2021-04-21]. Dostupné z: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~pesta/NSTP097/rozdeleni.pdf</ref>
{| class="wikitable"
|+Vlastnosti exponenciálního rozdělení<ref name="kulich">KULICH, Michal. Přehled pravděpodobnostních rozdělení. Praha: Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova, 2009 [online]. [cit. 2021-04-21]. Dostupné z: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~pesta/NSTP097/rozdeleni.pdf</ref>
|-
|Značení
|<math>X \sim Exp( \lambda )</math>
|-
|Parametry
|<math>\lambda>0</math>
|-
|Nosič
|<math>X \in (0,\infty)</math>
|-
|Hustota pravděpodobnosti
|<math>f(x)=\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math>
|-
|Distribuční funkce
|<math>F(x)=\begin{cases}
1-e^{-\lambda x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math>
|-
|Střední hodnota
|<math>EX={1 \over \lambda}</math>
|-
|Rozptyl
|<math>varX={1 \over \lambda^2}</math>
|}

=Reálné aplikace=
Jak již bylo zmíněno, exponenciální rozdělení popisuje dobu čekání na určitý jev, či dobu mezi dvěma jevy, jejichž výskyt je dán [[Poisson distribution/cs|Poissonovým rozdělením]]. Obě tato rozdělení hrají důležitou roli například v teorii spolehlivosti či v teorii hromadné obsluhy.

==Teorie spolehlivosti==
Teorie spolehlivosti zahrnuje problematiku související s konstrukcí výrobků, s použitými materiály a s diagnostikou údržby a soustředí se na odhady a optimalizaci bezporuchového provozu výrobků. Spolehlivost výrobku lze popsat jako jeho vlastnost splňovat určitou funkci po danou dobu a za daných podmínek.<ref name="bris">BRIS, Radim. Základy teorie spolehlivosti. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007 [online]. [cit. 2021-04-21]. Dostupné z: https://homel.vsb.cz/~bri10/Teaching/Statistika%20II/skriptum/4_Teorie_spolehlivosti.PDF</ref> 
Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika zde mají hlavní roli v určování odhadů a stanovování prognóz ohledně bezporuchovosti či životnosti výrobků.<ref name="bris">BRIS, Radim. Základy teorie spolehlivosti. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007 [online]. [cit. 2021-04-21]. Dostupné z: https://homel.vsb.cz/~bri10/Teaching/Statistika%20II/skriptum/4_Teorie_spolehlivosti.PDF</ref> Pravděpodobnost poruch se v životě výrobku popisuje právě pomocí exponenciálního rozdělení. Porucha výrobku často nastává v libovolném čase, což znamená, že proměnná tohoto rozdělení (v tomto případě je proměnnou čas, x=t) je nezávislá. V rámci teorie spolehlivosti se kromě distribuční funkce F(x) a hustoty pravděpodobnosti f(x) také často počítá pravděpodobnost bezporuchového provozu (někdy také nazývána jako funkce spolehlivosti), která je dána vztahem <math>R(x)=1-F(x)=e^{-\lambda x}</math>, a veličina intenzita poruch, která je dána vztahem <math>\lambda(x)=\frac{f(x)}{R(x)}=\frac{\lambda e^{-\lambda x}}{e^{-\lambda x}}=\lambda</math>.<ref name="famfulik">FAMFULÍK, Jan, Jana MÍKOVÁ a Radek KRZYŽANEK. Teorie údržby. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007. ISBN 978-80-248-1509-1</ref>

