Line 7:

= Náhodná veličina a její rozptyl =  

= Náhodná veličina a její rozptyl =  

−

'''Náhodná veličina (též náhodná či stochastická proměnná) '''je nějaká libovolná veličina mající číselnou hodnotu (např. 1, -150 nebo 18,6) a jednotku (kilogram, metr, litr, ...). Tuto veličinu můžeme měřit u různých objektů, v různém čase, různém místě a pomocí teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky s ní různě pracovat. Příkladem náhodné veličiny může být počet ok při hodu kostkou, hmotnost narozených dětí v různých regionech, roční mzda občanů státu apod.<ref name="nahv">Náhodná veličina<i>Veterinární a farmaceutická univerzita Brno</i> [online]. [cit. 2016-06-08]. Dostupné z: http://cit.vfu.cz/statpotr/POTR/Teorie/Predn1/nahvelic.htm</ref>

+

'''Náhodná veličina (též náhodná či stochastická proměnná) '''je nějaká libovolná veličina mající číselnou hodnotu (např. 1, -150 nebo 18,6) a jednotku (kilogram, metr, litr, ...). Tuto veličinu můžeme měřit u různých objektů, v různém čase, různém místě a pomocí teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky s ní různě pracovat. Příkladem náhodné veličiny může být počet ok při hodu kostkou, hmotnost narozených dětí v různých regionech, roční mzda občanů státu apod.<ref name="nahv">Náhodná veličina <i>Veterinární a farmaceutická univerzita Brno</i> [online]. [cit. 2016-06-08]. Dostupné z: http://cit.vfu.cz/statpotr/POTR/Teorie/Predn1/nahvelic.htm</ref>

Náhodná veličina může být buď diskrétního nebo spojitého typu. Oba typy si jsou velmi podobné, což je vidět v následujících podkapitolách.

Náhodná veličina může být buď diskrétního nebo spojitého typu. Oba typy si jsou velmi podobné, což je vidět v následujících podkapitolách.

== Diskrétní náhodná veličina ==

== Diskrétní náhodná veličina ==

−

[[File:Poisson_pmf.svg.png|right|325px|thumb|Pravděpodobnostní funkce diskrétního Poissonova rozdělení<ref name="poiss1">Pravděpodobnostní funkce diskrétního Poissonova rozdělení<i>Skbkekas</i> 2010-02-10 [online]. [cit. 2016-06-08]. Dostupné z: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Poisson_pmf.svg</ref>.]]

+

[[File:Poisson_pmf.svg.png|right|325px|thumb|Pravděpodobnostní funkce diskrétního Poissonova rozdělení<ref name="poiss1">Pravděpodobnostní funkce diskrétního Poissonova rozdělení <i>Skbkekas</i> 2010-02-10 [online]. [cit. 2016-06-08]. Dostupné z: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Poisson_pmf.svg</ref>.]]

−

[[File:Poisson_cdf.svg.png|right|325px|thumb|Distribuční funkce diskrétního Poissonova rozdělení<ref name="poiss2">Distribuční funkce diskrétního Poissonova rozdělení<i>Skbkekas</i> 2010-02-10 [online]. [cit. 2016-06-08]. Dostupné z: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Poisson_cdf.svg</ref>.]]

+

[[File:Poisson_cdf.svg.png|right|325px|thumb|Distribuční funkce diskrétního Poissonova rozdělení<ref name="poiss2">Distribuční funkce diskrétního Poissonova rozdělení <i>Skbkekas</i> 2010-02-10 [online]. [cit. 2016-06-08]. Dostupné z: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Poisson_cdf.svg</ref>.]]

'''Diskrétní (též nespojitá) náhodná veličina''' je taková náhodná veličina, která může nabývat pouze jednotlivých hodnot z konečného nebo nekonečného intervalu. To znanená, že se může měnit jen po skocích<ref name="nahv" />. Příkladem spojité náhodné veličiny může být počet ok při hodu kostkou, který může nabývat pouze hodnot <math>\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}</math>.

