Jednorázové hry

From Simulace.info
Jump to: navigation, search


Úvod

Pod pojmem jednorázové (jednokolové) hry se v Teorii her rozumí hrám, ve kterých hráči odehrají pouze jednu hru, na jejímž konci si rozdělí výplaty a zkušenosti nabyté během hry už dále neuplatňují. Žádná další kola nenásledují a tudíž podle toho i hráč volí svojí strategii. Naproti tomu ve vícekolových hrách se hraje hra vícekrát za sebou a tak hráči před každým kolem mohou měnit strategie.

Je potřeba také zmínit, že v případě, že hráči hrají poslední kolo vícekolové hry, chovají se, jako kdyby hráli jednorázovou hru. Z toho vyplývá, že volba strategie se mění na základě počtu kol, která mají hráči před sebou.

Dobrým příkladem jednorázové hry je konkurzní řízení při likvidaci firmy, kdy všichni zúčastnění se snaží ze zbankrotované firmy dostat co nejvíce peněz. Ovšem v případě, že firma funguje zdravě, hrají akcionáři vícekolovou hru, jejich strategie bude dlouhodobá a nebudou se snažit z firmy vytáhnout v co nejkratším čase co nejvíce peněz.[1]

Jednokolové hry[2]

Definice jednokolových her je i základem definic jednotlivých kol, podher u her vícekolových. Definice těchto podher budou předmětem následujícíh podkapitol. Pro zjednoduššení se budeme zabývat pouze hrami 2 × 2, dvě strategie. Většina definic bude tedy zjednoduššena právě pouze pro tento typ hry.

Strategické hry 2 × 2

Definice hry 2 × 2 v obecném tvaru jsou následující:

Obecná definice hry 2 × 2

Uspořádaná pětice znaků je hrou v obecném tvaru, kde počet hráčů této hry jsou 2, je množinou strategií, A je množina strategií hráče prvního a množina B je strategií druhého hráče a , jsou výplatní funkcí hráčů. a . Výplatní matice je definována následovně:

Vyplatni matice.png

Takovýchto her je mnoho, ale značení v definici vychází z nejznámnější z nich a to z vězňova dilematu. Což je hra, kdy hráči můžou buďto spolupracovat (proto C jako cooperate) nebo se zradit jinými slovy bojovat (proto D jako defection). V tomto případě platí nerovnost pro prvního hráče a velmi obodbná i pro hráče druhého.

Podobným příkladem může být souboj pohlaví, což je hra ve které oba hráči, kteří chtějí trávit čas společně, ale každý má jinou představu o programu společně stráveného času. Jeden z hráčů chce jít například do kina (strategie C jako cinema) a druhý chce jít na romantickou večeři s (strategie D jako dinner). V tom případě pro prvního hráče platí a pro druhého .

Definice Nashovy rovnováhy

Strategie je Nashovou rovnováho v případě, že pro všechny ostatní strategie pro oba hráče platí a pro všechny a . Jsou to dvojice strategií, kdy se ani jednomu z hráčů nevyplatí vyjít vstříc druhému hráči. Hledání těchto strategií je také předmětem opakovaných her. V klasickém případě vězňova dilematu se ukazuje, že Nashova rovnováha může být nevýhodná. V této hře je totiž rovnováhou situace, kdy se hráči udávají, ale oba by si polepšili, kdyby se neudali.

Smíšené strategie

Tuto strategii budeme vysvětlovat na hře s názvem souboj pohlaví. Její matice vypadá následovně:

Matice souboj pohlavi.png

Použijeme totožný případ, jaký jsme zmiňovali výše a to, že oba hráči, chtějí trávit čas společně, ale každý má jinou představu o programu společně stráveného času. Jeden z hráčů chce jít do kina (strategie C jako cinema) a druhý chce jít na romantickou večeři s (strategie D jako dinner). a jsou tedy čísla v intervalu a v případě, že zůstanou doma mají oba nulovou výplatu. V klasických strategiích v této hře existují dvě Nashovy rovnováhy. Jedna z nich je, že půjdu na večeři (DD) a druhá, že půjdou do kina (CC).

Definice smíšené strategie a očekávané výplaty

Smíšená strategie je pravděpodobnostní rozdělení nad množinou čistých strategií pro prvního a pro druhého hráče. A je pravděpodobnost , že hráč bude hrát strategii a jakožto pravděpodobnost, že strategii D bude hrát hráč druhý. V tomto případě je poté a pro druhého hráče obdobně.

V případě, že hráči hrají strategie popsané výše, je Nashova rovnováha definována následovně:

Definice Nashovy rovnováhy ve smíšených strategiích

Dvě spíšené strategie je Nashovou rovnováhou v případě, pokud pro všechny ostatní smíšené strategie pro oba hráče platí a pro všechny .[3]

Extenzivní hry

Mezistupněm mezi strategickými a opakovanými hrami jsou hry extenzivní. Přesněji řešeno jsou opakované hry speciálním případem extenzivních her. Extenzivní hry jsou hry, které se hrají na kola. Příkladem můžou být třeba šachy, ve kterých v každém kole hraje pouze jeden z hráčů.

Definice extenzivní hry

Extenzivní hrou rozumíme uspořádnou čtveřici , kde je množina hráčů je . je množina posloupností, které splňují tři podmínky a to, že , kde je prázdná množina. Další podmínkou je, že a v případě, že nekonečná řada skládá z řad takových, že pro všechna potom i . Takovou množinu nazýváme množinou historíí a její prvny historie, budeme značit . bude potom nejvyšší pro něž platí . Toto číslo budeme nazývat počtem kol. je funkce hrajících hráčů, kde je již známá historie(v případě, že jsme v kole , potom platí . Tedy obor hodnot , kde značí konec hry. Historie, pro které platí budeme nazývat konečné, jejich množinu budeme značit a jednotlivé strategie . je výplatní funkce hráče na množině konečných historií. Podle této definice máme hru, která se hraje v kolech a v každém kole hraje konkrétní počet hráčů. V každém dalším kole hráčihrají podle toho, co se už odehrálo. Příkladem může být vstup konkurence na monopolní trh.

Definice profilu strategií

Profilem stragií v extenzivní hře hráče je funkce . Definiční obor této funkce je . Výstup hry se potom rozumí funkce .

Definice Nashovy rovnováhy v sekvenční hře

Nashhovou rovnováhou v sekvenční hře se rozumí profil strategií takový, že pro každého hráče platí , kde znamená, že všichni kromě i-tého hráče hrajou danou strategii.[4]

Odkazy

  1. CHVOJ, M. Pokročilá teorie her ve světě kolem nás Praha : Grada, 2013, ISBN 978-80-247-4620-3.
  2. PETRŽELKA, J. Opakované hry s neúplnou informací. Masarykova univerzita: Přírodovědecká fakulta [online]. 2017 [cit. 2020-06-07]. Dostupné z: https://is.muni.cz/th/qc0jx/PetrzilkaDP.pdf
  3. MAŇAS, M. Teorie her a její aplikace. Praha : SNTL, 1991, ISBN 80-03-00358-X.
  4. FRIEDMAN, J.W. Game Theory with Applications to Economics. (Second edition). New York : Oxford University Press, 1991, ISBN 0-19-506355-4.