===Příklad===
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Na základě pozorování žárovek do světlometů bylo zjištěno, že za sledovaný čas se vyskytlo 80 poruch, přičemž akumulovaný pracovní čas žárovek byl <math>T_{ak}=22500 \text{ hod}</math>. Údaje z pozorování jsou zpracovány v tabulce níže. Jaká je střední doba do poruchy? Za jaký čas dosáhne pravděpodobnost poruchy 10 % (tj. jaký je 10% kvantil)?<ref name="famfulik">FAMFULÍK, Jan, Jana MÍKOVÁ a Radek KRZYŽANEK. Teorie údržby. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007. ISBN 978-80-248-1509-1</ref> 
{| class="wikitable"
|+Údaje z pozorování žárovek<ref name="famfulik">FAMFULÍK, Jan, Jana MÍKOVÁ a Radek KRZYŽANEK. Teorie údržby. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2007. ISBN 978-80-248-1509-1</ref>
!Doba do poruchy (hod)
!Absolutní četnost poruch
!Akumulovaný pracovní čas <math>T_{ak}</math>
|-
|150
|31
|rowspan="7" style="text-align:center;"|22500 hod
|-
|300
|22
|-
|450
|13
|-
|600
|7
|-
|750
|4
|-
|900
|2
|-
|1050
|1
|-
|
|Celkem 80 poruch
|
|}
Řešení: Nejprve vypočítáme střední dobu do poruchy žárovek, tj. jak dlouho v průměru trvá žárovce, než se rozbije: 
<math>Ts=\frac{T_{ak}}{n}=\frac{22500}{80}=281 \text{ hod}</math> 
Nyní známe střední hodnotu rozdělení, a tudíž lze ze vztahu pro střední hodnotu rozdělení (EX) vypočítat intenzitu poruch <math>\lambda</math>, která představuje převrácenou hodnotu střední hodnoty: 
<math>EX=\frac{1}{\lambda}\Rightarrow \lambda =\frac{1}{EX}=\frac{1}{281}=0,00356 \text{ poruch za hodinu}</math> 
Pravděpodobnost poruchy pak popisuje distribuční funkce. V tomto příkladu ale známe pravděpodobnost poruchy (<math>p=0,1</math>) a hledáme čas (proměnnou x), kdy bude této pravděpodobnosti dosaženo. Je tedy třeba si nejdřív z distribuční funkce vyjádřit x: 
<math>F(x)=1-e^{-\lambda x}</math> 
<math>1-F(x)=e^{-\lambda x}</math> 
<math>\ln{(1-F(x))}=-\lambda x</math> 
<math>x=\frac{\ln{(1-F(x))}}{-\lambda}=\frac{\ln{(1-0,1)}}{-0,00356}=29,6 \cong 30 \text{ hod}</math> 
Střední doba poruchy je tedy 281 hodin a pravděpodobnosti poruchy 10 % dosáhne žárovka přibližně po 30 hodinách.
</div>

==Teorie hromadné obsluhy==
Teorie hromadné obsluhy (někdy také nazývaná [[Queueing theory/cs|teorie front]]) představuje vědní disciplínu, která se zabývá systémy hromadné obsluhy. V takovém systému dochází k obsluhování a vyřizování příchozích požadavků, které se mohou hromadit a tvořit fronty. Požadavkem může být jakákoliv jednotka, která přichází do systému za účelem obsluhy (například pacient u lékaře, auto v servisu či tisková úloha v tiskárně).<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 
K popisování systémů hromadné obsluhy se stejně jako u teorie spolehlivosti využívá matematická statistika a teorie pravděpodobnosti. Nejčastěji se zde využívá právě exponenciální a Poissonovo rozdělení.<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 
Poissonovo rozdělení zde popisuje tzv. intenzitu příchodů (<math>\lambda</math>) a intenzitu obsluhy (<math>\mu</math>). Intenzita příchodů představuje průměrný počet požadavků, které přijdou do systému hromadné obsluhy za určitou časovou jednotku (například do ordinace přichází v průměru 5 pacientů za hodinu). Intenzita obsluhy pak představuje průměrný počet obsloužených požadavků za určitou časovou jednotku (například doktor vyšetří v průměru 4 pacienty za hodinu).<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 
Exponenciální rozdělení zde pak nejčastěji popisuje tzv. příchod požadavků do systému (<math>EX=\frac{1}{\lambda}</math>) a obsluhu požadavků v systému (<math>EX=\frac{1}{\mu}</math>). Pojem příchodu požadavků do systému představuje průměrnou dobu mezi příchody dvou po sobě jdoucích požadavků (například nový pacient přijde do ordinace v průměru jednou za 12 minut). Obsluha požadavků v systému pak vyjadřuje průměrnou dobu obsluhy jednoho požadavku (například doktor vyšetří jednoho pacienta v průměru za 15 minut).<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 

===Příklad===
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
K bankomatu chodí v průměru 10 lidí za hodinu. Každý člověk stráví u bankomatu průměrně 2,5 minuty. Jaká je průměrná doba mezi příchody dvou zákazníků? Jaká je intenzita obsluhy? Jaká je pravděpodobnost, že do jedné minuty od odchodu posledního zákazníka přijde další?<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. Modely hromadné obsluhy [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref> 
Řešení: Ze zadání známe intenzitu příchodů <math>\lambda=20</math> lidí za hodinu a průměrnou dobu obsluhy <math>EX=\frac{1}{\mu}=0,041\bar{6}</math> hodiny (nutné převést na společné časové jednotky). Z těchto hodnot lze snadno vypočítat průměrnou dobu příchodů a intenzitu obsluhy. Jedná se o převrácené hodnoty již známých hodnot. 
Průměrná doba příchodů: <math>EX=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{20}=0,05 \text{ hodiny}=3 \text{ minuty}</math> 
Intenzita obsluhy: <math>EX=\frac{1}{\mu}\Rightarrow \mu=\frac{1}{EX}=\frac{1}{0,041\bar{6}}=24 \text{ lidí za hodinu}</math> 
Nyní známe jak průměrnou dobu příchodů, tak intenzitu obsluhy. Stačí už jen vypočítat pravděpodobnost, že do 1 minuty (1/60 hodiny)od odchodu posledního zákazníka přijde další. V tomto případě nám poslouží distribuční funkce, kde proměnnou je v tomto případě čas (x=t): 
<math>F(x)=1-e^{-\lambda x}</math> 
<math>F(x)=1-e^{-20\cdot \frac{1}{60}}=0,2835</math> 
Pravděpodobnost, že do jedné minuty od odchodu posledního zákazníka přijde další, je 28,35 %.
</div>

