Hry více hráčů

Úvod

Hry více hráčů označují skupinu her, ve kterých figurují více než dva hráči, nebo skupiny hráčů. Hodně případů z teorie her lze snadno změnit z hry pro pouze dva hráče na hru více hráčů pouze přidáním dalšího aktéra.

V reálném světě jsou hry více hráčů zastoupeny mnohem častěji, než ty s dvěma hráči. Ty jsou zastoupeny víceméně pouze v situacích při interakci s další osobou, nebo skupinou osob stojících za stejným zájmem. Lze namítnout, že určitou hru více hráčů lze přeměnit na hru dvou hráčů, kde strany jsou určeny jako "já" proti "všichni ostatní jako skupina". To by ale příliš zjednodušilo koncept této hry, který je důležitý pro pochopení dané situace.

Vězňovo dilema více hráčů

První a často uváděnou hrou více hráčů je Vězňovo dilema více hráčů. V klasické verzi má hráč 2 možnosti, spolupracovat nebo mlčet. Nejlepší strategie pro oba hráče je mlčení, při které oba dohromady dosáhnout nejvyšší výplaty. Dominantní strategie pro nejvyšší výplatu jednoho hráče je ale spolupracovat, za předpokladu že ten druhý bude mlčet.

V případě více hráčů je situace podobná. Při spolupráci získají všichni lidé nejvíce, zatímco při nespolupráci získá jedinec více, než při spolupráci, ale na úkor ostatních.

V této kapitole si představíme nejčastější hry více hráčů z reálného světa.

Tragédie obecní pastviny

Tragédie obecní pastviny (z anglického překladu Tragedy of the Commons) je nejčastějším příkladem uváděným v souvislosti s hrami více hráčů. Spolupráce zde vede k největší výplatě všech dohromady, což ale není Nashova rovnováha pro jednotlivce. Jednotlivec má tedy nutkání nespolupracovat pro větší osobní výplatu. Kdyby se ale rozhodli všichni nespolupracovat, všichni by získali málo.

Jako příklad se uvedeme situaci australských farmářů. Kvůli dlouhodobému suchu mají australští farmáři zeleniny udáno, kolik vody mohou použít na zavlažování. Pokud se budou řídit vládou udaným omezením, jejich výplata na hektar bude menší, než kdyby zavlažovali tak, jak by chtěli.

Jako konkrétní příklad s čísly si uveďme, že normálně by byla výplata 10 tun na hektar, zatímco s omezeným zavlažováním je to 5 t/ha. Pokud pouze pár farmářů ze stovek bude zavlažovat nad vládní limit, ostatních se to téměř nedotkne. Pokud ale limit nebude dodržovat většina, klesna zásoba spodní vody na tolik, že té vyčerpatelné bude málo a výplaty budou pouze 2 t/ha pro nespolupracující a 1t/ha pro spolupracující. Výsledek všech zde závisí na chování většiny.

Situace je znázorněna v této tabulce

		všichni ostatní
		nespolupracovat	spolupracovat
farmář	nespolupracovat	2;2	10;5
	spolupracovat	1;2	5;5

Vláda se může snažit donutit většinu pro spolupráci zavedením dalších opatření jako například sankce za nedodržení, protože na to má autoritu a je si vědoma, že spolupráce všech vede k většímu blahobytu všech. Těmito sankcemi může změnit výplaty jednotlivce při nespolupráci třeba z 10 na 4 a tím ho ke spolupráci donutit.

---

Jako další konkrétní příklad si uvedeme jeden z informatické oblasti, a to připojení k internetu. Při pohledu do nabídky operátora O2 pro "Internet na doma" lze vidět rychlosti udávané jako "až xx Mb/s". Ono slůvko "až" stojí za tím, jak přípojky domácností fungují a ilustruje naší hru.