'''Diskrétní (též nespojitá) náhodná veličina''' je taková náhodná veličina, která může nabývat pouze jednotlivých hodnot z konečného nebo nekonečného intervalu. To znanená, že se může měnit jen po skocích<ref name="nahv" />. Příkladem spojité náhodné veličiny může být počet ok při hodu kostkou, který může nabývat pouze hodnot <math>\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}</math>.

Line 34:

:<math>\operatorname{E}(X) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{x}x_{i}</math>.  

:<math>\operatorname{E}(X) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{x}x_{i}</math>.  

−

Jedná se v podstatě o prostý aritmetický průměr. Kdybychom ale zkoumali náhodnou veličinu, kterou by byl součet ok na dvou hozených kostkách, nebyla by pravděpodobnost vždy stejná, protože například součet 5 můžeme hodit čtyřmi způsoby: (1,4), (2, 3) (3, 2), (4, 1), a tudíž bychom nemohli použít prostého aritmetického průměru<ref name="ban">NÁHODNÁ VELIČINA<i>Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava - VŠB-TUO</i> [online]. [cit. 2016-06-08]. Dostupné z: hhttps://homen.vsb.cz/~oti73/cdpast1/KAP03/PRAV3.HTM</ref>.

+

Jedná se v podstatě o prostý aritmetický průměr. Kdybychom ale zkoumali náhodnou veličinu, kterou by byl součet ok na dvou hozených kostkách, nebyla by pravděpodobnost vždy stejná, protože například součet 5 můžeme hodit čtyřmi způsoby: (1,4), (2, 3) (3, 2), (4, 1), a tudíž bychom nemohli použít prostého aritmetického průměru<ref name="ban">NÁHODNÁ VELIČINA <i>Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava - VŠB-TUO</i> [online]. [cit. 2016-06-08]. Dostupné z: hhttps://homen.vsb.cz/~oti73/cdpast1/KAP03/PRAV3.HTM</ref>.

== Spojitá náhodná veličina ==

== Spojitá náhodná veličina ==

−

[[File:Normal_Distribution_PDF.svg.png|right|325px|thumb|Hustota pravděpodobnosti spojitého Normálního rozdělení<ref name="norm1">Hustota pravděpodobnosti spojitého Normálního rozdělení<i>Inductiveload</i> 2008-04-02 [online]. [cit. 2016-06-08]. Dostupné z: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Normal_Distribution_PDF.svg</ref>.]]

+

[[File:Normal_Distribution_PDF.svg.png|right|325px|thumb|Hustota pravděpodobnosti spojitého Normálního rozdělení<ref name="norm1">Hustota pravděpodobnosti spojitého Normálního rozdělení <i>Inductiveload</i> 2008-04-02 [online]. [cit. 2016-06-08]. Dostupné z: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Normal_Distribution_PDF.svg</ref>.]]

−

[[File:Normal_Distribution_CDF.svg.png|right|325px|thumb|Distribuční funkce spojitého Normálního rozdělení<ref name="norm2">Distribuční funkce spojitého Normálního rozdělení<i>Inductiveload</i> 2008-04-02 [online]. [cit. 2016-06-08]. Dostupné z: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Normal_Distribution_PDF.svg</ref>.]]

+

[[File:Normal_Distribution_CDF.svg.png|right|325px|thumb|Distribuční funkce spojitého Normálního rozdělení<ref name="norm2">Distribuční funkce spojitého Normálního rozdělení <i>Inductiveload</i> 2008-04-02 [online]. [cit. 2016-06-08]. Dostupné z: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Normal_Distribution_PDF.svg</ref>.]]

'''Spojitá náhodná veličina''' je taková náhodná veličina, která může nabývat všech možných hodnot z konečného nebo nekonečného intervalu, může se tedy měnit bez skoků (spojitě)<ref name="nahv" />. Ekvivalentem diskrétní pravděpodobnostní funkce je zde hustota pravděpodobnosti značená <math>f(x)</math><ref name="ban" />.  

'''Spojitá náhodná veličina''' je taková náhodná veličina, která může nabývat všech možných hodnot z konečného nebo nekonečného intervalu, může se tedy měnit bez skoků (spojitě)<ref name="nahv" />. Ekvivalentem diskrétní pravděpodobnostní funkce je zde hustota pravděpodobnosti značená <math>f(x)</math><ref name="ban" />.  