=Funkce v Excelu=
Hodnoty hustoty pravděpodobnosti a distribuční funkce exponenciálního rozdělení lze v prostředí Excelu získat pomocí funkce EXPON.DIST(). Tato funkce má tři parametry: 
*x — hodnota proměnné, neboli hodnota náhodné veličiny, pro kterou hledáme danou pravděpodobnost výskytu
*lambda — střední hodnota četnosti výskytu, neboli převrácená hodnota průměrné doby mezi jevy
*kumulativní — nabývá hodnot 0 či 1 a určuje, zda bude pro výpočet použita funkce hustota pravděpodobnosti (0, nekumulativní funkce) nebo distribuční funkce (1, kumulativní funkce)<ref name="neubauer">NEUBAUER, Jiří, Marek SEDLAČÍK a Oldřich KŘÍŽ. Základy statistiky: Aplikace v technických a ekonomických oborech. 2. rozšířené vydání. Praha: Grada Publishing, 2016, s. 121-124. ISBN 978-80-247-5786-5</ref>

===Příklad===
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Internet ve firmě vypadne průměrně každých 10 hodin. Jaká je pravděpodobnost, že po posledním výpadku internet opět vypadne během následujících 6 hodin? 
Řešení: V zadání je důležité slovo „během“, které nám napovídá, že se ptáme na kumulativní funkci, tedy na distribuční funkci (zajímá nás pravděpodobnost, že jev nastal v intervalu od 0 do 6 hodin od posledního výpadku). Hodnota proměnné je zde oněch 6 hodin, pro které zjišťujeme danou pravděpodobnost a hodnota <math>\lambda</math> je zde převrácená hodnota průměrné doby mezi jevy, tj. <math>\lambda=\frac{1}{10}=0,1</math>. 
Do Excelu vložíme tuto funkci: 
<math>=EXPON.DIST(6;0,1;1)</math> 
Výsledkem je, že pravděpodobnost, že po posledním výpadku internet opět vypadne během následujících 6 hodin, se rovná 45,12 %.
</div>

=Příklady k procvičení=
Zde můžete najít pár příkladů na procvičení. K některým výpočtům lze použít i výše zmíněnou funkci nástroje Excel. Řešení příkladů naleznete zde: [[Media:reseni.pdf|řešení]].

==Příklad 1==
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Náhodná veličina má funkci hustoty pravděpodobnosti: 
<math>f(x)=\begin{cases}
0,1 e^{-0,1 x}, & \text{pro }x>0 \\
0, & \text{pro }x\le 0
\end{cases}</math> 
Jaká je střední hodnota a rozptyl této náhodné veličiny?<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref>
</div>

==Příklad 2==
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Na trase mezi kolejemi VŠB v Ostravě-Porubě a magistrátem v centru Ostravy délky 10,5 km napočítali cestáři 86 děr v silnici. 
<ol style="list-style-type:lower-alpha">
<li>Jaká je pravděpodobnost, že narazíme na díru v silnici při ujetí úseku délky 100 m na této trase?</li>
<li>Jakou vzdálenost je třeba na této trase ujet, aby pravděpodobnost, že narazíme na díru v silnici byla 99 %?<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. Pravděpodobnost a statistika. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref></li>
</ol>
</div>

==Příklad 3==
<div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
Žárovky mají průměrnou životnost 2000 hodin. Předpokládáme, že doba, po kterou žárovka svítí, je náhodná veličina, která má exponenciální rozdělení. 
<ol style="list-style-type:lower-alpha">
<li>Popište tuto náhodnou veličinu pomocí funkce hustoty pravděpodobnosti a distribuční funkce.</li>
<li>Jaká je pravděpodobnost, že žárovka vydrží v provozu nejvýše 1000 hodin?</li>
<li>Jaká je pravděpodobnost, že žárovka vydrží v provozu v rozmezí 1000 až 2500 hodin?<ref name="neubauer">NEUBAUER, Jiří, Marek SEDLAČÍK a Oldřich KŘÍŽ. Základy statistiky: Aplikace v technických a ekonomických oborech. 2. rozšířené vydání. Praha: Grada Publishing, 2016, s. 121-124. ISBN 978-80-247-5786-5</ref></li>
</ol>
</div>