Pojďme si nejprve říci, jak připojení pomocí ADSL fungují. Z jednotlivých domácností jsou telefonní linky připojeny do průměrně 1,5 kilometru vzdáleného zařízení jménem DSLAM. Zde jsou data ze všech linek sjednoceny a dále putují po páteřním spoji. Tento páteřní spoj má větší datovou propustnost, ale stále ne tak velkou, aby zvládl maximální tok ze všech připojených telefonních linek současně. Do hry vstupuje zde slůvko "agregace" kterou O2 u ADSL uvádí jako 1:50. To znamená, že na jednu páteřní linku může být připojeno až 50 domácností. Jednoduše lze spočítat, že při maximálním využití tarifu 40mb/s by musela mít páteřní linka kapacitu 2000mb/s. O2 ale počítá s tím, že většina domácností většinu času svojí přípojku nebude využívat vůbec, a tak svůj DSLAM připojí levnějším a pomalejším spojem. Při dodržení agregace 1:50 by mohl být připojen pouze rychlostí 40mb/s. Kdyby v takovém případě chtěly všechny domácnosti využít svoje přípojky v jeden okamžik naplno, dosáhli by pouze rychlosti 0,8mb/s.

V menším měřítku lze podobný princip pozorovat v jednotlivé domácnosti. Pokud má daná domácnost 4 členy a internetovou přípojku s rychlostí stahování 40mb/s, lze logicky odvodit, že férově by mělo na jednoho člena připadnout 10 mb/s. Pokud se ale jeden člen rozhodne stahovat film plnou rychlostí, na ostatní by teoreticky neměla zbýt kapacita žádná.

Tragédie obecní pastviny zahrnuje mnoho situací v reálném světě. Jako několik z mnoha lze uvést například:

• podvody v čerpání sociálních dávek
• SPAM
• přehnaný rybolov.
• užití rádiového spektra

Zjednodušeně řečeno situace, kdy efekt mnoha nespolupracujících hráčů může mít negativní až katastrofální efekt na všechny.

Černý pasažér

Podobně jako Tragédie obecní pastviny, je i "černý pasažér" případ vězňova dilema více hráčů.

Se situací, kdy je pro jednoho člověka výhodnější sledovat vlastní zájmy před zájmem většiny, se setkáváme pravidelně. Může se zdát, že jízda na černo, v tomto případě jako neplacené užívání zdrojů, za které by měl každý užívající platit částku shodnou s poměrem, který užívá, nikoho nic nestojí. Například pokud si objednám kontejner na objemný odpad a soused mi tam přihodí trochu odpadu vlastního se slovy "stejně by sis ten kontejner objednal bez ohledu na mě a místo tam ještě máš", nelze jeho logice nic namítat. Nic nás to nestálo.

Logika černého pasažéra stojí na užívání zdrojů, které jsou k dispozici, ať už je někdo užívá nebo ne. Užívat tyto "volné" zdroje zdarma dává smysl. Pouze ale do okamžiku, kdy se tak začne chovat většina lidí. Pokud by celá ulice začala vyhazovat odpad do mého kontejneru, nezbylo by v něm místo na můj vlastní. Proč bych si vůbec objednával kontejner, když by mi byl k ničemu? Kdybych býval věděl, jak se ostatní zachovají, tak bych si ten kontejner přece vůbec neobjednával.

V případě skutečného "černého pasažéra", tedy jednoho cestujícího v hromadné dopravě, který nezaplatil, jsou sice náklady na něj pro dopravní podnik bezvýznamné, ale ne nulové. Pokud by už byla polovina pasažérů "černých", náklady na ně již nepůjde přehlížet.

---

Černý pasažér také přináší novinku, a to pojem minimální efektivní spolupráce (z překladu "minimally effective cooperation").