Line 50:

:<math>E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx</math>

:<math>E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx</math>

−

Spojitou veličinu můžeme "převést" na diskrétní tak, že její průběh rozdělíme do dílčích intervalů<ref name="nahv" />. Kdybychom například zkoumali hmotnosti pro zápasy v bojových sporetch a předpokládali, že hmostnosti účastníků budou rozděleny od 60 kg výše, čemuž odpovídá interval <math>\langle 60, \infty ) </math> a chtěli bychom určit 6 váhových katerogií, rozdělili bychom původní interval například takto<ref name="judo">Rozdělení závodníků podle věku a hmotnosti<i>AC Sparta Praha Judo</i> [online]. [cit. 2016-06-05]. Dostupné z: http://www.sparta-judo.cz/judo-jako-sport/vekove-a-vahove-kategorie/</ref>:

+

Spojitou veličinu můžeme "převést" na diskrétní tak, že její průběh rozdělíme do dílčích intervalů<ref name="nahv" />. Kdybychom například zkoumali hmotnosti pro zápasy v bojových sporetch a předpokládali, že hmostnosti účastníků budou rozděleny od 60 kg výše, čemuž odpovídá interval <math>\langle 60, \infty ) </math> a chtěli bychom určit 6 váhových katerogií, rozdělili bychom původní interval například takto<ref name="judo">Rozdělení závodníků podle věku a hmotnosti <i>AC Sparta Praha Judo</i> [online]. [cit. 2016-06-05]. Dostupné z: http://www.sparta-judo.cz/judo-jako-sport/vekove-a-vahove-kategorie/</ref>:

# <math>\langle 60, 66) </math>

# <math>\langle 60, 66) </math>

# <math>\langle 66, 73) </math>

# <math>\langle 66, 73) </math>

Line 84:

== Zákon velkých čísel a centrální limitní věta ==

== Zákon velkých čísel a centrální limitní věta ==

−

[[File:Largenumbers.svg.png|right|325px|thumb|Zákon velkých čísel a konvergence výběrového průměru k teoretiské střední hodnotě při hodu šestihrannou kostkou<ref name="llno">Zákon velkých čísel - hody kostkou<i>NYKevin</i> 2010-01-31 [online]. [cit. 2016-06-08]. Dostupné z: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Largenumbers.svg</ref>.]]

+

[[File:Largenumbers.svg.png|right|325px|thumb|Zákon velkých čísel a konvergence výběrového průměru k teoretiské střední hodnotě při hodu šestihrannou kostkou<ref name="llno">Zákon velkých čísel - hody kostkou <i>NYKevin</i> 2010-01-31 [online]. [cit. 2016-06-08]. Dostupné z: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Largenumbers.svg</ref>.]]

−

[[File:Central_theorem_2.svg.png|right|325px|thumb|Centrální limitní věta a znázornění obecného diskrétního rozdělení, které se blíží rozdělení normálnímu<ref name="clto">Podobnost rozdělení - Centrální limitní věta<i>Chen-Pan Liao</i> 2014-11-15 [online]. [cit. 2016-06-08]. Dostupné z: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Central_theorem_2.svg</ref>.]]

+

[[File:Central_theorem_2.svg.png|right|325px|thumb|Centrální limitní věta a znázornění obecného diskrétního rozdělení, které se blíží rozdělení normálnímu<ref name="clto">Podobnost rozdělení - Centrální limitní věta <i>Chen-Pan Liao</i> 2014-11-15 [online]. [cit. 2016-06-08]. Dostupné z: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Central_theorem_2.svg</ref>.]]

Při použití metody Monte Carlo v podstatě generujeme obrovské množství scénářů, které potom skládáme dohromady průměrováním. V tom nám pomáhá '''zákon velkých čísel''' a '''centrální limitní věta'''

Při použití metody Monte Carlo v podstatě generujeme obrovské množství scénářů, které potom skládáme dohromady průměrováním. V tom nám pomáhá '''zákon velkých čísel''' a '''centrální limitní věta'''