=Reference=
<references/>

@@ Line 119: / Line 119: @@
 Průměrná doba příchodů: <math>EX=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{20}=0,05 \text{ hodiny}=3 \text{ minuty}</math><br><br>
 Intenzita obsluhy: <math>EX=\frac{1}{\mu}\Rightarrow \mu=\frac{1}{EX}=\frac{1}{0,041\bar{6}}=24 \text{ lidí za hodinu}</math><br><br>
-Nyní známe jak průměrnou dobu příchodů, tak intenzitu obsluhy. Stačí už jen vypočítat pravděpodobnost, že do 1 minuty (1/60 hodiny)od odchodu posledního zákazníka přijde další. V tomto případě nám poslouží distribuční funkce, kde proměnnou je v tomto případě čas (x=t):<br><br>
+Nyní známe jak průměrnou dobu příchodů, tak intenzitu obsluhy. Stačí už jen vypočítat pravděpodobnost, že do 1 minuty (1/60 hodiny) od odchodu posledního zákazníka přijde další. V tomto případě nám poslouží distribuční funkce, kde proměnnou je v tomto případě čas (x=t):<br><br>
 <math>F(x)=1-e^{-\lambda x}</math><br><br>
 <math>F(x)=1-e^{-20\cdot \frac{1}{60}}=0,2835</math><br><br>

@@ Line 116: / Line 116: @@
 <div style="padding: 7px;border-left: 3px solid blue;margin: 10px 0px 10px 10px;">
 K bankomatu chodí v průměru 10 lidí za hodinu. Každý člověk stráví u bankomatu průměrně 2,5 minuty. Jaká je průměrná doba mezi příchody dvou zákazníků? Jaká je intenzita obsluhy? Jaká je pravděpodobnost, že do jedné minuty od odchodu posledního zákazníka přijde další?<ref name="seknickova">SEKNIČKOVÁ, Jana. <i>Modely hromadné obsluhy</i> [přednáška]. Praha: VŠE Fakulta informatiky a statistiky, 2020. Dostupné z: http://jana.kalcev.cz/vyuka/kestazeni/4EK212-KVAM/KVAM-dist/S11%20-%204EK212%20KVAM%20-%20web.pdf</ref><br><br>
-<b>Řešení</b>: Ze zadání známe intenzitu příchodů <math>\lambda=20</math> lidí za hodinu a průměrnou dobu obsluhy <math>EX=\frac{1}{\mu}=0,041\bar{6}</math> hodiny (nutné převést na společné časové jednotky). Z těchto hodnot lze snadno vypočítat průměrnou dobu příchodů a intenzitu obsluhy. Jedná se o převrácené hodnoty již známých hodnot.<br><br>
+<b>Řešení</b>: Ze zadání známe intenzitu příchodů <math>\lambda=20</math> lidí za hodinu a průměrnou dobu obsluhy <math>EX=\frac{1}{\mu}=2,5 \text{ min}=0,041\bar{6}\text{ hod}</math> (nutné převést na společné časové jednotky). Z těchto hodnot lze snadno vypočítat průměrnou dobu příchodů a intenzitu obsluhy. Jedná se o převrácené hodnoty již známých hodnot.<br><br>
 Průměrná doba příchodů: <math>EX=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{20}=0,05 \text{ hodiny}=3 \text{ minuty}</math><br><br>
 Intenzita obsluhy: <math>EX=\frac{1}{\mu}\Rightarrow \mu=\frac{1}{EX}=\frac{1}{0,041\bar{6}}=24 \text{ lidí za hodinu}</math><br><br>

@@ Line 9: / Line 9: @@
 [[File:hustota.gif|thumb|400px|right||Obr. 1: Funkce hustoty pravděpodobnosti exponenciálního rozdělení<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. <i>Pravděpodobnost a statistika</i>. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref>]]
 [[File:disfce.gif|thumb|400px|right||Obr. 2: Distribuční funkce exponenciálního rozdělení<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. <i>Pravděpodobnost a statistika</i>. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref>]]
-Spojitá náhodná veličina X má exponenciální rozdělení <math>E(\lambda)</math>, právě tehdy, když má funkce hustoty pravděpodobnosti tvar:<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. <i>Pravděpodobnost a statistika</i>. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref><br><br>
+Spojitá náhodná veličina X má exponenciální rozdělení <math>Exp(\lambda)</math>, právě tehdy, když má funkce hustoty pravděpodobnosti tvar:<ref name="otipka">OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA. <i>Pravděpodobnost a statistika</i>. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. s. 115-116. ISBN 80-248-1194-4.</ref><br><br>
 <math>f(x)=\begin{cases}
 \lambda e^{-\lambda x}, & \text{pro }x>0 \\

← Older revision	Revision as of 20:58, 22 April 2021
(No difference)