Řekněme, že jsme členem velké skupiny lidí, která si chce pronajmout halu pro pořádání společenské akce. Přispět na pronájem není povinné, ale přístup na akci mají všichni členové bez ohledu na to, zda přispěli nebo ne, a příspěvek je nevratný. Pronájem haly stojí 100 000 Kč, jednotná výše nepovinného příspěvku je 100 Kč. My osobně na akci určitě půjdeme a pro účely tohoto příkladu požitek z naší návštěvu ohodnotíme v penězích, a to na 200 Kč.

Co se stane, když se určitý počet lidí rozhodne nepřispět a být "černý pasažér"? Různé situace jsou v následující tabulce.

		všichni ostatní
		více než 1000 přispěje	přesně 999 přispěje	méně než 999 přispěje
já	přispět	100	100	-100
	nepřispět	200	0	0

Čísla v jednotlivých kolonkách znamenají můj požitek při různých situacích:

• 100 Kč přispělo více než 1000 ostatních:
  • Rozhodl jsem se přispět také. Vybralo se tedy více než 100 100 Kč. Akce se pořádá a můj požitek je 100.
  • Rozhodl jsem se nepřispět. Vybralo se více než 100 000 Kč. Akce se pořádá a můj požitek je 200.
• 100 Kč přispělo přesně 999 ostatních:
  • Rozhodl jsem se přispět také. Vybralo se tedy přesně 100 000 Kč. Akce se pořádá a můj požitek je 100.
  • Rozhodl jsem se nepřispět. Vybralo se tedy přesně 99 900 Kč. Akce se nepořádá a můj požitek je 0.
• 100 Kč přispělo méně než 999 ostatních:
  • Rozhodl jsem se přispět také. Vybralo se tedy méně než 100 000 Kč. Akce se nepořádá a můj požitek je -100.
  • Rozhodl jsem se nepřispět. Vybralo se tedy méně než 99 900 Kč. Akce se nepořádá a můj požitek je 0.

Je zřejmé, že existuje pouze jediná situace, kdy se logicky vyplatí přispět, a to je situace, kdy by můj příspěvek znamenal rozdíl mezi nevybráním a vybráním 100 000 Kč. Toto je bod minimální efektivní spolupráce a jeho nalezení bývá klíčem ke spolupráci mezi lidmi a skupinami. Bohužel je to také bod, za kterým se vyplatí být černý pasažér. To není na škodu, dokud si člověk neuvědomí, že tak mohou uvažovat i jednotliví lidé v tabulce vedení jako "všichni ostatní", pro něž jsem naopak já jeden ze "všech ostatních".

Může být velice složité najít bod minimální míry efektivní spolupráce. Výplatní matice tak často vypadá takto:

		všichni ostatní
		dost lidí na činnost	málo lidí na činnost
já	konat	výplata = požitek - náklady	výplata = náklady
	nekonat	výplata = požitek	výplata = 0

Je vidět, že strategie nekonání (podvádění, neplacení...) je dominantní pro každého jednotlivce zvlášť. Pokud tak ale bude uvažovat většina, nikdo nebude mít nic. Pouze pokud se jednotlivec vidí a bude jednat jako člen skupiny, bude výsledkem fungující systém sdílení nákladů a zdrojů.

Jako další příklad, v současnosti často viditelný v médiích, je vytápění bytů v panelových a bytových domech. Majitelé bytů na okrajích budovy si stěžují, že platí více za vytápění, než ostatní. Teplo z jejich bytu totiž uniká boční zdí a okny, zatímco z vnitřních bytů uniká pouze okny. Majitelé venkovních bytů tak nechtěně vytápějí i byty vnitřní, jejichž majitelé tak platí za vytápění méně, přestože mají stejně doma teplo.

Klíčem je donutit jednotlivce jednat jako skupinu. Ať už tím, že z toho bude mít dobrý pocit, nebo tím, že při neplacení a využívání (zneužívání) zdrojů bude muset zaplatit pokutu.