−

'''Zákon velkých čísel''' lze nejlépe ilustrovat na příkladu s házením kostkou. Budeme-li házet 6hrannou kostkou stále dokola a získané hodnoty, které na kostce padly, průměrovat, tak s rostoucím počtem pokusů náš zaznamenávaný průměr bude asymptoticky kolísat kolem teoretické (vypočtené) střední hodnoty<ref name="lln">Law of large numbers<i>encyclopediaofmath.org</i> [online]. [cit. 2016-06-05]. Dostupné z: https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Law_of_large_numbers</ref>:

+

'''Zákon velkých čísel''' lze nejlépe ilustrovat na příkladu s házením kostkou. Budeme-li házet 6hrannou kostkou stále dokola a získané hodnoty, které na kostce padly, průměrovat, tak s rostoucím počtem pokusů náš zaznamenávaný průměr bude asymptoticky kolísat kolem teoretické (vypočtené) střední hodnoty<ref name="lln">Law of large numbers <i>encyclopediaofmath.org</i> [online]. [cit. 2016-06-05]. Dostupné z: https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Law_of_large_numbers</ref>:

: <math> \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3,5.</math>

: <math> \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3,5.</math>

Line 99:

\\{}\end{matrix}</math>

\\{}\end{matrix}</math>

−

Díky '''centrální limitní větě''' potom můžeme využívat toho, že při velkém počtu opakování <math>n</math> bude mít libovolná veličina přibližně normální rozdělení se snižujícím se rozptylem <math>\frac{\sigma^2}{n}</math><ref name="clt">Central Limit Theorem<i>Robert D. Klauber</i> 2015-06-07 [online]. [cit. 2016-06-09]. Dostupné z: http://www.quantumfieldtheory.info/CentralLimitTheorem.pdf</ref>.

+

Díky '''centrální limitní větě''' potom můžeme využívat toho, že při velkém počtu opakování <math>n</math> bude mít libovolná veličina přibližně normální rozdělení se snižujícím se rozptylem <math>\frac{\sigma^2}{n}</math><ref name="clt">Central Limit Theorem <i>Robert D. Klauber</i> 2015-06-07 [online]. [cit. 2016-06-09]. Dostupné z: http://www.quantumfieldtheory.info/CentralLimitTheorem.pdf</ref>.

= Metoda Monte Carlo =

= Metoda Monte Carlo =

Line 109:

= Metody redukce roptylu =

= Metody redukce roptylu =

−

Když provádíme simulaci, obvykle v rámci nějaké studie, zajímá nás jedna nebo více sledovaných hodnot nějakého stochastického (nedeterministického) modelu. Například chceme zjistit, dlouhodobou střední (průměrnou) dobu čekání zákazníků ve frontě, kterou budeme značit <math>\operatorname{W}</math>. Střední dobu čekání značme například <math>\operatorname{E}(W)</math>. Abychom odhadli <math>\operatorname{E}(W)</math>, musíme provést <math>\operatorname{K}</math> nezávislých simulací. Po provedení těchto simulací a zjištění středních hodnot dob čekání <math>\operatorname{E}(W_i)</math> lze stanovit estimátor <math>\operatorname{E}(W)</math> podle vztahu <math>\operatorname{\overline{W}} = \frac{\sum_{i=1}^K W_i}{K}</math>. Kdybychom však našli jiný nezkreslený estimátor střední hodnoty <math>\operatorname{E}(W)</math> s menším rozptylem než má <math>\operatorname{\overline{W}}</math>, získali bychom tím estimátor s menším intervalem spolehlivosti, což je pro náš žádoucí. Pro zredukování rozptylu estimátoru <math>\operatorname{\overline{W}}</math> lze použít několik metod, které jsou popsány v následujících kapitolách. I ty jednodšší podávají vcelku dobré výsledky. Je ale třeba dát si pozor, protože nesprávným použitím některých metod může místo snížení rozptylu naopak dojít k jeho zvýšení<ref name="vrt">Variance Reduction Techniques<i>Technische Universiteit Eindhoven University of Technology</i> [online]. [cit. 2016-06-07]. Dostupné z: http://www.win.tue.nl/~resing/2S540/week6.pdf</ref>.

+

Když provádíme simulaci, obvykle v rámci nějaké studie, zajímá nás jedna nebo více sledovaných hodnot nějakého stochastického (nedeterministického) modelu. Například chceme zjistit, dlouhodobou střední (průměrnou) dobu čekání zákazníků ve frontě, kterou budeme značit <math>\operatorname{W}</math>. Střední dobu čekání značme například <math>\operatorname{E}(W)</math>. Abychom odhadli <math>\operatorname{E}(W)</math>, musíme provést <math>\operatorname{K}</math> nezávislých simulací. Po provedení těchto simulací a zjištění středních hodnot dob čekání <math>\operatorname{E}(W_i)</math> lze stanovit estimátor <math>\operatorname{E}(W)</math> podle vztahu <math>\operatorname{\overline{W}} = \frac{\sum_{i=1}^K W_i}{K}</math>. Kdybychom však našli jiný nezkreslený estimátor střední hodnoty <math>\operatorname{E}(W)</math> s menším rozptylem než má <math>\operatorname{\overline{W}}</math>, získali bychom tím estimátor s menším intervalem spolehlivosti, což je pro náš žádoucí. Pro zredukování rozptylu estimátoru <math>\operatorname{\overline{W}}</math> lze použít několik metod, které jsou popsány v následujících kapitolách. I ty jednodšší podávají vcelku dobré výsledky. Je ale třeba dát si pozor, protože nesprávným použitím některých metod může místo snížení rozptylu naopak dojít k jeho zvýšení<ref name="vrt">Variance Reduction Techniques <i>Technische Universiteit Eindhoven University of Technology</i> [online]. [cit. 2016-06-07]. Dostupné z: http://www.win.tue.nl/~resing/2S540/week6.pdf</ref>.

== Metoda společných náhodných čísel ==

== Metoda společných náhodných čísel ==

Line 157:

# Zajištěním, že budou náhodné veličiny generovány v přesně stejném pořadí v obou zkoumaných systémech.

# Zajištěním, že budou náhodné veličiny generovány v přesně stejném pořadí v obou zkoumaných systémech.

−

Pozn.: <math>\operatorname{G/G/1}</math> fronta představuje délku fronty v systému s <math>\operatorname{1}</math> jediným serverem, kde mají mezičasy nějaké obecné rozdělení <math>\operatorname{G}</math> (jako General - obecné) a časy obsluhy jiné obecné rozdělení <math>\operatorname{G}</math><ref name="foss">Wiley Encyclopedia of Operations Research and Management Science<i>S. Foss</i> 2001 [cit. 2016-06-09]. ISBN: 9780470400531</ref>

+

Pozn.: <math>\operatorname{G/G/1}</math> fronta představuje délku fronty v systému s <math>\operatorname{1}</math> jediným serverem, kde mají mezičasy nějaké obecné rozdělení <math>\operatorname{G}</math> (jako General - obecné) a časy obsluhy jiné obecné rozdělení <math>\operatorname{G}</math><ref name="foss">Wiley Encyclopedia of Operations Research and Management Science <i>S. Foss</i> 2001 [cit. 2016-06-09]. ISBN: 9780470400531</ref>

== Antitetické proměnné ==

== Antitetické proměnné ==

Line 258:

== Další metody pro redukci rozptylu ==

== Další metody pro redukci rozptylu ==

−

Kromě již uvedených metod snižování rozptylu existují ještě další, které stojí za zmínku a jsou v praxi používány. Mezi ty patří<ref name="tvrdik">Simulační metody při hodnocení cenných papírů<i>Mgr. Michal Tvrdík</i> 2007-09-20 [online]. [cit. 2016-06-05]. Dostupné z: https://is.cuni.cz/webapps/zzp/detail/46348/</ref>:

+

Kromě již uvedených metod snižování rozptylu existují ještě další, které stojí za zmínku a jsou v praxi používány. Mezi ty patří<ref name="tvrdik">Simulační metody při hodnocení cenných papírů <i>Mgr. Michal Tvrdík</i> 2007-09-20 [online]. [cit. 2016-06-05]. Dostupné z: https://is.cuni.cz/webapps/zzp/detail/46348/</ref>:

* '''Metoda momentů'''

* '''Metoda momentů'''

Variance reduction/cs - Revision history

Xrojr01: Oprava mezer v citacích

Xrojr01: Přidána prvotní verze stránky