Další příklady černého pasažéra:

• černý odběr elektřiny
• krádeže (pokud je okradený pojištěný)
• podvody s kreditními kartami. Při velkém množství podvodů stoupnou poplatky za transakce, jelikož banky budou muset ztráty někde kompenzovat.

Dobrovolníkovo dilemma

Dobrovolníkovo dilema obsahuje všechny situace, ve kterých jednotlivec dělající první krok "prohrává", zatímco všichni ostatní ostatní "vítězí". Pokud ale nikdo neudělá první krok, následky pro všechny mohou být katastrofální. Je to v podstatě Hra na kuře s mnoha účastníky. Pokud je jedna nebo více osob dobrovolník, všichni mají nějakou výplatu kromě oněch dobrovolníků.

Jako reálný příklad si vezměme nenadálý lesní požár ohrožující odlehlou skupinu domů. Majitelé domů vidí blížící se požár a mohou buď začít kropit svůj majetek a jeho okolí ve snaze zabránit šíření ohně, nebo jít zavolat hasiče, protože v místě není mobilní signál.

• Pokud se všichni rozhodnou kropit svůj majetek, oheň neuhasí a domy jim shoří.
• Pokud alespoň jeden člověk půjde zavolat hasiče, jeho dům sice možná lehce ohoří nebo shoří, ale zachrání svým činem domy ostatních.
• Pokud více lidí půjde zavolat hasiče, jejich domy sice možná lehce ohoří nebo shoří, ale zachrání svým činem domy ostatních.

Při této situaci ani tak nemusí jít o to, jaký k sobě mají lidé vztah, ale jak vnímají své chování a předpokládají chování ostatních. Ti, jejichž domy už olizují plameny si mohou říci, že ten s domem nejdál od plamenů by měl zavolat hasiče. Ten si ale může říkat, že hasiče už určitě někdo zavolal a sám kropí. Hasiče tak nikdo nezavolal a všechno shoří.

V případech podobných dobrovolníkovu dilema bohužel často nastávají situace, že nikdo nekoná, protože "to měl udělat někdo jiný" nebo "já jsem myslel, že už to někdo udělal", nebo že koná větší množství lidí, protože "v této situaci je to přirozené a udělal by to přece každý".

Výplatní matice dobrovolníkova dilema je podobná matici tragédie obecní pastviny s jedním rozdílem::

		všichni ostatní
		někdo jiný koná	nikdo jiný nekoná
já	konám	výplata = požitek - náklady	výplata = požitek - náklady
	nekonám	výplata = požitek	výplata = velká ztráta

Je zřejmé, že jednotlivcova strategie nespolupracovat (nekonat) už není dominantní. Funguje pouze, pokud bude někdo ostatní dobrovolník. Pokud by ale nikdo nebyl, následky pro všechny budou zlé. Rozhodnutí, zda být tím dobrovolníkem je zde často spojeno s velkou zodpovědností vůči druhým. Zatímco u tragédie obecní pastviny nebo černého pasažéra činnost dalšího jednotlivce ovlivňuje ostatní určitým poměrem, u dobrovolníkova dilema konání pouze prvního jednotlivce významně ovlivňuje ostatní. Nikdo přitom nechce být dobrovolník, protože to snižuje jeho výplatu.

Další příklady dobrovolníkova dilema:

• Odjištěný granát uprostřed místnosti. Dobrovolník se na něj může vrhnout a sám umře, ale zachrání tím ostatní.
• Kdo vyskočí z lodi, aby se nepotopila.
• Kdo se přizná k vině, aby nebyli potrestáni všichni.
• Spor sourozenců, kdo umyje nádobí.

Kam dál

Aukce

Kooperativní hry více hráčů

Zdroje

Další literatura

• TADELIS, Steve. Game theory: an introduction. Oxford: Princeton University Press, c2013. ISBN 978-0-691-12908-2
• FISHER, Len. Rock, paper, scissors: game theory in everyday life. New York: Basic Books, c2008. ISBN 0465009387